立体几何中的探索性问题-【题型·技巧培优系列】2022-2023年高一数学同步精讲精练（人教B版2019必修第三册）（解析版）

专题08立体几何中的探索性问题

。常考题型目录

题型1线面平行探索性问题..........................................................................1

题型2面面平行探索性问题.........................................................................12

题型3线面垂直探索性问题........................................................................22

题型4面面垂直探索性问题........................................................................38

区题型分类

题型1线面平行探索性问题

【例题1](2023春•全国•高一专题练习)如图，四边形口口口。中，【□□,,£70=6,

□□=?□□=4，口，侬别在OO，□口上，现将四边形口。。功台口。斤起，使。口，口口.

Q)若口口=1，在折叠后的线段口口上是否存在一点口，使得。。//平面。。口。？若存在，求出黑的值；

若不存在，说明理由.

(2)求三棱锥口一口口量勺体积的最大值，并求出此时点。到平面。距离.

【答案】Q)存在，蝶=|

(2)三棱锥A-CDF的体积的最大值为3,此时点F到平面ACD的距离为禽

【分析】(1)在AD上取一点P,使得携=1,证明线面平行，则P点就是所求的点；

(2)先设U,运用二次函数即可求出三棱锥O-□□□的体积最大值，再运用等体积法求出F到平

面ACD的距离.

A

【详解】(1)

AD上存在一点P,使得CP//平面ABEF,此时客=I,

理由如下：当携=|时，携=|,

如图，过点P作M〃FD交AF于点M,连接ME,则岩=零=[

LJLJLJLJD

•••BE=1,.-.FD=5,.-.MP=3,又EC=3,MP//FD//EC,r.MP〃EC,

故四边形MPCE为平行四边形，，CP〃ME,

又CPC平面ABEF,MEu平面ABEF,

.'.CP//平面ABEF;

(2)设BE=x，则AF=x(O<x“)，FD=6-x,

取口口-□□口=gxgx2x(6—。义。=—g(ZZ7—3)2+3,

二当x=3时，□□.□□而时电,且最大值为3,

此时EC=1,AF=3,FD=3,UD=2y[2,

:.□口=+。厅=3盘.□□=+£73+。万=V14,

在SCD中，由余弦定理得COSNZ7R7=裴合=□□口=苧，

□△□□□=g,■S\n乙□□口=3V3,

设。到平面。。中)距离为2,

□□-□□□=□□-□□□ij•%=3,h=V3.

综上，存在点P,使得CP〃平面ABEF,携=|,三棱锥。-□口口的最大值为3,此时点F到平面ACD

的距离为V5

【变式1-1]1.(2022・河北专题练习)如图，在底面半径为2、高为4的圆柱中，口,口分别是上、下底面

的圆心，四边形oooa是该圆柱的轴截面，已知a是线段口中)中点，。是下底面半圆周上靠近加三

等分点.

(1)求三棱锥口-DDO0勺体积；

(2)在底面圆周上是否存在点。，使得。D//平面口。。？若存在，请找出符合条件的所有O点并证明；若

不存在，请说明理由.

【答案】Q)竽；(2)存在，。为方2种中点，证明见解析.

【分析】⑴由图形得。2口也=□/再根据锥体体积公式求体积；(2)观察图形猜测。

为无的中点，利用线面平行判定定理，面面平行判定定理，面面平行性质定理证明猜测.

【详解】解：(1)因为圆柱的底面半径为2、高为4,。是线段。为勺中点，a是半圆周上的三等分点，

_11

所以三棱锥。-。口口的体积为：口□.□□□=-□□-□□□=§□□□口口,□□一三□□□□□,

□口

=；x；x2x2xsin120°x4x；x2x2xsin120°x2=孚.

32323

(2)存在点O,%曲勺中点，使得口切/平面.理由如下：

连接DO,因为口、磔半圆周的三等分点，

所以N□□口=Z□□□=Z□□口；

又,所以口口口口为等边三角形,所以4□口口=口口□=60°,

所以I□口;

又口口。平面□□□,口□u平面□口□,所以。夕/平面□□□;

由£7。0。是圆柱的轴截面，所以四边形。002是矩形；

又因为以为别是□口、。口勺中点，而以□□“□□,我

又礴□□□,口□U平面□口□,耐以□□//平面□□□;

目□□c□□=□,£7Z7u平面Z7ZZ7L7,□□《平面□□口，

所以平面OOD〃平面口□口；

又口口u平面口口□,所以£7。〃平面□□□.

