沪教版九年级上册数学专题训练专题05由三角函数值求锐角重难点专练(原卷版+解析)

专题05由三角函数值求锐角重难点专练（原卷版）第I卷（选择题）一、单选题1．(2023·上海金山区·九年级一模）若是锐角，，那么锐角等于（）A． B． C． D．2．(2023·上海九年级专题练习）如果一个正多边形的外角为锐角，且它的余弦值是，那么它是（）A．等边三角形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十二边形3．(2023·上海九年级专题练习）若cosα＝，则锐角α的度数是（）A．30° B．45° C．60° D．90°4．(2023·上海浦东新区·九年级月考）等腰三角形一腰上的高与腰长之比为，则等腰三角形顶角的度数为（）A． B． C．或 D．或5．(2023·上海浦东新区·九年级期中）已知∠A为锐角，且sinA＝，那么∠A等于（）A．15° B．30° C．45° D．60°第II卷（非选择题）二、解答题6．(2023·上海九年级专题练习）如图，已知是的弦，点在⊙O上，且，联结、，并延长交弦于点，，．（1）求的大小；（2）若点E在⊙O上，，求的长．7．(2023·上海九年级专题练习）如图，已知AB是⊙O的弦，点C在⊙O上，且，联结AO，CO，并延长CO交弦AB于点D，AB＝4，CD＝6．（1）求∠OAB的大小；（2）若点E在⊙O上，BEAO，求BE的长．8．(2023·上海九年级专题练习）定义一种新运算：．例如：．（1）求的值；（2）已知，算式“”的最终结果是1，“●”部分的值和相等，且，求锐角的值．9．(2023·上海九年级专题练习）在锐角三角形ABC中，若sinA＝，B＝75°，求cosC的值．10．(2023·上海普陀区·九年级一模）如图1，的余切值为2，，点D是线段上的一动点（点D不与点A、B重合），以点D为顶点的正方形的另两个顶点E、F都在射线上，且点F在点E的右侧，联结，并延长，交射线于点P．（1）点D在运动时，下列的线段和角中，________是始终保持不变的量（填序号）；①；②；③；④；⑤；⑥；（2）设正方形的边长为x，线段的长为y，求y与x之间的函数关系式，并写出定义域；（3）如果与相似，但面积不相等，求此时正方形的边长．11．(2023·上海浦东新区·八年级期末）如图1，在中，，，AB=4,点是边上动点（点不与点、重合），过点作，交边于点.（1）求的大小；（2）若把沿着直线翻折得到，设①如图2，当点落在斜边上时，求的值；②如图3，当点落在外部时，与相交于点，如果，写出与的函数关系式以及定义域.12．(2023·上海）在平面直角坐标系中，如图，抛物线（、是常数）经过点、，与轴的交点为点．（1）求此抛物线的表达式；（2）点为轴上一点，如果直线和直线的夹角为15º，求线段的长度；（3）设点为此抛物线的对称轴上的一个动点，当△为直角三角形时，求点的坐标．三、填空题13．(2023·上海九年级专题练习）已知一条斜坡的长度是10米，高度是6米，那么坡角的角度约为_______．（备用数据tan31°=cot59°≈0.6，sin37°=cos53°≈0.6)14．(2023·上海九年级专题练习）中，，，，对角线AC，BD交于点O，将绕点O顺时针旋转，使点D落在AD上处，点C落在处，交AD于点P，则的面积是___________．

