高中数学 《参数方程》教案 新人教版选修

参数方程

考点要求

1了解参数方程的定义。

2分析直线，圆，圆锥曲线的几何性质。会选择适当的参数，写出他们的参数方程。并理解

直线参数方程标准形式中参数的意义。

3掌握曲线的参数方程与普通方程的互化。

考点与导学

1参数方程的定义：在取定的坐标系中。如果曲线上任意一点的坐标都是某个变量f的函

x=/⑺

数,、(teT)(1)

y=g(f)

这里T是/«）,g«）的公共定义域。并且对于t的每一个允许值。由方程（1）所确定的点

M（x,y）。都在这条曲线上；那么（1）叫做这条曲线的参数方程，辅助变数t叫做参数。

2过点A。（X。,凡），倾斜角为a的直线/的参数方程

x=cosa

（错误！未找到引用源。）°（t为参数）

、y="+tsma

（错误！未找到引用源。）通常称（错误！未找到引用源。）为直线/的参数方程的标准形式。

其中t表示00（30，>0）,到/上一-点p（x,y）的有向线段PoP的数量。

t>0时，p在po上方或右方；t<0时，p在Po下方或左方，t=0时，p与po重合。

x-x+at

（错误！未找到引用源。）直线的参数方程的一般形式是：4°n（t为参数）

）=汽+历

这里直线/的倾斜角a的正切tana=q（a=0°或a=90°时例外）。当且仅当^+^二]

