立体几何中的由夹角求其它量问题-2022年高考数学二轮复习之大题核心考点训练(新高考地区)(解析版)-高考数学备考复习重点资料归纳

第三篇立体几何

专题04立体几何中的由夹角求其他量问题

常见考点

考点一已知线线角求其他量

典例1.如图，在三棱柱A8C-A/8/C/中，A4/C/C是边长为4的正方形，平面45C，

平面A4C/C,AB=3,BC=5.

(1)求证：ABLAiC；

(2)在棱44/上是否存在一点尸，使得异面直线A。与8F所成角为60。，若存在,

求出4斤长；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)证明见解析；(2)存在，3.

【解析】

【分析】

(1)由已知的数据可得BC2=ABi+AC2,从而得43LAC,再由面ABC_L平面AAICIC,

可得A3,平面AAICIC,进而可证得ABLAiC；

(2)如图，以A为坐标原点，AC,AB,A4分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

然后利用空间向量求解即可

【详解】

(1)证明：因为A4/C/C是边长为4的正方形，所以AC=4,又4B=3,BC=5,

所以83=482+40,所以ABLAC,

因为平面ABC,平面A4/C/C,平面A8CC1平面AA/C/C=AC,A8u平面ABC,

所以平面A4/C/C,因为A/Cu面A4C/C,

所以A8LA/C.

(2)如图，以A为坐标原点，AC,AB,44/分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,

则A(0,0,0),C/(4,0,4),B(0,3,0),设厂(0,0,a),

„,LIULlUUU

则AG=(4,0,4),BF=(°，-3,«),0<a<4,

因为异面直线AO与8”所成角为60。，

uuuruis

uuuumAC].BF|4«|1

所以|cos<AC.,BF>I=PtnLmn-=——~,

AC,BF4拒xj9+/2

解得a=3,所以F(0,0,3),

则AP=3,

所以在棱A4/上存在一点F,使得异面直线A。与BR所成角为60。，此时AF=3.

变式1-1.如图：在三棱锥P-ABC中，幺，底面ABC,NBAC=90。，点力，E,N

分别为棱PA，PC,8c的中点，M是线段AO的中点，PA=AC=4,AB=2.

(1)求证：MN〃平面BDE;

(2)己知点H在棱PA上，且直线AW与直线BE所成角的余弦值为立，求线段A”

21

的长.

【答案】(【)证明见解析；(2)|或1

【解析】

【分析】

(1)取A8中点尸，连接MF、NF,则由三角形中位线定理可得NF//DE,

由线面平行的判定定理可得M/〃平面8DE,NF〃平面BDE,再由面面平行的判定

定理可得平面MFN〃平面BDE,从而可证得MNH平面BDE:

(2)如图建立空间直角坐标系，设A//=/7(04/744),则”(0,0,〃)，利用空间向量求

解即可

【详解】

(1)证明：取A8中点尸，连接

：例为4。中点，工MF1/BD,

BOu平面BDE,MF(Z平面BDE,

/.MF〃平面BDE.

•；N为8c中点，

NF//AC,

又D、E分别为针、PC的中点，

DE//AC,则NF//DE.

P£u平面BDE,NFU平面BDE,

：.NF〃平面BDE.

又MFNF=F,MF、NFu平面MFN.

：.平面MFNH平面BDE,

MNu平面MFN

/.MN〃平面BDE；

(3)解：因为%J_底面ABC,ABI平面ABC,ACu平面ABC,

所以「A_LA3,PA_LAC,

因为Nft4c=90。，

所以以A为原点，分别以A8,AC,A尸所在的直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如

图所示，则40,0,0),5(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),D(0,0,2),

E(0,2,2),N(l,2,0),尸(1,0,0),

依题意，^AH=h(O<h<4),则"(0,0,/?),

UUllUU1

进而可得NH=(-1,-2,h),BE=(―2,2,2),

uuiruur

,uuiruurNHBE|2/i-2|_V7

由已知，得cos(NH,BEwtr~trar

NH-BE“2+5x2621

Q1

整理得10后-21〃+8=0,解得九=1或力=；,

所以线段AH的长为g或，

变式1-2.如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PCO是等边三角形且垂直于底面ABCD,

底面A8CD是矩形，AB=2AD=2,£是尸。的中点.

(1)证明：CEJ■平面PA。；

(2)点尸在棱PB上，且直线AF与直线8c所成角的余弦值为巫，求二面角

3

A—。尸一C的余弦值.