【变式1-1]2.(2021春・全国•高一专题练习)如图，空间几何体OOO-UULJ^,四边形□□口口是

梯形，四边形ZZ7OO扇矩形，且平面£700。1平面口□L□□,口口=口口=

□□=2,口口=4是线段口。上的动点.

(1)试确定点M的位置，使□口].□□□,并说明理由；

(2)在(1)的条件下，平面口各几何体。SQ分成两部分，求空间几何体口-□□口与空

间几何体-的体积的比值.

【答案】（1）当M是线段。中点时，。〃/平面OZ7O,理由见解析；（2）：.

【分析】（1）由线面平行的性质定理确定M是线段中点，然后根据线面平行的判定定理证明.

（2）将几何体Z7Z7口-£7。次卜成三棱柱，由三棱柱和三棱锥体积得几何体。£7-£7口£7。的体积，再

求得三棱锥口-体积后可得所求比值.

【详解】（1）当M是线段口为勺中点时，□□]『□□□.

证明如下：连接S交Z7行点N,趣妾,如图，由于M、N分别是0a勺中点，

而以,又。。在平面内,且。，不在平面£7/70内,所以口口〃平面□□□.

（2）•.四边形。£7。浸矩形，:.口口人□□又□□工,且O£7c□口=口,

□□1平面□□□,

平面口□□□1平面□□口口，平面□□□□C平面□□□□=□□,□□u平面□□口口,□□1□口,

所以□□L平面□□□□,又Su平面£70。。，所以£701,

将几何体。。。一£7。讨卜成三棱柱。口口一口口口,

三棱柱OZ7Z7-口ZZ7/D0勺体积ZZ7=口区□□口■口□=gx2x2x4=8,

则几何体0〃〃一0/70$）体积&=□-□□口口口=8-Jxgx2x2）x（4-2）=y,

又三棱锥。一DO型函只4=gx（；x2x2x；）x4=g.

二空间几何体〃口。与空间几何体〃。。一体积的比为g:得一§=

【变式1-1]3.（2021春・福建三明・高一福建省宁化第一中学校考阶段练习）如图，正三棱柱m口-

口i口&的底面边长为2,高为苧，过口中）截面与上底面交于口口,且点。是棱&&的中点，点。在棱

口1口1上.

（1）试在棱上找一点o,使得。a/平面,并加以证明；

（2）求四棱锥。一口口。。的体积.

【答案】（1）点％棱02勺中点，证明见解析；（2）]

【分析】（1）证法1：取。。的中点。，连接，口、口,可得&口川平面口口□口,再由线面平行的性

质可得4,则可得a是棱&a的中点，由三角形中位线定理结合已知可得四边形。a是平

行四边形，可得口口1口1口,然后由线面平行的判定定理可证得结论；证法2:由已知条件可证得007平

面□□□、口、,从而得OOZ74是平行四边形，口□“□□、,由线面平行的判定可得。。/面Z7O4&,

厮得面□□□画口口口1口1,再由面面平行的性质可得结论；

（2）解法一：连接口口,四棱锥口-00/70可视为三棱锥口一口口的□-£700组合而成，然后分

别求出两个三棱锥的体积即可；解法二：分别取口皆口&&的中点。,n,连接/J。,口□,连接以故

口R氤口,连接口口,口口,可证得平面口。。。1平面,则口。，平面Z7OZ7Z7,然后结合

已知条件求出等腰梯形。勺面积，从而可求得四棱锥的体积

【详解】（1）证法1：点匚为棱勺中点，证明如下：

取£7牛中点。，连接。口，.

♦：口口口\口1I□□d^^LJUUtJ,仁平面ZZ7Z7。。，

:I平□□□□：u平■（§]□□□口n平•面ZZ7[□、□[=□□：

:□口11□、□、、

又。是棱d口、的中点，二a是棱口、d的中点，

:II□□,□=—□□

■:口I侬别为棱04,〃中中点I□□='□□

:II□□]□□、=□口

・•・四边形谟平行四边形，.•.Z7D/0D,

,□□仁□□□、□[，,ZZ7Z^/平面ZZ7ZZ7ZZ71ZZ7i.

