选修1-2高中数学第二章章末检测

第二章章末检测

一.选择题

1.（2014•北京）设｛4｝是公比为q的等比数列，则“q>l”是“｛4｝为递增数列”

的（）

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

2.（2015•福建）一个二元码是由0和1组成的数字串不用…其中《（4

=1,2,…，〃）称为第A位码元.二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有

时会发生码元错误（即码元由0变为1,或者由1变为0）.

已知某种二元码荀及…吊的码元满足如下校验方程组：

Xi㊉㊉&;㊉石=0，

及㊉为㊉々㊉汨=0,

X\㊉天㊉舄㊉汨=0，

其中运算㊉定义为030=0,0©l=b1㊉0=1,1©1=0.

现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第A位发生码元错误后变成了1101101,

那么利用上述校验方程组可判定左等于.

A.4B.5C.6D.7

3.（2014•福建）若集合｛a,b,c,力=｛1,2,3,4｝,且下列四个关系:

①a=l；②6W1；③c=2；④dW4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序

数组（a,b,c,中的个数是.

A.5B.6C.7D.8

4.（2016•湖北黄冈八校联考）有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5

号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,

6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6号选手都不可能获得第一

名.比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此

人是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

5.用数学归纳法证明"(〃+1)(〃+2)…(〃+〃)=2"・1・3.......(2/7-1)",从

到〃=A+1”左端需增乘的代数式为（）

A.2（2A+1）B.2A+1

24+124+3

f--------D--------

A+lk+1

6.（2016•山东济宁模拟）下面给出了四个类比推理：①a,b为实数，若a'+N

=0,则a=Z>=0；类比推出：Z”Z2为复数，若4+z；=0,则©=Z2=0；

②若数列｛4｝是等差数列，4=入国+&+…+a〃），则数列｛4｝也是等差数列；类

n

比推出：若数列｛&,｝是各项都为正数的等比数列，上=%©•••/,则数列｛㈤也

是等比数列；

③若a,b,f?GR,则（a6）c=a（bc）；类比推出：若a,6,c为三个向量，则（a•8）,c

=a•（8・c）；

④若圆的半径为a,则圆的面积为口输类比推出：若椭圆的长半轴为搐短半

轴长为b,则椭圆的面积为"ab.

上述四个推理中，结论正确的是（）

A.①②B.②③

C.①④D.②④

7.（2016•江西临川模拟）定义—为A个正数n，R,…，4的”均倒

A+AH-----HA

数”，若已知数列｛4｝的前〃项的“均倒数”为:，又b产篙则7V+7V+…

5〃5b\kh,从从

+4=（）

hobu

AgC-口口

17192123

8.（2016•北京）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三

个空盒，每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红

球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球

都被放入盒中，则（）

A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球

B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多

C.乙盒中红球不多于丙盒中红球

D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多

9.（2016•北京）某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和

决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.

学生

12345678910

序号

立定

跳远

（单1.961.921.821.801.781.761.741.721.681.60

位：

米）

30秒

跳绳

（单63a7560637270a—1b65

位：

次）

在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30

秒跳绳决赛的有6人，则（）

A.2号学生进入30秒跳绳决赛

B.5号学生进入30秒跳绳决赛

C.8号学生进入30秒跳绳决赛

D.9号学生进入30秒跳绳决赛

10.（2016•广东佛山模拟）宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉

鉴》卷中“菱草形段”第一个问题，“今有菱草六百八十束，欲令'落一形'（同

垛）之，问底子（每层三角形边菱草束数，等价于层数）几何？”中探讨了“垛积

术”中的落一形垛（“落一形”即是指顶上一束，下一层三束，再下一层6束，…,

成三角锥的堆垛，故也称三角垛，如图，表示第二层开始的每层菱草束数），则

本问题中三角垛底层菱草总束数为（）

A.105B,120C.136D.153

11.（2015•山东威海模拟）对大于1的自然数加的三次幕可用奇数进行以下方式

「13

J3J715

的“分裂”3^9,*I7，…仿此，若序的“分裂”数中有一个是2015,

11L19

则加的值为（）

12.（2016•四川）在平面直角坐标系中，当尸（筋力不是原点时，定义P的“伴

随点”为点（忐'当尸是原点时，定义P的“伴随点”为它自身，

平面曲线。上所有点的“伴随点”所构成的曲线C定义为曲线。的“伴随曲

线”.现有下列命题：

①若点力的“伴随点”是点4,则点的“伴随点”是点4②单位圆的“伴

随曲线”是它自身；③若曲线。关于x轴对称，则其''伴随曲线关于y轴

对称；④一条直线的“伴随曲线”是一条直线.

