运筹学教案胡运权版

《绪论》（2课时）

授课题目：

绪论

教学目的及要求：

1.知识目标：掌握运筹学的概念和作用及其学习方法

2.能力目标：掌握运筹学的数学模型

3.素质目标：培养学生良好的职业道德、树立爱岗精

教学重点：

运筹学的数学模型

教学难点：

运筹学的数学模型

教学过程：

1.举例引入（5分钟）

2.新课（60分钟）

（1）举例引入，绪论（30分钟）

（2）运筹学及管理学（30分钟）

3.课堂练习（20分钟）

4.课堂小结（5分钟）

5.布置作业

【教学流程图】

举例引入，绪论

f运筹学

运筹学及数学模型的基尾概念管理学

课堂练习

课堂小结

布置作业

【教学方法】

本课主要采用任务驱动和程序式思维相结合的教学方法，过

程当中辅以案例讲解、启发提问、自主学习和协作学习等方式。

任务驱动是实现本课教学目标和完成教学内容的主要方法，任务

是师生活动内容的核心，在教学过程中，任务驱动被多次利用。

自主学习能提高学生的自主探究能力，竞赛和协作学习调动学生

的积极性，激发学生参及的热情。学生之间互帮互助，共同分享

劳动果实，从而激发了学生的团队意识，达到理想的教学效果。

【教学内容】

一、教学过程：

（一）举例引入：（5分钟）

（1）齐王赛马的故事

（2）两个囚犯的故事

导入提问：什么叫运筹学？

（二）新课：

绪论

一、运筹学的基本概念

（用实例引入）

例战国初期，齐国的国王要求田忌和他赛马，规定各人从

自己的上马、中马、下马中各选一匹马来比赛，并且说好每输一

匹马就得支付一千两银子给予获胜者。当时齐王的马比田忌的马

强，结果每年田忌都要输掉三千两银子。但孙膑给田忌出主意，

可使田忌反输为赢。

试问：如果双方都不对自己的策略保密，当齐王先行动时，哪一

方会赢？赢多少？反之呢？

例1-2有甲乙两个囚犯正被隔离审讯，若两人都坦白，则每人

判入狱8年；若两个人都抵赖，则每人判入狱1年；若只有一人

坦白，则他初释放，但另一罪犯被判刑10年。求双方的最优策

略。

乙囚犯

抵赖坦白

甲囚犯抵赖T,-1-10,0

坦白0,-10-8,-8

定义：运筹学（OperationResearch）是运用系统化的方法，通

过建成立数学模型及其测试，协助达成最佳决策的一门科学。它

主要研究经济活动和军事活动中能用数学的分析和运算来有效

地配置人力、物力、财力等筹划和管理方面的问题。

二、学习运筹学的方法

1、读懂教材上的文字；

2、多练习做题，多动脑筋思考；

3、作业8次；

4、考试;