b

且b>0时.（1）中的t才具有（错误！未找到引用源。）中的t所具有的几何意义。

2圆的参数方程。

圆心在点。（x0,），o），半径为r的圆的参数方程是4°八（。为参数）

y=y（）+rsin。

x1v2fx=acos6

3椭圆f+==l的参数方程。\（6为参数）

a2b2[y^bsind

x2v2fx-asecd

4双曲线。一三=1的参数方程：1（。为参数）

ab-[y=btan0

5抛物线俨=2px的参数方程。=（t为参数）

J=2Pt

例1已知某曲线C的参数方程为4,（其中t是参数，aeR）,点M（5,4）在该曲

〔》=。厂

线匕（1）求常数a：（2）求曲线C的普通方程。

例2圆M的参数方程为+/-4Rxcosa-4Rysina+3R2=（]（R>O）.⑴求该圆的圆心

的坐标以及圆M的半径。（2）当R固定，a变化时。求圆心M的轨迹。并证明此时不论a取

什么值，所有的圆M都外切于一个定圆。

22

例3已知A,B分别是椭圆二+二=1的右顶点和匕顶点，动点C在该椭圆上运动，求AABC

369

的重心的轨迹的普通方程。

r2

例4求经过点（1,1）。倾斜角为135°的直线截椭圆L+:/=1所得的弦长。

4

〔解题能力测试〕

一1.八

X=_（Qd--）

I已知某条曲线的参数方程为：|2a其中a是参数。则该曲线是（）

1,1、

y=-（a--）

2a

A线段B圆C双曲线的一部分D圆的一部分

=+2

2已知某条曲线的参数方程为1x\（0<z<5）则该曲线是（）

A线段B圆弧C双曲线的一支D射线

22

3实数满足含+与=1，则z=x—y的最大值为：；最小值为。

4已知直线/的斜率为％=-1.经过点（2,—1）。点M在直线上，以>的数量t为

参数,则直线/的参数方程为：。

JQ—]_|_（sincc

5已知直线/的参数方程是4一（t为参数）其中实数二的范围是（二,万）。

y--2+rcosa2

则直线/的倾斜角是：。

〔潜能强化训练〕

x=sin。

（8为参数）所表示的曲线上的一点的坐标为（）

{y-cos20

A（2,-7）B（―,—）C（¥5）0（L。）

2下列参数方程（t为参数）与普通方程》2一>=0表示同一曲线的方程是（）

x=tantx=tanr

X=x-cosr

A<B-c}+cos2t01-cos2t

y=cos21yy~

1-cosIt1+cos2t

x=2cos6

（。为参数）的位置关系是（）

{y=2sin6

A相切B相离C直线过圆心D相交但直线不过圆心。

4设直线4一；（t为参数）。如果。为锐角，那么直线/1到直线4：x+l=0

y=2—，sina

的角是（）

冗71

A——aB—HacaD7i-a

22

5过点（1,1）,倾斜角为135'的直线截椭圆二+y2=1所得的弦长为（）

4

272472/-372

A----B----CV2D----

555

6双曲线百'an"（。为参数），那么它的两条渐近线所成的锐角是：_______。

[y=sec。

x—sin2。

（。为参数）表示的曲线的普通方程是：_______________

{y=sin6+cos。

8已知点M（2,1）和双曲线X?-上-=1,求以M为中点的双曲线右支的弦AB所在直线/的

2

方程。

9已知椭圆的中心在原点。焦点在y轴上且长轴长为4,短轴长为2。直线/的参数方程为

<X~f（t为参数）。当m为何值时，直线/被椭圆截得的弦长为布？

y=m+2t

10'求椭圆正+左二1上的点到直线'：-2k12=°的最大距离和最小距离0

〔知识要点归纳〕

1.参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的一种

表示形式，而且有的参数还有几何意义或物理意义。

2.面临一个轨迹问题，如何选择参数？如何用参数？是主要问题，必须在学习过程中深刻去

领会。

3.在参数方程与普通方程互化过程中，要注意等价性。

1+2f=5t=2

解：(1)由题意可知有《，故.\a=I

。广=4”1

X=l+2fr-1

(2)由已知及(1)可得，曲线C的方程为17由第一个方程得/=——代入第二个

y=产2

方程得：y=(±^—)2。即。一1)2=4y为所求。

〔点评〕参数方程化为普通方程的关键是消参数，并且要保证等价性。若不可避免地破坏了

同解变形，则一定要通过x=/(f),y=g(f)。根据t的取值范围导出的取值范围。

解：(1)依题意得圆M的方程为(x-2Rcosa)2+(y-2Rsinc)2=*故圆心的坐标为

M(2Rcosa,2Rsina)半径为R。

X=2/?COS6Z_,

(2)当a变化时，圆心M的轨迹方程为《(其中。为参数)两式平方相加得

y=2Rsina

*2*42

X+y=4/?\所以所有的圆M的轨迹是圆心在原点。半径为2R的圆

J(2/?cosa)2+(2/?sina)2=2R=3R-R,，,

由于________________________所以所有的圆M都和定圆》2+y2=R2外

7(2/?cosa)2+(2/?sina)2=2R=R+R

切，和定圆/+y2=9R2内切。

〔点评〕本题中所给的方程中含有多个参数，像这样的问题有时容易分不清哪个是真正的参

数，究竟在具体的题目中哪个是真正的参数应视题目给定的条件，分清参数。

解：由动点C在椭圆上运动，可设C的坐标为(6cose,3sin。)，点G的坐标为(x,y).

依题意可知：A(6,0),B(0,3)由重心坐标公式可知

x=------------=2+2cos.

3

八由此得：＜2⑴2+(2)2得

0+3+3sin。1.八

-----------=1+sm8y-1=sin8(2)

a-2)2,+(=i即为所求。

4

〔点评〕错误！未找到引用源。本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越

性。运用参数方程显得很简单。运算更简便。常用于解决有关最值问题。错误！未找到引用

源。“平方法”是消参的常用方法。

旦

」

-2

解：由条件可知直线的参数方程是：巫（t为参数）代入椭圆方程可得:

-

1+2

V2

(1—9/y5

——j—+(1+^-/)2=1即;户+30f+l=O设方程的两实根分别为A/。

672

,+=一

5672

则4则直线截椭圆的弦长是卜-修=百万二蕊

2

印