微专题24 地球周围物体所受重力与万有引力关系-2025版高中物理微专题

微专题24地球周围物体所受重力与万有引力关系【核心要点提示】地球表面物体：Geq\f(Mm,R2)＝mg0(近似相等)所以地球表面重力加速度g0=eq\f(GM,R2)地球上空物体：Geq\f(Mm,r2)＝mg，地球上空某处重力加速度g=eq\f(GM,r2)【微专题训练】【例题】(2015·保定一模)已知地球半径为R，质量为M，自转周期为T，在赤道处用弹簧秤悬挂某物体(质量为m)，静止时示数为F，万有引力常量为G。下列说法正确的是()A．在北极进行同样的操作，弹簧秤示数依然是FB．在赤道处重力的大小等于F，且F＝Geq\f(Mm,R2)－meq\f(4π2,T2)RC．假如地球自转周期减小，那么赤道上物体的重力也减小D．地球的第一宇宙速度v1＝eq\f(2πR,T)【解析】考虑地球的自转，由于北极和赤道处自转半径不同，故A选项错误。赤道处万有引力一个分力为重力，另一个分力为随地球自转的向心力，即eq\f(GMm,R2)＝F＋meq\f(4π2,T2)R，故B选项正确。假设T减小，则F减小，即重力减小，故C选项正确。求地球的第一宇宙速度若选用v＝eq\f(2πR,T)，T应该为近地卫星的环绕周期，而不应该为地球自转周期，故D选项错误。【答案】BC【变式】由中国科学院、中国工程院两院院士评出的2012年中国十大科技进展新闻，于2013年1月19日揭晓，“神九”载人飞船与“天宫一号”成功对接和“蛟龙”号下潜突破7000米分别排在第一、第二．若地球半径为R，把地球看做质量分布均匀的球体．“蛟龙”下潜深度为d，“天宫一号”轨道距离地面高度为h，“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的加速度之比为()A.eq\f(R－d,R＋h) B.eq\f((R－d)2,(R＋h)2)C.eq\f((R－d)(R＋h)2,R3) D.eq\f((R－d)(R＋h),R2)【解析】令地球的密度为ρ，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有：g＝Geq\f(M,R2).由于地球的质量为：M＝ρ·eq\f(4,3)πR3，所以重力加速度的表达式可写成：g＝eq\f(GM,R2)＝eq\f(G·ρ\f(4,3)πR3,R2)＝eq\f(4,3)πGρR.根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，故在深度为d的地球内部，受到地球的万有引力即为半径等于(R－d)的球体在其表面产生的万有引力，故“蛟龙号”的重力加速度g′＝eq\f(4,3)πGρ(R－d)．所以有eq\f(g′,g)＝eq\f(R－d,R).根据万有引力提供向心力Geq\f(Mm,(R＋h)2)＝ma，“天宫一号”的加速度为a＝eq\f(GM,(R＋h)2)，所以eq\f(a,g)＝eq\f(R2,(R＋h)2)，eq\f(g′,a)＝eq\f((R－d)(R＋h)2,R3)，故C正确，A、B、D错误．【答案】C【变式】(2018·河北衡水中学信息卷)近期天文学界有很多新发现，若某一新发现的星体质量为m、半径为R、自转周期为T，引力常量为G.下列说法正确的是()A．如果该星体的自转周期T<2πeq\r(\f(R3,Gm))，会解体B．如果该星体的自转周期T>2πeq\r(\f(R3,Gm))，会解体C．该星体表面的引力加速度为eq\f(Gm,R)D．如果有卫星靠近该星体表面飞行，其速度大小为eq\r(\f(Gm,R))AD[如果在该星体表面有一物质，质量为m′，当它受到的万有引力大于跟随星体自转所需要的同心力时呈稳定状态，即Geq\f(mm′,R2)>m′Req\f(4π2,T2)，化简得T>2πeq\r(\f(R3,GM))，即T>2πeq\r(\f(R3,Gm))时，星体不会解体，而该星体的自转周期T<2πeq\r(\f(R3,Gm))时，会解体，A正确；B错误；在该星体表面，有Geq\f(mm′,R2)＝m′g，所以g＝eq\f(Gm,R2)，C错误；如果有卫星靠近该星体表面飞行，有Geq\f(mm″,R2)＝m″eq\f(v2,R)，解得v＝eq\r(\f(Gm,R))，D正确．]【巩固习题】1.设地球为均匀球体，半径为R，质量为M，自转角速度为ω，万有引力恒量为G，地球两极重力加速度为g1，赤道重力加速度为g2.则()A．g1＝g2＝Geq\f(M,R2)B．g1＝Geq\f(M,R2)>g2＝Geq\f(M,R2)－ω2RC．g2＝Geq\f(M,R2)>g1＝Geq\f(M,R2)－ω2RD．g1＝g2＝Geq\f(M,R2)＋ω2R【解析】对极地上的物体有Geq\f(Mm,R2)＝mg1，解得g1＝Geq\f(M,R2)，对赤道上物体，有Geq\f(Mm,R2)－mg2＝mω2R，解得g2＝Geq\f(M,R2)－ω2R，选项B正确．【答案】B2.(2015·江西吉安)由于万有引力定律和库仑定律都满足于平方反比定律，因此引力场和电场之间有许多相似的性质，在处理有关问题时可以将它们进行类比．