高中数学必修二《第七章 复数》复习教案

高中数学必修二《第七章复数》复习教案

《7.1复数的概念》复习教案

7.1.1数系的扩充和复数的概念

【基础知识拓展】

1.复数相等的充要条件

(1)两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a,b,c,ddR,若忽略

这一条件，则不能成立.因此解决复数相等问题时，一定要把复数的实部与虚部

分离出来，再利用相等条件.

(2)复数相等的条件是把复数问题转化为实数问题的重要依据，是复数问题

实数化这一重要数学思想方法的体现.利用这一结论，可以把“复数相等”这一

条件转化为两个实数等式，为应用方程思想提供了条件，这一思想在解决复数问

题中非常重要.

2.一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.当两个复数

都是实数时，就可以比较大小.当两个复数不都是实数时，不能比较大小.

【跟踪训练】

1.判一判(正确的打“，错误的打“X”)

(1)若a,6为实数，则2=且+员为虚数.()

(2)若z=z»+z?i(必，A£C),则当且仅当勿=0,时，z为纯虚数.()

(3)历是纯虚数.()

(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0,那么这两个复数相

等.()

答案⑴X(2)X(3)X(4)V

2.做一做

(1)若a+6i=0,则实数a=,实数6=.

(2)(l+/)i的实部与虚部分别是.

(3)若复数(a+l)+(才-1)i(aeR)是实数，则a=.

答案(1)00(2)0,1+^3(3)±1

【核心素养形成】

题型一复数的有关概念

例1给出下列四个命题：

①两个复数不能比较大小；

②若X,yGC,则x+yi=l+i的充要条件是x=y=l；

③若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；

④纯虚数集相对复数集的补集是虚数集.

其中真命题的个数是.

［解析］①中当这两个复数都是实数时，可以比较大小；

②由于x,y都是复数，故%+川不一定是复数的代数形式，不符合复数相

等的充要条件；

③若a=0,则ai不是纯虚数；

④由纯虚数集、虚数集、复数集之间的关系知，所求补集应是非纯虚数集与

实数集的并集.

［答案］0

【解题技巧】

数集从实数集扩充到复数集后，某些结论不再成立.如：两数大小的比较,

某数的平方是非负数等.但i与实数的运算及运算律仍成立.

【跟踪训练】

下列命题中：

①若aWR,则（a+l）i是纯虚数；

②若a,8WR且a>8,则a+i>6+i；

③若（y-1）+（V+3x+2）i是纯虚数，则实数x=±1；

④两个虚数不能比较大小.

其中，正确命题的序号是（）

A.①B.②

C.③D.@

答案D

解析对于复数a+Ai（a,6WR）,当a=0且，#0时为纯虚数.在①中，

若a=-l,则（a+l）i不是纯虚数，故①错误；在②中，两个虚数不能比较大小,

故②错误；在③中，若*=-1，f+3x+2W0不成立，故③错误；④正确.

题型二复数的分类

例2当实数加为何值时，复数,=?+(/—24i为：⑴实数？(2)

虚数？(3)纯虚数？

序一2"=0,

［解］⑴当

小:户0,

即必=2时，复数z是实数.

⑵当序一2加W0,即加W0且加W2时，复数z是虚数.

m+勿一6

=0,

⑶当m即力=-3时，复数z是纯虚数.

2%W0,

2___/2

［条件探究］是否存在实数m,使z=5-24+二-i是纯虚数?

m

A》，,o、nT~\~m—6日，一一“〃

解由z=(nf—2/n)+-------i是纯虚数,

m

病-2勿=0,

得m+zzr-6解得加W0.

-------W0,

m

即不存在实数加，使Z=…十2^i是纯虚数.

【解题技巧】

利用复数的分类求参数的值或取值范围的一般步骤

(1)判定复数是否为a+6i(a,6£R)的形式，实部与虚部分别为哪些;

(2)依据复数的有关概念将复数问题转化为实数问题;

⑶解相应的方程(组)或不等式(组)；

(4)求出参数的值或取值范围.

【跟踪训练】

已知旌R,复数z=呼阜+(共2加—3儿当力为何值时,

(Dz为实数?

