高中数学-疫情下的数学力量-数学模型的应用教学设计学情分析教材分析课后反思

《疫情下的数学力量一一数学模型的应用》教学设计

一、教学内容解析

本节课是《普通高中课程标准实验教科书•数学必修1》（2004年

人教B版）第三章第四节第一课时《函数的应用》在高三的复习课。

2020年全国人民齐心协力抗击新冠疫情，同学们都有亲身感受。在

这次全民抗疫的过程中，除了有医护人员奋不顾身地冲在第一线，还

有很多科学家、学者用科学技术在分析、研究这次疫情，比如用数学

建模等方法分析研究疫情的发展、预测疫情拐点的出现，为我们做好

科学、有效的疫情防控工作提供了方向。2020年新高考全国卷I、

卷H,全国卷II、卷HI中高考数学试题中都有相关“战疫”的题目，

这是非常具有德育教育说服力的数学材料。

《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《新课标》）

中指出，“高中数学课程以学生发展为本，落实立德树人根本任务，

培育科学精神和创新意识，提升数学学科核心素养。”数学建模是数

学学科的六个核心素养之一。因此，本节课结合《新课标》中数学学

科核心素养的要求，以高考题目中的“战疫”入题，使函数模型的应

用这一节课程内容更加具有情境化，帮助学生认识数学在此次抗疫过

程中的科学价值、应用价值，感悟疫情下的数学力量，体验数学与日

常生活的联系，提高学生用数学模型、概率统计等知识解决实际问题

的能力，增强学生的数学应用意识，激发他们学习数学的兴趣，促进

数学学科核心素养的落实。

1

二、学生学情分析

知识储备：高三学生在高一高二已经完成了高中数学基础知识的

学习，基本掌握了指数函数、对数函数等基本初等函数的图象和性质，

以及概率统计等方面的基础知识。在高三的学习中，学生已经复习了

函数这一模块的基础知识，在复习教材中《函数的应用》这一课程中，

主要是函数模型的综合应用的学习。

学生学习情况调查：一、授课班级的学生思维活跃，能积极参与

课堂讨论。二、学生对于函数应用型问题掌握地不好，原因有：心理

上惧怕材料题、不会提取信息、数据处理能力不足、缺乏利用数学模

型对实际问题进行分析和评价的经验等。三、部分学生较少体会到数

学在生产生活中的实际应用，对于数学的应用意识不强。四、在高三

复习的学习过程中，学生都比较关注以新高考为导向的命题方向。

三、教学目标设置

(-)目标

1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学

语言的工具，学习并掌握函数的应用。

2.学会从材料中提取数据，用统计思想分析、处理数据，理解并

掌握概率统计在实际生活中的一些应用。

3.通过对2020年高考卷中涉及的疫情相关题目的学习，结合现

实情境中的具体问题，让同学们感受在实际生产生活中，如何利用数

学知识和数学模型解决实际问题，提升学生逻辑推理、数学建模、数

学运算、数据分析等数学学科核心素养。

2

（二）目标解析

1.达成目标1的标志是：学生能够结合疫情期间的感受，体会人

们是如何借助函数模型刻画疫情的变化，感悟数学模型的现实意义。

2.达成目标2的标志是：学生在解决概率统计综合问题时，能学

会同统计思想提取数据、处理数据，能够灵活运用相关知识去分析问

题和解决问题。

3.达成目标3的标志是：学生能够结合数学学科的特点，在高考

题目的背景下，深刻感受到数学与实际生活的联系，体会疫情下的数

学力量，培养学生学习数学的动力，提升数学的核心素养，进行德育

渗透。

四、教学重难点

根据教学内容，以及学生现有的认知水平和数学能力，本节内容

的难点有两方面：一是学生心理方面对材料分析题有畏难情绪，学生

接受的数学德育较少，数学的应用意识不强，对于提取材料信息题目

的有效信息存在障碍；二是学生的数学建模、数学运算、数据分析等

能力稍有欠缺。

本节课的重点在于提高学生用数学模型和概率统计等综合知识

和方法解决实际问题的能力，帮助学生认识数学的科学价值、应用价

