适用于新教材2025版高中数学课时素养检测四十古典概型新人教A版必修第二册

PAGE四十古典概型(25分钟50分)一、选择题(每小题5分，共30分，多选题全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错的得0分)1．(多选题)下列试验是古典概型的为()A．从6名同学中选出4人参与数学竞赛，每人被选中的可能性大小相等B．同时掷两颗骰子，点数和为6的概率C．近三天中有一天降雨的概率D．10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率【解析】选ABD.A，B，D是古典概型，因为符合古典概型的定义和特点．C不是古典概型，因为不符合等可能性．2．王先生的微信密码是由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的数字组成的六位数(数字可重复)，由于长时间未登录，遗忘了密码的最终一个数字，假如王先生登录微信时密码的最终一个数字随意选取，那么恰好能登录的概率是()A．eq\f(1,105)B．eq\f(1,104)C．eq\f(1,102)D．eq\f(1,10)【解析】选D.只考虑最终一位数字即可，从0至9这10个数字中随机选择一个作为密码的最终一位数字有10种可能，选对只有一种可能，所以选对的概率是eq\f(1,10).3．从甲、乙、丙、丁、戊五个人中选取三人参与演讲竞赛，则甲、乙都当选的概率为()A．eq\f(2,5)B．eq\f(2,10)C．eq\f(3,10)D．eq\f(3,5)【解析】选C.从五个人中选取三人，则试验的样本空间Ω＝{(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)}，而甲、乙都当选的结果有3种，故所求的概率为eq\f(3,10).4．一部三册的小说，随意排放在书架的同一层上，则第一册和其次册相邻的概率为()A.eq\f(1,3)B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3)D．eq\f(3,4)【解析】选C.试验的样本空间Ω＝{(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，(3，2，1)}，共6个样本点，事务“第一册和其次册相邻”包含4个样本点，故第一册和其次册相邻的概率为P＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).5．一袋中装有大小相同，且编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号之和不小于15的概率为()A．eq\f(1,32)B．eq\f(1,64)C．eq\f(3,32)D．eq\f(3,64)【解析】选D.用(i，j)表示第一次取得球编号i，其次次取得球编号j的一个样本点(i，j＝1，2，3，…8).则全部样本点的总数n＝64，其中取得两个球的编号和不小于15的样本点有(7，8)，(8，7)，(8，8)共3个，故所求的概率P＝eq\f(3,64).6．(2024·攀枝花高一检测)从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是()A．eq\f(4,5)B．eq\f(3,5)C．eq\f(2,5)D．eq\f(1,5)【解析】选D.设所取的数中b>a为事务A，假如把选出的数a，b写成一数对(a，b)的形式，则试验的样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)}，共15个，事务A包含的样本点有(1，2)，(1，3)，(2，3)，共3个，因此所求的概率P(A)＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).二、填空题(每小题5分，共10分)7．从3男3女共6名学生中任选2名(每名同学被选中的概率均相等)，则2名都是女同学的概率等于________．【解析】用A，B，C表示3名男同学，用a，b，c表示3名女同学，则从6名同学中选出2人的样本空间Ω＝{AB，AC，Aa，Ab，Ac，BC，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，ab，ac，bc}，共15个，其中事务“2名都是女同学”包含样本点的个数为3，故所求的概率为eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).答案：eq\f(1,5)8．“渐升数”是指每个数字比其左边的数字大的自然数(如2578)，在二位的“渐升数”中任取一数比37大的概率是________．【解析】十位是1的“渐升数”有8个，十位是2的“渐升数”有7个，…，十位是8的“渐升数”有1个；所以二位的“渐升数”有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36个，以3为十位比37大的“渐升数”有2个，分别以4，5，6，7，8为十位的“渐升数”均比37大，且共有5＋4＋3＋2＋1＝15个，所以比37大的二位的“渐升数”共有2＋15＝17个，故在二位的“渐升数”中任取一数比37大的概率是eq\f(17,36).答案：eq\f(17,36)三、解答题9．(10分)袋中有2个标号分别为1，2的白球和2个标号分别为3，4的黑球．这4个球除颜色、标号外完全相同，4个人按依次依次从中摸出1个球．(1)求样本点的个数；(2)“最终一个人摸到黑球”包含几个样本点？【解析】(1)4个人按依次依次从袋中摸出1个球的全部可能结果用树状图表示如图所示：共24个样本点；(2)“最终一个人摸到黑球”包含最终一人摸到3号或4号球，共12个样本点．【补偿训练】抛掷两枚骰子求：(1)点数之和是4的倍数的概率．(2)点数之和大于5小于10的概率．【解析】如图样本点与所描点一一对应，共36个．(1)记“点数之和是4的倍数”的事务为A，从图中可以看出，事务A包含的样本点共有9个，即(1，3)，(2，2)，(2，6)，(3，1)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)，(6，6).所以P(A)＝eq\f(1,4).(2)记“点数之和大于5小于10”的事务为B，从图中可以看出，事务B包含的样本点有20个，即(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)，(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)，(3，6)，(4，5)，(5，4)，(6，3).