适用于新教材2025版高中数学课时素养检测十三余弦定理正弦定理应用举例-距离问题新人教A版必修第二册

PAGE十三余弦定理、正弦定理应用举例——距离问题(25分钟50分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．如图所示，要测量一水塘两侧A，B两点间的距离，其方法先选定适当的位置C，用经纬仪测出角α，再分别测出AC，BC的长b，a，则可求出A，B两点间的距离．若测得CA＝400m，CB＝600m，∠ACB＝60°，则AB的长为()A．200mB．200eq\r(3)mC．200eq\r(7)mD．500m【解析】选C.在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB，所以AB2＝4002＋6002－2×400×600cos60°＝280000，所以AB＝200eq\r(7)(m)，即A，B两点间的距离为200eq\r(7)m.2．(2024·徐州高一检测)甲船在湖中B岛的正南A处，AB＝12km，甲船以8km/h的速度向正北方向航行，同时乙船从B岛动身，以8km/h的速度向北偏东60°方向驶去，则行驶半小时，两船的距离是()A．4eq\r(5－2\r(3))km B．4eq\r(3)kmC．4eq\r(7)km D．4eq\r(5＋2\r(3))km【解析】选C.如图，行驶半小时后，设甲船到达C，乙船到达D，依题意可知BC＝12－4＝8(km)，BD＝4km，且∠CBD＝120°，在△CBD中，由余弦定理得：CD2＝BC2＋BD2－2·BC·BD·cos∠CBD＝82＋42－2×8×4×cos120°＝112，所以CD＝4eq\r(7)km，即半小时后，两船的距离是4eq\r(7)km.3．轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港O，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25nmile/h，15nmile/h，则14时两船之间的距离是()A．50nmile B．70nmileC．90nmile D．110nmile【解析】选B.到14时，轮船A和轮船B分别走了50nmile，30nmile，由余弦定理得两船之间的距离为l＝eq\r(502＋302－2×50×30×cos120°)＝70nmile.4．已知两座灯塔A和B与海洋视察站C的距离都等于akm，灯塔A在视察站C的北偏东20°，灯塔B在视察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为()A．akm B．eq\r(3)akmC．eq\r(2)akm D．2akm【解析】选B.如图，在△ABC中，AC＝BC＝akm，∠ACB＝180°－(20°＋40°)＝120°，所以AB＝eq\r(AC2＋BC2－2AC·BCcos120°)＝eq\r(a2＋a2－2a2·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))＝eq\r(3)a(km).二、填空题(每小题5分，共10分)5．如图，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120m，则河的宽度为________．【解析】在△ABC中，AB＝120m，A＝30°，B＝75°，则C＝180°－A－B＝75°，所以AC＝AB＝120m，则河的宽度为ACsin30°＝60m.答案：60m6．(2024·西安高一检测)三国(220年～280年)是上承东汉下启西晋的一段历史时期，分为曹魏、蜀汉、东吴三个政权．元末明初的小说家罗贯中依据这段历史创作了《三国演义》全名为《三国志通俗演义》，小说中记载孙刘联盟共同打击曹魏，蜀吴两国为了达成合作常常派使臣往来，古代出行以骑马为主，假如一匹马每个时辰能走30公里，一天最多能跑10个小时，十天能到达．假如吴国都城位于蜀国都城正东，魏国的都城在蜀国都城的北偏东30°，相距约1000公里，那么吴国都城一叛徒要向魏国都城告密大约须要________(填整数)天能达到魏国都城．(eq\r(7)≈2.65)【解析】将魏、蜀、吴三国的都城分别记为A，B，C，由题意可知，AB＝1000公里，BC＝1500公里，∠ABC＝60°，由余弦定理可得，AC＝eq\r(AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC)＝500eq\r(7)≈1325(公里)，因为eq\f(1325,15×10)≈8.8(天)，故叛徒大约须要9天才能到达目的地．答案：9三、解答题(每小题10分，共20分)7．要测量对岸两点A，B之间的距离，选取相距eq\r(3)km的C，D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，求A，B之间的距离．【解析】在△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，所以AC＝CD＝eq\r(3)(km).在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°.