【答案】(1)见证明；(2)-B

4

【解析】

【分析】

(1)证明CE1AD,结合CE1PD,即可证得CEJ•平面尸40.

(2)建立空间直角坐标系，分别求出各点坐标，由直线AF与直线BC所成角的余

弦值为恒求得点F的坐标，再求出平面49尸，平面。FC的法向量，利用法向量夹

3

角公式得解.

【详解】

(1)平面PCDJ_平面ABC。，平面「8c平面AB8=C£),ADu平面A8GD,

ADVCD

平面PC。，又CEu平面尸C£),:.AD±CE.

侧面PC。是等边三角形且E是PQ的中点

:.CEYPD

又ADcPD=D

.•.C£J•平面PAD

(2)如图，以。为原点，以俄为x轴正方向，以价为y轴正方向，建立空间直

角坐标系。一孙z,则£>(0,0,0),4(1,0,0),3(1,2,0),C(0,2,0),P(0,l,6)

z

UUV/r—\uuutUUDt

6P=（-1,-1,G）,AB=（0,2,0）,5C=（-l,0,0）

点尸在棱PB上，设3E=/L3P（0</lWl）,

UWUIWULU/L\

AF=AB+BF=（一几,2-2,<3/l]

•.■直线AF与直线BC所成角的余弦值为恒.

13

umrum..,—

/i吧册:\AF*BCAVI3

二.cos（Ar,BC）=[wyiT^crf=1=——

'/MM卜）2+（2_疔+（前13

X-.0<2<l,解得：2=^

即尸为P8的中点

uins,（13百）tiu«,、uiny

-A£>=（T,0,0）DF=

k2227

设平面45尸的法向量为〃=（xi，y,zj,则

vUUH，13x/3

n•AF=——x.+—y.H-----z.=0

212121

Vuuw

n•AD=-%1=0

令y=1,则〃=（0,1，一⑹

设平面CDF的法向量为a=（%，%，22），则

v1,3一

Yl•Dr=-H---必H---6---Z,二_0n

2-222.

Vuuiv

n•DC=2y2=0

令Z?=l,则"2=卜6,0,1)

Vyj—

/VQV\5/3

cos<〃⑹=酮=一彳

二面角AR—C的余弦值为小

【点睛】

本题主要考查了线面垂直的判断，考查转化思想，还考查了平面法向量的求法、利

用空间向量求二面角的平面角大小、利用向量求线线夹角，考查计算能力，属于基

础题.

变式1-3.在如图所示的几何体中，四边形ABC。是正方形，四边形AOP。是梯形,

TT

PD!!QA,Z.PDA=—,平面ADPQJ-平面ABC£),且AD=P£>=2QA=2.

⑴求证：纱〃平面出兀；

(2)求平面CP3与平面QPB所成夹角的正切值；

⑶已知点H在棱尸。上，且异面直线47与m所成角的余弦值为陪，求线段。”的

长.

【答案】⑴证明见解析；

⑵乎

⑶|

【解析】

【分析】

先证明直线平面A3CD以点。为原点，分别以DA,DC,OP的方向为x轴，y

轴，z轴的正向建立空间直角坐标系.

（1）利用向量法证明QB//平面PDC；

（2）利用向量法求平面CPB与平面QP8所成夹角，再求正切值；

（3）利用向量法求线段的长.

（1）

平面ADPQI平面ABCD,平面ADPQH平面ABCD^AD.

而PDu平面ADPQ,PDLAD,二直线平面A8CO.

UCUlUUU1LILUI

由题意，以点。为原点，分别以。ADC,OP的方向为％轴，y轴，z轴的正向建立

如图空间直角坐标系.

则可得:0（0,0,0）,B（2,2,0）,C（0,2,0）,A（2,0.0）,0（2,0,1）,P（0,0,2）.

UUUl

显然::AO=（-2,0,0）是平面PDC的一个法向量.

ULllUUUUUU

又Q8=（O,2,—1）,所以QBAZ>=0.

又•直线Q3仁平面PDC,：.Q8//平面PDC.

⑵

UliULM1

尸5=（2,2,-2）,PC=（0,2,-2）.

rl¥UUV

u、..n.PB=2x.+2y,-2z,=0

设“=（XJ,zJ为平面P8C的一个法向量，则Wuiu

%PC=2必一24=0

不妨设4=1,可得勺=（0,1,1）.