(2)z为虚数？

(3)z为纯虚数？

解⑴要使z为实数,需满足济+20一3=0,且邈享有意义，即m—170,

解得加=-3.

(2)要使z为虚数，需满足疗+2加一3#0,且逊?有意义，即加一1W0,

解得勿W1且勿W—3.

⑶要使Z为纯虚数，需满足逊士9=0,且石+2加一3/0,解得R=0或加

ZZ7—1

=-2.

题型三复数相等

例3已知,仁{1,（历一2加）+0+/z?-2）i},々{―1,1,4i},若"U-R

求实数力的值.

［解］•:MUP=P,：.,仁P,

即（方-2加）+（/4-zz?-2）i=—1或（/-24+（/+加-2）i=4i.

由（zs—2/z?）+（希+/??—2）i=-1,

得解得m=l.

病+/一2=0,

由（序―2加）+{nt+/»—2）i=4i,

ztf—2zzz=0,

解得m=2.

/-2=4,

二实数7的值为1或2.

【解题技巧】

复数相等的充要条件是实部相等且虚部相等.复数问题实数化多用来求参数,

其步骤是：分别确定两个复数的实部和虚部，利用实部与实部、虚部与虚部分别

相等，列方程组.

【跟踪训练】

已知力={1,2,a—3a—1+(a2—5a—6)i}>B={11,3},AAB={3},求实

数a的值.

解由题意知，占—3a—1+（才一5a—6）i=3（a€R）,

a-3a―1=3,

a=—1.

a2—5a—6=0,

故实数a的值为-1.

【课堂达标训练】

1.“a=0”是“复数a+历（a,6GR）是纯虚数”的（）

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案A

解析因为复数a+Ai（a,，£R）是纯虚数=a=0且力W0,所以“a=0”是

“复数a+6i（a,66R）是纯虚数”的必要不充分条件.

2.以3i一镜的虚部为实部，以3i?+镜i的实部为虚部的复数是（）

A.3-3iB.3+i

C.一4+4D.@+&

答案A

解析3i一巾的虚部为3,3/+，^的实部为一3,所以所求复数为3—3i.

3.已知复数2=且2一（2—8日的实部和虚部分别是2和3,则实数a,6的值

分别是.

答案a=±y/2,b=5

解析由题意得，a2=2,—（2—6）=3,所以a=±4L8=5.

4.设复数z=』十（勿2+2加-15）i为实数，则实数加的值是___.

加十b

答案3

W+2zz7-15=0,

解析依题意有1L/C解得/=3.

［加+5W0,

5.如果log,（加+〃）一（病一3血i2—1,求自然数加，〃的值.

2

解（加+〃）一（/—3加）i2—1,

2

Ilogj_（勿—

［一（序-3%）=0.

0<ZZT+T7^2,

•<

［而=0或z»=3.

*/m,〃GN,:.m=0,〃=1或〃=2.

《7.1.2复数的几何意义》复习教案

【基础知识拓展】

1.复数的向量表示

(1)任何一个复数z=a+bi与复平面内一点Z(a,6)对应，而任一点Z(a,

6)又可以与以原点为起点，点Z(a,力为终点的向量应对应，这些对应都是一一

对应，即

复数2="+/”

复平面内点(“⑼一复平面的向量访

(2)这种对应关系架起了联系复数与解析几何的桥梁，使得复数问题可以用

几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决

复数问题的途径.讨论复数的运算性质和应用时，可以在复平面内，用向量方法

进行.

2.共枕复数的性质

(1)两个共鲍复数的对应点关于实轴对称.

(2)实数的共舸复数是它本身，即z=，ozdR.

利用这个性质，可以证明一个复数是实数.

⑶zz=|z==|z「GR.

Z与，互为实数化因式.

【跟踪训练】

1.判一判(正确的打"J"，错误的打“义”)

(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上.()

(2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数.()

(3)复数的模一定是正实数.()

(4)两个复数互为共辗复数是它们的模相等的必要条件.()

答案⑴J(2)X(3)X⑷X

2.做一做

(1)若应’=(0，-3),则应对应的复数为.

(2)复数z=l—4i位于复平面上的第象限.

(3)复数的模是.