所以BC＝eq\f(\r(3)sin75°,sin60°)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2)(km).△ABC中，由余弦定理，得AB2＝(eq\r(3))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6)＋\r(2),2)))eq\s\up12(2)－2eq\r(3)×eq\f(\r(6)＋\r(2),2)×cos75°＝3＋2＋eq\r(3)－eq\r(3)＝5，所以AB＝eq\r(5)(km).所以A，B之间的距离为eq\r(5)km.8．如图所示，甲船以每小时30eq\r(2)海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2处，此时两船相距10eq\r(2)海里．乙船每小时航行多少海里？【解析】连接A1B2，如下简图，由题意知，A1B1＝20，A2B2＝10eq\r(2)，A1A2＝eq\f(20,60)×30eq\r(2)＝10eq\r(2)＝A2B2，又因为∠B2A2A1＝180°－120°＝60°，所以△A1A2B2是等边三角形，故∠B1A1B2＝105°－60°＝45°，A1B2＝10eq\r(2)，在△A1B2B1中，由余弦定理得，B1Beq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝A1Beq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋A1Beq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))－2A1B2×A1B1×cos45°＝(10eq\r(2))2＋202－2×10eq\r(2)×20×eq\f(\r(2),2)＝200，故B1B2＝10eq\r(2)，时间为eq\f(20,60)＝eq\f(1,3)，因此乙船的速度大小为eq\f(10\r(2),\f(1,3))＝30eq\r(2)(海里/小时).即乙船每小时航行30eq\r(2)海里．(25分钟50分)一、选择题(每小题5分，共20分)1.如图，货轮在海上以36nmile/h的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为152°的方向航行．为了确定船位，在B点处观测到灯塔A的方位角为122°.半小时后，货轮到达C点处，观测到灯塔A的方位角为32°.则此时货轮与灯塔之间的距离为()A．7nmile B．8nmileC．9nmile D．10nmile【解析】选C.在△ABC中，∠B＝152°－122°＝30°，∠C＝180°－152°＋32°＝60°，∠A＝180°－30°－60°＝90°，BC＝eq\f(36,2)＝18，所以AC＝18sin30°＝9(nmile).2．已知甲船位于小岛A的南偏西30°的B处，乙船位于小岛A处，AB＝20千米，甲船沿eq\o(BA,\s\up6(→))的方向以每小时6千米的速度行驶，同时乙船以每小时8千米的速度沿正东方向行驶，当甲、乙两船相距最近时，他们行驶的时间为()A．eq\f(20,13)小时 B．eq\f(50,37)小时C．eq\f(10,13)小时 D．eq\f(100,37)小时【解析】选C.设当甲、乙两船相距最近时，他们行驶的时间为t小时，此时甲船位于C处，乙船位于D处，则AC＝20－6t，AD＝8t，由余弦定理可得，CD2＝(20－6t)2＋(8t)2－2(20－6t)8tcos120°＝52t2－80t＋400，故当CD取最小值时，t＝eq\f(10,13).3．(2024·阜阳高一检测)一艘船上午9：30在A处，测得灯塔S在它的北偏东30°的方向，且与它相距8eq\r(2)海里，之后它接着沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°的方向，此船的航速是()A．8(eq\r(6)＋eq\r(2))海里/时 B．8(eq\r(6)－eq\r(2))海里/时C．16(eq\r(6)＋eq\r(2))海里/时 D．16(eq\r(6)－eq\r(2))海里/时【解析】选D.由题意得，在△SAB中，∠BAS＝30°，∠SBA＝180°－75°＝105°，∠BSA＝45°.由正弦定理得eq\f(SA,sin105°)＝eq\f(AB,sin45°)，即eq\f(8\r(2),sin105°)＝eq\f(AB,sin45°)，得AB＝8(eq\r(6)－eq\r(2))，因此此船的航速为eq\f(8（\r(6)－\r(2)）,\f(1,2))＝16(eq\r(6)－eq\r(2))(海里/小时).4．如图所示为起重机装置示意图．支杆BC＝10m，吊杆AC＝15m，吊索AB＝5eq\r(19)m，起吊的货物与岸的距离AD为()A.30mB．eq\f(15,2)eq\r(3)mC．15eq\r(3)mD．45m【解析】选B.在△ABC中，AC＝15m，AB＝5eq\r(19)m，BC＝10m，由余弦定理得cos∠ACB＝eq\f(AC2＋BC2－AB2,2×AC×BC)＝eq\f(152＋102－（5\r(19)）2,2×15×10)＝－eq\f(1,2)，所以sin∠ACB＝eq\f(\r(3),2).