LU

设巧=（工2，%，22）为平面PBQ的一个法向量，同理可求〃2=（1,1,2）.

UUI

0+1+26

所以cos

&xJl+l+412-

所以平面CP8与平面QPB所成夹角为［

6

而tan工=理，所以平面CP8与平面QPB所成夹角的正切值更.

633

(3)

UUllUL1

设H(0,0,h)(0</i<2),则AH=(-2,0,〃)，P3=(2,2,-2).

ULIUlUT

uiruuiiv

zPBgAH-4-2A_7百

又cos(PB.AH)=LIUIILIU

2

PBXAH2道xgh15

ao

A6/I2-25/?+24=0,解得力=彳(力=§舍去),

故所求线段。”的长为

考点二已知线面角求其他量

典例2.已知梯形BFEC如图甲所示，其中8尸〃EC,EC=3,BF=2,四边形相8

是边长为1的正方形，沿A。将四边形ED4F折起，使得平面ED4F_L平面ABCD,

得到如图乙所示的几何体.

⑴求证：。匹_1_平面4?8；

(2)若点”在线段BO上，且£77与平面3斯所成角的正弦值为池，求线段的长

9

度.

【答案】(1)证明过程见解析;

(2)DH=—.

2

【解析】

【分析】

(1)根据面面垂直的性质定理进行证明即可；

(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.

(1)

平面EDAF1平面A8CD,DEu平面EDAF

平面EZMF1平面A8C£)=4),DEIAD,

DE_L平面ABC。；

⑵

设平面BEE的法向量〃=(x,y,z),£(0,0,2),尸(1,0,1),8(1,1,0),

UUUULU

fuuyv

EFn=0x-z=0,、

uuor=[-y+Z=0,则D，

BF片v=0

UUU

设”(a,a,0),EH2),

yuuirr2a-2

COS(EH,71旦

GJ2a2+4"9'

17

解得a=5或〃=(舍),

变式2-1.如图甲，正方形4rAA边长为12,MHBBJCC，AB=3,BC=4,A4：分

别交2瓦，CG于点p,Q,将正方形41AA沿CG折叠使得AA与A'A'重合，构

成如图乙所示的三棱柱48C-A4G，点M在该三棱柱底边AC上.

(I)若AM若，证明：BM//平面APQ；

(2)若直线8M与平面APQ所成角的正弦值为半，求4W的长.

【答案】(I)证明见解析；(2)AM=3或3=普.

【解析】

【分析】

(1)在图乙中，过M作MN//C。，交4Q于N,连接PN,证明四边形为平行

四边形，然后得到期〃PN即可；

(2)分别以BA,BC,BB,为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，然后算出平面APQ

的法向量坐标，设AM=4AC,得M(3-3九42,0),然后由条件建立方程求解即可.

【详解】

(1)证明：在图乙中，过泅作MN//C。，交AQFN,连接PN,

则MN//PB,：,共而且平面MNP8交平面APQrPN,

*.*AB=3,BC=4,

AC=5,又AX'A'A为正方形，

715

QC=1,tangAC=-,由AM。，有MN=3=BP,

，四边形MNPB为平行四边形，BM//PN,

又PNu平面APQ,平面APQ,

8用〃平面APQ.

(2)由⑴，AC2=AB2+BC2,ABLBC.

由题图知，PB=AB=3,QC=7,分别以54,BC,为x,九z轴，建立空间

直角坐标系，

则A(3,0,0),C(0,4,0),P(0,0,3),0(0,4,7),

UUULIL11ClUli

BC=(0,4,0),AP=(-3,O,3),AQ=(-3,4,7),

设平面APQ的法向量为方二(x,y,z),

「ruucr

n•AP--3x+3z=0,

则〈ruuor

n-AQ=-3x+4y+7z=0,

令％=1,得”=(1,-1,1),

设AM=LAC，得M(3-3Z4Z0),

•.•直线8M与平面AP。所成角的正弦值为噜，

uuirr

..%〃_|3-72|_V15

**BM.|n|J（3—3；）「+16不忑15，

解得a三或4=2即AM=3或AM=（

变式2-2.如图，三棱柱ABC-ABC所有的棱长为2,A8=4C=0，知是棱8c

的中点.