证法2:%。中)中点时，□□"频□□□】□、.

证明如下：

,.•口口1平面口、&□、,□□u平面□□口口,平面口口□口n平面a□、口]=□口,

:□□《平面口口口1口1,ZZ7ZZ7U平面,所以□□“平面□□□]□],

又:口％口口^中氤,%&a的中点，，口是平行四边形，.••00/0&,

又|，/l7ZZ70平面/Z7ZI7/Z7i/ZZ|,□u平■卸ZZ7ZZ7ZZZ]□、,,

又口与£70在平面。。ZJ内相交，:面口口口1面口口口1口1,

又,.,/ZZZZZu面OZ7ZZ7,二。。/平面.

(2)解法一：连接口□,四棱锥口—可视为三棱锥。一口口曲□-DO国合而成，三棱锥

□-£700可视为□一□□口,底面积么so=^Z^=V3,高为1,

设=口，体积为&=：xgx9=’

三棱锥。-□口□与口一£70%高，体积比为底面积之比，

11

-心=-

设□□.□□口=口2I则&：口'=□»□□□=□□:□□=1:2,故424

因此，□□-□□□□=&+。2=［即为所求.

解法二：分别取O次口a口的中点£7口侬口口，口□,连接&。交27。于点。,连接，口口.

△□口州&&&口是正三角形，且口,口分别是£7/不口&&的中点,

1□□,且ZZ7ZZ7II□、□I□□=,则。，口,U,a四点共面.

_L平面Z7。。，□□u^^uuuI：.□□、1on,

又□□,□□、u平面。DOa,UEJc□□、=,

,：□口u平面□□□□，，平面□口□□1平面□□□□一

在地形□□□□［中,□口=□□、=y,□□、=□□百□□:V3,

；.□、□=□□=□口、=□□,；/□、口□=4口口□=45°,且□□=近□□I=y,

"□□□=90°,即OO_L□□.又平面£7Z7£7£71平面ZZ7£7£7Z7i,

平面□□□□(>^^□□□□1=□□,£7£7u平面Z7£7L74,，£7£71平面。£7Z7Z7.

在等腰梯形，口□=；口、口、='，口口=2,□□=□□='□不口d=y,

.•等腰梯形。。02勺高力=、□仃-乎再=f,

，四棱锥口一口□口口的梅积口=三口口.口播*nnr1rl=［□□吟(□□+口口小="日x

3梯记LJLJLJLJo23N

*1+2)H

【变式1-1]4.（2022・全国•高一专题练习）如图，在四棱锥。-口口口小，直线口。垂直于平面口

□□]]□□/□□□=90°z且ZZ7ZZ7=□口=4,□□—W□口=2V3.

（1）求四棱锥O—OOO。的体积.

（2）在。。上是否存在点F，使得口。〃平面口口。？若存在，求出第勺值；若不存在，说明理由.

【答案】（1）873；（2）存在，器=；.

【分析】（1）利用椎体体积公式，即可求解.

（2分别取£7。OO的中点E,F连接口D,OH,Z7Z7得到四边形叨Z7Z7是平行四边形所以

即可求解.

【详解】解：（1）如图，过点D,交□□于氤M,则=4□□口=90°.

因为口口,,所以四边形0002是平行四边形，

所以□□=口□=2,口□=口口=2V3.

因为。0=4,所以口口=V16-12=2,所以口口=4.

则四边形£7。。。的面积为吟竺=6V3.

由题意可知是四棱锥口-□□□DW,则该四棱锥的体积为gx6V3x4=8V3.

(2)分别取。。中］中点E,F,连接。口口口,

因为E,F分别是口口02勺中点，所似口□=；

由(1)可知□□//□□,□□=♦：］口,但以□□=□□,

所以四边形。是平行四边形，而以

因为Z7Z7u平面0/7/7,口□《平面口□□,所以。切/平面OZ7Z7.

故存在点F,■导口□“平面口口口,此时L

【变式1-1］5.(2021•全国•专题练习)如图，四棱锥。一口口口供,OZZ71平面£70。。，

口□=2口口=2,,口^线段□口上,口口=A□□,□□吟.

(2)线段。。上是否存在一点口，使口口怦面□□□?若存在,请确定点O0勺位置；若不存在，请说明

理由.

