沪教版暑假新九年级数学考点讲与练第20讲二次函数中梯形的存在性问题(考点讲与练)(原卷版+解析)

第20讲二次函数中梯形的存在性问题（核心考点讲与练）【基础知识】类型一：一般梯形1.知识内容：梯形的限制较少，所以可能出现的情况就会有很多，在处理时需要想清所有可能情况，再进行讨论处理。有一种比较常见的情况是：若已知三点ABC，另一点M在某固定直线上，形成的四边形ABCM为梯形，则会有两种情况：①AM//BC；②CM//AB，如图所示。2.解题思路：根据题目条件，求出已知3个点的坐标；分情况进行讨论；对可能的各种情况，求出已知边所在直线的方程；根据直线方程，求得与其平行的直线的方程，再解出待求点的坐标；根据题目实际情况，验证所有可能点是否满足要求并作答．注：若两条直线平行，则这两条直线的斜率相等．类型二：特殊梯形1.知识内容： 特殊梯形主要分成等腰梯形和直角梯形两种．对于这两种情况，只需在之前平行的基础上，增加考虑直角或腰相等的条件．2.解题思路：直角梯形：根据题目条件，求出已知3个点的坐标；寻找已有的直角，进而判断可能的平行直线；对可能的各种情况，求出已知边所在直线的方程；根据直线方程，求得与其平行的直线的方程，再解出待求点的坐标；根据题目实际情况，验证所有可能点是否满足要求并作答．等腰梯形：根据题目条件，求出已知3个点的坐标；分情况讨论；对可能的各种情况，求出已知边所在直线的方程；根据直线方程，求得与其平行的直线的方程，再解出待求点的坐标；验证所有形成的梯形是否等腰，并作答．【考点剖析】1．(2023•浦东新区模拟）已知抛物线y＝ax2+bx﹣2与y轴相交于点A，顶点B在第二象限内，AP⊥AB，交x轴于点P，tan∠APB＝2，点P的横坐标为m．（1）求点B的坐标（用含m的代数式表示）；（2）当m＝2时，求抛物线的表达式；（3）如果抛物线的对称轴与x轴相交于点C，且四边形ACBP是梯形，求m的值．2．(2023春•松江区校级期中）已知抛物线y＝ax2+3x过点C（4，0），顶点为D，点B在第一象限，BC垂直于x轴，且BC＝2，直线BD交y轴于点A．（1）求抛物线的解析式；（2）求点A的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使四边形AOMD和四边形BCMD中，一个是平行四边形，另一个是等腰梯形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．3.如图，在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与x轴交于点A(－1，0)和点B(3，0)，D为抛物线的顶点，直线AC与抛物线交于点C(5，6)．（1）求抛物线的解析式；（2）点E在x轴上，且和相似，求点E的坐标；（3）若直角坐标系平面中的点F和点A、C、D构成直角梯形，且面积为16，试求点F的坐标．【过关检测】1．(2023•青浦区二模）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，对称轴是直线x＝1，顶点是点D．（1）求该抛物线的解析式和顶点D的坐标；（2）点P为该抛物线第三象限上的一点，当四边形PBDC为梯形时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，点E为x轴正半轴上的一点，当tan（∠PBO+∠PEO）=52时，求2．(2023秋•闵行区期末）如图，已知一个抛物线经过A（0，1），B（1，3），C（﹣1，1）三点．（1）求这个抛物线的表达式及其顶点D的坐标；（2）联结AB、BC、CA，求tan∠ABC的值；（3）如果点E在该抛物线的对称轴上，且以点A、B、C、E为顶点的四边形是梯形，直接写出点E的坐标．3.在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A（，0）和点B，与y轴交于点C（0，）．（1）求该抛物线的表达式，并写出其对称轴；（2）点E为该抛物线的对称轴与x轴的交点，点F在对称轴上，四边形ACEF为梯形，求点F的坐标；（3）点D为该抛物线的顶点，设点P（t，0），且t>3，如果和的面积相等，求t的值．4.已知二次函数的图象经过A（2，0）、C(0，12)两点，且对称轴为直线x=4，设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；（2）如图1，在直线y=2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．