（I）求证：AM-L平面ABC;

（II）在线段8/C是否存在一点P,使直线8P与平面4/BC所成角的正弦值为亚？

20

若存在，求出C尸的值；若不存在，请说明理由.

【答案】（I）证明见解析；（II）存在，CP=，CB、=迎

42

【解析】

【分析】

（1）由题意，证明A"J-8c与AM1AM,根据线面垂直的判定定理即可证明\M±

平面ABC;

（2）建立恰当的空间直角坐标系，令PC=gC,求出所需点的坐标，向量的坐标，

法向量的坐标，根据向量法求解线面角即可.

【详解】

解：（1）证明：AB="=近,BC=2,〃是8C中点，

AM_L8C，AM=1,

乂AA,=2,AM=A/3,

AM2+AiM2=A4,2,

AM_LAM,

AAM平面A5C,

(2)建立如图所示的空间直角坐标系M-xyz,

由(1)知平面A/8C的法向量为MA=(G,O,O),4(6,0,0),A(0，。/)，5(0,I，。)，

UUUUUUUUL1UUllUUL1(「、

C(0,—1,0),B、C=BC-BB、=BC-AA^=(‘3,-2,-1),

UUUUUU,_\

令PC=AB]C=(,(0<2<l)

UUUUUluu

则BP=8C+C尸=(0,—2,0)+(—24,X)=V3A,2/1—2,2)

设直线4P与平面A/8C所成角为，，则

UUUuir3回

sin0=cos<MA,BP>=~~~/=■

V3-V8r-8A+420

33

解得6:或2=1(舍)，

所以当CP=；C用时，满足题意，此时CP=J(苧)+(_|)2+,,、挈.

变式2-3.如图所示，四棱锥P-A8c。中，PA_L菱形A8C。所在的平面，ZABC=60°,

点E、F分别是BC、PC的中点，M是线段PO上的点.

(1)求证：平面A£M_L平面PAO；

(2)当钻=”时'是否存在点使直线EM与平面所成角的正弦值为印？

若存在，请求出器的值，若不存在，请说明理由.

【答案】（1）证明见解析；（2）存在，也=立正.

PD2

【解析】

【分析】

（1）根据菱形的性质，结合平行线的性质、线面垂直的判定定理、面面垂直的判定

定理进行证明即可；

（2）建立空间直角坐标系，利用空间平面向量夹角公式，结合线面角的定义进行求

解即可.

【详解】

（1）证明：连接AC因为底面ABCD为菱形，ZABC=60°,

所以,43C是正三角形，

是BC的中点，/.AE1BC,

5LAD//BC,：.AELAD,

J■平面ABC。，AEu平面A8CD,APAVAE,

又抬cAO=4,AEJ"平面PAO,

又AEu平面所以平面AEWL平面弘O.

（2）解：以A为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系,

不妨设AB=AP=2,则AE=6，

()()()

A0,0,0,CG,1,O,£>0,2,0,E(G,O,O),尸隹;』)

UUliuuu

设PM=/IPD=4(0,2,-2)(0<4<1)

则M(0,22,2-22)

设平面A8尸的一个法向量为”=（x,y,z）,

v腔61

n-Ar=—x+—y+z=0

则22'

vuus-

n-AB=yr/3x-y=0

取x=1,则y=行，z=-G

得〃=","）

UUU

设直线EM与平面ABF所成角为9,EM=(-A^,2A,2-2A)

（士宜二叵

n-EM7A/822-8A+77

化简得：4/12-82+1=0,则；1=

故存在点M满足题意，此时北J1百

X

考点三已知二面角求其他量

典例3.如图，在三棱锥P-A3C中，AB=BC=2j2,/^=PB=PC=AC=4,。为AC的

中占

P

（1）证明：PO_L平面ABC.

⑵若点M在棱8c上，且二面角环胆-C为30°,求尸C与平面而M所成角的正弦

值.

【答案】（1）证明见解析；

⑵手.

4

【解析】

【分析】

(1)先证明P。垂直于OB,OC,再通过线线垂直推证线面垂直即可；

(2)以。为坐标原点，建立空间直角坐标系，由二面角底以-C为30。求得点M的

坐标，再用向量法求线面角的正弦值即可.

(1)

连接。8如下所示：

因为AP=CP=AC=4,。为AC的中点，所以。P_LAC,且OP=2g.

因为A5=BC=2夜，故可得AB'BCZ=16=AC：

所以△ABC为等腰直角三角形，KOBLAC,OB=^AC=2.