其中的真命题是（）

A.①②B.②③C.③④D.②④

二.填空题

13.（2016•全国H）有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙

三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是

2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1"，丙说：“我

的卡片上的数字之和不是5"，则甲的卡片上的数字是.

14.（2015•山东）观察下列各式：

C?=4°；

Cs+C；=4l;

c+c+d；

C?+C；+C?+C?=43；

照此规律，当〃GN*时，cL)+CL-.4-CL.+-+瑞」=.

15.(2014•陕西)观察分析下表中的数据：

多面体面数㈤顶点数棱数㈤

三棱柱569

五棱锥6610

立方体6812

猜想一般凸多面体中E匕6所满足的等式是.

16.(2015•湖北黄冈模拟)对于集合吃{1,2,3,…，〃}和它的每一个非空子

集，定义一种求和称之为“交替和”如下：如集合{1,2,3,4,5}的交替和是

5-4+3-2+1=3,集合闭的交替和为3.当集合N中的〃=2时，集合”={1,

2}的所有非空子集为{1},{2},{1,2},则它的“交替和"的总和S=l+2+(2

-1)=4,请你尝试对〃=3,〃=4的情况，计算它的“交替和”的总和SS”

并根据计算结果猜测集合川={1，2,3,…，〃}的每一个非空子集的“交替和”

的总和5=(不必给出证明).

三.解答题

17.(2016•江苏)⑴求7CA4C；的值；

⑵设加，〃£N*,n2/n,求证：

(/z?+l)C：+(/zz+2)C>।+(加+3)O+…++(〃+1)C：=(m+1)C窜.

18.（2016•广东珠海模拟）定义max｛a,6｝表示实数a,6中的较大的数.已知数

列｛4｝满足a=a（a>0）,生=1,若4+2=空"工,记数列的前项

an

和为S,求S°I6的值。

19.（2015•广东模拟）已知〃，MN*,且AW），心心,则可推出C,+2c计

3C：+…+AC:+…+/JC：=〃（C3+C3+…C3+…最二：）=〃・2"，由此，求C+

22C^+32@+…+〃&+…+i/Cno

20.(2016•福建漳州模拟)已知集合¥=｛街，物…，x〃｝(〃eN*,〃23),若数

列｛%,｝是等差数列，记集合户(a=

｛x\x—Xi+xj,Xi,XjRX,\Wi£jWn,i,J^N｝的元素个数为|P(才|,求

I尸(万|关于n的表达式。

21.(2015•江苏)设a”a,国是各项为正数且公差为d(tMO)的等差数列.

(1)证明：2a“2a2,2包，2&依次构成等比数列；

⑵是否存在团，d,使得a“公贰"依次构成等比数列？并说明理由；

(3)是否存在囱,d及正整数〃，k,使得a；,a*,a**,ar”依次构成等比数歹U?

并说明理由.

22.(2015•江苏)已知集合¥={1,2,3},匕={1,2,3,…，〃}(〃£“)，设

$={(a,吩|a整除6或6整除a,aW才，66匕},令f(〃)表示集合S所含元素

的个数.

(1)写出/'(6)的值；

⑵当〃26时，写出/'(〃)的表达式，并用数学归纳法证明.

2

23.(2015•安徽淮南模拟)已知函数£(x)=FY，£+i(x)=/；(£(%)),且晶=

x+1

f„(0)-1

fn(0)+2'

⑴求证：｛a｝为等比数列，并求其通项公式；

(2)设bn=(J)—,g(z?)=l+1+：H---l--(/7eN*),求证：

参考答案

fSi>0,fai<0,

1.D[等比数列｛4｝为递增数列的充要条件为或八故“g>l”是

“｛4｝为递增数列”的既不充分也不必要条件.故选D.]

2.B[(i)%)ffi^5©Ab©A?=1©1㊉031=1,(宜)尼3抵3*6a^=130啰031=0；

(iii)耳㊉吊㊉毛㊉历=1㊉0㊉1㊉1=1.由(i)(山)知天，历有一个错误，(ii)中没

有错误，...后错误，故A等于5.]