(4)复数5+6i的共甄复数是.

答案⑴一3i(2)四⑶谯(4)5-6i

【核心素养形成】

题型一复平面内复数与点的对应

例1在复平面内，若复数2=(/一加一2)+(序一3/2)1对应点(1)在虚轴

上；(2)在第二象限；(3)在直线y=x上，分别求实数加的取值范围.

［解］复数z=(%2—加一2)+(方一3勿+2)i的实部为nf—m—2,虚部为m—

3zzH~2.

(1)由题意得病一加一2=0,解得"=2或加=—1.

病一加一2<0,—1〈冰2,

(2)由题意得

ni—3/+2>0,加〉2或水1,

；.一1＜成1.

(3)由已知得疡一加一2=/^—3加+2,/.m=2.

【解题技巧】

复数集与复平面内所有的点所成的集合之间存在着一一对应关系.每一个复

数都对应着一个有序实数对，复数的实部对应着有序实数对的横坐标，而虚部则

对应着有序实数对的纵坐标，只要在复平面内找到这个有序实数对所表示的点，

就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值.

【跟踪训练】

实数力取什么值时，复数z=(序+5而+6)+(zzf—2/Z7—15)i.

(1)对应的点在x轴上方；

(2)对应的点在直线x+y+4=0上.

解⑴由题意得疡-2加一15>0,

解得正-3或加>5,

所以当水一3或%>5时，复数z对应的点在x轴上方.

(2)由题意得(/+5必+6)+(z?7—2m—15)+4=0,

55

解得7=1或/=所以当勿=1或7=一己时，

乙乙

复数Z对应的点在直线x+y+4=0上.

题型二复平面内复数与向量的对应

例2已知平行四边形如a'的三个顶点4。对应的复数分别为0,3+2i,

-2+4i,试求：(1)而表示的复数；(2)方表示的复数；(3)点8对应的复数.

［解］由题意得。为原点，OA=(3,2),沅=(-2,4).

(1)AO=—OA——(3,2)=(—3,—2)

.•.砒示的复数为-3一2i.

(2)'：CA=OA-~OC=(3,2)一(-2,4)=(5,-2),

•••游表示的复数为5—2i.

(3)-应=应+狂(3,2)+(—2,4)=(1,6),

磁示的复数为l+6i,

即点3对应的复数为l+6i.

【解题技巧】

复数与平面向量一一对应是复数的另一个几何意义，利用这个几何意义，复

数问题可以转化为平面向量来解决，平面向量问题也可以用复数方法来求解.

【跟踪训练】

(1)复数4+3i与一2-5i分别表示向量涝与龙，则向量力表示的复数是

(2)在复平面内，。为原点，向量应对应复数为一1+2。则点力关于直线y

=一才对称点为8，向量面寸应复数为.

答案⑴一6一8i⑵—2+i

解析(1)因为复数4+3i与一2—5i分别表示向量而与龙，所以洒=(4,3),

市=(一2,-5),又花=龙一游=(一2,-5)-(4,3)=(-6,-8),所以向量诵

表示的复数是一6一8i.

(2)点力(一1,2)关于直线尸一x对称的点为8(—2,1),所以海=-2+1

题型三复数模的综合应用

例3设zee,则满足条件|z|=|3+4i|的复数z在复平面上对应的点Z

的集合是什么图形？

［解］由|z|=|3+4i|得|z|=5.

这表明向量应的长度等于5,即点Z到原点的距离等于5.

因此满足条件的点Z的集合是以原点。为圆心，以5为半径的圆.

【解题技巧】

巧用复数的几何意义解题

(1)复平面内口的意义

我们知道，在实数集中，实数a的绝对值，即是表示实数a的点与原点

。间的距离.那么在复数集中，类似地，有口是表示复数z的点Z到坐标原点

间的距离.也就是向量应的模，|z|=|必|.

(2)复平面内任意两点间的距离

设复平面内任意两点R0所对应的复数分别为©,Z2,则|N|=|Z2—ZJ.

运用以上性质，可以通过数形结合的方法解决有关问题.

【跟踪训练】

设zee,且满足下列条件，在复平面内，复数z对应的点Z的集合是什么

图形？

(l)K|z|<2；

(2)|z-i|<l.

