高三数学一轮复习 3-6二倍角的三角函数随堂训练 文 苏教版

第6课时二倍角的三角函数一、填空题1．(江苏省高考命题研究专家原创卷)若eq\f(cos2α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))))＝－eq\f(\r(2),2)，则cosα－sinα的值为________．解析：eq\f(cos2α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))))＝eq\f(cos2α－sin2α,\f(\r(2),2)(sinα＋cosα))＝eq\r(2)(cosα－sinα)＝－eq\f(\r(2),2)⇒cosα－sinα＝－eq\f(1,2).答案：－eq\f(1,2)2．已知α是第一象限的角，且cosα＝eq\f(5,13)，则eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))),cos(2α＋4π))的值为________．解：∵α是第一象限的角，cosα＝eq\f(5,13)，∴sinα＝eq\f(12,13).∴eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))),cos(2α＋4π))＝eq\f(\f(\r(2),2)(sinα＋cosα),cos2α)＝eq\f(\f(\r(2),2)(sinα＋cosα),cos2α－sin2α)＝eq\f(\f(\r(2),2),cosα－sinα)＝eq\f(\f(\r(2),2),\f(5,13)－\f(12,13))＝－eq\f(13\r(2),14).答案：－eq\f(13\r(2),14)3．(江苏省高考名校联考信息优化卷)若函数f(x)＝sin(x＋α)－2cos(x－α)是偶函数，则cos2α＝________.解析：∵f(x)＝(cosα－2sinα)sinx＋(sinα－2cosα)cosx，故cosα－2sinα＝0，cosα＝2sinα，∴cos2α＋sin2α＝5sin2α＝1，即sin2α＝eq\f(1,5)，cos2α＝1－2sin2α＝eq\f(3,5).答案：eq\f(3,5)4．若cos(α＋β)＝eq\f(1,5)，cos(α－β)＝eq\f(3,5)，则tanα·tanβ＝________.解析：∵cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝eq\f(1,5)①cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝eq\f(3,5)②由①②解得cosαcosβ＝eq\f(2,5)，sinαsinβ＝eq\f(1,5)，则tanαtanβ＝eq\f(sinαsinβ,cosαcosβ)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)5．若锐角α、β满足(1＋eq\r(3)tanα)(1＋eq\r(3)tanβ)＝4，则α＋β＝______.解析：∵(1＋eq\r(3)tanα)(1＋eq\r(3)tanβ)＝4，∴1＋eq\r(3)(tanα＋tanβ)＋3tanαtanβ＝4，即tanα＋tanβ＝eq\r(3)(1－tanαtanβ)．∴tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\f(\r(3)(1－tanαtanβ),1－tanαtanβ)＝eq\r(3).又∵0<α＋β<π，∴α＋β＝eq\f(π,3).答案：eq\f(π,3)6．(江苏扬州模拟)函数y＝sinx＋eq\r(3)cosx，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，π))的值域是________．解析：∵y＝sinx＋eq\r(3)cosx＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3))).又∵eq\f(π,6)≤x≤π，∴eq\f(π,2)≤x＋eq\f(π,3)≤eq\f(4π,3).结合正弦函数的图象与性质得：－eq\f(\r(3),2)≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))≤1.∴－eq\r(3)≤2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))≤2.答案：[－eq\r(3)，2]二、解答题7．若函数f(x)＝eq\f(1＋cos2x,4sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋x)))－asineq\f(x,2)·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(x,2)))的最大值为2，试确定常数a的值．解：f(x)＝eq\f(2cos2x,4cosx)＋asineq\f(x,2)coseq\f(x,2)＝eq\f(1,2)cosx＋eq\f(a,2)sinx＝eq\r(\f(1,4)＋\f(a2,4))sin(x＋φ)，其中角φ满足sinφ＝eq\f(1,\r(1＋a2)).由已知，有eq\f(1,4)＋eq\f(a2,4)＝4.解之得a＝±eq\r(15).8．已知sinx＋cosx＝－eq\f(1,5)(135°<x<180°)．求eq\f(2sinx,cosx－sinx－cos3x＋sin3x)的值．解：∵sinx＋cosx＝－eq\f(1,5)，∴1＋2sinxcosx＝eq\f(1,25).即1＋sin2x＝eq\f(1,25)，∴sin2x＝－eq\f(24,25).又∵270°<2x<360°，∴cos2x＝eq\f(7,25).∴原式＝eq\f(2sinx,cos(2x－x)－sin(2x－x)－cos(2x＋x)＋sin(2x＋x))＝eq\f(2sinx,2sin2x·sinx＋2cos2x·sinx)＝eq\f(1,sin2x＋cos2x)＝－eq\f(25,17).9．已知△ABC的面积为3，且满足0＜AB·AC≤6.设AB和AC的夹角为θ.(1)求θ的取值范围；(2)求函数f(θ)＝2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋θ))－eq\r(3)cos2θ的最大值与最小值．解：(1)设△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，则由已知条件可得eq\f(1,2)bcsinθ＝3,0＜bccosθ≤6，可得tanθ≥1，又∵θ∈(0，π)，∴θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2))).(2)f(θ)＝2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋θ))－eq\r(3)cos2θ＝1－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2θ))－eq\r(3)cos2θ＝1＋sin2θ－eq\r(3)cos2θ＝sin2θ－eq\r(3)cos2θ＋1＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ－\f(π,3)))＋1.∵θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，2θ－eq\f(π,3)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))，∴2≤2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ－\f(π,3)))＋1≤3.即当θ＝eq\f(5π,12)时，f(θ)max＝3；当θ＝eq\f(π,4)时，f(θ)min＝2.1．(江苏淮阴模拟)已知：f(x)＝2cos2x＋2eq\r(3)sinxcosx＋a(a∈R，a为常数)．(1)若x∈R，求f(x)的最小正周期；(2)若f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,3)))上最大值与最小值之和为3，求a的值．解：f(x)＝1＋cos2x＋eq\r(3)sin2x＋a＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋a＋1.(1)f(x)的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π.(2)由x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,3)))知2x＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))，∴－eq\f(1,2)≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))≤1，∴－1≤2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))≤2，∴f(x)max＝2＋a＋1，f(x)min＝－1＋a＋1，∴2a＋3＝3，解得a2．已知函数f(x)＝eq\f(1－\r(2)sin(2x－\f(π,4)),cosx).(1)求f(x)的定义域；(2)设α是第四象限的角，且tanα＝－eq\f(4,3)，求f(α)的值．解：(1)由cosx≠0，得x≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，故f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}．(2)∵tanα＝－eq\f(4,3)且α是第四象限的角，∴sinα＝－eq\f(4,5)，cosα＝eq\f(3,5).∴f(α)＝eq\f(1－\r(2)sin(2α－\f