例如电场中反映各点电场强弱的物理量是电场强度，其定义式为E＝eq\f(F,q).在引力场中可以有一个类似的物理量用来反映各点引力场的强弱．设地球质量为M，半径为R，地球表面处重力加速度为g，引力常量为G.如果一个质量为m的物体位于距地心2R处的某点，则下列表达式中能反映该点引力强弱的是()A．Geq\f(M,2R2) B．Geq\f(m,2R2)C．Geq\f(Mm,2R2) D.eq\f(g,4)【解析】由电场强度的定义及类比方法可知，反映距地心2R处引力强弱的物理量可用F/m表示，即Geq\f(M,2R2)，故A项正确；再利用比值的方法可得距离地心为2R处引力的强弱可表示为eq\f(g,4).【答案】AD3.(2015·海南单科)若在某行星和地球上相对于各自的水平地面附近相同的高度处、以相同的速率平抛一物体，它们在水平方向运动的距离之比为2∶eq\r(7)，已知该行星质量约为地球的7倍，地球的半径为R。由此可知，该行星的半径约为()A.eq\f(1,2)R B.eq\f(7,2)R C．2R D.eq\f(\r(7),2)R【解析】平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，即x＝v0t，在竖直方向上做自由落体运动，即h＝eq\f(1,2)gt2，所以x＝v0eq\r(\f(2h,g))，两种情况下，抛出的速率相同，高度相同，所以eq\f(g行,g地)＝eq\f(xeq\o\al(2,地),xeq\o\al(2,行))＝eq\f(7,4)，根据公式Geq\f(Mm,R2)＝mg可得R2＝eq\f(GM,g)故eq\f(R行,R地)＝eq\r(\f(M行,M地)·\f(g地,g行))＝2，解得R行＝2R，故C正确。【答案】C4.(2015·重庆理综)宇航员王亚平在“天宫1号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象。若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为()A．0 B.eq\f(GM,（R＋h）2) C.eq\f(GMm,（R＋h）2) D.eq\f(GM,h2)【解析】对飞船由万有引力定律和牛顿第二定律得，eq\f(GMm,（R＋h）2)＝mg′，解得飞船所在处的重力加速度为g′＝eq\f(GM,（R＋h）2)，B项正确。【答案】B5.(2012·新课标)假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体．一矿井深度为d.已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零．矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为()A．1－eq\f(d,R) B．1＋eq\f(d,R)C．(eq\f(R－d,R))2 D．(eq\f(R,R－d))2【解析】题目介绍质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，所以在矿井底部物体m′的重力近似等于其与内部的万有引力，m′g′＝Geq\f(ρ\f(4,3)πR－d3m′,R－d2)，同理地面处的物体m′的重力近似等于其与地球的万有引力，m′g＝Geq\f(ρ\f(4,3)πR3m′,R2)，联立以上两式，得eq\f(g′,g)＝1－eq\f(d,R).【答案】A6.(2016·四川理综)国务院批复，自2016年起将4月24日设立为“中国航天日”。1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为440km，远地点高度约为2060km；1984年4月8日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空35786km的地球同步轨道上。设东方红一号在远地点的加速度为a1，东方红二号的加速度为a2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a3，则a1、a2、a3的大小关系为()A．a2＞a1＞a3 B．a3＞a2＞a1C．a3＞a1＞a2 D．a1＞a2＞a3【解析】由于东方红二号卫星是同步卫星，则其角速度和赤道上的物体角速度相等，根据a＝ω2r，r2>r3，则a2>a3；由万有引力定律和牛顿第二定律得，Geq\f(Mm,r2)＝ma，由题目中数据可以得出，r1<r2，则a2<a1；综合以上分析有，a1>a2>a3，选项D正确。【答案】D7.(2015·郑州质量预测)据报道，目前我国正在研制“萤火二号”火星探测器。探测器升空后，先在近地轨道上以线速度v环绕地球飞行，再调整速度进入地火转移轨道，最后再一次调整速度以线速度v′在火星表面附近环绕飞行。若认为地球和火星都是质量分布均匀的球体，已知火星与地球的半径之比为1∶2，密度之比为5∶7，设火星与地球表面重力加速度分别为g′和g，下列结论正确的是()A．g′∶g＝4∶1 B．g′∶g＝10∶7C．v′∶v＝eq\r(\f(5,28)) D．