(3)若%口中)中点，在(2)的条件下，过口。的平面交平面。。。于直线口，求证：noun

【答案】(1)g；(2)存在；点。为线段Z7O0勺中点；(3)证明见解析.

【分析】(1)由于=/所以由已知条件求出口口巾=1.1.2=1,从而可求得结果；

(2)存在点O为线段£7。的中点，取。中］中点口，连口□,口□,由三角形中位线定理再结合已知可得

四边形0。是平行四边形，从而可得口口/口口，进而由线面平行的判定定理可证得结论；

(3)设过。中］平面为O,由(2)知点口为线段£700勺中点，则由三角形中位线定理可得00/0。，再

由线面平行的判定和性质可得结论

【详解I1直角梯形0005由□□=2口□=2,口口,□□=4□□□口=当母口□=1,

:=g•1•2=1,

=□□-□□□=gx□口口x□□=gx1x1=g,

(2)存在点依线段中点.

取口为］中点。，连口口,,

由三角形的中位线的性质，

□□U□□,□□=；口□,

又□□口□口,□口=~口口,

所以□□=□□,所以四边形口口口2是平行四边形，

所以□□〃口□,

□□N^^IJUU,£7ZZ7u平面ZZ7ZZ7。，

所以口口11平面□口口,

p

4MB

(3)设过。。的平面为。，由(2)知点取线段。中点,又口为0世中点

:.口口11口口,

又□口C面□□□,□□u平面□□口

:平面□□口

又面£7。面£700=□.OZ7U平面。

：.□□"口

题型2面面平行探索性问题

【例题2](2023・全国•高一专题练习)如图，在四棱柱口Z7OZ7-4&&&中，点M是线段功□[上

的一个动点,E,F分别是口口口O0勺中点

(1)设G为棱£7£7上的一点，问：当G在什么位置时，平面口口□||平面口口口□[?

⑵设三棱锥〃一也蜜勺体积为a,四棱柱口-ova的体积为4,求居

【答案】(I)G为。。中点时，平面□口口||平面ooaa；

⑵工

-12

【分析X1)G为。。中点时，先证£7。||平面，再证SII平面OZ7&O1,即可证得平面OS

II平面£7£7。14;

(2)由□□-□□□—□□-□□□—；□□-□□□】结合。1□、Z平面口口6导□□一□□□—□□「□□□—:口2

即可求得&=七&.

【详解】(1)

G为。。中点时，平面□口口||平面。O4口，理由如下：连接。D,取口中中点口，浸妾口口,口口,

因为E,F分别是oaog］中点，则口口||口口，□□史平面□□□、口一□□U平面□□□］口［网口口

II平面OOZZ7lZZ7l1

同理可得。。Han,。。仁平面,uuu平面□□□、口、,则。。II平面。,

又LJUc□□=n,£7aZZ7£7u平面£7£7Z7,则平面Z7ZZ7O||平面。。©口；

(2)由F是口中点得□□一□□口=□□-□□□=~□□.□□□，又□、4II□口r□口u平面□口口,

e平面ZZ7ZZ7ZZ7,则/27|27II平面□□□,

又点M是线段a4上的一个动点,则□□.□□□=□□口=；□□「□□□□=；乂

11

则瞪=2

【变式2-1]1.（2021春・安徽合肥・高一合肥市第六中学校考期中）如图，正三棱柱OO0-口1口14的

高为g,底面边长为2,点。分别为aa上的点.

（I）在棱。a4上是否存在点&使得平面平面oaa?请说明理由；

（n）在（I）的条件下，求几何体口口&□[□[c种体积.

【答案】（I）存在，理由看解析；（n）%可体口-=2.

【分析】（I）连接交。a于。，连接,由平行线截线段成比例结合平面。&。//平面

可得口、口分别为棱。〃，a4的中点，；

（n）由棱柱体积减去两个三棱锥的体积即可.

【详解】（I）如图，连接交于点口，连接。a.

由棱柱的性质，知四边形为平行四边形，

二点勺中点.

;平面平面，且平面aoan平面/74/7=，平面4/jqn平面£7&Z7i=

□、口,

：，□□#□、口,同理口口小口口1,

.□[_CJy□□、□、_□口

,44—~~DD'

又••生3=1•01旦===1

乂.口□一,□、口、□口,

即功勺中点,a为&&的中点.