5、EXCEL操作及手动操作结合。

二、学生练习（20分钟）

三、课堂小结（5分钟）

授课题目：

第一章线性规划及单纯形法

第一节：线性规划问题及数学模型。

教学目的及要求：

1.知识目标：掌握线性规划的基本概念和两种基本建模方

法。

2.能力目标：掌握线性规划建模的标准形式及将普通模型

化为标准模型的方法。要求学生完成P43习题1.2两个小题。

3.素质目标：培养学生良好的职业道德、树立爱岗精神

教学重点：

1、线性规划的基本概念和两种基本建模方法；

2、线性规划建模的标准形式及将普通模型化为标准模型的

方法。

教学难点：

1、线性规划的两种基本建模方法；

2、将线性规划模型的普通形式化为标准形式。

教学过程：

1.举例引入（5分钟）

2.新课（60分钟）

（1）运筹学及线性规划的基本概念（20分钟）

（2）结合例题讲解线性规划标准型的转化方法

（20分钟）

3.课堂练习（20分钟）

4.课堂小结（5分钟）

5.布置作业

《线性规划及单纯形法》（2课时）

【教学流程图】

运筹学

运筹学及线性规划的基本概念线性规划

（结合例题讲解）线性规划的标准型

目标函数

结合例题讲解线性规划标准型的转业方法约束条件的右端

常数

约束条件为不等

式

课堂练习

课堂小结

布置作业

【教学方法】

本课主要采用任务驱动和程序式思维相结合的教学方法，过

程当中辅以案例讲解、启发提问、自主学习和协作学习等方式。

任务驱动是实现本课教学目标和完成教学内容的主要方法，任务

是师生活动内容的核心，在教学过程中，任务驱动被多次利用。

自主学习能提高学生的自主探究能力，竞赛和协作学习调动学生

的积极性，激发学生参及的热情。学生之间互帮互助，共同分享

劳动果实，从而激发了学生的团队意识，达到理想的教学效果。

【教学内容】

一、教学过程：

第一章线性规划及单纯形法

第一节线性规划问题及其数学模型

（用实例引入）

例1-3美佳公司计划制造I、II两种产品，现已知各制造一件

时分别占用的设备A、B的台时数，及测试工序所需要的时间。

问该公司应制造两种家电各多少件时才能使获取的利润最大？

生产1件I产生产1件I产每天可用能力

品品（小时）

设备A（台时）0515

设备B（台时）6224

调试（小115

时）

利润（元）21

例1-4有A、B、C三个工地，每天需要水泥各为17、18、15百

袋。为此甲、乙两个水泥厂每天各生产23百袋和27百袋水泥供

应这三个工地。其单位运价如下表，求最佳调运方案。

ABC

水泥

甲11.52

乙24"2

地

水泥厂、ABC供应量/百袋

甲Mlx1223

工13

乙工21工2227

X23

需求量/百袋171850

15

一、线性规划的基本概念

如果规划问题的数学模型中，决策变量的取值是连续的整数、

小数、分数或实数，目标函数是决策变量的线性函数，约束条件

是含决策变量的线性等式或不等式，则称这种规划问题为线性规

划。

二、将线性规划的普通型化为标准型

1、对于minZ=CX,可转化为min(-Z)=-CX；

2、当约束条件中出现如尤i+《2/2+…+4无〃<4时,在左边加

上一个“松弛变量”灯R0,使不等式变为等式；当约

束条件中出现％内+ai2x2+---+ainxn>b,时，则在左边减去

一个“松弛变量”为,小0。

3、当某个决策变量x/0或符号不限时，则增加两个决策变

量Xj和X；,令Xj-Xj-Xj;

4、当约束条件中有常数项时，则在方程两边同乘以

（-1）o

例1-5将下列非标准4型线性规划问题转化为标准型。

解：

学生练习：P42习题1.2。

二、学生练习（20分钟）

三、课堂小结（5分钟）

授课题目：

第二节图解法

第三节单纯形法原理

教学目的及要求：

1.知识目标：用图解法理解线性规划的概念及单纯形法中

的几个概念；

2.能力目标：掌握用图解法和单纯形法求解线性规划的原

理；

3.素质目标：培养学生良好的职业道德、树立爱岗精神。

教学重点：

1、用图解法求解线性规划的计算步骤；

2、用单纯形法求解线性规划的计算步骤。

教学难点：

用单纯形法求解线性规划的计算原理;

教学过程：

1.举例引入（5分钟）

2.举例讲解新课（80分钟）

（1）图解法（40分钟）

（2）单纯形法原理（40分钟）

3.课堂练习（穿插在例题讲解过程中）

4.课堂小结（5分钟）

5.布置作业：要求学生完成P43习题1.4两个小题。其中第

1小题为作业一。

《线性规划的求解》（2课时）

【教学流程图】

以学生自学引入

图解法

线性规划求解方法介绍单纯形法

EXCEL规划求解法

坐标系

图解法的操作步弱求出可行域

平移目标函数直线

化为标准型

单纯形法的原理

迭代法

课堂小结

布置作业

【教学方法】

本课主要采用任务驱动和程序式思维相结合的教学方法，过

程当中辅以案例讲解、启发提问、自主学习和协作学习等方式。

任务驱动是实现本课教学目标和完成教学内容的主要方法，任务

是师生活动内容的核心，在教学过程中，任务驱动被多次利用。

自主学习能提高学生的自主探究能力，竞赛和协作学习调动学生

的积极性，激发学生参及的热情。学生之间互帮互助，共同分享

劳动果实，从而激发了学生的团队意识，达到理想的教学效果。

【教学内容】

一、教学过程：

（一）举例引入：（5分钟）

复习中学数学中的图解法。

导入提问：线性规划图解法中有哪些基本概念？

（二）新课：

第二节图解法

一、图解法的步骤

（以学生自学引入）

学生自学P16-17,教师检查看不懂文字的学生，并做好记录。

提问：以P44的1.4题第1小题为例，图解法第一步是什么？

以下逐步提出问题。

教师演示并总结如下：图解法适用于两个决策变量的线性规

划非标准型。步骤如下;