15．(2023·上海九年级专题练习）△ABC中，，，则△ABC的形状是___________．16．(2023·上海市静安区实验中学九年级课时练习）（1）若，则锐角=____________；（2）若，则锐角=____________；17．(2023·上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，b＝20，c＝20，则∠B的度数为_______.18．(2023·上海市静安区实验中学九年级课时练习）若sin30°=cosB，那么∠B=________°．19．(2023·上海九年级专题练习）如果，那么锐角的度数是____________.20．(2023·上海嘉定区·）已知一个斜坡的坡度，那么该斜坡的坡角的度数是______．21．(2023·上海浦东新区·）若α为锐角，已知cosα=，那么tanα=________.22．(2023·上海九年级专题练习）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AC，那么∠A=____度．专题05由三角函数值求锐角重难点专练（解析版）第I卷（选择题）一、单选题1．(2023·上海金山区·九年级一模）若是锐角，，那么锐角等于（）A． B． C． D．答案:B分析：由sin45°=可得=45°即可确定．【详解】解：∵sin45°=，，是锐角∴=45°，即=30°．故选：B．【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值确定=45°成为解答本题的关键．2．(2023·上海九年级专题练习）如果一个正多边形的外角为锐角，且它的余弦值是，那么它是（）A．等边三角形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十二边形答案:D分析：先根据一个外角的余弦值是，求出一个外角的度数，再利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出答案．【详解】∵一个外角为锐角，且其余弦值为，∴这个一个外角=30°，∴360÷30=12．故它是正十二边形．故选：D．【点睛】此题主要考查了多边形的外角和及特殊角的三角函数值，利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出答案．3．(2023·上海九年级专题练习）若cosα＝，则锐角α的度数是（）A．30° B．45° C．60° D．90°答案:C分析：根据cosα＝，求出锐角α的度数即可．【详解】解：∵cosα＝，∴α＝60．故选：C．【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.4．(2023·上海浦东新区·九年级月考）等腰三角形一腰上的高与腰长之比为，则等腰三角形顶角的度数为（）A． B． C．或 D．或答案:C分析：分三角形是锐角三角形与三角形是钝角三角形两种情况进行讨论，根据高与腰的比可得高所对的角的正弦值，即可求出高所对的角的度数，进而求解即可．【详解】如图1，当三角形ABC为锐角三角形时，AB=AC，BD为腰AC的高，∵=sin∠A，∴∠A=30°，如图2，当△ABC为钝角三角形时，AB=AC，BD为腰AC的高，∵=sin∠BAD，∴∠BAD=30°，∴∠BAC=180°-30°=150°，综上所述，顶角的度数为30°或150°，故选C.【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题关键，注意要分情况讨论，避免漏解而导致出错．5．(2023·上海浦东新区·九年级期中）已知∠A为锐角，且sinA＝，那么∠A等于（）A．15° B．30° C．45° D．60°答案:B【详解】试题分析：∵∠A为锐角，sinA=，∴∠A=30°．故选B．考点：特殊角的三角函数值．第II卷（非选择题）二、解答题6．(2023·上海九年级专题练习）如图，已知是的弦，点在⊙O上，且，联结、，并延长交弦于点，，．（1）求的大小；（2）若点E在⊙O上，，求的长．答案:（1）30°，理由见解析；（2）4，理由见解析．分析：（1）连接OB，证OD垂直平分AB，在中通过解直角三角形可求出的度数；（2）连接OE，证是等边三角形，即可知BE的长度等于半径．【详解】解：（1）如图1，连接OB，∵，∴，∴，∴，∵OA＝OB，∴OD垂直平分AB，∴AD＝BD＝AB＝2，设⊙O的半径为r，则OD＝6−r，在中，，∴，解得：r＝4，∴＝＝，∴，即；（2）如图2，连接OE，由（1）知：，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴是等边三角形，∴．