解(1)根据复数模的几何意义可知,

复数/对应的点Z的集合是以原点。为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的

圆环，不包括环的边界.

(2)根据模的几何意义，|z-i|=l表示复数z对应的点到复数i对应的点

(0,1)的距离为L

•••满足的点Z的集合为以(0,1)为圆心，以1为半径的圆内的部

分(不含圆的边界).

【课堂达标训练】

1.已知aGR,且0<水1,i为虚数单位，则复数z=a+(a—l)i在复平面

内所对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案D

解析，a>0且a—1<0,故复数z=a+(a—1)i在复平面内所对

应的点(a,a—l)位于第四象限.故选D.

2.复数2=3—24+(，一@一2八对应的点在虚轴上，则()

A.aW2或aWlB.aW2且aWl

C.a=0D.a=2或a=0

答案D

解析由点Z在虚轴上可知，点Z对应的复数是纯虚数和0,...才-2a=0,

解得a=2或a=0.

3.已知复数z=l+2i(i是虚数单位)，则|z|=.

答案小

解析因为z=l+2i,所以|z|=4?耳了=4.

4.已知复数z=3+ai,且则实数a的取值范围是.

答案一4<a<4

解析|z[=/4I<5,解得一4<a<4.

5.如果复数z=(/+/一1)+(4/—8/+3)i(勿WR)对应的点在第■—象限，

求实数力的取值范围.

解因为复数Z对应的点在第一象限,

/+/一1>0,。，解得成——1—\/5或彩3

所以…+3>

所以实数加的取值范围为

唱+°°)

《7.2.1复数的加、减运算及其几何意义》复习教案

【基础知识拓展】

复数模的两个重要性质

⑴||zJ—|Z21W|Zi±Z21W|Z11+|a|；

⑵|%+引2+|ZLZ』』2|ZF+2|遍属

【跟踪训练】

1.判一判(正确的打“，错误的打“X”)

(1)复数与向量一一对应.()

(2)复数与复数相加减后结果只能是实数.()

(3)因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小.()

(4)两个共轮虚数的差为纯虚数.()

答案⑴X(2)X(3)X(4)V

2.做一做

(1)计算：(3+5i)+(3-4i)=.

(2)(5—6i)+(—2—2i)—(3+3i)=.

—►—►

(3)已知向量0Z对应的复数为2—3i,向量或对应的复数为3—4i,则向量

-A

%%对应的复数为.

答案(l)6+i(2)-lli(3)l-i

【核心素养形成】

题型一复数的加、减运算

例1计算:(1)(3-5i)+(-4-i)-(3+4i)；

(2)(—7i+5)—(9—8i)+(3—2i).

［解］(1)原式=(3—4—3)+(—5—1—4)i=—4—10i.

(2)原式=(5-9+3)+(—7+8—2)i=-1—i.

【解题技巧】

复数代数形式的加、减法运算，其运算法则是对它们的实部和虚部分别进行

加、减运算.在运算过程中应注意把握每一个复数的实部和虚部.这种运算类似

于初中的合并同类项.

【跟踪训练】

计算：(1)(l+2i)+(-2+i)+(-2-i)+(l-2i)；

(2)(i2+i)+|i|+(l+i).

解(1)原式=(—l+3i)+(—2—i)+(l—2i)=(—3+2i)+(l—2i)=—

(2)原式=(—1+i)+,\jo+1'+(1+i)=—l+i+l+(l+i)=l+2i.

题型二复数加、减运算的几何意义

例2已知四边形475是复平面内的平行四边形，且4B,。三点对应的

复数分别是l+3i,+求点〃对应的复数.

［解］解法一：设点〃对应的复数为x+yi(x,y£R),

则〃(x,y).

又由已知得4(1,3),8(0,-1),C(2,1),

中点为(|，2),物中点为百号).

2一

2~29

•・•平行四边形对角线互相平分，.•・<

x=3,

片5.

即点〃对应的复数为3+5i.

解法二：设点〃对应的复数为x+yi(x,y£R).

—►

则力颂应的复数为(x+yi)-(l+3i)=(x—1)+(y-3)i,

—►

又比对应的复数为(2+i)-(-i)=2+2i.