1、用决策变量建立直角坐标系；

2、对于每一个约束条件，先取等式画出直线，然后取一已

知点(一般取原点)的坐标代入该直线方程的左边，由

其值是否满足约束条件的不等号及该已知点的位置来

判断它所在的半平面是否为可行域。

3、令Z等于任一常数，画出目标函数的直线，平移该直线,

直至它及凸多边形可行域最右边的角点相切，切点坐标

则为最优解。

例1-5

解

可行解一一满足约束条件的解，全部可行解的集合叫可行域。

最优解一一使目标函数达到最大值的可行解。

基变量一一利用矩阵的初等变换从约束条件的mXn(n>m)阶系数

矩阵找出一个mXm阶单位子矩阵，它们对应的变量叫基变量，

其余的叫非基变量。

矩阵的初等变换一一将矩阵的一行同乘以一个数；将矩阵的一行

同乘以一个数，再加到另外一行上去。

4.课堂小结（5分钟）

5.布置作业：要求学生完成P43习题1.3两个小题。

授课题目：

第四节单纯法的计算步骤

教学目的及要求：

1.知识目标：用图解法理解线性规划的概念及单纯形法中

的几个概念；

2.能力目标：掌握用单纯形法求解线性规划的计算步骤；

3.素质目标：培养学生良好的职业道德、树立爱岗精神。

教学重点：

用单纯形法求解线性规划的计算步骤。

教学难点:

1、用单纯形法求解线性规划的计算原理；

2、用单纯形法求解线性规划的计算步骤。

教学过程：

1.举例引入（5分钟）

2.举例讲解新课（80分钟）

单纯形法求解步骤

3.课堂练习（穿插在例题讲解过程中）

4.课堂小结（5分钟）

5.布置作业：要求学生完成P43习题1.4两个小题。其中第

1小题为作业一。

第四节《单纯法的计算步骤》（2课时）

【教学流程图】

以学生自学引入

{图解法

线性规划求解方法介备单纯形法

nEXCEL规划求解法

U化为标准型

单纯形法的操作步骤求出初始表

迭代法

V

课堂小结

布置作业

【教学方法】

本课主要采用任务驱动和程序式思维相结合的教学方法，过

程当中辅以案例讲解、启发提问、自主学习和协作学习等方式。

任务驱动是实现本课教学目标和完成教学内容的主要方法，任务

是师生活动内容的核心，在教学过程中，任务驱动被多次利用。

自主学习能提高学生的自主探究能力，竞赛和协作学习调动学生

的积极性，激发学生参及的热情。学生之间互帮互助，共同分享

劳动果实，从而激发了学生的团队意识，达到理想的教学效果。

【教学内容】

一、教学过程：

（二）举例引入：（5分钟）

复习中学数学中的图解法。

导入提问：线性规划图解法中有哪些基本概念？

（二）新课：

一、三个基本定理

可行解一一满足约束条件的解，全部可行解的集合叫可行域。

最优解一一使目标函数达到最大值的可行解。

基变量一一利用矩阵的初等变换从约束条件的mXn（n>m）阶系数

矩阵找出一个mXm阶单位子矩阵，它们对应的变量叫基变量,

其余的叫非基变量。

矩阵的初等变换一一将矩阵的一行同乘以一个数；将矩阵的一行

同乘以一个数，再加到另外一行上去。

二、单纯形表迭代法

教师先演示：

1、化为标准型

2、做出初始单纯形表，求出检验数；

3、确定检验数中最大正数所在的列为主元列，选择主元列

所对应的非基变量为进基变量

4、按最小比值原则，用常数列各数除以主元列相对应的正

商数，取其最小比值，该比值所在的行为主元行；主元

列及主元行交叉的元素为主元，主元所对应的基变量为

出基变量。

5、对含常数列的增广矩阵用初等变换把主元变为1,主元

所在的列的其余元素化为0。

6、计算检验数，直到全部检验数小于等于0,迭代终止。

基变量对应的常数列为最优解，代入目标函数得最优目

标函数值。

例1-6

解：先化为标准型：

maxZ=2%]+々+Ox3+0x4+Ox5

5X2+/=15

S.t.

