考研数学一历年真题(1987-2012)

1987年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

三、(本题满分7分)

ka

一、填空题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线⑴设f、g为连续可微函数，〃=f(x,xy),v=g(x+xy),求竽■，兰.

上)oxox

(1)当x=时，函数y=2、取得极小值.

(2)由曲线y=lnx与两直线》=6+1-犬及y=0所围成的平面图形的

面积是_____________.

x=l301

(3)与两直线<y=-l+f及平=乎2=辛都平行且过原点的平

⑵设矩阵A和B满足关系式AB=A+2B,其中A=110，求

014

面方程为_______c.

z=2+t矩阵B.

(4)设L为取正向的圆周x2+y2=9,则曲线积分

j(2xy-2yMx+(x2-4x)dy=.

(5)已知三维向量空间的基底为afia(1,1,0),2=(1,0/)，=(O,1J),

3四、(本题满分8分)

则向量B=(2,0,0)在此基底下的坐标是.求微分方程y"+6/+(9+a2)/=l的通解，其中常数a>0.

二、(本题满分8分)

求正的常数a与仇使等式lim——['.r-dt=1成立.

•J。hx-sinx力+/

五、选择题(本题共4小题,每小题3分，满分12分.每小题给出的四个选六、(本题满分10分)

项中，只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

81

求募级数的收敛域，并求其和函数.

占"2"

(1)设lim=-1,则在x=。处

f(x-a)-

(A)/(x)的导数存在，且/'(a)H0(B)/(x)取得极大

值

(C)/(x)取得极小值(D)/(x)的导数不

存在

5

(2)设/(x)为已知连续函数，/=t^f(tx)dx,其中r〉0,s>0,则/的

值七、(本题满分10分)

(A)依赖于s和t(B)依赖于s、/和X求曲面积分

(C)依赖于八X,不依赖于S(D)依赖于S,不依赖I=j|x(8y+\)dydz+2(1-y2)dzdx-Ayzdxdy,

于Iz

7=-/y—11<y<3

(3)设常数k>0,则级数£(—1)""2其中Z是由曲线/(x)=<'.绕y轴旋转一周而成的曲

»=i«x=0

(A)发散(B)绝对收敛n

面，其法向量与y轴正向的夹角恒大于-.

(C)条件收敛(D)散敛性与k的取

值有关

(4)设A为〃阶方阵，且A的行列式IA1=aH0,而A*是A的伴随矩

阵，则IA*I等于

1

(A)a(B)-

a

”一i

(C)a(D)an

玉+々+£+*6=0

x2+2X3+2X4=1

-x2+(«-3)X3-2X4=b

3X1+-tax=—1

八、(本题满分10分)2X2+x34

有唯一解，无解，有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.

设函数/(x)在闭区间［0,1］上可微，对于［0,1］上的每一个x,函数/(x)

的值都在开区间(0,1)的且尸(x)Hl,证明在(0,1)内有且仅有一个x,使得

f(x)=x.

十、填空题(本题共3小题,每小题2分满分6分.把答案填在题中横线

上)

(1)设在一次实验中，事件A发生的概率为p,现进行〃次独立试验，则A

至少发生一次的概率为;而事件A至多发生一次的概率为

(2)有两个箱子，第1个箱子有3个白球,2个红球，第2个箱子有4个白

球,4个红球.现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里,再从第2

个箱子中取出1个球,此球是白球的概率为.已知上述从第2个

箱子中取出的球是白球，则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为

九、(本题满分8分)(3)已知连续随机变量X的概率密度函数为f(x)"I,则x

yjTT

问为何值时,现线性方程组

的数学期望为,X的方差为

十一、（本题满分6分）

设随机变量x,y相互独立，其概率密度函数分别为

_>

1o<x<ire'y>°

A(x)=o其它'Vy)=oy«o'

求z=2x+y的概率密度函数.

1988年全国硕士研究生入学统一考试

三、选择题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选

项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)

数学(一)试卷

⑴设/(x)可导且/'(%)=；,则Arf0时J(x)在x0处的微分dy是

一、(本题共3小题,每小题5分，满分15分)

(A)与Ac等价的无穷小(B)与Ax同阶的无

(1)求幕级数.匚3)：的收敛域穷小

X“3"(C)比Ax-低阶的无穷小(D)比Ar高阶的无穷小

(2)设y=/(x)是方程y"—2y'+4y=0的一个解且

⑵设/(x)=e",/[夕(x)]=1-x且(p(x)N0,求(p(x)及其定义域.

/(x0)〉0J'(x0)=0,则函数f(x)在点/处

(3)设£为曲面x2+/+z2=l的外侧，计算曲面积分

(A)取得极大值(B)取得极小值

I=+y3dzdx+z3dxdy.

(C)某邻域内单调增加(D)某邻域内单调减

x

少

(3)设空间区域

二、整题(本题共4小题,每小题3分，满分12分.把答案填在题中横线

上)Q：X?+y2+4R2,2N0,R：/+J?+<R2,xN0,z0,z20,则

⑴若/⑺=limt(\+!)2\则f'(t)=.