-A-A

由已知得49=8C,...(x—l)+(y—3)i=2+2i,

A—1=2,(x=3,

•17—3=2,

即点〃对应的复数为3+5i.

［条件探究］若一个平行四边形的三个顶点对应的复数分别为l+3i,-

i,2+i,求第四个顶点对应的复数.

解设l+3i,—i,2+i对应4B,C三点，〃为第四个顶点，则①当四边

形48切是平行四边形时，点〃对应的复数是3+5i.②当四边形力皈是平行四

边形时，点〃对应的复数为l—3i.③当四边形力庞。是平行四边形时，点，对应

的复数为一l+i.

【解题技巧】

(1)根据复数的两种几何意义可知：复数的加、减运算可以转化为点的坐标

运算或向量运算.

(2)复数的加减运算用向量进行时，同样满足平行四边形法则和三角形法则.

(3)复数及其加减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用提供了可

能.

【跟踪训练】

―►

已知复平面内平行四边形/比〃/点对应的复数为2+i,向量为对应的复

―►

数为l+2i,向量比对应的复数为3—i,求：

(1)点C，〃对应的复数；

(2)平行四边形切的面积.

—►—►

解(1)因为向量阴对应的复数为l+2i,向量比对应的复数为3—i,

所以向量/两应的复数为(3—i)-(l+2i)=2-3i.

又OC=OA+AC,所以点。对应的复数为(2+i)+(2-3i)=4—2i.

-A-►—A-►

因为AD=BC,所以向量/阳应的复数为3—i,即49=(3,-1),

设〃(x,y),则(x—2,y—1)=(3,—1),

x-2=3,x=5,

所以解得《

y—1=-1,.7=0.

所以点〃对应的复数为5.

⑵因为胡•BC=\BA\\BC\cosB,

BA•BC3-21_蛆

所以cosB—

--*一乖又近-5啦—I。'

\BA\\BC\'

所以，延益=靖

-f7、历

所以S=\BA\|^|sin^=V5xV10X^-=7.

所以平行四边形力时的面积为7.

题型三复数加、减运算的几何意义的应用

例3已知|z1|=|zj=I©—Z2I=1,求I为+腺卜

［解］解法一：设Zi=a+Ai,z2=c+di(a,b,c,d6R),

IZ!I=Iz21=I©一切=1,

：.d+t}=d+d=\,①

(a—c)2+(b—df=l.②

由①②得2ac+2bd=\.

2

\zx+z2\=yl(a+c)+(b+dy

=yj#+d+方+(/+2ac+26d=m.

解法二：设。为坐标原点，©,Z2,zi+z?对应的点分别为4B,C.

:IZ11=IZ2I=IZ1—为|=1,，△力8是边长为1的正三角形，

...四边形物”是一个内角为60°,边长为1的菱形，且加+切是菱形的

较长的对角线%的长，

Iz{+z2\=|OC\

=yl\OA\2+\AC\2~2\OA\Udcosl20°二木.

【解题技巧】

掌握以下常用结论：

在复平面内，z“zz对应的点为/,B,zi+zz对应的点为C,。为坐标原点,

则四边形OACB-.

①为平行四边形；

②若|©+ZZ|=|ZL切，则四边形以⑶为矩形；

③若|zj=|zz|,则四边形如"为菱形；

④若Iz』=|Z2］且IZ1+为|=|Zi—Z21，则四边形OACB为正方形.

【跟踪训练】

若复数z满足|z+i|+|z—i1=2,求|z+i+V的最小值.

解解法一：设复数一i,i,—(l+i)在复平面内对应的点分别为Z，2,

Z.如图，

因为因+i|+|z—i|=2,|2团=2,

所以复数z对应的点Z的集合为线段Z4.

问题转化为：动点Z在线段上移动，求的最小值，由图可知|4团

为最小值且最小值为1.

解法二：设z=x+yi(x,HR).

因为|z+i|+|/—iI=2,

所以:\+(y)■I?+^/r+(y—I)2=2,

又V?+(y+iy=2+(y—1)~20,

所以0WW+(y—1FW2,

因为7寸+(7+1)2=2—。y+(_/—1)2,

所以两边平方可得1一尸疗万亍，

即(1—y)2—y+(y—I),,且0W1—y^2.