由0产+0口2==QG)2+2?=16=尸¥知POLOB.

由。PLOB,OPVAC,OBnAC=O,OB,AC^ABC,

知POJ_平面ABC

(2)

根据(1)中所证可知，OROGOP两两垂直，连接OM,故以。为坐标原点，

OB的方向为x轴正方向，OC的方向为y轴正方向，OP的方向为z轴正方向,

建立空间直角坐标系如下所示：

由已知得0（0,0,0）,8（2,0,0）,A（0,—2,0）,C（0,2,0）,40,0,2@,=（0,2,2^/3）,

取平面的法向量OB=（2,0,0）.设M（a,2-/0）（0＜。42）,则AM=（。,4一。,0）.

设平面出M的法向量为〃=（x,y,z）

,UUU

由AP-n=0，AMri=o#■可取六3—2,

273（a-4）2月（a~4）|

所以cos<OB，”>=由已知得|COS<OB,〃>|=

2yj3（a-4）2+3a2+a22yl3（a-4）2+3a2+a2

2

4

解得a=T（舍去），.所以

16-

又院=（。，2,-2月,所以cos＜品,”＞=―2^-=—.

4x—4

3

所以PC与平面以加所成角的正弦值为史.

4

变式3-1.如图1,平面图形出88由直角梯形ABCO和RtARW拼接而成，其中

AB^BC=1,BC//ADKABYAD,PA=PD=yH，PALPD,PC与AO相交于。，现

沿着AO折成四棱锥P-45CD（如图2）.

⑴当四棱锥P-45CZ）的体积最大时，求点8到平面PCD的距离；

（2）在（1）的条件下，线段上是否存在一点Q,使得二面角。-AC-。的余弦值

为手？若存在，求出器的值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）乎：

（2）存-在，合PQ=,1

【解析】

【分析】

（1）根据面面垂直的性质，建立空间直角坐标系，利用空间距离公式进行求解即可；

（2）利用空间夹角公式进行求解即可.

（1）

在图1中，在中，PAVPD,PA=PD=五,AD=2.

易知四边形ABCO为正方形，，AO=1,即。为A£＞的中点，

在图2中，当四棱锥P-43CD的体积最大时，

侧面尸底面ABC。，止匕时POJ"平面ABC。，

以。为坐标原点，OC所在直线为x轴，0。所在直线为y轴，0P所在直线为z轴建

立空间直角坐标系，如图所示，则P（0,0,1）,A（0-1,0）,C（l,0,0）,D（O,l,O）,

APB=(1,-1,-1),CP=(-1,0,1),PD=(0,1-1).

设平面PCD的一个法向量为：=(x,y,z),

rvuuv

uCP--x+z=0,

则＜vuuw

u-PD=y-z=0.

取z=l,得“=(1,1,1).

则B点到平面PCD的距离d=

3

⑵

假设存在，且设PQ=/IPO（（）4/141）.

VPD=(O,l,-l),/.OQ-OP=PQ=(Q^-X),,OQ=(0,41-2),

(2(0,2,1-2).

设平面C4Q的一个法向量为，〃=(%,%4),又AC=(l,l,0),AQ=((U+l,l-/l),

vuiny

m•AC=2+y=0,

则《vuuu

mAQ=++(1-4"=0.

取4=1+4,得机=(1_44_1,4+1).

又易知平面C4O的一个法向量为〃=（（）,（M）,

・.•二面角。-AC"的余弦值为争

1^+11

^(l-2)2+(/l-l)2+(/l+l)2xl—3'

整理化简，得3万-104+3=0,解得或2=3（舍去）.

二线段PO上存在满足题意的点Q,且日|=最

变式3-2.如图，在三棱锥P-ABC中，PC,平面ABC,AC±BC,AC=BC^PB,

AD,总于点。，点E在侧棱PC上，且CE=/ICP（O</1<1）.

p

(1)证明：尸3_L平面ACQ；

(2)是否存在人使二面角C-仞-E的余弦值为生且？若存在，求出4的值；若不

37

存在，说明理由.

【答案】(1)证明见解析

⑵存在；目

【解析】

【分析】

(1)根据线面垂直的判定定理，结合线面垂直的性质进行证明即可；

(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.

(1)

证明：：PC，平面ABC,/.PCIAC,又,.•AC_L8C,PCCBC=C,

4C_L平面PBC,AC1PB,又ACfAD=A,PB_L平面ACO.