故当4口1分别为棱口□,&01的中点时，平面/740〃平面0。14；

注：以"乃。/加中点，4为&&的中点”为条件，证明"平面□□、口“平面口口口也算对，酌

情给分.

（n『□三雌□□□-□、mTX2XKXK=3,

口三雌□、=口三雌□、-□□□=3X2XlX^X>^=2,

，,口几何体口□□、口1口口=3_2x/=2.

【变式2-1]2.（2021云南昆明・昆明一中校考模拟预测）在如图所示的五面体ABCD讦中，MDF是正

三角形，四边形ABCD为菱形，乙□□口鸣,EF〃平面ABCD,AB=2EF=2,点M为BC中点

（1）在直线CD上是否存在一点G，使得平面EMG〃平面BDF,请说明理由；

（2）请在下列两个条件中任选一个，求该五面体ABCDEF的体积.

1

①cos乙□□口=-;②EM=2.

【答案】（1）CD的中点G，理由见解析；（2）条件选择见解析；体积为|.

【分析】（1）取CD的中点G，根据中位线得GM//BD，可证四边形OMEF是平行四边形，则有OF//EM,

即可证到平面EMG〃平面BDF;

(2)选择①由COSNOOZ7=:求得0/7=佃，如图，五面体ABCDEF可由三棱柱ADF-BCP截去三棱锥

E-BCP得至!|;选择②有0F=EM=2,可证FN_L平面ABCD,求体积时同①.

【详解】解：(1)连接AC交BD于点0,连接0M,OF,取CD的中点G,连接GM,GE

因为EF〃平面ABCD,EFu平面ABEF,平面ABEFD平面ABCD=AB,所以EF〃AB,

因为OM//AB//EF所以四边形OMEF是平行四边形，所以OF〃EM,

因为EMC平面BDF,OFu平面BDF,所以EM〃平面BDF,

因为点G与点M分别为CD与BC的中点，所以GM//BD,

因为GMC平面BDF,BDu平面BDF,所以GM〃平面BDF,

而GMOEM=M,平面EMG〃平面BDF;

(2)选择①：

在ABDF中,BD=DF=2,cos乙□□口=:,怩以口口=V6,

在ABNF中，□□=□□=V3,口口=V6,所以BN±FN,

因为△ABD是正三角形，所以BN±AD,

因为ADCIFN=N,所以BN_L平面ADF,

因为BNu平面ABCD,所以平面ADF,平面ABCD,

如图，五面体ABCDEF可由三棱柱ADF-BCP截去三棱锥E-BCP得到

5551r-

所以□□□□□□口—=Q=Q'□»□□□，口□=gx-x2xv3x

V3=|

选择②

由（1）有0F=EM=2,取AD中点N,连接FN,ON,BN,

在AONF中，0/7=V3,ON=1,0F=2,所以ON_LFN,

因为AADF是正三角形，所以AD_LFN,

因为ADnON=N,所以FN,平面ABCD,所以平面ADF_L平面ABCD,

因为△ABD是正三角形，所以BN±AD,

因为平面ADFC平面ABCD=AD,BNu平面ADF,所以BN_L平面ADF,

（选择②求体积时，需多证一组线面垂直，即证明dB-ADF=BN）

下同①，略.

【点睛】思路点睛：求几何体的体积，要注意分割与补形.将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为

规则的几何体求解.

【变式2-1]3.（2019春・江西南昌•南昌二中阶段练习）已知四棱锥O一0口口为勺底面为平行四边形，

其中□□1^^口口口口，苛口口=2口口=2口口/口口口=60\口、为别为□□、口口点，过

OO作平面分别与线段O。、OO相交于点。、口.

（1）在图中作出平面口口口口，使平面。。。口/平面口口口（不要求证明）；

②若口口=4,在（1）条件下求多面体口口量勺体积.

【答案】（1）证明详见解析

⑵誓

【分析】（I）结合面面平行的判定定理作出平面00OO.

（2）将多面体。0。。0为割成两个锥体，由此计算出多面体的体积.

【详解】（1）设a侬别是oa勺中点，连接oa□口口□,代平面口□□□“平面□□□.

附理由如下：由于aa分别是。a勺中点，所以。

而口口11口□,附以□□“□□,任于口口0平面□□□,DOu平面OOO,所以口□“平面□□□.

另外，由于aa分别是。次勺中点，所以□□“口口,奥'口口”口口,即口，□口。四点共面.

