八年级数学勾股定理期末复习

勾股定理期末复习

［教学目标］

会运用勾股定理解决简单问题.会用勾股定理的逆定理判定直角三角形.

［教学重点］

1.重视勾股定理的表达式的几何意义：以两直角边为边长的正方形的面积之和等于以

斜边为边长的正

方形面积.

2.借助实际问题情景，建立数学模型，体现数学建模思想.

3.加强知识间的内在联系，用方程思想解决几何问题.以体现代数与几何之间的内在

联系.

［教学难点］

勾股定理的探索、证明及应用；命题及原命题、逆命题；勾股定理的逆定理及应用.

［教学内容解析］

一、复习时要注意典型数学思想、方法的训练

〈一〉方程思想进行计算

1、已知AABC中，ZC=90°,D、E分别为BC、AC的中点，AD=5,BE=2而，求

AB的长.

分析：本题利用中点的作用，可以建立有关边长的数量关系，从而建立方程求解.

解：设AC=b,BC=a,则在RtAACD和RtZ\BCE中，

,,AD=5BE—2y/10

•，，

i2+(1)2=25

<

(-)2+a2=40

/.I2

二(a'+/)=652,2

两式相加，得4即a+b=52

...AB=452=2713o

2、如图所示。已知：在正方形ABCD中，NBAC的平分线交BC于E,作EF_LAC于

F,作FG_LAB于G。

FG2

求新的值。

解：；ZXAFG为等腰直角三角形

,AG=FG

AE为/BAC的平分线，且EF_LAC于F,FG_LAB于G

AF=AB

FG=—AB

2

FG1_1

从而AB22

〈二〉构造直角三角形

3、已知AABC中，AB=8,AC=7,BC=6,求aABC的面积。

分析：当问题中没有垂直关系时，往往需要主动构造直角三角形，进一步建立方程求解.

解：作CE_LAB,交AB于E,

设AE=x,则BE=8-x,由勾股定理

CE2=49-?=36-(8-x)2

解得x=4.8

CEW

所以5

因此，^ABC的面积是5

4、己知aABC中，ZB=30°,ZC=45",AB-AC=2-应，求BC的长。

解：作AD_LBC,交BC于D。

由于/B=30°,ZC=45°

因而AC=J2ADAB=2AD

又：AB-AC=2-^2

2AD-j2AD=2-y[2

：.40=1

进一步有CD=',BD=43

BC=1+上。

5、已知：如图，AB=AC=20,BC=32,D为BC边上一点，ZDAC=90°.求BD的长.

解：过A作AE_LBC于E,设BD=x

则DE=16-x,CD=32-x,

在直角三角形ADE和直角三角形ACD中,

.4D2=122+(16-X)2=(32-X)2-202

解得工=7

所以BD的长为7.

〈三〉勾股定理与变换

在图形变换中经常需要借助勾股定理解决问题，而利用图形变换也能揭示勾股定理的产

生过程.

6、(2004年荆州中考)一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一

种证明方法。如图，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到月的位置，连结CC,设AB=a,

BC=b,AC=c,请利用四边形的面积证明勾股定理。

分析：本题涉及到旋转变换的对应关系，注意找准对应边，对应角.

证明：四边形BCC'O'的面积

111

=++5)3+小)=(a20+2ab+b20)

另一方面，四边形。'的面积

3CC'+SMBC+S44C

=-ab-{--ab^-AC2

222

联立，得AC2=a2+b\

即ACt=ABi+BC2

7、AABC中，CD是AB边上的中线，AC=8,BC=6,CD=5,判断AABC的形状。

分析：本题考虑到CD是中线，所以倍长中线，相当于作一个中心对称.

解：延长CD至E,使得CD=DE.连接BE.

由于四边形ACBE的对角线互相平分，因而它是一个平行四边形.

BE=AC=8CD=DE=5

贝BC=6,BE=8,CE=10

从而三角形CBE是一个直角三角形，因而平行四边形ACBE是矩形.

二ZACB=90°.

所以AABC是直角三角形.

〈四〉面积法与代数计算证明几何问题

面积法：利用垂直关系去分析图形面积之间的关系，是平面几何的一个重要方法.

&y+（&）2=i

8、设瓦，%,也表示三角形的三条高，如果&&，那么这个三角形是

什么三角形？

解：设三角形对应的三条边分别为a,b,c.

—ah,=—bh2=—ch,=

由三角形的面积222

/.三角形是一个直角三角形。

9、证明：直角三角形的斜边与斜边上的高的和大于两直角边之和。

证明：假设直角三角形ABC,ZC=90°,对应三边长为a,b,c,斜边上的高为h.

ab=chc2=a2+

...（0+&）2-（0+32

=C?+勿力—一说一厅

=a2+2ab+h2-a2-2ab-^

步

>0

/.c+h>a+b

二、体会勾股定理的意义，学会代数计算证明几何问题:

勾股定理提供了一种利用代数方法证明几何问题的思想。

10、如图4ABC中，ZC=90°,M是CB的中点，MD1AB于D,请说明三条线段

AD、BD、AC总能构成一个直角三角形。

证明：设MC=MB=x,

：DM±AB

X2-54=地）2A

连接AM,ZC=90°

：.^+AC2=AM2,AD2+MD2=AM2

因此X2+/C2=<Z）2+MZ>2

=ADi+xi-BDi

AC2+8^=AD

AF=-AD

11、正方形ABCD的边长为4,E为AB中点,4,求证:CE1EFa

AE=­aAF=­a

证明：连接CF,设正方形边长为a,则2,4

BE=-a

2BC=a

CS=Ta

3

DF=-a

4CD=a

CF=-a

A

vCF2=EF2+CE2

CSLCF.

12、（1）已知：如图，CD1AB,OA>OB,

求证：①202+方斤=工斤+5(72；②工,2-属2=工疗一ED2。

(2)运用(1)的结论可以证明下列命题：

己知：如图，设M是△ABC内部任意一点，1于G,阳，BC于K,他尸，C4

于H,BD=BE,CE=CF,求证：AD=AF。

(1)证明：*.*CDXAB

^C2+BD3=O42+OC1+OB1+01)2

=+。02)+(。产+0©2)

=AD2+BC2

移项可得，-BC2=ADi-BDi

(2)证明：,/AB1DM

BD2+AM2=AD2+BM2

同理CE2+BM2=B£2+CM2

AF^+CM^=CF2+AM2

三式相加，得

期+邱2+次+BM2+AF2+CM2=AEP+BM^BE^CM^+CF^AM2

又因为BD=BE,CE=CF,

AD=AF

〈五〉图形的割、补与拼图

13、已知：如图，四边形ABCD中，AB=3,BC=4,CD=5,AD=5应，ZB=90°,

求四边形ABCD的面积。

解：连接AC,可求乂4=5应

第13题图

_1..25

iCD=-x5x5=y^=6

:.Si^ABCtD=1&5

14、一块四边形的草地ABCD,其中NA=60°,ZB=ZD=90°,AB=20m,CD=10m,

求这块草地的面积。

解：延长AD、BC,交于点E。A

,//A=60。

AZE=300

又,//cap=503

；^JLABOD=[50>^第14题困

15、有十字形，它由五个全等的边长为1正方形组成，如图所示，你能把它切成三块,

拼成一个长是宽的2倍的长方形吗?（先计算，再拼图）

解:先按面积计算可知矩形的较长边为而，从原图中寻找长为而的线段AC或BD,

再以此为基础进行剪切拼图.如下图.

第15题困I第15题困

〈六〉运动

16、如图，M是RtZ\ABC斜边AB的中点，P、Q分别在AC、