3.B[根据题意可分四种情况：

(1)若①正确，则a=l,8=1,cW2,d=4,符合条件的有序数组有0个；

(2)若②正确，则aWl,bWl,c丰2,d=4,符合条件的有序数组为(2,3,1,

4)和(3,2,1,4)；

(3)若③正确，则aWl,b=\,c=2,d=4,符合条件的有序数组为(3,1,2,

4)；

(4)若④正确，则aWl,b=l,c丰2,d#4,符合条件的有序数组为(2,1,4,

3),(4,1,3,2),(3,1,4,2).所以共有6个.故答案为6.]

4.D[因为只有一人猜对，若甲猜对，则乙错，即3号选手也得第一名，与题

设矛盾；若乙猜对，则甲、丙、丁都错，由甲、丁错可知，6号选手得第一名；

与丙错矛盾；若丙猜对，则乙错，与题设矛盾，所以猜对者一定是丁，故选D.]

5.A[当z;=A时，左侧=(A+1)(A+2)…(A+A),当〃=4+1时，左侧=(A+1

+1)(4+1+2)…(A+1+为(4+l+A+l)=(4+2)(4+3)…(A+l+A)(A+1+A

(4+1+4)(4+1+4+1)

+1),故新增项为=2(24+1),故选A.]

k+1

6.D[①中类比得到|z』=1Z2|=0,故错误，③中向量的数量积不满足结合律,

故错误.]

[由题意'%+二.••+&,$，•••&+包+…+晶=5小

7.C则国=5,4=(2

+包+・，，+&)­(&+@2+3+劣-1)=5n—5(〃-1)2=5(2〃—1)+22),而&=5

也适合上式,.•.4=5(2〃-1),4=2n-l,她,+|=>2〃一1一2〃十1

10,小“

J-J-亓，故选

bb+b2bs

C.]

8.B[取两个球往盒子中放有4种情况：

①红十红，则乙盒中红球数加1个；

②黑+黑，则丙盒中黑球数加1个；

③红十黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1个；

④黑+红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加1个；因为红球和黑球个数一样,

所以①和②的情况一样多.③和④的情况随机，③和④对B选项中的乙盒中的红

球与丙盒中的黑球数没有任何影响，①和②出现的次数是一样的，所以对B选项

中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数的影响次数一样.综上选B.]

9.B[由数据可知，进入立定跳远决赛的8人为：1〜8号，所以进入30秒跳绳

决赛的6人需要从1〜8号产生，数据排序后可知第3,6,7号必须进跳绳决赛,

另外3人需从63,a,63,60,a—1四个得分中抽取，若63分的人未进决赛,

则60分的人就会进入决赛，与事实矛盾，所以63分必进决赛.故选B.]

10.B[由题意，第〃层菱草数为1+2+…,

乙

....n(z?+l)

・・・1+3+6+…+——-——=680,

乙

即为(〃+l)(2z?+l)+义〃(〃+1)=上〃(〃+1)(〃+2)=680,

即有/7(7?+1)(n+2)=15X16X17,

/./7=15,=120.故答案为:120.]

乙

11.45[由题意，从2,至IJ序，正好用去从3开始的连续奇数共2+3+4+…+/

=(加+21(加T)个,2015是从3开始的第1007个奇数，

46X43

当加=44时，从2,到44、用去从3开始的连续奇数共=989个.

47X44

当加=45时，从2,到45：',用去从3开始的连续奇数共^^=1034个.]

12.B[①设/的坐标(X,力，伴随点〃后了，7+7

—x

2।~2

A'的伴随点横坐标为;————3=一无同理可得纵坐标为一片故

\x+y)\x+y)

A"(—x,-y),错误；

②设单位圆上的点尸的坐标为(cose,sin，)，则尸的伴随点的坐标为

P'(sin0,—cosJ),则有sir?。+(—cos。=1,

所以〃也在单位圆上，即单位圆的''伴随曲线”是它自身，②正确；

③设曲线。上点4的坐标(x,y),其关于x轴对称点4(x,一力也在曲线。上,

所以点/的伴随点/屏)，丁霜，

点4的伴随点4'f?，7^7}A'与4'关于y轴对称•③正确；

④反例：例如y=l这条直线，则4(0,1),8(1,1),c(2,1),而这三个点的

伴随点分别是小(1,0),8g—斗，C—I),而这三个点不在同一直

线上，下面给出严格证明:

设点Hx,力在直线/：Ax+By+C=Ok,P点的伴随点为尸'(如加,

y一7

X一百，

则《解得《

—X吊

yo=7+7,

代入直线方程可知：A21^2+B-.+C=0,

用十Jb吊十Jb

化简得：一/为+3吊+。(者+或)=0,

当。=0时，。(岔+陶是一个常数，P'的轨迹是一条直线；

当CW0时，。a十曲不是一个常数，P'的轨迹不是一条直线.