值，并提高学生学习数学的兴趣和动力。此外，帮助学生感悟在此次

全国抗击疫情的过程中，全国人民齐心协力、团结一心，强大的祖国

战胜了残酷的病毒，提升学生的爱国热情和民族自豪感。

五、教学过程分析

3

本节课以自主探究、小组讨论、合作交流等作为主要的学习方式,

通过情境引入、综合应用、总结提升等环节，让学生经历用数学模型

解决实际问题的过程，培养学生应用数学的能力。此外，在高考试题

中的抗疫题目的学习中，学生不仅深切感受到函数模型的应用，还感

受到了国家的强大，民族的伟大，培养学生的社会责任感和使命感。

高中生都比较关注高考，借助2020年高考数学题目的学习，引

发学生学习的欲望，让学生感受到科学家利用数学建模分析研究疫情

的变化趋势有其必要性和科学性，函数、统计等方面的知识也有了实

际的应用，提高学生的数学应用意识，更高效率地落实《新课标》中

数学核心素养的要求。

本节课的效果评价以当堂反馈为主，教师通过巡视、提问的方式

关注学生的学习过程和学习进展。学生通过自主探索、交流讨论、上

台展示等方式展示学习的效果，发现认知障碍，以便得到及时引导、

分析和纠正。教师还将通过课后作业1和2进一步评估学生的学习效

果。

六、教学过程

4

(一)创设情境，引入新课

用数学建模与数据分析为战胜新冠肺炎疫情提供拙见

教师引导学生讨论在抗疫过程中，哪些人和事发挥了特别重要的

作用。然后通过这些用数学建模研究新冠病毒等新闻报道和论文，来

创设情境，引导学生关注在疫情期间，有很多科学家和学者利用数学

建模预测、分析病毒的传染趋势，在抗疫工作中起到了很大的作用。

设计意图：让学生体会到在抗疫的艰难时期，数学也发挥了特别

重要的作用，数学建模在抗疫过程中有非常大的科学价值，感悟数学

在此次抗击疫情中发挥的重要作用，激发学生的学习兴趣，为解决下

面的数学模型问题做好铺垫。

新冠病毒传播趋势与规模估算：柳叶刀最新数学模型研究

020?\M2I&E21H朝月匚

《脚叶刀》是新发表一礴字模型研丸推及了2019新型冠状病毒的传送母势.作者报示，由于一

《梆叶刀》最新度袅一项效学模型研究，堆BT了2019新型冠状两事的传播整分.

作者提示，由于缺乏有美解蚁、可能和确诊穗例以及密切接歌者的可靠且详变的时间记录，目

前成不清楚此次疫情的或正娓楔以及其是否会导致大旅行.

《柳叶刀》(TheLancet)1月31日发表一项缴新散字模生研究.后研究捱JT或至2020正1月

25B,中国武汉市可能有75800人口先了2019新型冠状病用(2019-nCoV).

ARTICLES|ONUNEFIRST

Nowcastingandforecastingthepotential

domesticandinternationalspreadofthe

2019-nCoVoutbreakoriginatinginWuhan,

China：amodellingstudy

ProfJosephTWu,PhDKathyLeung,PhDProfGabridM

Leung,MD

Published：JanuaryJI,2020

5

(二)探究新知，提高素养

(1)教师通过视频向学生介绍在流行病动力学领域中一个非

常重要的参数：“基本再生数R。”，学习例1：2020年新高考全国卷I

第6题，引导学生阅读、分析材料题，提取有效信息，理解题干条件

和所求问题的联系，用数学公式去有效表达。师生共同梳理解题过程,

并进行题后反思。

2020年新高考全国卷I第6题：基本再生数R0与世代间隔T是

新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均

人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情

初始阶段，可以用指数模型：/")=』描述累计感染病例数l(t)随时

间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R。，T近似满足R0=l+rT.