5.如图，已知二次函数的图像经过点B（1，2），与x轴的另一个交点为A，点B关于抛物线对称轴的对称点为C，过点B作直线BM⊥x轴垂足为点M．（1）求二次函数的解析式；（2）在直线BM上有点，联结CP和CA，判断直线CP与直线CA的位置关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，在坐标轴上是否存在点E，使得以A、C、P、E为顶点的四边形为直角梯形，若存在，求出所有满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．6.在平面直角坐标系中，抛物线过A（－1，0）、B（3，0）、C（2，3）三点，与y轴交于点D．（1）求该抛物线的解析式，并写出该抛物线的对称轴；（2）分别联结AD、DC、CB，直线y=4x＋m与线段DC交于点E，当此直线将四边形ABCD的面积平分时，求m的值；（3）设点F为该抛物线对称轴上一点，当以A、B、C、F为顶点的四边形是梯形时，请直接写出所有满足条件的点F的坐标．7.在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图像与y轴交于点A，与双曲线有一个公共点B，它的横坐标为4．过点B作直线l//x轴，与该二次函数图像交于另一点C，直线AC的截距是．（1）求二次函数的解析式；（2）求直线AC的表达式；（3）平面内是否存在点D，使A、B、C、D为顶点的四边形是等腰梯形，如果存在，求出点D的坐标，如果不存在，说明理由．第20讲二次函数中梯形的存在性问题（核心考点讲与练）【基础知识】类型一：一般梯形1.知识内容：梯形的限制较少，所以可能出现的情况就会有很多，在处理时需要想清所有可能情况，再进行讨论处理。有一种比较常见的情况是：若已知三点ABC，另一点M在某固定直线上，形成的四边形ABCM为梯形，则会有两种情况：①AM//BC；②CM//AB，如图所示。2.解题思路：根据题目条件，求出已知3个点的坐标；分情况进行讨论；对可能的各种情况，求出已知边所在直线的方程；根据直线方程，求得与其平行的直线的方程，再解出待求点的坐标；根据题目实际情况，验证所有可能点是否满足要求并作答．注：若两条直线平行，则这两条直线的斜率相等．类型二：特殊梯形1.知识内容： 特殊梯形主要分成等腰梯形和直角梯形两种．对于这两种情况，只需在之前平行的基础上，增加考虑直角或腰相等的条件．2.解题思路：直角梯形：根据题目条件，求出已知3个点的坐标；寻找已有的直角，进而判断可能的平行直线；对可能的各种情况，求出已知边所在直线的方程；根据直线方程，求得与其平行的直线的方程，再解出待求点的坐标；根据题目实际情况，验证所有可能点是否满足要求并作答．等腰梯形：根据题目条件，求出已知3个点的坐标；分情况讨论；对可能的各种情况，求出已知边所在直线的方程；根据直线方程，求得与其平行的直线的方程，再解出待求点的坐标；验证所有形成的梯形是否等腰，并作答．【考点剖析】1．(2023•浦东新区模拟）已知抛物线y＝ax2+bx﹣2与y轴相交于点A，顶点B在第二象限内，AP⊥AB，交x轴于点P，tan∠APB＝2，点P的横坐标为m．（1）求点B的坐标（用含m的代数式表示）；（2）当m＝2时，求抛物线的表达式；（3）如果抛物线的对称轴与x轴相交于点C，且四边形ACBP是梯形，求m的值．分析：（1）证明Rt△BMA∽Rt△ANP，则两个三角形相似比为2，进而求解；（2）用待定系数法即可求解；（3）四边形ACBP是梯形，故直线AC∥BP，故设直线BP的表达式为y=−12x【解答】解：（1）如图，过点A作x轴的平行线交过点B与y轴的平行线于点M，交过点P与y轴的平行线于点N，∵∠BAM+∠PAN＝90°，∠PAN+∠APN＝90°，∴∠BAM＝∠APN，∴Rt△BMA∽Rt△ANP，∵tan∠APB＝2，∴两个三角形相似比为2，则BM＝2AN＝2m，AM＝2PN＝2×2＝4，则点B的坐标为（﹣4，2m﹣2）；（2）当m＝2时，点B的坐标为（﹣4，2），设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+2，则y＝a（x+4）2+2，将点A的坐标代入上式得：﹣2＝a（0+4）2+2，解得a=−故抛物线的表达式为y=−14（x+4）2+2=−1（3）如图，点C的坐标为（﹣4，0）；设直线AC的表达式为y＝sx+t，则0=−故直线AC的表达式为y=−1∵四边形ACBP是梯形，故直线AC∥BP，故设直线BP的表达式为y=−12x将点P的坐标代入上式得，−12m+将点B的坐标代入上式得，2m﹣2=−12解得m=8【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．