【点睛】本题考查了圆的有关性质，勾股定理，等边三角形性质等知识点，解题关键是牢固掌握并熟练运用圆的有关性质．7．(2023·上海九年级专题练习）如图，已知AB是⊙O的弦，点C在⊙O上，且，联结AO，CO，并延长CO交弦AB于点D，AB＝4，CD＝6．（1）求∠OAB的大小；（2）若点E在⊙O上，BEAO，求BE的长．答案:（1）30°；（2）4分析：（1）连接OB，证OD垂直平分AB，在Rt△AOD中通过解直角三角形可求出∠OAB的度数；（2）连接OE，证△OBE是等边三角形，即可知BE的长度等于半径．【详解】解：（1）如图1，连接OB，∵，∴∠AOC＝∠BOC，∴180°﹣∠AOC＝180°﹣∠BOC，∴∠AOD＝∠BOD，∵OA＝OB，∴OD垂直平分AB，∴AD＝BD＝AB＝2，设⊙O的半径为r，则OD＝6﹣r，在Rt△AOD中，AO2＝AD2+OD2，∴r2＝（2）2+（6﹣r）2，解得，r＝4，∴，∴∠OAD＝30°，即∠OAB＝30°；（2）如图2，连接OE，由（1）知，∠OAB＝30°，∵OB＝OA，∴∠OBA＝∠OAB＝30°，∵EB∥AO，∴∠EBD＝∠OAB＝30°，∴∠EBO＝∠EBD+∠OBA＝60°，∵OE＝OB，∴△OEB是等边三角形，∴BE＝r＝4．【点睛】本题考查了圆的有关性质，勾股定理，解直角三角形等，解题关键是牢固掌握并熟练运用圆的有关性质．8．(2023·上海九年级专题练习）定义一种新运算：．例如：．（1）求的值；（2）已知，算式“”的最终结果是1，“●”部分的值和相等，且，求锐角的值．答案:（1）-5；（2）45°分析：（1）根据已知的式子计算即可；（2）根据已知条件列出式子，再根据计算即可；【详解】解：（1）；（2）∵，∴，∴，，∴，∴．【点睛】本题主要考查了新定义运算，结合三角函数的知识点计算是关键．9．(2023·上海九年级专题练习）在锐角三角形ABC中，若sinA＝，B＝75°，求cosC的值．答案:．分析：先利用特殊角的三角函数值得到∠A的度数，再根据三角形内角和求出∠C的度数，然后根据特殊角的三角函数值求解．【详解】解：∵sinA＝，∴锐角A＝60°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣60°﹣75°＝45°，∴cosC＝cos45°＝．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是熟记几个特殊角的三角函数值．10．(2023·上海普陀区·九年级一模）如图1，的余切值为2，，点D是线段上的一动点（点D不与点A、B重合），以点D为顶点的正方形的另两个顶点E、F都在射线上，且点F在点E的右侧，联结，并延长，交射线于点P．（1）点D在运动时，下列的线段和角中，________是始终保持不变的量（填序号）；①；②；③；④；⑤；⑥；（2）设正方形的边长为x，线段的长为y，求y与x之间的函数关系式，并写出定义域；（3）如果与相似，但面积不相等，求此时正方形的边长．答案:（1）④⑤；（2）；（3）或.分析：（1）作于M，交于N，如图，利用三角函数的定义得到，设，则，利用勾股定理得，解得，即，，设正方形的边长为x，则，，由于，则可判断为定值；再利用得到，则可判断为定值；在中，利用勾股定理和三角函数可判断在变化，在变化，在变化；（2）易得四边形为矩形，则，证明，利用相似比可得到y与x的关系式；（3）由于，与相似，且面积不相等，利用相似比得到，讨论：当点P在点F点右侧时，则，所以，当点P在点F点左侧时，则，所以，然后分别解方程即可得到正方形的边长．【详解】（1）如图，作于M，交于N，在中，∵，设，则，∵，∴，解得，∴，，设正方形的边长为x，在中，∵，∴，∴，在中，，∴为定值；∵，∴，∴为定值；在中，，而在变化，∴在变化，在变化，∴在变化，所以和是始终保持不变的量；故答案为：④⑤（2）∵MN⊥AP，DEFG是正方形，∴四边形为矩形，∴，∵，∴，∴，即，∴（3）∵，与相似，且面积不相等，∴，即，∴，当点P在点F点右侧时，AP=AF+PF==，∴，解得，当点P在点F点左侧时，，∴，解得，综上所述，正方形的边长为或．【点睛】本题考查了相似形综合题：熟练掌握锐角三角函数的定义、正方形的性质和相似三角形的判定与性质．11．(2023·上海浦东新区·八年级期末）如图1，在中，，，AB=4,点是边上动点（点不与点、重合），过点作，交边于点.（1）求的大小；（2）若把沿着直线翻折得到，设①如图2，当点落在斜边上时，求的值；②如图3，当点落在外部时，与相交于点，如果，写出与的函数关系式以及定义域.答案:(1)；(2)①x=1，②，定义域分析：（1）根据正弦的定义求出∠B=30°，根据平行线的性质解答；