所以，直线''伴随曲线"不一定是一条直线.④错误.]

13.1和3[由丙说：“我的卡片上的数字之和不是5"可知，丙为“1和2”或

“1和3”，又乙说“我与丙的卡片上相同的数字不是1"，所以乙只可能为“2

和3”，所以由甲说“我与乙的卡片上相同的数字不是2"，所以甲只能为“1

和3”.]

14.4"-1[观察等式，第1个等式右边为4°=4一，

第2个等式右边为4'=42-1,第3个等式右边为42=437,

第4个等式右边为4:!=4,-,所以第〃个等式右边为4"丁]

15.F+V-E=2[因为5+6—9=2,6+6-10=2,6+8-12=2,故可猜想少

+—£=2.]

16.n-2"-1[5=1,$=4,当〃=3时，^=1+2+3+(2-1)+(3-1)+(3-

2)+(3—2+1)=12,

51=1+2+3+4+(2—1)+(3—1)+(4—1)+(3—2)+(4—2)+(4—3)+(3—2

+1)+(4-2+1)+(4-3+1)+(4-3+2)+(4-3+2-1)=32,

,根据前4项猜测集合”={1,2,3,…，〃}的每一个非空子集的“交替和”的

总和S=〃-2"T,故答案为：〃・2「］

17.（1）解7c—4C；=7X20—4X35=0.

⑵证明对任意的加，nGN*,n>m,

①当〃=加时，左边=（加+i）a=/+i,

右边=（/»+l）C韦=zzrH,原等式成立.

②假设n=k（k》而时命题成立.

即（zz?+l）C：+（而+2）CM+E+3）C7+…+AC"+（A+1）C：=E+1）C甯，

当n=4+1时,

左边=OM）C：+（而+2）CH+（加+3）C12+…+ACL+（A+1）C：+（A+2）C3=

（而+DC窜+（A+2）C*,

右边=（/z?+l）C求.

而（而+Dc比一（加+Dc求

_F_______（什3）!_______（什2）!-

=（"D（加+2）!（k—m+1）!―（加+2）!（A—加！_

（A+2）!

=（加+1）X（勿+2）!（Aj+1）!［（什3）-（A-加+1）］

=夕+2）加（k—m+1）!=（A+2）C*'

（而+DC求+（A+2）C3=（而+DC汽，

.•.左边=右边.

即m=A+1时命题也成立.

综合①②可得原命题对任意例）6N*,加均成立.

4

18.［由题意备=一，当aN2时，A=4,科=2a,%=a,a=l,因此｛a』是周期

a7

g

数列，周期为5,所以^2oi5~不合题意；当aV2时，a=-,a=4,

a

为=H,e=1,同理｛4｝是周期数列，周期为5,所以a015=a=4=4司，H=l,

-=

Si+32Ha34~4-S518,$016=403X18+1=7255.］

19./?（/?+1）•2"-2©+2簿+3管+…+片C+…+//C：=〃（C：LI+2cL+…+

AC=；+…+M7；）

=〃［（C3+C3+…+C3H---FC］；）+（Ci-i+2Cn-iH---F（A—1）C、；+…+（〃一

1)图)].]

20.2/7-3[当A=3时，集合才中有3个元素成等差数列，|P⑶|=《=3,

当〃=4时，集合乃中含有4个元素成等差数列，由于X+%=X+%,防(乃|=

Ci-1=5,

当〃=5时，集合乃中有4个元素成等差数列，由于％+%=莅+%，

%+%=%+%,4+%=%+%,|尸(切|=戏―3=7,

可见形成一个等差数列，根据等差数列通项公式，按照归纳推理可知：当才有〃

个元素时，|尸⑶|=3+(a-3)X2=2〃-3.]