2．(2023春•松江区校级期中）已知抛物线y＝ax2+3x过点C（4，0），顶点为D，点B在第一象限，BC垂直于x轴，且BC＝2，直线BD交y轴于点A．（1）求抛物线的解析式；（2）求点A的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使四边形AOMD和四边形BCMD中，一个是平行四边形，另一个是等腰梯形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．分析：（1）将C（4，0）代入y＝ax2+3x，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）先利用配方法求出（1）中抛物线的顶点D的坐标，再由点B在第一象限，BC垂直于x轴，且BC＝2，可知B（4，2），设直线BD的解析式为y＝kx+b，将B、D两点的坐标代入，运用待定系数法求出直线BD的解析式，令x＝0求出y的值，进而得到点A的坐标；（3）由于点M在抛物线的对称轴上，所以DM∥BC∥AO．分两种情况讨论：①当DM＝BC时，四边形BCMD是平行四边形，再证明四边形AOMD是等腰梯形；②当DM＝AO时，四边形AOMD是平行四边形，再证明四边形BCMD是等腰梯形．【解答】解：抛物线y＝ax2+3x过点C（4，0），∴16a+12＝0，解得a=−∴抛物线的解析式为y=−34x2（2）∵y=−34x2+3x=−34（x2﹣4x）∴顶点D的坐标为（2，3）．∵点B在第一象限，BC垂直于x轴，且BC＝2，∴B（4，2）．设直线BD的解析式为y＝kx+b，将B（4，2），D（2，3）代入，得4k+b=22k+b=3，解得k=∴直线BD的解析式为y=−1当x＝0时，y＝4，∴点A的坐标为（0，4）；（3）在抛物线的对称轴上存在点M，使四边形AOMD和四边形BCMD中，一个是平行四边形，另一个是等腰梯形．理由如下：设点M的坐标为（2，y）．由AOMD和BCMD都是四边形，得y＜3．分两种情况：①∵DM∥BC，∴当DM＝BC时，四边形BCMD是平行四边形．∵D（2，3），DM＝BC，∴3﹣y＝2，解得y＝1，∴当M的坐标为（2，1）时，四边形BCMD是平行四边形，此时，∵OM=22+1∴OM＝AD，又∵AO∥DM，AO≠DM，∴四边形AOMD是等腰梯形；②∵DM∥AO，∴当DM＝AO时，四边形AOMD是平行四边形．∵D（2，3），DM＝AO，∴3﹣y＝4，解得y＝﹣1，∴当M的坐标为（2，﹣1）时，四边形AOMD是平行四边形，此时，∵CM=(4−2)2+∴CM＝BD，又∵BC∥DM，BC≠DM，∴四边形BCMD是等腰梯形．综上可知，在抛物线的对称轴上存在点M，使四边形AOMD和四边形BCMD中，一个是平行四边形，另一个是等腰梯形，此时点M的坐标为（2，1）或（2，﹣1）．【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，抛物线的顶点坐标，平行四边形的判定与性质，等腰梯形的判定，综合性较强，难度不大．运用数形结合及分类讨论是解题的关键．3.如图，在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与x轴交于点A(－1，0)和点B(3，0)，D为抛物线的顶点，直线AC与抛物线交于点C(5，6)．（1）求抛物线的解析式；（2）点E在x轴上，且和相似，求点E的坐标；（3）若直角坐标系平面中的点F和点A、C、D构成直角梯形，且面积为16，试求点F的坐标．解析：（1）∵抛物线过点A（-1，0）与点B（3，0）， ∴设抛物线为，将点C（5，6）代入， 得抛物线解析式为：． ∴顶点D坐标为（1，-2）； （2）分别过C、D作CM、DN⊥x轴于M、N， 计算可得，AN=DN=2，AM=CM=6． ∴． 又因为AE公共边， ∴此两角为相似三角形对应角． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴E点坐标为或； （3）可得，，，， 分情况讨论：当DP//AC时，∵梯形CADF面积为16， ∴此时DF直线为，且．