函数的表示法（第1课时函数的表示法）课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.1.2

函数的表示法第1课时函数的表示法第三章函数的概念与性质人教A版

数学

必修第一册基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升目录索引

学以致用·随堂检测促达标学习目标1.掌握函数的三种表示法:解析法、列表法、图象法,明确各自的优缺点.在解析法中尤其要掌握用换元和代入法求函数的解析式.(数学运算)2.在实际问题中,能够选择恰当的表示法来表示函数.(数学抽象)3.能利用函数图象求函数的值域,并确定函数值的变化趋势.(直观想象)基础落实·必备知识一遍过知识点:函数的表示方法

名师点睛函数的三种表示方法的优缺点表示方法优点缺点列表法不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值只能表示自变量可以一一列出的函数图象法能形象直观地表示出函数的变化情况只能近似地求出自变量所对应的函数值,而且有时误差较大解析法一是简明、全面地概括了变量间的关系,从“数”的方面揭示了函数关系;二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值不够形象、直观,并不是所有的函数都能用解析法表示出来微思考是否所有的函数都可以用三种方法来表示?提示

不一定,有些函数只能用某一种方法表示,如每年的人口增长率习惯用列表法表示,不能用解析法.重难探究·能力素养速提升问题1在集合的学习中,基本思路是“集合的定义—表示—运算—应用”,类比于此,在学习了函数的概念之后,应该学习什么?问题2初中学习了函数的三种表示方法,这三种方法的优缺点是什么?如何选择合适的方法?探究点一列表法表示函数问题3列表法表示的函数,数值对应直观明了,适合表示怎样的情况?【例1】

已知函数f(x),g(x)分别由下表给出:x123f(x)211x123g(x)321则f(g(1))=

;当g[f(x)]=2时,x=

.

11解析

由g(x)的对应表,知g(1)=3,∴f(g(1))=f(3).由f(x)的对应表,知f(3)=1,∴f(g(1))=f(3)=1.由g(x)的对应表,知当x=2时,g(2)=2.又g(f(x))=2,∴f(x)=2.又由f(x)的对应表,知当x=1时,f(1)=2.∴x=1.延伸探究在本例已知条件下,g[f(1)]=

;当f[g(x)]=2时,x=

.

23解析

∵f(1)=2,∴g(f(1))=g(2)=2.∵f(g(x))=2,∴g(x)=1,∴x=3.规律方法

列表法表示函数的关注点列表法是表示函数的重要方法,这如同我们在画函数图象时所列的表,它的明显优点是自变量对应的函数值在表中可直接找到,不需要计算.探究点二求函数的解析式问题4解析法是函数的重要表示方法,已知函数的其他关系式,可否求得函数的解析式?【例2】

(1)已知f(x+1)=x2-3x+2,求f(x);(2)已知f(x)是二次函数,且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x)的解析式;(3)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)+2f(-x)=3x-2,求f(x).解(1)令x+1=t,则x=t-1.将x=t-1代入f(x+1)=x2-3x+2,得f(t)=(t-1)2-3(t-1)+2=t2-5t+6,∴f(x)=x2-5x+6.(2)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).∵f(0)=1,∴c=1,则f(x)=ax2+bx+1.∵f(x+1)-f(x)=2x对任意的x∈R都成立,∴a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x,即2ax+a+b=2x,由恒等式的性质,得(3)∵对于任意的x都有f(x)+2f(-x)=3x-2,∴将x替换为-x,得f(-x)+2f(x)=-3x-2,联立方程组消去f(-x),可得f(x)=-3x-.规律方法

求函数解析式的四种常用方法(1)直接法(代入法):已知f(x)的解析式,求f(g(x))的解析式,直接将g(x)代入即可.(2)待定系数法:若已知函数的类型,可用待定系数法求解,即由函数类型设出函数解析式,再根据条件列方程(或方程组),通过解方程(组)求出待定系数,进而求出函数解析式.(3)换元法:已知函数f(g(x))的解析式求f(x)的解析式可用换元法,即令g(x)=t,反解出x,然后代入f(g(x))中求出f(t),从而求出f(x).(4)解方程组法或消元法:在已知式子中,含有关于两个不同变量的函数,而这两个变量有着某种关系,这时就要依据两个变量的关系,建立一个新的关于两个变量的式子,由两个式子建立方程组,通过解方程组消去一个变量,得到目标变量的解析式,这种方法叫做解方程组法或消元法.探究点三函数的图象及应用问题5图象法表示函数重在形象直观,思考解决函数问题时,如何应用此种表示法的优点?【例3】