有学者基于已有数据估计出R°=3.28,T=6.据此，在新冠肺炎疫情初

始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2-0.69)

()

A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天

设计意图：

1.提高学生数学核心素养中要求的数学抽象、数学建模、数据

分析等能力，培养学生利用已知函数模型解决实际问题的基本方法和

步骤。

2.让学生体会在高考题目的背景下，了解病毒传染的过程中所

依据的数学知识。

(2)教师向学生介绍在流行病学研究中，科学家曾利用多种模

6

型研究病毒的传染趋势，在进行疾病病因分析时，当结局变量为最常

见的二分类变量时，我们常常选用Logistic回归分析方法。通过数

据与函数图像表明非常适宜建立累计确诊病例数随时间变化的

Logistic回归模型。引导学生学习例2：2020年新高考全国卷I第6

题，进行小组讨论，请小组代表上台讲解，师生共同梳理解题过程,

并进行题后反思。

在流行病学研究中进行疾病病因分析时,当绍扃娈最为最常见的二分类变量时,我的常常选

用Log，st，c回归分析方法,Log，s”c回归模组的函数为：根据国家口健委U方公布的数据,绘制出新

冠肺炎疫情1J114II至3月141I这2个月来全国累

计确诊病例的变化趋势，如图2所示。可以看出,

新冠肺炎累计确诊病例图形的确「Logistic回归

模型的函数图形非常相似，适宜建立累计确诊病

其中,Z=p0邛1X1+—+|3mXm,B0为载距项.P1..0m为回归系数.

例数随时间变化的Loaistic回归模型。

从Logistic回归模型的函数可以看出,Logistic回归横型是一个微率里非线性回归模型，当Z

从e到+"•之间变化时,P在区间01)2间变化,图像如图1所示.

2020年全国卷HI第4题：Logistic模型是常用数学模型之一，

可应用于流行病学领城.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎

/«)=----...

累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logistic模型：l+e“3(T"

其中K为最大确诊病例数.当I(C=0.95K时，标志着已初步遏制疫

情，则/约为()(lnl9"3)

A.60B.63C.66D.69

设计意图:

7

1.引导学生体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型,

体验指数型函数与现实世界的紧密联系，以及在抗击疫情过程中展现

现实问题的作用。

2.培养学生用函数模型解决实际问题的能力，提高学生数学核

心素养中要求的数学运算能力。

（3）教师引导学生回忆疫情严重时期，居家学习时自己的感受，

并观看视频，体会国家和政府在推进复工复产的过程中所做出的努力

和收到的成果，引导学生思考如何分析、处理视频中出现的这些数据。

这就是在大数据时代中，函数图像和统计知识在我们生产生活中的应

用。教师带领学生复习回顾高中阶段学习过的统计方面的知识，引导

学生学习例3：2020年新高考全国卷H第9题。教师引导学生思考“我

们怎么看统计表”，如何提取图表中的有效信息。学生自主完成，在

平板上提交自己的答案（因设备原因，现场没有完成）。学生思考后

由学生讲解，师生共同梳理解题过程，并进行题后反思。

2020年新高考全国卷II第9题:我国新冠肺炎疫情进入常态化，

各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，

下列说法正确的是（）

A.这11天复工指数和复产指数均逐日增加

8

B.这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量

C.第3天至第11天复工复产指数均超过80%

D.第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量

设计意图：

1.考查学生解读统计图以及提取信息的能力，提高数学核心素

养中的数据分析、逻辑推理等能力。

2.以复工复产为背景，能更好地让学生“近距离”感受数学的

应用价值。让学生体会用数学模型、数学图像等知识可以将复杂、庞

大的数据简洁明了化，感受统计学的魅力。

(4)教师引导学生回忆全国人民齐心协力抗击疫情的故事，并

观看视频。在武汉疫情特别严重的时候，全国各地都向武汉调配医疗

队，有权威的医生、护士，还有全国各地都向湖北运送抗疫物资和生

活物资，这些人和物一下子蜂拥而至到湖北，教师引导学生思考：要

如何合理调配这些物资，才能使他们发挥最大的用处，如果分配不好,

就很容易造成人员和物资的浪费。其实在这井然有序的背后，正是统

计学中的资源配给最优化问题。教师引导学生学习例4：2020年全国

卷II第4题，学生通过讨论、交流完成讲解。师生共同梳理解题过程，

并进行题后反思。

2020年全国卷II第4题：在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开

通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅

增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工

作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超

9

过1600份的概率为0.05,志愿者每人每天能完成50份订单的配货，

为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95,则

至少需要志愿者（）

A.10名B.18名C.24名D.32名

设计意图：让学生感悟在实际生产生活中，在抗疫过程中，数学

所具有的科学价值，激发学生学习数学的兴趣，增强学生的数学应用

意识。

（三）课堂总结，感悟力量

（1）教师演示中国疫情和世界疫情的数据可视化，感悟数学之

力量。

中国疫情数据可视化：http://cov.aiiyx.cn/

全国授情实时追踪

6阻EH#

909000857394744

世界疫情数据可视化：http://cov.aiiyx.cn/world

io

世界疫情实时追踪，02可8月2JB

设计意图：

1.让学生了解数学在其他领域的实际应用，比如数学结合计算机

等领域可以将疫情数据可视化，为身在一线的医护人员披上数据的

“保护伞”，落实《新课标》中要求的“以发展学生为本”，打开学生

的数学视野。

2.鼓励学生运用现代化技术学习、探索和解决问题。

(2)教师引导学生观看习近平总书记在全国抗击新冠肺炎疫情

表彰大会上的讲话，“世上没有从天而降的英雄，只有挺身而出的凡

人”。回顾本节课内容，引导学生进行课堂小结，从数学知识和数学

情感两方面进行总结，体会数学来源于生活，应用于生活，加深对数

学应用问题的理解，培养学生的数学应用意识。止匕外，体会在抗疫过

程中，数学发挥的重大作用，感受我们国家和民族的强大能量。

设计意图：通过2020年的全国抗疫这一时事，在同学们的切身

感受中，渗透高中数学的重要性，增强学生的爱国热情。回顾本节课

内容，总结解决问题的一般方法，体会到数学来源于生活，应用于生

活，加深了对数学应用问题的理解，培养反思的意识。

11

作业：

1.完成评测练习。

2.收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学

模型，体会人们是如何借助函数和数学模型刻画实际问题的，感悟数

学建模的现实意义。小组成员之间相互分享、整理，由小组代表在下

节课上台分享展示。

设计意图：作业1使学生及时巩固课堂上的函数模型应用的知识。

考虑到高三学生的学习时间紧张，通过作业2能更好地帮助学生拓宽

信息获取渠道，提高数学建模知识的学习效率。

《疫情下的数学力量一一数学模型的应用》学情分析

知识储备：高三学生在高一高二已经完成了高中数学基础知识的

学习，基本掌握了指数函数、对数函数等基本初等函数的图象和性质，

以及概率统计等方面的基础知识。在高一的学习中，学生基本熟悉了

用函数构建数学模型解决实际问题的基本过程。在高三的学习中，学

生已经复习了函数这一模块的基础知识，在复习教材中《函数的应用》

这一课程中，主要是函数模型的综合应用的学习。

学生学习情况调查：授课班级的学生思维活跃，能积极参与课堂

讨论。学生对于函数应用型问题掌握地不好，原因有：心理上惧怕材

料题、不会提取信息、数据处理能力不足、缺乏利用数学模型对实际

问题进行分析和评价的经验等。还有学生较少体会到数学在生产生活

中的实际应用，对于数学的应用意识不强。此外，在高三复习的学习

过程中，学生都比较关注以新高考为导向的命题方向。

12

《疫情下的数学力量一一数学模型的应用》效果分析