v′∶v＝eq\r(\f(5,14))【解析】由于球体质量M＝ρeq\f(4,3)πR3，所以火星质量与地球质量之比eq\f(M火,M地)＝eq\f(ρ火\f(4,3)πR\o\al(3,火),ρ地\f(4,3)πR\o\al(3,地))＝eq\f(5,7)×eq\f(1,8)＝eq\f(5,56)，由于v＝eq\r(\f(GM地,R地))，v′＝eq\r(\f(GM火,R火))，所以eq\f(v,v′)＝eq\r(\f(M地R火,M火R地))＝eq\r(\f(56,5)×\f(1,2))＝eq\r(\f(28,5))，故C正确、D错误。由于mg＝eq\f(GMm,R2)，则eq\f(g′,g)＝eq\f(M火,M地)eq\f(R\o\al(2,地),R\o\al(2,火))＝eq\f(5,56)×eq\f(4,1)＝eq\f(5,14)，故A、B均错误。【答案】C8.科幻大片《星际穿越》是基于知名理论物理学家基普·索恩的黑洞理论，加入人物和相关情节改编而成的．电影中的黑洞花费三十名研究人员将近一年的时间，用数千台计算机精确模拟才得以实现，让我们看到了迄今最真实的黑洞模样．若某黑洞的半径R约45km，质量M和半径R的关系满足eq\f(M,R)＝eq\f(c2,2G)(其中c＝3×108m/s，G为引力常量)，则该黑洞表面的重力加速度的数量级大约为()A．108m/s2B．1010m/s2C．1012m/s2D．1014m/s2【解析】黑洞实际为一天体，天体表面的物体受到的重力近似等于物体与该天体之间的万有引力，对黑洞表面的某一质量为m的物体有：eq\f(GMm,R2)＝mg，又有eq\f(M,R)＝eq\f(c2,2G)，联立解得g＝eq\f(c2,2R)，代入数据得重力加速度的数量级为1012m/s2，故C正确，A、B、D错误．【答案】C9.(多选)据报道，2016年2月18日嫦娥三号着陆器玉兔号成功自主“醒来”，嫦娥一号卫星系统总指挥兼总设计师叶培建院士介绍说，自2013年12月14日月面软着陆以来，中国嫦娥三号月球探测器创造了全世界在月工作时间最长纪录．假如月球探测器在月球表面以初速度v0竖直向上抛出一个小球，经时间t后小球回到出发点．已知月球的半径为R，引力常量为G，下列说法正确的是()A．月球表面的重力加速度为eq\f(v0,t)B．月球的质量为eq\f(2v0R2,Gt)C．探测器在月球表面获得eq\r(\f(2v0R,t))的速度就可能离开月球表面围绕月球做圆周运动D．探测器在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动的绕行周期为eq\r(\f(Rt,v0))【解析】月球探测器在月球表面以初速度v0竖直向上抛出一个小球，经过时间t落回地面，由匀变速直线运动规律可知v0－(－v0)＝g′t，解得月球表面的重力加速度g′＝eq\f(2v0,t)，选项A错误；由Geq\f(Mm,R2)＝mg′，g′＝eq\f(2v0,t)，可得月球质量M＝eq\f(2v0R2,Gt)，选项B正确；由第一宇宙速度v1＝eq\r(g′R)＝eq\r(\f(2v0R,t))可知，探测器在月球表面获得eq\r(\f(2v0R,t))的速度就可能离开月球表面绕月球做圆周运动，选项C正确；探测器在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动的绕行周期为T＝eq\f(2πR,v1)＝πeq\r(\f(2Rt,v0))，选项D错误．【答案】BC10.(2016·河北石家庄期末)北京时间2015年7月24日，美国宇航局宣布，可能发现了“另一个地球”——开普勒－452b。将开普勒－452b简化成如图所示的模型：MN为该星球的自转轴，A、B是该星球表面的两点，它们与地心O的连线OA、OB与MN的夹角分别为α＝30°，β＝60°；在A、B两点处放置质量分别为mA、mB的物体。设该星球的自转周期为T，半径为R，引力常量为G。则下列说法正确的是()A．该星球的第一宇宙速度为eq\f(2πR,T)B．若不考虑该星球自转，在A点用弹簧测力计称量质量为mA的物体，平衡时示数为F，则星球的质量为eq\f(GmA,FR2)C．放在A、B两点处的物体随星球自转的向心力大小的比值为eq\f(mA,\r(3)mB)D．放在A、B两点处的物体随星球自转的向心力大小的比值为eq\f(\r(3)mA,mB)【解析】星球的第一宇宙速度v＝eq\r(\f(GM,R))，而eq\f(2πR,T)是星球自转的最大线速度，所以A错误；若不考虑该星球自转，A点处的重力加速度g＝eq\f(F,mA)，由Geq\f(Mm,R2)＝mg得M＝eq\f(FR2,GmA)，B错误；放在A、B两处的物体随星球自转的向心力大小分别为FA＝mAω2rA＝mAω2Rsinα，FB＝mBω2rB＝mBω2Rsinβ，eq\f(FA,FB)＝eq\f(mAsinα,mBsinβ)＝eq\f(mA,\r(3)mB)，C正确，D错误。【答案】C11.(2015·新课标全国Ⅰ)(多选)我国发射的“嫦娥三号”登月探测器靠近月球后，先在月球表面附近的近似圆轨道上绕月运行；然后经过一系列过程，在离月面4m高处做一