指数函数与对数函数全章总结提升课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

全章总结提升第四章指数函数与对数函数人教A版

数学

必修第一册知识网络·整合构建专题突破·素养提升目录索引

知识网络·整合构建专题突破·素养提升专题一指数、对数的运算解(方法1)原式=lg(2×7)-2(lg

7-lg

3)+lg

7-lg(32×2)=lg

2+lg

7-2lg

7+2lg

3+lg

7-2lg

3-lg

2=0.规律方法

指数式的运算首先注意化简顺序,一般先将负指数转化成正指数,根式化为分数指数幂运算,其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的.对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化,前后要等价,熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式、换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧.变式训练1专题二指数函数、对数函数的图象问题【例2】

在同一平面直角坐标系中,一次函数y=x+a与对数函数y=logax(a>0且a≠1)的图象可能是(

)C解析

对于A,由对数函数图象知0<a<1,此时直线的纵截距满足a>1,矛盾;对于B,由对数函数图象知a>1,此时直线的纵截距满足0<a<1,矛盾;对于C,由对数函数图象知0<a<1,此时直线的纵截距满足0<a<1,保持一致;对于D,由对数函数图象知a>1,此时直线的纵截距满足a<0,矛盾.故选C.【例3】

若不等式4x2-logax<0在(0,)内恒成立,则a的取值范围是

.

规律方法

与指数、对数有关的方程解、函数零点、不等式、图象位置等问题,常需画出图象,数形结合求解.变式训练2已知

g(x)=f(x)+x+m,若g(x)存在两个零点,则m的取值范围是(

)A.[-1,+∞) B.[-1,0)C.[0,+∞) D.[1,+∞)A解析

g(x)=f(x)+x+m,若g(x)存在两个零点,可得g(x)=0,即f(x)=-x-m有两个不等实根,即有函数y=f(x)和直线y=-x-m有两个交点,作出y=f(x)的图象和直线y=-x-m,当-m≤1,即m≥-1时,y=f(x)和y=-x-m有两个交点,故选A.专题三函数的零点与方程的根【例4】

(1)函数

的零点个数是

.

2解析①当x≤0时,由f(x)=0,即x2-2=0,解得x=或x=-.因为x≤0,所以x=-.②(方法1)函数单调性法

当x>0时,f(x)=2x-6+ln

x.而f(1)=2×1-6+ln

1=-4<0,f(3)=2×3-6+ln

3=ln

3>0,所以f(1)f(3)<0,又函数f(x)的图象是连续的,故由零点存在定理,可得函数f(x)在(1,3)内至少有一个零点.而函数y=2x-6在(0,+∞)上单调递增,y=ln

x在(0,+∞)上单调递增,所以函数f(x)=2x-6+ln

x在(0,+∞)上单调递增.故函数f(x)=2x-6+ln

x在(0,+∞)内有且只有1个零点,综上,函数f(x)共有2个零点.(方法2)数形结合法

当x>0时,由f(x)=0,得2x-6+ln

x=0,即ln

x=6-2x.如图,分别作出函数y=ln

x和y=6-2x的图象.显然,由图可知,两函数图象只有一个交点,且在y轴的右侧,故当x>0时,f(x)=0只有一个解.综上,函数f(x)共有2个零点.(2)已知函数

其中m>0.若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是

.

(3,+∞)解析

如图,当x≤m时,f(x)=|x|.当x>m时,f(x)=x2-2mx+4m,在(m,+∞)单调递增,若存在实数b,使方程f(x)=b有三个不同的根,则m2-2m·m+4m<|m|.∵m>0,∴m2-3m>0,解得m>3.规律方法

函数的零点与方程的根的关系及应用(1)函数的零点与方程的根的关系:方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.(2)确定函数零点的个数有两个基本方法:利用图象研究与x轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数进行判断.专题四指数函数、对数函数的应用【例5】

基本再生数R0与世代间隔T是某种疾病的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在该疾病疫情初始阶段,可以用指数模型:I(t)=er

t描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与R0,T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28,T=6.据此,在该疾病疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69