作出下列函数的图象,并求其值域:(1)y=1-|x|(x∈Z);(2)y=|2x2-4x-3|(0≤x≤3).解(1)因为x∈Z,所以函数图象为两条射线上的孤立的点(如图1),由图象知,函数的值域是{y|y≤1,且y∈Z}.(2)因为x∈[0,3],所以函数图象是抛物线的一段(如图2),由图象知,函数的值域是[0,5].图1图2规律方法

函数图象的作法及注意点(1)作函数图象最基本的方法是描点法:主要有三个步骤——列表、描点、连线.作图象时一般先确定函数的定义域,再在定义域内化简函数解析式,最后列表画出图象.(2)函数的图象可能是光滑的曲线,也可能是一群离散的点,画图时要注意特殊点.如图象与坐标轴的交点、区间端点、二次函数的顶点等,还要分清这些特殊点是实心点还是空心圈.函数解析式中加上绝对值号会使函数图象发生对称及翻折.如本题(1)中图象是由一些散点构成的,这里不能将其用平滑曲线连起来.本题(2)中的绝对值号使函数y=2x2-4x-3(0≤x≤3)的图象发生了翻折,即把函数y=2x2-4x-3(0≤x≤3)的图象x轴及上方部分不变,x轴下方部分翻折到上方.另外注意图象端点处的虚实.【例4】

如图,在矩形ABCD中,BA=3,CB=4,点P在AD上移动,CQ⊥BP,Q为垂足.设BP=x,CQ=y,试求y关于x的函数解析式,并画出函数的图象.规律方法

从实际问题中得到的函数,求其定义域时,不仅要使函数有意义,而且还要使实际问题有意义.学以致用·随堂检测促达标1234567891011A级必备知识基础练1.某天早上,小明骑车上学,从家出发时感到时间较紧,然后加速前进,后来发现时间相对充裕,于是放慢了速度,与以上事件吻合得最好的图象是(

)C解析

选项A,D第一段都是匀速前进,不合题意,故排除选项A,D,首先加速前进,然后放慢速度,说明图象上升的速度先快后慢,故选C.12345678910112.已知函数f(x),g(x)对应值如下表:x01-1f(x)10-1x01-1g(x)-101则g[f(g(-1))]的值为(

)A.1 B.0 C.-1 D.无法确定C解析

g(-1)=1,则f[g(-1)]=f(1)=0,则g[f(g(-1))]=g(0)=-1.12345678910113.已知f(2x-1)=2x2+3,则f(3)=(

)A.5 B.11 C.18 D.21B12345678910114.若f(x)对于任意实数x恒有3f(x)-2f(-x)=5x+1,则f(x)=(

)A.x+1 B.x-1

C.2x+1 D.3x+3A解析

因为3f(x)-2f(-x)=5x+1,所以3f(-x)-2f(x)=-5x+1,解得f(x)=x+1.12345678910115.将长度为2的一根铁丝折成其中一边长为x的矩形,矩形的面积y关于x的函数关系式是y=x(1-x),则函数的定义域为(

)A.R

B.{x|x>0}C.{x|0<x<2} D.{x|0<x<1}D6.(多选题)已知f(x)=x,g(x)=x2-2x,且

则F(x)的最值情况是(

)A.无最小值B.无最大值C.有最大值3D.有最小值-1AB12345678910117.若函数f(x)满足f(3x+2)=9x+8,则f(x)的解析式是

.

f(x)=3x+2解析

f(3x+2)=9x+8,设t=3x+2,代入得到f(t)=3t+2.故f(x)的解析式是f(x)=3x+2.12345678910111234567891011B级关键能力提升练8.若函数y=f(x)对任意x∈R,均有f(x+y)=f(x)+f(y),则下列函数中可以为y=f(x)解析式的是(

)A.f(x)=x+1 B.f(x)=2x-1C.f(x)=2x D.f(x)=x2+xC解析

若f(x)=2x,则f(x+y)=2(x+y),f(x)+f(y)=2x+2y=2(x+y),其他选项都不符合,故选C.12345678910119.已知f(x+1)=2x-3,且f(a)=3,则a=

.

4解析

f(x+1)=2x-3=2(x+1)-5,所以f(x)=2x-5,由f(a)=2a-5=3,得a