(A)JJJxdv=4JJJdv

X

(?)册小=4jg.

(2)设/(x)连续且=x,则/⑺=.

(3)设周期为2的周期函数，它在区间(—1,1]上定义为/(J=2(C)JJJzdi=4JJjzdy

aq

(D)^xyzdv=4

~1<X4°,则的傅里叶(Fourier)级数在x=1处收敛于.

0<%<1

(4)设幕级数fa”(x—1)〃在戈二一1处收敛，则此级数在x=2处

?i=i

(4)设4阶矩阵AaY^yBgyyy,4],=[,2,3,4],其中

(A)条件收敛(B)绝对收敛

a的注，3,4均为4维列向量,且已知行列式|A|=4,|B|=1,则行列式(C)发散(D)收敛性不能确定

(5)及维向量组aja2,,(3WsK〃)线性无关的充要条件是

|A+B|=.

(A)存在一组不全为零的数匕，&，…,人,使匕a网1网2+…+%户0

6)叫叫2,…，,中任意两个向量均线性无关

(C)afxa2,--,5中存在一个向量不能用其余向量线性表示

①地如？,…，,中存在一个向量都不能用其余向量线性表示

四、(本题满分6分)

设〃=升(2)+空(马，其中函数/、g具有二阶连续导数，求

yx

82ud2u

x—7+y-----

dx~dxdy

六、(本题满分9分)

设位于点(0,1)的质点A对质点M的引力大小为2(k>0为常数,r

r

为A质点与M之间的距离)，质点M沿直线y=yj2x-x2自5(2,0)运动到

0(0,0),求在此运动过程中质点A对质点M的引力所作的功.

五、(本题满分8分)

设函数y=y(x)满足微分方程y"—3y'+2y=2e',其图形在点(0,1)

处的切线与曲线y=——x-1在该点处的切线重合，求函数)，=y(x).

九、（本题满分9分）

七、（本题满分6分）

设函数/（X）在区间也,切上连续，且在（a,b）内有/'（X）＞0,证明:在

■10o--10o-

已知AP=BP,其中B=000,p=2-10，求A,A5.（a/）内存在唯一的,使曲线y=/*）与两直线y=f8,x=a所围平面

00-1211

图形面积5是曲线y=/（x）与两直线y=/（4）,x=b所围平面图形面积

S2的3倍.

八、（本题满分8分）

20O-200

已知矩阵A001与8=0y0相似.

01x00-1

(1)求x与y.十、填空题（本题共3小题,每小题2分，满分6分.把答案填在题中横线

上）

（2）求一个满足PAP=B的可逆阵P.

（1）设在三次独立试验中，事件4出现的概率相等,若已知A至少出现一

19

次的概率等于二,则事件A在一次试验中出现的概率是.

27

（2）若在区间（0,1）内任取两个数，则事件”两数之和小于!”的概率为

（3）设随机变量X服从均值为10,均方差为0.02的正态分布，已知

X1~

°（x）=f——e2。（2.5）=0.9938,

j727r

则X落在区间（9.95,10.05）内的概率为.

十一、(本题满分6分)

设随机变量X的概率密度函数为fx(x)=一二-，求随机变量

7T(\-X)

y=l-Vx的概率密度函数/y(y).

又无铅直渐近线

年全国硕士研究生入学统一考试

1989(2)已知曲面Z=4—》2一y2上点p处的切平面平行于平面

数学(一)试卷

2x+2y+z-1=0,则点的坐标是

一、填空题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线

(A)(1,-1,2)(B)(-l,l,2)

上)

(1)已知/'(3)=2,贝ij(0(1,1,2)(D)(-l,-l,2)

2。2/7

(2)设/(x)是连续函数，且f(x)=x+2^f(t)dt,则(3)设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解是任意常数,则该非

齐次方程的通解是

/(》)=.(A)。/+c2y2+%

(3)设平面曲线乙为下半圆周y=_J-2,则曲线积分(B)C]M+c2y2-(。+。2)%

[(x2+y2)ds=.

(4)向量场div”在点P(1,1,O)处的散度div〃=.(D)c,%+c2y2+(1-G一)%

--

一300-10000

(4)设函数/(x)=x2,0Wx<1,而5(x)=sin/?7rx,-oo<x<4-00,

设矩阵

(5)A=140,1=010,则矩阵M=1

003__001

其中

b=2/(x)sinn/rxdx,n=1,2,3,…，则S(-g)等于

(A-2I)-'=___________.n

1c1

(A)--(B)一"-

二、选择题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选24

项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)1

(C)Z(D)-

2

(1)当x〉0时，曲线y=xsin—

x(5)设A是”阶矩阵，且A的行列式|A|=0,则A中

(A)有且仅有水平渐近线(B)有且仅有铅直渐

近线(A)必有一列元素全为0(B)必有两列元素对

(C)既有水平渐近线，又有铅直渐近线(D)既无水平渐近线,应成比例

(C)必有一列向量是其余列向量的线性组合(D)任一列向量是其

余列向量的线性组合

三、(本题共3小题,每小题5分，满分15分)

(1)设2=/(2x-y)+g(x,盯)，其中函数/(f)二阶可导，g(〃,v)具有

d2

连续二阶偏导数,求二z.

dxdy

四、(本题满分6分)

14-Y

将函数/(x)=arctan」展为x的幕级数.