(2)

如图建系，不妨设AC=3C=2,:.PB=4,尸C=2石，50=1,

D0,-,—,4(20,0),C(0,0,0),E(0,0,2A/32),

I22J

C4=(2,0,0),AD=-2,I，图，A£=(-2,0,2732),

设平面C4。和平面的一个法向量分别为4=(%,y,zj,n2=(x2,y2,z2),

l¥UW2x,=0

rnCA=0

cn勺二(0,1,-⑹,

IVuuw=><-36八

4•AD-0一2%+-^i+—=0

uuy-2X+2&九z?=0

-AE=02皿

UUDF=>3+2冬产户响必网

-AD=0

uuu

设二面角C-AO-E的平面角为仇鸟，/所成角为s，

••2加"2我%：：；1I+3=察"+21=。.

(32-l)(2+l)=0^/l=1e(0,l),故存在，2=1.

变式3-3.如图，四棱柱ABC。一A/B/C/O/中，底面ABCD和侧面BCC/B/都是矩形,

E是CD的中点，DiELCD,AB=2BC=2.

(1)求证：平面CGD/。，底面ABC。；

(2)若平面BCC/a与平面8EQ所成的锐二面角的大小为9，求线段的长度.

【答案】(1)证明见解析：(2)ED,=\.

【解析】

【分析】

(1)利用线面垂直的判定定理证明平面可得4O_L£>/E,又CDLDiE,

即可证明O/E_L平面ABCO,再由面面垂直的判定定理证明即可；

(2)DtE=a,建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然

后利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的夹角公式列出关于。的方程求解即

可.

【详解】

(1)证明：因为底面A8CD和侧面BCC/B,都是矩形，

所以A。，CO,ADLDDi,

又CDCDDi=D,CD,DDiu平面CDD1C1,

所以AOJ_平面CDD/Ci,又D,Eu平面CDD/C/,

所以AD_LO/E,又CO_L£>/E,且CD,ADu平面A8CO,

故O/EL平面ABCD,又O/£u平面CCDiD,

则平面CC/。/。，平面48CD；

(2)解：取AB得中点R连结ER则四边形EF8C为正方形，

所以EF上CD,故以E为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，

设£>/E=a,则E(0,0,0),F(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),Ci(0,

2,a),

所以8c=(-1,0,0),CC|=(0,1,a),FC=(-1,1,0),

设平面BCCB的法向量为"=(x,y,z),

Vuin，

7?BC=0-x=0

则有UUl^,即

vy+az=0

n-CC[=0

令z=l,贝=

因为FC_LB£,又尸C_LO/E,BECD/E=E,BE,。/Eu平面5EO/,

所以尸C_L平面BED,

故尸C=(-1,1,0)为平面BD/E的一个法向量,

ruun

uni、n-FCa

所以cos(n,FC)=FiitiuB

'/MFCy/2-y/a2+\

因为平面BCCdiI与平面BEDi所成的锐二面角的大小为?,

a=cos(=；,解得a=l,

VLJd+i

所以DiE=\.

巩固练习

练习一已知线线角求其他量

1.已知正方形A8C。和矩形ACEF所在的平面互相垂直，且AB=1,AF=1,点M是

线段EF中点.

(1)求证：AM//平面也定；

(2)求平面43户和平面「的锐二面角的余弦值；

(3)线段AC上是否存在点P,使得P/与AO所成的角为60。？若存在，请求出AP的

长，若不存在，请说明理由.

【答案】(1)见解析；(2)且；(3)存在，AP=\.

3

【解析】

【分析】

(1)记AC与8。的交点为。，连接。£,得四边形AOEM是平行四边形，则AM//OE,

再由直线与平面平行的判定可得AM〃平面BDE；

(2)在平面中过A作AS_LO尸于S,连接8S,说明NBS4是平面ADF和平面血印

的角平面角或补角，然后平面ADF和平面BDF夹角的余弦值；

(3)建立空间直角坐标系，设出线段AC上尸点的坐标，由PF与所成的角是60。,

转化为向量的夹角求解.