所以x=0且一1WZL则z=yi(―l^y^l).

所以|z+i+l|=|l+(y+1)i|=A/l2+(y+l)221,

等号在y=—1即z=—i时成立.

所以Iz+i+11的最小值为1.

【课堂达标训练】

1.复数©=3+i,z2=l—i,则Z1—z?在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案A

解析•••©—々=(3+i)—(1—i)=2+2i,...;—今在复平面内对应的点位

于第一象限.

2.已知|z|=3,且z+3i是纯虚数，则，等于()

A.-3iB.3i

C.±3iD.4i

答案A

解析设z=x+yi(x,yGR),由z+3i=x+(y+3)i为纯虚数，得x=0,

且冲一3,又|z|=N/+y=3=3,.*.y=3,；.z=3i,...z=-3i.故选A.

-A―>

3.非零复数©,Z2分别对应复平面内的向量0/,0B,若|zi+z21=I©一

@|,则()

-A-A-A—A

A.0A=0BB.\0A\=\0B

-A-A-A—A

C.0AL0BD.0A,06共线

答案C

解析如图，由向量的加法及减法法则可知，OC=OA+0B,BA=0A-

―0•—>—>

06.由复数加法及减法的几何意义可知，+对应0。的模，对应84

-A―>

的模.又|©+切=|©一切，所以四边形以w是矩形，则

4.复数z满足z—(l—i)=2i,则z等于()

A.1+iB.11-i

C.—1+iD.1-i

答案A

解析z=2i+(1—i)=l+i.故选A.

5.如图所示，平行四边形勿灰的顶点0,A,C分别对应复数0,3+2i,-

2+4i.求：

(1)向量况明■应的复数.

―►

(2)向量。对应的复数.

—►

⑶向量位对应的复数.

—►―►—►

解(1)因为4=一以，所以向量4。(寸应的复数为一3一21

—►―►-A-A

(2)因为。=的一冗，所以向量。对应的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-

2i.

(3)因为仍所以向量出对应的复数为(3+2i)+(-2+4i)=l+

6i.

《7.2.2复数的乘、除运算》复习教案

【基础知识拓展】

虚数单位i的乘方

计算复数的乘积要用到复数单位i的乘方，i有如下性质：

i4+=i；i4fl+2=-l；i4n+3=-i；i4"=l.

说明：(1)上述公式说明i的幕具有周期性，且最小正周期是4.

(2)〃可推广到整数集.

(3)4A(A£Z)是i的周期.

(4)与i有关的几个结论：

1+i1-i

l+i2=2i,1-i2=-2i,-~r=i,7—r=-i.

l—il+i

【跟踪训练】

1.判一判(正确的打“J”，错误的打“义”)

(1)若复数©=l+2i,zz=3—i,则复数Z0的虚部为5.()

(2)若z2^C,且4+2=0,则©=Z2=0.()

(3)两个共帆复数的积为实数.()

答案⑴J(2)X(3)V

2.做一做

(1)复数僚=.

2i

(2)复平面内，复数z=K(i为虚数单位)的共甄复数对应的点位于第

________象限.

(3)复数2—；的共朝复数是.

33

答案(1)5-(2)四(3)2-i

乙乙

【核心素养形成】

题型一复数的乘、除运算

⑴得将3+2i3—2i

例1⑴复数2—3i2+3i)

A.0B.2C.-2iD.2i

(2)若复数©=4+29i,z2=6+9i,其中i是虚数单位，则复数(©—z?)i

的实部为.

［解析］⑴解法「署一舄

(3+2i)(2+3i)-(3-2i)(2-3i)

(2-3i)(2+3i)

6+13i-6-6+13i+626i

=------------------------------------=-----=2i

4+913

3+2i3~2ii(2-3i)~i(2+3i)

解法二:2-3i-2+3i=2-3i2+3i-=

(2)(ZL4)i=［(4+29i)—(6+9i)］i=(—2+20i)i=-20—2i,

/.(z-z2)i的实部为一20.