（2）根据翻转变换的性质，等边三角形的判定定理得到△AQP为等边三角形，根据等边三角形的性质得到AQ=QP，证明AQ=QC，计算即可；

（3）作QG⊥AB于G，RH⊥AB于H，根据正弦的定义用x表示出QG，证明RE=RB，根据等腰三角形的性质得到EH=y，根据正切的定义计算即可．【详解】解：(1)在Rt△ABC中，∵，AB=4,∴∵∴(2)①如图2，当点落在斜边上时；由翻折得∴∵∴∴∵∴是等边三角形即x=1.②如图3，当点落在外部时，作QG⊥AB于G，RH⊥AB于H，

∵QR∥AB，

∴QG=RH，

在Rt△AQG中，QG=AQ×sinA由翻折的性质可知，∠PRP=∠CRQ=30°，

∵QR∥AB，

∴∠REB=∠PRQ，

∴∠REB=∠B，

∴RE=RB，

∵RH⊥AB，在Rt△ERH中，∴整理得，y=3x，

则y与x的函数关系式为y=3x（0＜x＜1）．【点睛】本题考查的是平行线的性质，翻转变换的性质，等边三角形的判定和性质，函数解析式的确定，掌握等边三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．12．(2023·上海）在平面直角坐标系中，如图，抛物线（、是常数）经过点、，与轴的交点为点．（1）求此抛物线的表达式；（2）点为轴上一点，如果直线和直线的夹角为15º，求线段的长度；（3）设点为此抛物线的对称轴上的一个动点，当△为直角三角形时，求点的坐标．答案:（1）抛物线的表达式是;(2)或;(3)P或或或.分析：（1）将点A和点B坐标代入解析式求解可得；

（2）先求出点C坐标，从而得出OC=OB=3，∠CBO=45°，据此知∠DBO=30°或60°，依据DO=BO•tan∠DBO求出得DO＝或3，从而得出答案；

（3）设P（-1，t），知BC2=18，PB2=4+t2，PC2=t2-6t+10，再分点B、点C和点P为直角顶点三种情况分别求解可得．【详解】（1）依题意得：，解得：∴抛物线的表达式是（2）∵抛物线与轴交点为点∴点的坐标是，又点的坐标是∴∴或在直角△中，∴或，∴或.（3）由抛物线得：对称轴是直线根据题意：设，又点的坐标是，点的坐标是∴，，，①若点为直角顶点，则即：解之得：，②若点为直角顶点，则即：解之得：，③若点为直角顶点，则即：解之得：，.综上所述的坐标为或或或.【点睛】本题是二次函数的综合题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、等腰三角形的性质、两点间的距离公式及直角三角形的性质等知识点．三、填空题13．(2023·上海九年级专题练习）已知一条斜坡的长度是10米，高度是6米，那么坡角的角度约为_______．（备用数据tan31°=cot59°≈0.6，sin37°=cos53°≈0.6)答案:37°．分析：画出图形，设坡角为α，根据sinα=，可求得α的度数．【详解】由题意，作出图形，设坡角为α，

∵sina=即sina=0.6∴a=37°故答案为:37°.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，解直角三角形.14．(2023·上海九年级专题练习）中，，，，对角线AC，BD交于点O，将绕点O顺时针旋转，使点D落在AD上处，点C落在处，交AD于点P，则的面积是___________．

答案:分析：过点作，作，，，，为垂足，根据，，，可证是直角三角形，，可求△各边长，以及的长，由可求的长，即可求的面积．【详解】解：过点作，作，，，，为垂足，

，，，，，．，，，是平行四边形，，，，，在中，，旋转，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，且，，，故答案为．【点睛】本题考查旋转的性质，平行四边形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，关键是灵活运用这些性质解决问题．15．(2023·上海九年级专题练习）△ABC中，，，则△ABC的形状是___________．答案:直角三角形分析：根据特殊的三角函数值，求得∠A，∠B的度数，再进行判断．【详解】∵，，∴∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠C＝180°－∠A－∠B＝90°，故△ABC是直角三角形，故填：直角三角形．【点睛】本题考查特殊的三角函数值，熟练记忆是关键．16．(2023·上海市静安区实验中学九年级课时练习）（1）若，则锐角=____________；（2）若，则锐角=____________；答案:分析：（1）根据特殊角的余弦值即可得；（2）根据特殊角的正弦值即可得．【详解】（1），锐角；（2），，锐角；故答案为：，．【点睛】本题考查了特殊角的正弦与余弦值，熟记特殊角的正弦与