【详解】

(1)证明：记AC与8。的交点为。，连接OE,

.O,"分别是AC、E尸的中点，ACE尸是矩形，

四边形AOEM是平行四边形，则AM//OE

OE<=平面BDE,AM仁平面BDE,

AM〃平面8OE；

(2)解：在平面AFD中，过A作AS，。F于S,连接3S,

AB1AF,AB1AD,AD'AF=A,

.•.A8J"平面AOF,

AS是BS在平面AD尸上的射影，

NBSA是平面ADF和平面BDF的夹角的平面角，

在私ASB中，AS=-DF=—,AB=l,SB=—

222

①

cosNASB=-7=-=——

R3

~T

平面仞F和平面BDF的锐二面角的余弦值为立；

3

(3)解：建立如图所示空间直角坐标系，

则以1,0,0),4(1,|,()),F(1,|,1),

设PQ,t,0)(阖1),

uiaiUUU

贝iJPF=(l-f［一f,l),04=(0,1,0),

uuumm

由PE与4。所成的角恰为60。，得|cos<

I1-/I1口

即而解得^-孝或"1+半(舍)・

.JCP|=^=V2-1,则IA尸1=1.

故线段AC上存在点尸，使得P/7与A。所成的角恰为60。，此时AP=1.

2.如图，在三棱锥尸-ABC中，心，底面48。,/&4。=90。.点。，E,N分别为棱

E4,PC,8c的中点，M是线段40的中点，PA=AC=8,AB=4.

（I）求证：MN〃平面BDE；

（II）求二面角C-的正弦值；

（山）已知点〃在棱9上，且直线M7与直线BE所成角的余弦值为电，求线段A"

21

的长.

【答案】（I）证明见解析；（H）叵；（III）9或1.

65

【解析】

【分析】

本小题主要考查直线与平面平行、二面角、异面直线所成的角等基础知识.考查用空

间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.

首先要建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，证明线面平行只需求出平面的法

向量，计算直线对应的向量与法向量的数量积为0,求二面角只需求出两个半平面

对应的法向量，借助法向量的夹角求二面角，利用向量的夹角公式，求出异面直线

所成角的余弦值，利用已知条件，求出Aa的值.

【详解】

(I)如图所示建立空间直角坐标系.

则A(0,0,0),8(4,0,0),C(0,8,0),0(0,0,4),£(0,4,4),M(0,0,2),N(2,4,0),P(0,0,8),

证明：DE=(0,4,0),DB=(4,0,-4).设〃=(%,y,z)为平面BDE的法向量,

rUUW

n-DE=Q4y=0

rUUB',即不妨设z=l可得五=(1,0,1),

)n-DB=04x-4z=0

又MN=(2,4,-2),

可得MM〃=0.因为平面BOE,

所以MN〃平面BDE,

(H)解：易知名=(L0,0)为平面CEM的一个法向量.

rUTuui^

小EM=0

设?=(x,y,z)为平面EM3的法向量，则〈向uuiv

-4y-2z=0

因为EM=(0,-4,-2),MB=(4,0-2),所以

4x-2z=0

不妨设z=2,可得％=(1,-1,2),

因此有cos(勺一旦

一6'

于是sin(q,〃2)=

6

所以‘二面角C-EM-B的正弦值为平；

(Ill)依题意,]§：AH=h(fi<h<S),

则”(0,0㈤，

进而可得N”=(-2,-4,〃)，BE=(-4,4,4)

Iuuivuuv.\NH-BE\|4/7-8|不

由已知，得cos〈N",BE〉=」=•J厂=为，

11\NH\\BE\"2+20X।4621

整理得5川-2曲+16=0,

解得力=£,或力=L

所以，线段A"的长为1或1

【点睛】

本题考查直线与平面平行、二面角、异面直线所成的角.空间向量是解决空间儿何问

题的锐利武器，不论是求空间角、空间距离还是证明线面关系利用空间向量都很方

便，利用向量夹角公式求异面直线所成的角又快又准，特别是借助平面的法向量求

线面角，二面角或点到平面的距离都很容易.

3.如图，在四棱锥P-43co中，平面A8CDJ_平面的，四边形ABC。为矩形，且

AO=AP=1A3,NABP=：,E、F分别。C、PB的中点.

26

(1)证明：PDLPB；

(2)设9=2,点M在线段PE上，且异面直线。M与E尸所成角的余弦值为萼，

求二面角例-CB-尸的余弦值.

【答案】(1)证明见解析；(2)噜.