∴F点坐标为（3，0）． ②当CF//AD时， ∴CF为，且， ∴F点标为． ③当AF//CD时，此时不可能． 综上，F点可能的坐标为（3，0）或．【总结】本题综合性较强，考查的知识点较多，包含了二次函数的性质，相似的性质以及梯形的有关性质，解题时注意分析．【过关检测】1．(2023•青浦区二模）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，对称轴是直线x＝1，顶点是点D．（1）求该抛物线的解析式和顶点D的坐标；（2）点P为该抛物线第三象限上的一点，当四边形PBDC为梯形时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，点E为x轴正半轴上的一点，当tan（∠PBO+∠PEO）=52时，求分析：（1）把A（﹣1，0）代入抛物线的解析式，再由对称轴x=−b2a=1，列方程组求出（2）四边形PBDC为梯形时，则PB∥CD；先求CD所在直线的解析式，再根据两个一次函数一般式中的k值相等求直线PB的解析式且与抛物线的解析式组成方程，解方程组求出点P的坐标；（3）过点P作x轴的垂线，构造以P为顶点且一个锐角的正切值为52的直角三角形，再利用相似三角形的性质求OE【解答】解：（1）根据题意，得a−b+3=0−∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴该抛物线的顶点D的坐标为（1，4）．（2）如图1，由y＝﹣x2+2x+3，得C（0，3），B（3，0）．设直线CD的解析式为y＝kx+3，则k+3＝4，解得k＝1，∴y＝x+3；当四边形PBDC是梯形时，则PB∥CD，设直线PB的解析式为y＝x+m，则3+m＝0，解得m＝﹣3，∴y＝x﹣3．由y=x−3y=−x2∴P（﹣2，﹣5）．（3）如图2，作PH⊥x轴于点H，在x轴正半轴上取一点F，使HFPH=tan∠HPF=5由（2）得，直线PB的解析式为y＝x﹣3，则G（0，﹣3），∴OB＝OG＝3．∵PH∥OG，∴∠BPH＝∠BGO＝∠PBO＝45°，∴∠HPF＝45°+∠FPB；∵tan（∠PBO+∠PEO）=5∴45°+∠PEO＝45°+∠FPB，∴∠PEO＝∠FPB，又∵∠PBE＝∠FBP（公共角），∴△PBE∽△FBP，∴PBFB=BEPB，BE•BF∵HF=52PH=5∴BF=252−又∵PH＝BH＝5，∴PB2＝52+52＝50，∴152BE解得BE=20∴OE＝3+20【点评】此题重点考查二次函数的图象与性质、用待定系数法求一次函的解析式、用解方程组的方法求直线与抛物线的交点以及相似三角形的判定与性质等知识和方法，解题关键是正确地作出辅助线，构造出解题所需的图形．2．(2023秋•闵行区期末）如图，已知一个抛物线经过A（0，1），B（1，3），C（﹣1，1）三点．（1）求这个抛物线的表达式及其顶点D的坐标；（2）联结AB、BC、CA，求tan∠ABC的值；（3）如果点E在该抛物线的对称轴上，且以点A、B、C、E为顶点的四边形是梯形，直接写出点E的坐标．分析：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，将A（0，1）、B（1，3）、C（﹣1，1）代入，求a、b、c的值，可得结果；（2）如图，过点B作BF⊥x轴于F，延长CA交BF于点D，过点A作AM⊥BC于M，通过勾股定理和等腰直角三角形的性质可求AM和BM的长，即可求解；（3）分三种情况讨论，由梯形的性质可求解．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0）．由题意可得：3=a+b+c解得：a=1∴抛物线的解析式为：y＝x2+x+1，∵y＝x2+x+1＝（x+12）2∴顶点D的坐标（−12，（2）如图，过点B作BF⊥x轴于F，延长CA交BF于点D，过点A作AM⊥BC于M，∴BF＝3，∵A（0，1），C（﹣1，1），∴AC∥x轴，∴CD⊥BF，∴CD＝BD＝2，AD＝1，CA＝1，∴BC＝22，∠BCD＝∠CBD＝45°，∵AM⊥BC，∴∠MAC＝∠MCA＝45°，∴CM＝AM，∴CM＝AM=AC∴BM＝BC﹣CM=3∴tan∠ABC=AM（3）∵A（0，1），B（1，3），C（﹣1，1），∴直线AC解析式为：y＝1，直线AB解析式为：y＝2x+1，直线BC解析式为：y＝x+2，若BE∥AC，则点E的纵坐标为3，且点E在对称轴上，∴点E（−1若CE∥AB，则CE的解析式为；y＝2x+3，∵点E在对称轴上，∴x=−∴y＝2，即点E（−1若AE∥BC，则AE解析式为：y＝x+1，∵点E在对称轴上，∴x=−∴y=1即点E（−12，综上所述：点E的坐标为（−12，3）或（−12，2）或（【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，等腰直角三角形的性质，勾股定理，梯形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．