由于a匚粉别是口口,。牛中点，所以口口"口口,□□=；□□

茁于口口定平面□□□,口口^^口口口,RR以平面□□□.

由于n口口=口,□口,□口口口,

所以平面口口口口1平面□□□.

(2)□□=配□□=□□=□□=2,□□=□口=2,□□=；□□=1,

连接/17a口□,则△是等边三角形，□□□□□□□=□□-□□□□+

由于。。1平面ODOO,□口，所以£701平面口口口口,口口U平面□□口口，所以口口1口口,

而口口,所以□□一□□口=；x□&□□口x£7O=；x(；x2x2xsin60°)x1=£

NJJ/J

由于□□=□□,所以四边形o口口，是平行四边形，

由于00=2.所以四边形Z7DOD是菱形，。DlOO

设口□△口口=口,则

由于□□L加口□□□,UUu.□□口口，所以。£71口□,

由于。On□□=D,□□u.口口口口,所以□□工平面□□□□.

在三角形中,□□=□□=□□=2,所以三角形是等边三角形,所以口口=V3.

由上述分析可知"/DO,所以四边形是直角梯形.

所以口口-□□口口=g•□□□□□•□口=g•野-1•V3=y.

所以□□□□□□□=□□-□□□□+=y+y=尊

【变式2-1]4.(2023春•全国•高一专题练习)如图,在四棱锥口-□□□消,底面四边形口口口。是

平行四边形，1,O0=2,口加别为楼口□,口量勺中点.

⑴证明：口口11平面口口口;

(2)在底面四边形内部(包括边界)是否存在点口，使得平面SB/平面OOO?如果存在求点。的位置,

并求口也勺最大值，如果不存在请说明理由.

【答案】Q)证明见解析

(2)存在，理由见解析，。中)最大值为2

【分析】(1)作出辅助线，证明线线平行，从而得到线面平行；

(2)取中点为Z7,连接O。，口□,证明出面面平行，从而得到点中］位置，且求出OU的最大值.

【详解】(1)证明：取口量勺中点O,连接口口口□.

•••△□□咕,口,为别为口口，口或中点，二口口11口口,□□屋口口,

•••□、侬别为Z7Z7、O次中点，:.口口11口□,□□=\口□,口口打□口，口□=□□,

故四边形平行四边形，

平面□□口，口口c^^UUIJ,：.£7。/平面

(2)解：取。口中点为£7,连接OO,口口,

在^UUU^,口,通锁为Og)中点，二口口1口口，

•：Z7Z7仁平面Z7ZZ7az7£7u平面ZZ7Z7Z7,。£77平面ZZ7Z7ZZ7.

因为□□“□■□□=□□‘目口、。分别为£70、£7二的中点，所以，□□1口由口口=口口,

所以，四边形为平行四边形，.••□□口□□,目口□=00=2,

•.•《平面□□□,□□u平面□□口，：.Z707平面0/27/7

又O£7n□□=(J,目□口,□□口口口,故平面ZZ7ZZ7a7平面Z7Z7A.

所以点。存在，目口£口□,即点os线段oat移动，可使平面□□口怦面口口口,

当点主动到厘寸，此时口OB勺最大值，最大值为2.

【变式2-1]5(2023春•全国•高一专题练习如图在四棱柱。口1口]□[&中点2是线段&口1

上的一个动点，口，a分别是。口，口中中点.

(1)求证：□□“钙□□□[□];

(2)设次棱心上的一点，问：当。在什么位置时，平面□□□//平面口口口1口1?

【答案】(1)证明见解析；(2)口是口田点、.

【分析】（1）根据给定条件，连接口口,推导证得。。〃口口^可得解;

（2）由Q）的结论，取CD的中点G,证明出平面0。&&即可作答.

【详解】（1）在四棱柱。。。。一口'□'□[□i中,连接DO,如图，

因口，2分别是。Z7,OO的中点，雁又平面□□□、口、,口口匚平面□□□、□],

即以□□“平面□□□、□];

（2）口是。。中点，使得平面□口口〃平面口口口口,理由如下：

取CD的中点G,连接EG,FG,而。是口中）中点,千感得口□“□□,

而《平面口口口1口1,£7Z7u平面ZJLZqa,

仄而得□□//平面□□□]□、由Q]知平面口口=口，且口口口口匚淬面□□□,

因此有平面平面S&a,

所以当U是。。的中点时，平面。。0//平面□□□、口.