又∠ACB＋∠ACD＝180°，所以sin∠ACD＝sin∠ACB＝eq\f(\r(3),2).在Rt△ACD中，AD＝ACsin∠ACD＝15×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(15\r(3),2)(m).二、填空题(每小题5分，共10分)5．一条形“标语”挂在墙上，把“标语”看作线段AB，射线AB与地面交点为D，且AB与地面垂直，AD＝17米，BD＝10米，某人直立看“标语”AB，眼睛C距离地面1米，当∠ACB最大时，此人的脚到D点的距离为________米．【解析】由题设，可得如下示意图：AB＝7，BD＝10，CE＝DF＝1，且∠ACB＝∠ACF­∠BCF，所以tan∠ACB＝tan(∠ACF­∠BCF)＝eq\f(tan∠ACF­tan∠BCF,1＋tan∠ACF·tan∠BCF)，若设DE＝CF＝x米，则tan∠ACF＝eq\f(AF,CF)＝eq\f(16,x)，tan∠BCF＝eq\f(BF,CF)＝eq\f(9,x)，所以tan∠ACB＝eq\f(\f(7,x),1＋\f(144,x2))＝eq\f(7,x＋\f(144,x))，而x>0，所以tan∠ACB＝eq\f(7,x＋\f(144,x))≤eq\f(7,2\r(x·\f(144,x)))＝eq\f(7,24)，当且仅当x＝12时等号成立．所以由题意，∠ACB∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))最大时，有tan∠ACB＝eq\f(7,24)，此时人的脚到D点的距离为12米．答案：126．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙隐私的最终遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A，B两点间的距离)，现取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则图中海洋蓝洞的口径为________．【解析】由已知得，在△ACD中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，所以∠DAC＝15°，由正弦定理得AC＝eq\f(80sin150°,sin15°)＝eq\f(40,\f(\r(6)－\r(2),4))＝40(eq\r(6)＋eq\r(2)).在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，所以∠DBC＝30°，由正弦定理eq\f(CD,sin∠CBD)＝eq\f(BC,sin∠BDC)，得BC＝eq\f(CDsin∠BDC,sin∠CBD)＝eq\f(80×sin15°,\f(1,2))＝160sin15°＝40(eq\r(6)－eq\r(2)).在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝1600×(8＋4eq\r(3))＋1600×(8－4eq\r(3))＋2×1600×(eq\r(6)＋eq\r(2))×(eq\r(6)－eq\r(2))×eq\f(1,2)＝1600×16＋1600×4＝1600×20＝32000，解得AB＝80eq\r(5).故图中海洋蓝洞的口径为80eq\r(5).答案：80eq\r(5)三、解答题(每小题10分，共20分)7．在南海伏季渔期中，我渔政船在A处观测到一外国偷渔船在我船北偏东60°的方向，相距a海里，偷渔船正在向北行驶，若我船速度是渔船速度的eq\r(3)倍，问我船应沿什么方向前进才能追上渔船？此时渔船已行驶多少海里？【解析】设渔船沿B点向北行驶的速度大小为v，则我船行驶的速度大小为eq\r(3)v，两船相遇的时间为t，则BC＝vt，AC＝eq\r(3)vt，在△ABC中，∠ABC＝120°，AB＝a，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos120°，即3v2t2＝a2＋v2t2＋vat，所以2v2t2－vat－a2＝0.解得t1＝eq\f(a,v)，t2＝－eq\f(a,2v)(舍去)，所以BC＝a，所以∠CAB＝30°.即我船应沿北偏东30°的方向去追逐渔船，在渔船行驶a海里处相遇．8．如图，某城市有一条马路从正西方AO通过市中心O后转向北偏东eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))角方向的OB.位于该市的某医院M与市中心O的距离OM＝3eq\r(13)km，且∠AOM＝β.新冠肺炎疫情期间，为了更快地将患者送到医院救治，要修筑一条马路L，在OA上设一中转站A，在OB上设一中转站B，马路在AB部分为直线段，且经过医院M．其中tanα＝2，cosβ＝eq\f(3,\r(13))，AO＝15km.(1)求医院M与中转站A的距离AM；(2)求马路AB段的长度．【解析】(1)在△AOM中，AO＝15，∠AOM＝β且cosβ