3.在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A（，0）和点B，与y轴交于点C（0，）．（1）求该抛物线的表达式，并写出其对称轴；（2）点E为该抛物线的对称轴与x轴的交点，点F在对称轴上，四边形ACEF为梯形，求点F的坐标；（3）点D为该抛物线的顶点，设点P（t，0），且t>3，如果和的面积相等，求t的值．解析：（1）将A、C代入抛物线解析式， 解得抛物线解析式为：．对称轴为：直线． （2）E点为（1，0），分情况讨论： ①AC//EF 直线AC的解析式为． ∴直线EF的解析式为． ∴与对称轴的交点为（1，0），与E点重合（舍）． ②AF//CE 直线CE的解析式为， ∴直线AF的解析式为． ∴与对称轴的交点为（1，4）．∴F点为（1，4）． 综上，F点为（1，4）． （3）抛物线顶点D为，与x轴另一交点B为（3，0）， 当和的面积相等（t>3）时，有BC//DP． 直线BC的解析式为， ∴直线DP的解析式为． 解得：P点为（5，0），即t的值为5．【总结】本题主要考查二次函数函数背景下的梯形存在性问题，注意对方法的归纳总结．4.已知二次函数的图象经过A（2，0）、C(0，12)两点，且对称轴为直线x=4，设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；（2）如图1，在直线y=2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．解析：解：（1）∵对称轴为x=4，且抛物线过A（2，0）， ∴B点坐标为（6，0），设抛物线为． 将C（0，12）代入，解得抛物线解析式为：， 顶点P坐标为（4，-4）； （2）若存在满足题意的D点，直线BP解析式为． ∴BP//OD．∴OP=BD． 设D点为（d，2d）， ∴，． ∴，解得：（此时为平行四边形，舍）或， ∴D点为．即当D点坐标为时，四边形OPBD为等腰梯形．【总结】本题主要考查二次函数的综合运用，求出二次函数解析式，研究二次函数顶点坐标及相关图形的特点，是解题的关键．5.如图，已知二次函数的图像经过点B（1，2），与x轴的另一个交点为A，点B关于抛物线对称轴的对称点为C，过点B作直线BM⊥x轴垂足为点M．（1）求二次函数的解析式；（2）在直线BM上有点，联结CP和CA，判断直线CP与直线CA的位置关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，在坐标轴上是否存在点E，使得以A、C、P、E为顶点的四边形为直角梯形，若存在，求出所有满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．解析：解：（1）将B(1，2)代入解析式，解得函数解析式为：． （2）抛物线的对称轴为．∴A点为（3，0），C点为（2，2），M点为（1，0）． 连接BC，过C作CH⊥OA于H，可得，，，． ∴，又∵，∴，∴．∴，CP⊥CA． （3）∵，∴分情况讨论 ①E在x轴上时，当PE//AC时， ∵AC解析式为，∴PE解析式为． ∴E点为．E在y轴上时，当AE//PC时， ∵PC解析式为，∴AE解析式为． ∴E点为， 综上，E点坐标为或．【总结】本题主要考查二次函数的综合应用，注意利用相似判定直线间的位置关系，第（3）小问注意对点的存在性进行分类讨论．6.在平面直角坐标系中，抛物线过A（－1，0）、B（3，0）、C（2，3）三点，与y轴交于点D．（1）求该抛物线的解析式，并写出该抛物线的对称轴；（2）分别联结AD、DC、CB，直线y=4x＋m与线段DC交于点E，当此直线将四边形ABCD的面积平分时，求m的值；（3）设点F为该抛物线对称轴上一点，当以A、B、C、F为顶点的四边形是梯形时，请直接写出所有满足条