［答案］(DD⑵-20

【解题技巧】

(1)复数的乘法可以把i看作字母，按多项式乘法的法则进行，注意要把

i,化为一1,进行最后结果的化简.复数的除法先写成分式的形式，再把分母实

数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共枕复数，若分母是纯虚数，则只需同

时乘以i).

(2)实数集中的乘法公式、累的运算律，因式分解方法等在复数集中仍成立.

【跟踪训练】

计算:(l)(-2：+3i)4-(l+2i)；

(2)(2-i)(-l+5i)(3-4i)+2i.

-2+3i(-2+3i)(l-2i)

解(1)原式=l+2i=(l+2i)(l-2i)

(~2+6)+(3+4)i4,7.

―12+22飞十/

⑵原式=(3+lli)(3—4i)+2i=53+21i+2i=53+23i.

题型二在复数范围内解一元二次方程

例2在复数范围内解下列方程.

(1)2/+6=0；

(2)/+x+4=0.

［解］(1)由2f+6=0,得*=-3.

因为(出i)2=(—，5i)z=-3,

所以方程21+6=0的根为x=土木i.

(2)配方，得(矛+3)=—学，

所以x+］=±4^i,

乙乙

所以原方程的根为X=一；土乎i.

【解题技巧】

实系数一元二次方程af+6x+c=0(a,b,cGR,aWO)在复数范围内定有

两个根：

(1)4>0,方程有两个不相等的实数根丸2=一白土坐.

2a2a

(2)/=0,方程有两个相等的实数根xc=一在

2a

b\l—A

(3)A<Q,方程有一对共辗虚根耳2=一；r士七—i.

laZa

【跟踪训练】

在复数范围内解方程2V+4x+15=0.

13

解配方，得(*+1)2=一5，

所以x+l=±±-i,

所以原方程的根为*=一1士七一i.

题型三复数in的周期性运算

例3计算：⑴产芸+(出吗

(i-i)U+D

(2)l+i+i2+i3+-+i2019.

解]⑴舒+借卜=等+勘―(l+i)+眇=T+i+

(-i),010=-l+i-l=i-2.

(2)解法一：,.,i"+i"+i+i"+2+i"+3=o,

.*.l+i+i2+iM---bi2019=l+i+i2+i3+(i4+i5+i6+i7)+(i8+i9+i10+

i1I)+-+(i2016+i2017+ii!018+i20,9)=H-i+i2+i3=0.

]_•2020[_•505X4]_-I

解法二：1+i+i4…+/『三=』=言=0.

【解题技巧】

i"(〃eN*)的性质

根据复数乘法法则，容易得到i的〃次塞的计算法则，即〃GN*时，i,n=l,

i4,,+1=i>i1,,+2=-l,i'-3=—i,其中i°=l,i~=*(〃eN*).

另外，追+i4fl+,+i',,+2+i4n+3=0.

【跟踪训练】

1—j

（1）当2=一一点时，Z‘°°+z5°+l的值等于（）

A.1B.-1C.iD.-i

⑵计算罟）+聋卷的值为

答案(DD⑵-l+i

解析⑴.",=「(母1—i\』亏—2i=7，

.,.?00+/0+l=(-i)50+(-i)25+l=[(-i)2]25+(-i)+l=-l-i+l=

—i.

⑸盾十」(l+i)l,(二(镜i)(1+/i),6,^6+21+31-^6

(2)原式=[^—J+3+2=1+5=—1

+i.

【课堂达标训练】

1.复数i(2—i)=()

A.l+2iB.l-2iC.-l+2iD.~l~2i

答案A

解析i(2—i)=2i—i2=l+2i.故选A.

9

2.复数厂一等于()

l-i

A.1+iB.1-iC.—1+iD.11-i

答案A

2=户兴=中=1+1.故选A.

解析

1(l-i)(l+i)2

3.(l+i)2-^1

乙I1

3,14

答案—m+二1

(1+1)2-|^=21(2-i)23,14.

解析——^=-5+T1-

乙IX

4.方程7*+1=0的根为

答案*=土平i

解析7*+1=0,整理得*=—；,因为停1卜卜壬卜―；，所以7/

+1=0的根为x=

5.把复数z的共辗复数记作z,已知iz=4+3i,求上■.