2o

21.(1)证明因为”=2%+1-4=2"(〃=1,2,3)是同一个常数，所以2&,2&,

2晶

2a2国依次构成等比数列，

(2)解不存在，理由如下：

令ai+d=a,则a”a2,a3,当分别为a—d,a,a+d,a+2d(a>d,a>—2d,

d#0),

假设存在a,d,使得原ata：依次构成等比数列，

则a''=(a—中(a+#3,且(a+C=a2(a+2〃.

令t=\则1=(1一力(1+O',且(1+%)6=(l+2l)(—；<1V1,1#0),

化简得-+2/—2=0(*),且/=t+1.

将「=£+1代入(*)式，

t(t-\~1)+2(t+1)—2=d+31—t~\~1+31=41-\~1—0,

则z=-；.

显然匕=一"不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立.

因此不存在a,d,使得a”£a：,a：依次构成等比数列.

(3)解不存在，理由如下：

假设存在团，d及正整数〃，k,使得a：,a*,a**,af依次构成等比数列,

则a；(ai+2"+2"=(ai+◎2E,且(&十由底*(囱+3/+3*=(囱+2中2<〃+2*

分别在两个等式的两边同除以若""及a："?*〉

并令力=3/[#o），

则（1十21严2*=（1+。2~）

且(1+力(1+3/(1+2。2也

将上述两个等式两边取对数，

得(〃+2A)In(1+21)=2(〃+A)ln(l+t),

且(A+A)ln(l+t)+(A+3A)ln(l+3t)=25+2A)ln(l+2。.

化简得2A[ln(l+2力-ln(l+t)]=421n(l+t)—ln(l+2t)],

且3A[In(1+3。—ln(l+%)]=〃[31n(l+t)—ln(l+3t)].

再将这两式相除，化简得

ln(l+3t)ln(l+2t)+31n(l+2t)ln(l+t)=41n(l+3t)ln(l+t)(**).

令g&)=41n(l+3Z)ln(l+l)—ln(l+3£)ln(l+2。一

31n(l+2t)ln(l+t),

则g'(t)=

2[(1+302ln(1+30-3(1+202ln(1+2/：)+3(1+02In(1+t)]

(1+t)(l+2t)(l+3t)

令0(。=(l+3t)-ln(l+3t)—3(1+2t)-ln(l+2t)+3(1+t)2ln(1+t),

则”(t)=6[(l+3t)ln(l+3t)-2(l+2t)ln(l+2t)+(l+t)ln(l+t)].

令00=0'(t),则<P\'(t)=6[31n(l+3t)—41n(l+2t)+ln(l+1)].

12

令血⑺=°「⑺，则弧'(r)=(1+f)(1+20(1+3f)>0.

由g(0)=0(0)=0|(0)=02(0)=o，0'2(1)>0，

知血⑺，,0(1)，g(t)在卜/°)和(°，+8)上均单调.

故g(t)只有唯一零点2=0,即方程(**)只有唯一解t=0,故假设不成立.

所以不存在a,d及正整数〃，k,使得H,盘,a**,a：+”依次构成等比数列.

22.解(1)%={1,2,3,4,5,6),W中的元素(a,8)满足：

若a=l,则6=1,2,3,4,5,6；若a=2,则6=1,2,4,6；

若a=3,则6=1,3,6.所以f(6)=13.

⑵当时，

\n,n\

77+2+|-+-l,77=6t,

77=6t+1，

(n77—2]

〃+2+[,+——p〃=6z+2,

F(〃)=\(tGN,).

,(n-1,n\

n+2+12+§J，n=6Z+3,

"+2+.|(jn+,n—31

,z?=6t+4,

〃+2+n=6f+5

下面用数学归纳法证明:

66

①当〃=6时，f（6）=6+2+-+-=13,结论成立；

乙0

②假设〃=A（A，6）时结论成立，那么〃=A+1时，£+1在£的基础上新增加的元

素在（1,4+1）,（2,4+1）,（3,4+1）中产生，分以下情形讨论：

1）若A+l=6£,则A=6（£—1）+5,此时有

k—1k—2

AA+D=/W+3=A+2+^—+——+3

乙O

=(A+1)+2+—7—+^—,结论成立;

乙O

2)若A+1=6Z+1,则A=6£,此时有

kk

f(4+l)=f(A)+l=Zr+2+-+-+l

乙o

(A+l)-1(A+l)-1

=(A+1)+2T结论成立;

23

3)若A+l=6%+2,则A=6t+L此时有

k—ik—1

AA+1)=/U)+2=k+2+——+——+