6匹+2X2+9=24

X[+々+%5=5

其约束条件的系数增广矩阵为一051)0丫5

620L024

110)1J5

初始始基可行解为：X=(0,0,15,24,5)，，以此列出单纯形表如下。

得：X=(7/2,3/2,15/2,0,0,0)"代入目标函数得：

Z=2*7/2+l*3/2+15/2*0+0*0=17/2。

目标函数3210Q0常数

班策变量

/Ix21J

基变量

初0051015

始一0[6]20124

表%011005

计Zj0000

算2100

0=min(-,24/6,5/l)=24/6=4

第一x300510(15

次迭/211/301/6(4

代-z00[2/3]0-1/61

z,22/301/30

01/30-1/30

=3/2

51/32/32/3

第二X300015/4-If15/2

次迭芭21001/4-1/7/2

代X21010-1/43/3/2

42101/41

000-1/4-

4.课堂小结（5分钟）

5.布置作业：要求学生完成P43习题1.4两个小题。其中第1小

题为作业一

授课题目：

第五节单纯形法的进一步讨论

教学目的及要求：

1.知识目标：理解求解线性规划的人工变量法中大M法和

两阶段法；

2.能力目标：利用习题1.15巩固线性规划的建模；

3.素质目标：培养学生良好的职业道德、树立爱岗精神。

教学重点：

1、求解线性规划的人工变量法中两阶段法的计算步骤。

2、人工变量法及普通单纯形法的区别。

教学难点：

1、两阶段法的计算步骤；

2、习题1.15中的约束条件分析。

教学过程：

1.举例引入（5分钟）

2.举例讲解新课（80分钟）

（1）人工变量法（40分钟）

（2）两阶段法（40分钟）

3.课堂练习（穿插在例题讲解过程中）

4.课堂小结及单纯形法小结（5分钟）

5.布置作业。

《单纯形法的进一步讨论》（2课时）

【教学流程图】

用实例引入人工变量法

j初始单纯形表中无单位矩阵

人工变量法的例题讲上引入人工变量

在目标函数中引入大M

[两阶段法用EXCEL求解中的困难

两阶段法的例题讲扇第一阶段的模型

第二阶段的模型

课堂小结

布置作业

【教学方法】

本课主要采用任务驱动和程序式思维相结合的教学方法，过

程当中辅以案例讲解、启发提问、自主学习和协作学习等方式。

任务驱动是实现本课教学目标和完成教学内容的主要方法，任务

是师生活动内容的核心，在教学过程中，任务驱动被多次利用。

自主学习能提高学生的自主探究能力，竞赛和协作学习调动学生

的积极性，激发学生参及的热情。学生之间互帮互助，共同分享

劳动果实，从而激发了学生的团队意识，达到理想的教学效果。

【教学内容】

一、教学过程：

（三）举例引入：（5分钟）

复习单纯形法。

导入提问：当初始单纯形表中不出现单位矩阵怎么办？

（二）新课：

第五节单纯形法的进一步讨论

（用实例引入人工变量法）

例1-7用单纯形法求解下列线性规划问题：

解：将第二个约束条件化为等式（左边减去一个松弛变量）

后，约束条件的系数矩阵不存在单位矩阵，这时可在约束条件第

一、二等式的左边分别加上一个人工变量作为初始基变量，使之

出现单位矩阵。为了使目标函数中的人工变量为0,令它们的系

数为任意大的负值“-M”，然后采用一般单纯形表法求解。

目标函数Cj23-5-M0-M常娄

变量

X!!x2!x3x4x5x6

基变量x)

初-M1111007

始表一》6[2]-510-110

计Zj-3M4M-2M-MM-M

算3M+23-4M2M-50-M0

8=min(7/l,10/2)=5

一次一为-M0[7/2]1/211/2-12

迭代不21-5/21/20-1/215

n7MAtMM

Z,/——M-5-----+1-M--------1——+1

2222

n7_M,riM3M

%I)-M+S-----60—+1---------L

2222

x23011/72/71/7-4/7

X12106/75/7-1/745/7

Zj2315/716/71/7•

00-50/7-M-16/7-1/7

-M+1/7

所以最优解为：X=(45/7,4/7,0,0,0,0)

例1-8对LP模型：

minw=15%+24%+5%

S.k6y2+>322

J5y,+2y2+y3>1

用两阶段法求解。

解：先分为标准型：

max(—w)=-15%-24y2-5y3+0y4+0JC5

s.}6y2+y3-y4+y6=2

―5月+2y2+y3-y5+y7=1

yt-720

对

minZ=%+乃

2

str6y2+-y4+y6=

15%+2y2+必一必+乃=i

Jl-720

使用单纯形法求解，化为标准型后，列出单纯形表并迭代如下

目标函数300000-1常数

变量

%।为1>3>4%>6%

基变量

初儿-10[6]1-1012

始表一当-15210-101

2,582-1-10

一次

y20011/6-1/601/61/3

迭代一力-1[5]02/31/3-1-1/31/3

502/31/3-1-4/3

了20011/6-1/601/61/3

/0102/151/15-1/5-1/151/15

1/5

4,00000-1

在上表中的最终表中除去人工变量儿，乃后，回归到原来的标准

型：

max(-w)=-15y]-24y2-5y3+0y4+0x5

S.tf6%+3―%+儿=2

J5y+2y2+为f+%=1

1>,1-7N0

然后对该最终表继续使用单纯形法计算:

目标函数C,-15-24-50(常数

变量

71%>31以％

基变量

初为-24011/6-1/6(1/3

始表一%-1510[2/15]1/15-11/15

%0-96-3-3

一次力-24-5/410-1/41/1/4

迭代%-515/2011/2_3/1/2

-15/200-7/2t

故y=（0,1/4,1/2,0,0），

1.15题分析:

令i=l,2,3代表A,B,C三种商品，j=l,2,3代表前，中,

后舱，马上0代表装载于第j舱位的第i中商品的数量（件）。

1、目标函数为运费总收入：

2、约束条件:

前中后舱载重限制：

前中后舱体积限制：

三商品的数量限制：

舱体平衡条件：

8X[l+6X21+5X31

刖舱载重/中舱载重为：-(1-0.15)<<-(1+0.15)

38X12+ox22+5X323

l(l-0.15)<8/+6/3+59

后舱载重/中舱载重为：<-(1+0.15)

28尢[2+6%22+5工322

-(1-0.10)<4

前舱载重/后舱载重为：8^695a_<-(1+0.10)

38*13+6*23+5%333

上三式中，2000/3000=2/3,1500/3000=1/2,2000/1500=4/30

3.课堂练习（穿插在例题讲解过程中）

4.课堂小结及单纯形法小结（5分钟）

图1—9：强调当非基变量的检验数为零时，线性规划存在多

重解。

5、布置作业二：1.15题

授课题目：

第二章：线性规划的对偶理论及灵敏度分析

第一节线性规划的对偶问题

第二节对偶问题的基本性质

教学目的及要求：

1.知识目标：掌握一般形式对偶问题的对应规律、理解并

应用对偶定理

2.能力目标：掌握线性规划的对偶问题的基本性质；

3.素质目标：培养学生良好的职业道德、树立爱岗精神。

教学重点：

一般形式对偶问题的对应规律、对偶定理

教学难点：

对偶定理

教学过程：

1.举例引入（5分钟）

2.举例讲解新课（80分钟）

（1）对偶问题的基本概念及解的性质;

（2）一般形式的对偶问题

（3）对偶问题的基本性质

3.课堂练习（穿插在例题讲解过程中）

4.课堂小结（5分钟）

《线性规划的对偶理论》（2课时）

【教学流程图】

举例引入

f对偶问题及原问题的结构特

八占、、I

线性规划的对偶问题的基本概念对偶问题及原问题的解及单

纯形表

线性规划的单纯形法求解实

质

学生练习（结合例题讲解进行）

课堂小结

布置作业

【教学方法】

本课主要采用任务驱动和程序式思维相结合的教学方法，过

程当中辅以案例讲解、启发提问、自主学习和协作学习等方式。

任务驱动是实现本课教学目标和完成教学内容的主要方法，任务

是师生活动内容的核心，在教学过程中，任务驱动被多次利用。

自主学习能提高学生的自主探究能力，竞赛和协作学习调动学生

的积极性，激发学生参及的热情。学生之间互帮互助，共同分享

劳动果实，从而激发了学生的团队意识，达到理想的教学效果。

【教学内容】

一、教学过程：

（一）举例引入对偶问题的基本概念：（5分钟）

导入提问：线性规划的对偶问题及原问题的解是什么关系？

（二）新课：

第二章线性规划的对偶理论及灵敏度分析

第一节线性规划的对偶问题

回顾例1-3：

例1-3美佳公司计划制造I、II两种产品，现已知各制造一件

时分别占用的设备A、B的台时数，及测试工序所需要的时间。

问该公司应制造两种家电各多少件时才能使获取的利润最大？

生产1件I产生产1件I产每天可用能力

品品（小时）

设备A（台时）0515

设备B（台时）6224

调试（小115

时）

利润（元）21

解：设』和乙为两种产品的产量，得线性规划问题:

现从另一角度提出问题：假定有某个公司想把美佳公司的

资源收买过来，它至少应付出多大代价，才能使美佳公司愿意放

弃生产活动，出让自己的资源？

设y，力，力分别为单位时间内设备A,B和调试工序的出让价

格，其线性规划模型如下表：

原问题对偶问题

目标函数最大利润为maxZ=2xt+x2t某公司最小出让价为：

其中：minW=15必+24为+5%，其中：

%和乙为两种产品的产量。y,%%分别为单位时间内设

备A,B和调试工序的出让价

格。

原问题对偶问题

约束条件每生产1件商品在A,B设每生产1件商品的出让价不

备和调试工序上的时间约6y2+当22

小于利润：5yi+2y2+y3>l

几。2，—一

5X2<15

6*+2X2<24

束为：%+%2«5

>0

可见:

原问题（系数为mXn矩阵）对偶问题（系数为nXm矩阵）

maxZminW

目标函数中的系数成为对偶问题约:约束条件中的右端常数成为原问题।

条件中的右端常数目标函数中的系数

约束条件系数矩阵为对偶问题约束；约束条件系数矩阵为原问题约束条

件系数矩阵的转置。件系数矩阵的转置。

约束条件数有m个，变量数m个，

第i个约束条件为“W”，第i个变量为“川”

第i个约束条件为“2”第i个变量为“W0”

第i个约束条件为第i个变量为自由变量

变量数n个，约束条件数有n个，

第i个变量为“20”第i个约束条件为“2”，

第i个变量为“<0”第i个约束条件为“W”

第i个变量为自由变量第i个约束条件为

例1-6和例1-8分别用单纯形法和两阶段法可求得上述例题的原问题

和其对偶问题的最终单纯形表如下：

目标函数C,11000常数

《策变量原问题变量原问题松弛变量

基变量x2了3Z

最00015/4-15/15/2

终21001/4-1/27/2

表1010-1/43/23/2

(000-1/4-1/

变量对偶问题剩余变:对偶问题变量

%以%了2%

目标函数-15-24-50C

忐策变量常数

力必为%।九外

基变量

一次力-24-5/410-1/411/4

迭代%-515/2011/2-31/2

4-15/200-7/2

从上两表看出两个问题变量之间的对应关系，同时看出只需求解

其中一个问题，从最优解的单纯形表中同时得到另一个问题的最优

解。即原问题的最优解为：X=(7/2,3/2,0,0,0)，其对偶问题的最优解为:

y=(0,1/4,1/2,0,0)，。

对偶问题的基本性质

1>若线性规划原问题(LP)有最优解，其对偶问题(DP)也有最优

解；

2、LP的检验数的相反数对应于其DP的一组基本解，其中第j个决

策变量句的检验数的相反数对应于DP第i个剩余变量%的解；

LP第i个松弛变量与的检验数的相反数对应于其DP的第i个对

偶变量先的解。反之DP的检验数对应于其LP的一组基本解。

例1-9

解加入松弛变量后，单纯形表迭代为：

x2x3x4x5b

*4[2]-12102

%104014

6-2100

x\1-1/211/20

0[1/2]3-1/21

%01-5-30

为10401

X2016-12

%00-11-2-2

设对偶变量为M和乃，剩余变量为旷3，%，%，由上性质，有

y=01,%，必，丁4,%）=（-%，-丸5，-4,-丸2,-4）=（2,2,0,0,11）为对偶问题的基本

解。

二、课堂练习（穿插在例题讲解过程中）

三、课堂小结（5分钟）

授课题目：

第二章：线性规划的对偶理论及灵敏度分析

第三节影子价格

教学目的及要求：

1.知识目标：了解影子价格的实质

2.能力目标：掌握求解线性规划的对偶单纯形法的计算步

骤；

3.素质目标：培养学生良好的职业道德、树立爱岗精神。

教学重点：

对影子价格的理解。

教学难点：

对影子价格的理解

教学过程：

1.举例引入（5分钟）

2.举例讲解新课（80分钟）

（1）影子价格的概念

（2）影子价格的实质

（3）影子价格的性质及计算

3.课堂练习（穿插在例题讲解过程中）

4.课堂小结（5分钟）

《影子价格》（2课时）

【教学流程图】

举例引入

线性规划影子价格基本概念

影子价格的实质

学生练习（结合例题讲解进行）

课堂小结

布置作业

【教学方法】

本课主要采用任务驱动和程序式思维相结合的教学方法，过

程当中辅以案例讲解、启发提问、自主学习和协作学习等方式。

任务驱动是实现本课教学目标和完成教学内容的主要方法，任务

是师生活动内容的核心，在教学过程中，任务驱动被多次利用。

自主学习能提高学生的自主探究能力，竞赛和协作学习调动学生

的积极性，激发学生参及的热情。学生之间互帮互助，共同分享

劳动果实，从而激发了学生的团队意识，达到理想的教学效果。

【教学内容】

一、教学过程：

（二）举例引入影子价格的基本概念：（5分钟）

导入提问：什么是影子价格？

（二）新课：

第二章线性规划的对偶理论及灵敏度分析

第三节影子价格

对偶变量的意义一一代表在资源最优利用条件下对单

位第种资源的估价，这种估价不是资源的市场价格，而是根

据资源在生产中作出的贡献而作的估价，为区别起见，称为影子

价格（shadowprice）o

z*=w*=Y*b=y（2.26）

对bi求偏导数，得到：

*

物”（2.27）

即第i种资源影子价格yi*是z*对资源数量bi的变化率，

是第i种资源增加一个单位时，最大产值的改变量。

1.资源的市场价格是已知数，相对比较稳定，而它的影子

价格则有赖于资源的利用情况，是未知数。由于企业生产任务、

产品结构等情况发生变化，资源的影子价格也随之改变。

资源的影子价格实际上又是一种机会成本.

在纯市场经济条件下，当第2种资源（设备B）

的影子价格是0.25,当市场价格高于0.25时，可以卖出这种资

源；

相反当市场价格低于影子价格时，就会买入这

种资源。

随着资源的买进卖出，它的影子价格也将随之

发生变化，一直到影子价格及市场价格保持同等水平时，才处于

平衡状态。

一般说对线性规划问题的求解是确定资源的最优分配方案，

而对于对偶问题的求解则是确定对资源的恰当估价，这种估价直

接涉及到资源的最有效利用。

授课题目：

第二章：线性规划的对偶理论及灵敏度分析

第四节对偶单纯形法

教学目的及要求：

1.知识目标：理解线性规划单纯形法求解的实质；

2.能力目标：掌握求解线性规划的对偶单纯形法的计算步

骤；

3.素质目标：培养学生良好的职业道德、树立爱岗精神。

教学重点：

1、对偶单纯形法的计算步骤；

2、对偶单纯形法及原问题单纯形法求解思路上的区别。

教学难点：

1、对偶单纯形法的计算步骤；

2、用单纯形法求解线性规划的实质。

教学过程：

1.举例引入（5分钟）

2.举例讲解新课（80分钟）

（1）对偶问题的基本概念及解的性质；（20分钟）

（2）对偶单纯形法及原问题单纯形法解之间的关系；

（20分钟）

（3）对偶单纯形法及原问题单纯形法的求解原理（20

分钟）

（4）对偶单纯形法原理（20分钟）求解步骤（20分钟）

3.课堂练习（穿插在例题讲解过程中）

4.课堂小结（5分钟）

《线性规划的对偶理论及对偶单纯形法》（2课时）

【教学流程图】

举例引入

r对偶问题及原问题的结构特

占I

八、、

线性规划的对偶问题的基本概念对偶问题及原问题的解及单

纯形表

线性规划的单纯形法求解实

质

f初始表

对偶单纯形法计算J骤进基

出基

学生练习（结合例题讲解进行）

课堂小结

布置作业

【教学方法】

本课主要采用任务驱动和程序式思维相结合的教学方法，过

程当中辅以案例讲解、启发提问、自主学习和协作学习等方式。

任务驱动是实现本课教学目标和完成教学内容的主要方法，任务

是师生活动内容的核心，在教学过程中，任务驱动被多次利用。

自主学习能提高学生的自主探究能力，竞赛和协作学习调动学生

的积极性，激发学生参及的热情。学生之间互帮互助，共同分享

劳动果实，从而激发了学生的团队意识，达到理想的教学效果。

【教学内容】

一、教学过程：

（三）举例引入对偶问题的基本概念：（5分钟）

导入提问：线性规划的对偶问题及原问题的解是什么关系？

（二）新课：

第四节对偶单纯形法

一、对偶单纯形法的原理

LP及DP在求解迭代过程中有三种情形:

LP的b歹!JLP的检验数乙含义

均20均W0则DP的检验数4W0且yzo,这时

LP及DP均达到最优解。

均20某个乙＞0则DP的某个变量为＜0,说明原问题工

行，对偶问题不可行。

某个々＜0全部%W0贝IJDP的检验数4W0且yNO,说明原

问题小口」行,对偶问题可行O

对于第二种情形用单纯形法求解，第三种情形用对偶单纯形法求解。

二、对偶单纯形法求解过程

1、用实例引入：

例1-10

解引入非负松弛变量％5与），化为标准型;

将三个约束式两边分别乘以T,得

目标函数Cj-3-900

变量常数

X必1%J%九%

基变量

初0[-11-110「2

始了40-1-401-3

表%0-1-700-3

计Zj0000

算-3-900

0=min(-3/-1-9/-1)-=3-3/-1-9/-1

第一-311-102

次迭一为00[-3]-11-1

代%00-6-10-1

Zj-3-330

0-6-30

6=min(-6/-3,-3/-I)==2-6/-3-3/-1

第二-310-4/31/35/3

次迭了2-9011/3-1/31/3

代%0001-21

-3-912

00-1-2

最优解为：Y=（5/3,1/3,0,0,1）

3、总结对偶单纯形法求解过程:

由于用单纯形法求解极大化线性规划问题时，通过迭代直至所有

检验数这时所得最优基也是对偶问题的可行基，因此单纯形法

的求解过程是：在保持原始可行（即常数列保持＞0）的前提下，通

过迭代实现对偶可行（全部%W0）。

换一个角度考虑线性规划的求解过程：能否在保持对偶可行（全

部乙W0）的前提下，通过迭代实现原始可行（即常数列保持20）?

这就是对偶单纯形法的求解思路。

第一步：建立初始单纯形表，计算检验数行，当全部4W0（非基

变量的乙〈0）时，如果常数项20,即得最优解。如常数项至少有一

元素＜0,且检验数仍然非正，则转下一步。

第二步：将常数项＜0所在的约束条件两边同乘以-1,将常数列

全变成非负，再使用原始单纯形法求解。如果上述处理过程中出现原

始可行基不再是单位矩阵，可适当增加人工变量构造人造基，再用大

M法求解。

第三步：进行基变换

先确定出基变量：选取常数列中绝对值最小的负元素对应的基变

量出基，相应行为主元行。然后确定入基变量：由最小比值原则，选

min昌鬲W0}=区所在的列为主元列。这里乙为第j列的检验数，也为

1aijaik

%对应的主元行中非基变量的系数。主元行及主元列相交叉处的系数

元素为主元素须，其对应的非基变量为换入基变量。

第四步：对主元素进行换基迭代后，用矩阵的初等变换将主元素

变成1,并把主元列变成单位向量，得到新的单纯形表。

二、课堂练习（穿插在例题讲解过程中）

三、课堂小结（5分钟）

授课题目：

第二章线性规划的对偶理论及灵敏度分析

第五节：灵敏度分析

教学目的及要求：

1.知识目标：理解求解线性规划的单纯形法中灵敏度分析

的基本原理；

2.能力目标：分析与的变化；分析外的变化；增加一个变

量与的分析。

3.素质目标：培养学生良好的职业道德、树立爱岗精神。

教学重点：

1、分析g的变化；

2、分析层的变化；

3、增加一个变量与的分析。

教学难点：

1、灵敏度的基本概念；

2、增加一个变量与的分析。

教学过程：

1.举例引入灵敏度（5分钟）

2.举例讲解新课（80分钟）

（1）灵敏度的基本概念；（20分钟）

（2）分析g的变化；（20分钟）

（3）分析层的变化；（20分钟）

（4）增加一个变量吃的分析。（20分钟）

3.课堂练习（穿插在例题讲解过程中）

4.课堂小结（5分钟）

《灵敏度分析》（2课时）

【教学流程图】

举例引入灵敏度

r灵敏度

线性规划灵敏度的基本概念分析灵敏度的方法

线性规划模型参数

分析G的变化

分析线性规划模型中参数的变化分析勺的变化

增加一个变量盯的分析

学生练习（结合例题讲解进行）

课堂小结

布置作业

【教学方法】

本课主要采用任务驱动和程序式思维相结合的教学方法，过

程当中辅以案例讲解、启发提问、自主学习和协作学习等方式。

任务驱动是实现本课教学目标和完成教学内容的主要方法，任务

是师生活动内容的核心，在教学过程中，任务驱动被多次利用。

自主学习能提高学生的自主探究能力，竞赛和协作学习调动学生

的积极性，激发学生参及的热情。学生之间互帮互助，共同分享

劳动果实，从而激发了学生的团队意识，达到理想的教学效果。