7

—_4+3i

解由［劣=4+31得2=―:-=3—4i,所以z=3+4i.

1

z3+4i(3+4i)2—7+24i

所以m=3-4i=(3-4i)(3+4i)=—25~

《7.3复数的三角表示》复习教案

7.3.1复数的三角表示式

【基础知识拓展】

1.在复数的三角形式中，辐角0的值可以用弧度表示，也可以用角度表示，

可以是主值，也可以是主值加2An或

A•360°(4GZ).但为了简便起见，复数的代数形式化为三角形式时，一般

将0写成主值.

2.两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等.

【跟踪训练】

1.判一判(正确的打“，错误的打“义”)

(1)—l=cos冗+isin兀.()

(nnA

(2)2i=2cos—+isin—L()

(3)-3(cos200°+isin200°)是复数的三角形式.()

答案⑴V(2)V(3)X

2.做一做

⑴将复数z,=-l+V3i表示成三角形式为.

(2)已知|z|=2:，argz=4，求复数z=.

(3)若a<0,则a的三角形式是.

答案(1)2^08^+1810^(2)4一3i

(3)—a(cosn+isin况)

【核心素养形成】

题型一复数的代数形式化为三角形式

例1把下列复数的代数形式化成三角形式:

(l)V3+i；(2)l-i.

［解］⑴r=43+1=2,

7^3+i对应的点在第一象限,

坐,即

tan9=一『

36

JI

isin-

b

⑵7=、1+1=近

Vl-i对应的点在第四象限,

-17

且tan0=—=~1,：.0=~

1

(7n,7吟

/.l—i=^/2rlcos~isin-j-l.

【解题技巧】

复数代数形式化为三角形式的步骤

(1)先求复数的模.

⑵决定辐角所在的象限.

(3)根据象限求出辐角(一般取其主值).

(4)求出复数三角形式.

【跟踪训练】

把下列复数表示成三角形式.

(3n3吟

(1)—2+2i；(2)2lsin^^+icos^^I.

解⑴原式=2加卜乎+*i)=2小1os等+isin。

(2)原式=2停一平i)=2(cos子+isirJ^.

题型二判断复数三角形式的条件

例2判断下列各式是否是复数的三角形式，若不是，把它们表示成三角形

式.

⑴芥。sp-isin》

ifJI吟

(2)-^cosy+isinTJ;

(JIJI、

(3)21—cos—+isin—1；

(4)sin-+icos-

55

［解］根据复数的三角形式的结构，

z=r(cos夕+isin。),可依次作出判断

/八天日if五.•吟if7n7吟

isin

(1)不是.京。0$4isin4l-^cos4+Vj

川

⑵不是•^\(cos冗y+ism吟yj-1^/)1

4n4nA

cos~^-+isin^-|.

JIJI4n4兀)

(3)不是.2l-cos—+isin~I=2lcos-—^+isin~^.

55J

JIJI3n3JT

⑷不是.sin~4-icos_7-=cos'Wising

DD

【解题技巧】

判断复数的三角形式的条件

(Dr^O；

⑵加号连接;

(3)cos在前，sin在后；

(4)e前后一致，可任意值.

即“模非负，角相同，余正弦，加号连”.

【跟踪训练】

求复数z=3(sin；—icos1~)的辐角主值.

(11n,11n'

=31cos6+isin

11JI

，辐角主值argz=——.

题型三复数三角形式化为代数形式

例3把下列复数表示成代数形式.

(JI71、

(1)41cos-+isin—|；

(2)6lcos-^―+is1n-g-I.

［解］根据a+Ai=r(cos。+isin，)，可得

a=rcos0,b=rsin0,故可解.

(l)4^cos-^-+isin—^=4X^4-4X-^i=2+2^/3i.

(2)6(cos^-+isin^-j=6X乎+6X1一；ji=3/-3i.

【解题技巧】

将复数的三角形式化为代数形式：

由z=r(cos0+isinO')=rcos0+i_rsin0,

可得a=rcos0,b=rsin0.

【跟踪训练】

将下列复数的三角形式化成代数形式.

(JT