题型3线面垂直探索性问题

【例题3]（2022秋・青海海东•校考期中）如图，四棱柱□□口口一口1口1口1口1中,底面ABCD是菱形，

乙□□口=60°,口口1_L平面ABCD,E为。&中点,=□口=2.

⑴求证：//平面口1口1口;

(2)求点C到平面&□［勺距离；

⑶在Z7a上是否存在点M,满足1平面口&若存在，求出AM长，若不存在，说明理由.

【答案】(1)证明见解析；

⑵喙

⑶存在,竽.

【分析】(1)连&&交aa于点F,连EF,由中位线定理以及线面平行的判定证明即可；

(2连4磔讦于点N，由题可得=3an进而点c到平面a5。的距离是点口到平面&口、口

的距离的3倍，然后根据等积法即得；

(3)由线面垂直的性质证明。41□、口］，作,垂足为M，由线面垂直的判定证明OZN_L平

面口口口,最后得出AM的长.

【详解】(1)连&&交a&于点F,连EF,

，二口1口1口、a是菱形；

.•.F是&&中点，又:E是Z7&中点，

又:ZZ72Z7u平面£7,□0平•向□、□、口,

〃平面&口；

(2)连&。交EF于点N,棱柱中口1。是平行四边形，且E,F分别为,□、4中点，

；.□口=3口t又ZZ7£7u平面ZZ7i口、口,

点c到平面口口、。的距离是点&到平面a口1中）距离的3倍,

.・菱形□口、口、中,土□、□[□、=上□□口=60°,又=□口=2,

:口、=2'口□、-2A/3,UyD—1,

又1平面ABCD,Z7£7u平面ABCD,

.L□□i又。1〃i〃/Z7ZZ7,

1□、□、,:•□口=V2,

因为□、□[=2V3,□、£7=1,□]□=□、口=V5,

•口]□[■面积为:口、口、,□、口=V3,△口、□[面积为:□[□、,口口=V6,

由□□「□、口、□=口口-口口1小得;口4口3、口，%=g□△□、□、口、,口】口，其中h是a到平面&□、厅勺距离，

：人=y,

.•点c到平面4□、，的距离为苧；

（31平面ABCD,平面&□[aa〃平面ABCD,

:J_平•向□、□、□、□、1,：□[□]u平•向□、□、□、□、,

：.□、□、J_□□、）

，□、口1口1□、1n□□、=u平面ZZ70rlz17i,

_L平面£7ZZ7iZZ7i,又ZZ7ZZ7iu平■面□□、口、,

iaa,

在Rg£7&&中，过F作OOJ.□□「垂足为M,

又/Z7/Z7n口1口1—□,口□,□[u平向口□、口、,

所以口口_L平面£744,

,存在M满足条件，

在Raz7aa中，□□[=。1a=2,□□、=2五,F是&a中点，

:.口口=口口号,

.•.。£7=2夜-孝=苧.

【变式3-1]1.(2006•山东•高考真题)如图，已知四棱推。-底面DOOR等腰梯形，口口、

□□,□□工口□,□□与口口^交千点、O,且顶点P在底面上的射影恰为。点、.又□口=2,□□=

戏,□□L□□.

(1)求异面直线口。与。。所成角的余弦值；

(2)求二面角口一口口-2勺大小；

⑶设点M在梭口□上,且累=口,问%何值时，口□母面口口口.

【答案】Q)誓；

(2)45°;

(3)见解析.

【分析】(1)由已知得到PO,平面ABCD,利用线面垂直的性质得到POJ^BD,过D做DEllBC交于AB

于E,连接PE,则NPDE或其补角为异面直线PD与BC所成的角，利用平面几何即可得解；

(2)连接0E,由。£7£7口为等腰梯形，而以□□=口□,且R中点，所以□□L□□、又口□，平

面□□口口,ZPEO为二面角P-AB-C的平面角，然后求值即可；

(3)连接MD,MB,M0,利用PQ平面BMD,得到PC±OM,Rt^POC中求的PM=竽，MC=f.