所以P(B)＝eq\f(5,9).(30分钟60分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为()A．eq\f(1,5)B．eq\f(2,5)C．eq\f(3,5)D．eq\f(4,5)【解析】选C.如图可知，从5个点中选取2个点的全部状况有(O，A)，(O，B)，(O，C)，(O，D)，(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共10种，选取的2个点的距离不小于该正方形边长的状况有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6种，故所求概率为eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).2．假如3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为()A．eq\f(3,10)B．eq\f(1,5)C．eq\f(1,10)D．eq\f(1,20)【解析】选C.从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，共有如下10个不同的结果：(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，其中构成一组勾股数只有(3，4，5)，所以概率为eq\f(1,10).3．一个袋子中装有编号分别为1，2，3，4的4个小球，现有放回地摸球，规定每次只能摸一个球，若第一次摸到的球的编号为x，其次次摸到的球的编号为y，构成数对(x，y)，则全部数对(x，y)中满意xy＝4的概率为()A．eq\f(3,16)B．eq\f(1,8)C．eq\f(1,18)D．eq\f(1,6)【解析】选A.由题意可知样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}，所以n(Ω)＝16.满意xy＝4为事务A，则样本点为(1，4)，(2，2)，(4，1)，所以n(A)＝3.故所求事务的概率为eq\f(3,16).4．(2024·全国甲卷)将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为()A．0.3B．0.5C．0.6D．0.8【解析】选C.列出全部状况为：00111，01011，01101，01110，10011，10101，10110，11001，11010，11100，共10种状况，其中2个0不相邻的状况有6种状况，故所求概率为eq\f(6,10)＝0.6.二、填空题(每小题5分，共20分)5．甲、乙、丙三名奥运志愿者被随机分到A，B两个不同的岗位，且每个岗位至少1人，则甲、乙两人被分到同一岗位的概率为________．【解析】全部可能的安排方式如表：A甲、乙甲、丙乙、丙甲乙丙B丙乙甲乙、丙甲、丙甲、乙则样本空间共有6个样本点，令事务M为“甲、乙两人被分到同一岗位”，则事务M包含2个样本点，所以P(M)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)6．袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率为__________．【解析】设袋中红球用a表示，2个白球分别用b1，b2表示，3个黑球分别用c1，c2，c3表示，则试验的样本空间Ω＝{(a，b1)，(a，b2)，(a，c1)，(a，c2)，(a，c3)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)}，样本空间的总数有15个，两球颜色为一白一黑的样本空间有(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，共6个，所以其概率为eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).答案：eq\f(2,5)7．有20张卡片，每张卡片上分别标有两个连续的自然数k，k＋1，其中k＝0，1，2，…，19.从这20张卡片中任取一张，记事务“该卡片上两个数的各位数字之和(例如：若取到标有9，10的卡片，则卡片上两个数的各位数字之和为9＋1＋0＝10)不小于14”为A，则P(A)＝________．【解析】20张卡片任取一张，有20种取法，即样本点有20个，所以n(Ω)＝20，其中两个数的各位数字之和不小于14的有(7，8)，(8，9)，(16，17)，(17，18)，(18，19)，所以n(A)＝5.则P(A)＝eq\f(5,20)＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)8.(2024·济南高一检测)某城市有8个商场A，B，C，D，E，F，G，H和市中心O排成如图所示的格局，其中每个小方格为正方形，某人从网格中随机地选择一条最短路径，欲从商场A前往商场H，则他经过市中心O的概率为________．【解析】此人从商场A前往商场H的全部最短路径有A→B→C→E→H，A→B→O→E→H，A→B→O→G→H，A→D→O→E→H，A→D→O→G→H，A→D→F→G→H，共6条，其中经过市中心O的有4条，所以所求概率为eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)三、解答题(每小题10分，共20分)9．为了对某课题进行探讨，用分层随机抽样方法从三所高校A，B，C的相关人员中，抽取若干人组成探讨小组，有关数据见下表(单位：人).高校相关人数抽取人数A18xB362C54y(1)求x，y；(2)若从高校B，C抽取的人中选2人作专题发言，求这2人都来自高校C的概率．【解析】(1)由题意可得eq\f(x,18)＝eq\f(2,36)＝eq\f(y,54)，所以x＝1，y＝3.(2)记从高校B抽取的2人为b1，b2，从高校C抽取的3人为c1，c2，c3，则从高校B，C抽取的5人中选2人作专题发言的样本点有：(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)，共10个．设“选中的2人都来自高校C”的事务为X，则事务X包含的样本点有：(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)，共3个，因此P(X)＝eq\f(3,10).故选中的2人都来自高校C的概率为eq\f(3,10).10．将一颗质地匀称的骰子先后抛掷2次，视察向上的点数，并分别记为x，y.(1)若记“x＋y＝5”为事务A，求事务A发生的概率；(2)若记“x2＋