从学生的学习效果来看，通过课堂上对学生学习的观察，以及课

后与学生的交流发现，一是同学们对疫情下的数学力量有了全新的认

识，深刻体会到了数学在生产生活中的科学价值。有几位同学课后还

向老师咨询大学中数学专业的相关问题，对学习数学有了更大的兴趣,

纷纷表示想在大学中继续学习数学。二是同学们的数学应用意识有所

增强，尤其是作业2的完成质量较高，同学们更多地认识到数学模型

在科学、社会、工程技术等领域的作用。三是学生在解决数学建模类

型的题目中，有了更好的数学逻辑，能更有效地分析数据，明白要用

数学语言与材料信息建立起联系。

从教师的讲授效果上来看，本节课以战疫为背景，结合高考题目

的学习，更好地激发了学生学习数学的兴趣和欲望，在数学题目的学

习过程中，也在德育渗透这一方面做得较好。让老师体会到在今后教

学中如何更好地做好数学的德育教育，如何提高学生的数学核心素养,

如何更好地提高学生对数学的全面认识，如果提高学生的数学应用意

识，做到了以上这些方面，就能更好地调动高中生学习数学的主动性

和积极性，能更好地帮助学生在数学上得到发展。

《疫情下的数学力量一一数学模型的应用》教材分析

本节课是《普通高中课程标准实验教科书•数学必修1》（2004

13

年人教B版）第三章第四节第一课时《函数的应用》在高三的复习课。

在高三的复习课安排中，前面已经全面复习了函数的概念、性质、图

像以及指数函数、对数函数等基本初等函数的知识，《函数的应用》

这一课是对函数和数学建模的一次综合应用，它不仅能加深学生对所

学函数知识的理解，同时能提高学生利用所学知识解决实际问题的能

力。在高一的学习中，学生基本熟悉了用函数构建数学模型解决实际

问题的基本过程。数学建模是数学学科的六个核心素养之一。在用数

学模型解决实际问题的过程中，会涉及数据分析、数学运算、数学抽

象等数学能力的培养。

《中国学生发展核心素养》提出，“高考评价体系确立了高考中

学科核心素养的考查目标”，“考查科学素养的高考命题注重情境试题

的考查”。这种情境来源于社会和生活，和学生的生活经历和真实体

验密切相关。本节课先从学生亲身感受的抗疫主题入手，结合高中生

所关注的高考题目，主要涉及数学建模和概率统计两方面的知识，从

基础知识入手，侧重培养学生在材料中提取有效信息、、分析数据等能

力，发展学生的数学建模、数学运算、数据分析等学科核心素养。随

着现在大数据时代的到来，借助计算机等工具，数学的研究领域和应

用领域都得到了极大地拓展。面对这次疫情，引导学生用数学的眼光

观察这个事件，用数学的思维解决疫情中出现的实际问题，增强学生

的社会责任感和民族自豪感。

教学重难点：

根据教学内容，以及学生现有的认知水平和数学能力，本节内容

14

的难点有两方面：一是学生心理方面对材料分析题有畏难情绪，学生

接受的数学德育较少，数学的应用意识不强，对于提取材料信息题目

的有效信息存在障碍；二是学生的数学模型的应用、数学运算、数据

分析等能力稍有欠缺。

本节课的重点在于提高学生用数学模型和概率统计等综合知识

和方法解决实际问题的能力，帮助学生认识数学的科学价值、应用价

值，并提高学生学习数学的兴趣和动力。止匕外，帮助学生感悟在此次

全国抗击疫情的过程中，全国人民齐心协力、团结一心，强大的祖国

战胜了残酷的病毒，提升学生的爱国热情和民族自豪感。

《疫情下的数学力量一一数学模型的应用》评测练习

题型一：已知函数模型求解实际问题

1.为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层，体育馆要建造可使用

20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消

耗费用。(单位：万元)与隔热层厚度，(单位：cm)满足关系：。(x)=熹(0W

xW10,4为常数),若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设/'(x)为隔

热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.

(1)求4的值及f(x)的表达式；

(2)隔热层修建多厚时，总费用/1(X)达到最小？并求最小值.

15

2.（2019•全国H卷）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球

背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的

一个关键技术问题是地面与探测器的通信联系.为解决这个问题，发射了嫦娥四

号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行.L2点是平衡点,

位于地月连线的延长线上.设地球质量为Ml,月球质量为M2,地月距离为R,L2

点到月球的距离为r,根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：

_,_M,M\

(R+r)2+72TR+r)#・

设a4由于a的值很小,因此在近似计算中『+小=3/则，的近似值

考点二：利用函数的图象刻画实际问题

3.（2017•全国HI卷）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收

集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘

制了下面的折线图.

根据该折线图，下列结论错误的是（）

A.月接待游客量逐月增加

B.年接待游客量逐年增加

C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月

16

D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳

4.高为H,满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水

从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v,则函数v=f(h)的大致图象是()

《疫情下的数学力量一一数学模型的应用》课后反思

《书甲学生发展核上素养》提出.“高考评价体隼确立了高考中

学科核心林电考查目4,滔着中国*考卡在实现楝命意到素

养导向瀛吏嬴彼幻实现以种转企,“褊科学靠养的犯箸命题

AB