1-x

⑵设曲线积分［xy2dx+yMx)dy与路径无关，其中°(x)具有连续的

导数，且例0)=0,计算

(1,1)、,,

xy^dx+y(p{x}dy的值.

五、(本题满分7分)

设/(x)=sinx—『(x—r)/。)小,其中/为连续函数，求/(x).

22

(3)计算三重积分JJJ(x+z)dv,其中C是由曲面z=ylx+y与

Z=71-X2-/所围成的区域.

六、（本题满分7分）

证明方程Inx=二-『Jl-cos2m在区间（0,+8）内有且仅有两个

不同实根.八、（本题满分8分）

假设/I为〃阶可逆矩阵A的一个特征值，证明

（1）,为A~的特征值.

⑵国为A的伴随矩阵A*的特征值.

A

七、（本题满分6分）

问2为何值时，线性方程组

r

x,+x3=A

九、（本题满分9分）

222

<4.Y|+x,+=2+2设半径为R的球面Z的球心在定球面x+/+z=a（a>0）上，问当

R为何值时，球面E在定球面内部的那部分的面积最大？

6玉+x2+4X3=22+3

有解，并求出解的一般形式.

十、填空题（本题共3小题,每小题2分，满分6分.把答案填在题中横线

上）

(1)已知随机事件A的概率尸(4)=0.5,随机事件B的概率P(B)=0.6

及条件概率P(BIA)=0.8,则和事件AU8的概率

P(AUB)=___________.

(2)甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5,

现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为.

(3)若随机变量自在(1,6)上服从均匀分布,则方程f+1=0有实

根的概率是.

十一、(本题满分6分)

设随机变量x与y独立，且x服从均值为1、标准差(均方差)为近的

正态分布，而Y服从标准正态分布.试求随机变量z=2X-y+3的概率密

度函数.

(DW/《)+/*)

1990年全国硕士研究生入学统一考试

(2)已知函数f(x)具有任意阶导数，且f'(x)=[/(x)]2,则当n为大于2

数学(一)试卷

的正整数时，/(x)的〃阶导数/<n)(x)是

一、填空题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线

上)

(A)〃!"(x)产(B)〃"(x)[小

x=-t+2

⑴过点1)且与直线<y=3t—4垂直的平面方程是(C)[/(x)]2n(D)«![/(<-

•K

(3)设a为常数，则级数£[坐”

z=t-l

r4-"=in~

(2)设a为非零常数，则=.

xfgx-a(A)绝对收敛(B)条件收敛

1|x|<l

(3)设函数/(x)=1，则/"(x)]=______________.(C)发散(D)收敛性与a的取

0|.v|>1

I值有关

(4)积分jdxfe-『dy的值等于.(4)已知/(x)在x=0的某个邻域内连续，且

(5)已知向量组/(0)=0,lim./⑷-=2,则在点x=0处/(%)

1。1-COSX

api隹&1,2,3,4),2=(2,3,4,5),3=(3,4,5,6),4=(4,5,6,7),

(A)不可导(B)可导，且

则该向量组的秩是.

尸(0)70

二、选择题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选(C)取得极大值(D)取得极小值

项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)

⑸已知国、隹是非齐次线性方程组AX=6的两个不同的解，%、%是

(1)设/(%)是连续函数，且F(x)=£'则F'(x)等于

对应其次线性方程组AX=0的基础解析，占、网为任意常数，则方程组

AX=〃的通解(■般解)必是

(A)ka^k(]+2)+邮丁2-

(B)-e-V(e-A)+/Wt2

(C)e-V(e-v)-/W

(B)年叩@&(I-2)+^

©左呻我上2(1+2)+P22

(口)尤呻”2(I-2)+二

叱四、(本题满分6分)

求幕级数f(2〃+l)x"的收敛域，并求其和函数.

三、(本题共3小题,每小题5分，满分15分)

n=0

⑴求f蚂—

(2-x)2

(2)设z=f(2x-y,ysinx),其中/(«,v)具有连续的二阶偏导数，求

五、(本题满分8分)

dxdy

求曲面积分

I=jjyzdzdx+2dxdy

s

其中S是球面x2+y2+F=4外侧在z>0的部分.

(3)求微分方程y"+4y'+4y=e-2x的通解(一般解).

六、（本题满分7分）八、（本题满分8分）

设不恒为常数的函数/（X）在闭区间口,回上连续，在开区间（对。）内可求一个正交变换化二次型/=X；+4x；+4x；-4x^2+4为七一8X2X3

成标准型.

导，且f（a）=/3）.证明在（凡。）内至少存在一点自,使得/修）>0.

九、（本题满分8分）

质点P沿着以A8为直径的半圆周，从

七、（本题满分6分）

点4（1,2）运动到点8（3,4）的过程中受变力

设四阶矩阵

-1-10-2134'

o-