【解析】

【分析】

(1)证明出仞，平面皿，可得出利用正弦定理可证明出E4LPB,利

用线面垂直的判定定理可得出依，平面PAZ),由此可证得结论成立；

(2)以点P为坐标原点，以PB、PA、AD方向为x、八x轴的正方向，建立空间

直角坐标系，根据已知条件求出点E的坐标，再利用空间向量法可求得二面角

M-CB-P的余弦值.

【详解】

ApAR74'AR

(1)在△PAB中，根据正弦定理有.仙广.笠丽，即/诉,

sinZABPsinZAPBsjn£sinZAPB

、6

得sinZAP3=l,gpAAPB=1,所以P3_L针.

因为平面ABCDL平面R4B,平面ABC。一平面上钻=M，A£)u平面ABC。，AD±AB,

所以AD_L平面％B,

又因为P8u平面以8,所以

又因为4)u平面R4Z),APu平面PAO,APc49=A,所以尸3L平面PAO,

又因为尸£>u平面尸40,所以PDLP8；

(2)如图，以尸为坐标原点，

以「B、PA、AO方向为x、八x轴的正方向，建立空间直角坐标系.

则尸（0,0,0）、8便,0,0）、4（0,1,0）,（7便,0,1）、£＞（0,1,1）、E与g,l、F^,0,0

设M（x,y,z）,PM=2PE（O<2<1）,

1,1],得〃因

即（x,y,z）=4

252

Vio

~5~，

所以"当H，MC=，BC=（0,0,1）,

设平面M8C的法向量用=（X1，x，zJ,则，”什。

Z[=0

取%=1,可得々=（1,26,0）,

PB=（y/3,0,0）,BC=（0,0,1）

设平面PBC的法向量为〃2=（占,必,z?）,则，瓜二°

z2=（）

LU

取）a=i,可得％=（o1,o）,

设:面角例-CB-P的平面角为。，则。为锐角,

=下一，即二面角M-C3-P的余弦值为辔.

则cos0=

4.等边ABC的边长为3,点D,E分别是A8,8c上的点，且满足A芸n=C3F=：1.

DBEA2

（如图（1））,将沿OE折起到aAOE的位置，使面40后，平面水为。，连接

\B,AC（如图（2））.

（1）求证：平面BCEO；

（2）在线段AB上是否存在点尸，使直线DP与直线EA所成角的余弦值为立？若

10

AP

存在，求出力的值，若不存在，请说明理由.

QD

【答案】（I）证明见解析；（2）存在，=

/11DZ

【解析】

（1）由已知条件推导出4O=1,AE=2,OE=7L从而得到A£>_L£>E,折叠后有

\DLDE,由此能够证明A。，平面BCED；

（2）由（1）知ED_L£>8,平面BCED,以。为坐标原点，以射线、£>E、"

分别为x轴、>轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系。-冲z,可求得。？=（240,1-2）,

AE=（0,G,-l）,由题意根据两向量的夹角公式即可求解.

【详解】

（1）证明：题图（1）中，由已知可得：

AE=2,AD=\,A=60°.

从而DE=Vl2+22-2xlx2xcos60°=6

故得AZ）2+。炉=AE\所以ADLDE，BD±DE.

所以题图（2）中，A^DIDE,BDLDE,

•.•面AQE_L面BCE。

面AOE面BCED=DE

AOu面AOE

A。，面BCED

（2）解：存在.由（1）知EZUD8,平面8CEZ）.

以。为坐标原点，以射线DE、OA分别为X轴、y轴、Z轴的正半轴建立空间直角

0（0,0,0）,A（0,0，l），8（2,0,0）,£（O,AO）

4«=（2,0,-1）

^P=24B=（22,0,-/l）

/.P（22,0,l-2）

DP=（22,0,l-A）,AE=（O,G-1）

uuuuuirDPAtE_75

cos<DP，AE>=injCiiUinrMM

DP修一2历许二10

.*•2=—

2

.V=1

,,A,B2-

【点睛】

思路点睛：该题考查的是有关立体儿何的问题，解题思路如下：

（1）利用面面垂直的性质，结合线线垂直的条件，证得线面垂直；

（2）结合（1）的条件，建立空间直角坐标系，假设存在对应的点P,设AP=2A3,

利用空间向量解决线线角的余弦值，建立关于2的关系式，求得结果.

练习二已知线面角求其他量

5.如图，在正方体ABCD-A/CQ中，E为棱BB,上一点、.

⑴若E为棱即的中点