【详解】(1).P。，平面ABCD,.-.PO±BD

又□□工□□,口□=2,□□=V2,

由平面几何可得：口口=1,口□—V3,□□=V6,

过D做DEIIBC交于AB于E,连接PE,

则dDE或其补角为异面直线PD与BC所成的角，

•.四边形ABCD是等腰梯形，

.'.OC=OD=1,OB=OA=2,OA±OB

:，□□—V5,口□-2V2,ZZ7ZZ7=V2

又ABIIDC.•.四边形EBCD是平行四边形.

:，□口=口口=V5,□口=口□—V2

」.E是AB的中点，且口

又口口=口口=瓜,

.1△PEA为直角三角形，

Jg-口厅=76^2=2

在APED中，由余弦定理得COSN3〃=^二会二鬻

故异面直线PD与BC所成的角的余弦值为鬻；

(2)连接0E,由0/7。磔等腰梯形，所以口□=口□‘且孕口口中点,

所以。£7_L□口,又。Z71平面。ODD,

zPEO为二面角P-AB-C的平面角，

.•.sinzPEO=^=^,.-.zPEO=45°,

•・二面角P-AB-C的平面角的大小为45°;

(3)连接MD,MB,M0,

；PCJ■平面BMD,OMu平面BMD,

.-.PC±OM,

在Rt^POC中，PC=PD=V3,OC=1,PO=在，

...PMWMCJ

.□□_2

一历=3'

故人=I时，PCJ_平面BMD.

【变式3-1]2.(2023春•全国•高一专题练习)如图，在四棱锥A-BCDE中，四边形BCDE为菱形，口口

口口=3,。口=2g,AE=AC,点G是棱AB上靠近点B的三等分点，点F是AC的中点.

(1)证明：OZ7II平面CEG.

⑵点H为线段BD上一点，没口口=□□□,若AH,平面CEG,试确定t的值.

【答案】⑴证明见解析；

(2)0.

【分析】(1)取AG的中点I,记口口门=口，连接FI,DI,GO,由三角形中位线定理可得Sil

口口,口□”口口,然后先证得线面平行，再可证得面面平行；

(2)由已知可得AABC¥ABE,则GC=GE,得OC^OG,结合已知可得OC,平面ABD,则OC±AG,

利用余弦定理求出O。，再由勾股定理的逆定理可得BG±OG,由线面垂直的判定可得AG_L平面CEG,

从而可得H与B重合，进而可求得结果.

【详解】(1)证明：如图，取AG的中点I,记口口门口口=D,连接FI,DI,GO.

在AACG中，F,I分别为AC,AG的中点，所以£7011口□,

同理，在ABDI中，有£7011口口,

因为口口,口□右平面□□□,口口,口□u平面□口口,

所以OOII平面。£70,

因为O£7n□□=□.□□,□□^^□□口,

所以平面OO0II平面□口口,

又OZ7u平面IFD,

所以311平面CEG.

(2)解：因为底面BCDE是菱形，所以OCJ.OD.

因为AE=AC,BC=BE,所以3BCNABE,

则GC=GE,

又因为点。是EC的中点，所以OCJLOG.

因为□□□口口=口,。£7口u平面ABD,

所以OCJ.平面ABD,

因为DOu平面ABD,

所以OC_LAG.

因为口□=口□—3,口□=2A/3,

所以COSNOOO=窈=今

则口口=J口炉+£7炉-2口□-口口/乙□□□=V2,

则。炉+£7厅=口吁,所以BG±OG.

又因为□口=口,口Ou平面CEG,

所以AGJL平面CEG.

若AH_L平面CEG，则H与B重合.

故0=0.

【变式3-1】3.(2023•全国专题练习)若图，三棱柱。口□-。。的侧面。是平行四边形，

□□i1□□「□□、工口口,且口、U分别是£70、。4的中点.

（1）求证：平面口1□、口口;

（2）在线段oah是否存在点£7,使得口41平面£7£7口？若存在，求出等的值；若不存在，请说明理由.

【答案】Q）证明见解析

⑵存在，器=；

【分析】（1）取&&中点0,连接口。、口口,证明出四边形O口DD是平行四边形，可得出口□“口口,

再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；

（2）取口木中点o,连接口□、、证明出平面口口。/平面口。&4,口口11平面口口口1口1,

可得出1平面£70。，由此可得出结论.

【详解】（1）证明：取&&中点O,连接口□、

因为以侬别是04、04的中点，

所以口□〃口[口、且口口=

在平行四边形