13.4最短路径问题（解析版）

八年级上册数学《第十三章轴对称》13.3等腰三角形13.3.4课题学习最短路径问题知识点知识点最短路径问题★★两点一线型类型问题作法图例原理两点一线型点在直线异侧在直线l上求一点P,使PA+PB的值最小.连接AB，与直线l的交点即为点P.PA+PB的最小值为线段AB的长.两点之间，线段最短.点在直线同侧(将军饮马问题)在直线l上求一点P,使PA+PB的值最小.作点B关于直线l的对称点B',连接AB',与直线l的交点即为点P.PA+PB的最小值为线段AB'的长.两点之间，线段最短.★★两线一点型类型问题作法图例原理两线一点型在直线l₁,l₂上分别求点M,N,使△PMN的周长最小.分别作点P关于直线l₁,l₂的对称点P'和P",连接P'P",与l₁,l₂的交点即为点M,N.PM+MN+PN的最小值为线段P'P"的长.两点之间，线段最短.★★两线两点型类型问题作法图例原理两线两点型在直线l₁,l₂上分别求点M,N,使四边形PQMN的周长最小.作点Q关于直线l₁,的对称点Q',作点P关于直线l₂的对称点P',连接Q'P',与l₁,l₂的交点即为点M,N.MQ+QP+PN+MN的最小值为P'Q'+QP的值.两点之间，线段最短.★★造桥选址问题类型问题作法图例原理造桥选址问题已知两点A,B,直线m∥n,在直线m，n上分别取点M,N,使MN⊥m,且AM+MN+BN的值最小.将点A向下平移至点A',使AA'的长等于直线m,n之间的距离，连接A'B,交直线n于点N,过点N作MN⊥m,交直线m于点M,连接AM.AM+MN+BN的最小值为A'B+MN的值.两点之间，线段最短.题型一利用轴对称解决最短路径问题---两点一线题型一利用轴对称解决最短路径问题---两点一线【例题1】（2023春•盐湖区期末）小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的位置应该在（）A． B． C． D．【分析】本题利用轴对称的性质，将折线最短问题转化为两点之间，线段最短问题，结合三角形的三边关系解题即可．【解答】解：如图：作点A关于街道的对称点A′，连接A′B交街道所在直线于点C，∴A′C＝AC，∴AC+BC＝A′B，在街道上任取除点C以外的一点C′，连接A′C′，BC′，AC′，∴AC′+BC′＝A′C′+BC′，在△A′C′B中，两边之和大于第三边，∴A′C′+BC′＞A′B，∴AC′+BC′＞AC+BC，∴点C到两小区送奶站距离之和最小．故选：C．【点评】本题考查轴对称﹣最短路线的问题，将折线最短问题转化为两点之间，线段最短问题．会作对称点是解此类问题的基础，要求学生能熟练掌握，并熟练应用．另外本题的解决还应用了三角形的三边关系：三角形的两边之和大于第三边．本题还会有变式：请你找出点C的位置．【变式1-1】如图，A、B两村和一条小河，要在河边L建一水厂Q向两村供水，若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂址Q应选在哪个位置？请将上述情况下的自来水厂厂址标出，并保留作图痕迹．【分析】作出点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，交直线l于点Q，AQ+QB使自来水厂到两村的输水管用料最省，点Q为所求的点．【解答】解：如图所示：做出点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，交直线l于点Q，此时AQ+QB最短，则Q为所求的点．【点评】此题考查了轴对称﹣最短线路问题，作图﹣应用与设计作图，熟练掌握对称的性质是解本题的关键．【变式1-2】（2023春•阜新期中）如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点．若AB＝5，AC＝4，BC＝6，则△APC周长的最小值是（）A．9 B．10 C．10.5 D．11【分析】根据垂直平分线的性质得BP＝PC，所以△APC周长＝AC+AP+PC＝AC+AP+BP≥AC+AB＝9．【解答】解：∵直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，∴BP＝PC∴△APC周长＝AC+AP+PC＝AC+AP+BP∵两点之间线段最短∴AP+BP≥AB∴△APC的周长＝AC+AP+BP≥AC+AB∵AC＝4，AB＝5∴△APC周长最小为AC+AB＝9故选：A．【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质定理，以及两点之间线段最短．做本题的关键是能得出AP+BP≥AB，做此类题的关键在于能根据题设中的已知条件，联系相关定理得出结论，再根据结论进行推论．【变式1-3】（2022秋•德州期末）如图：等腰△ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（）A．6 B．8 C．9 D．10【分析】连接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点A关于直线EF的对称点为点C，MA＝MC，推出MC+DM＝MA+DM≥AD，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．【解答】解：连接AD，MA．∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC=12BC•AD=12×∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点A关于直线EF的对称点为点C，MA＝MC，∴MC+DM＝MA+DM≥AD，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+12BC＝6故选：C．【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．【变式1-4】（2023春•盐田区期末）如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是BC，AC边的中点，连接AD，点P是AD上一动点，若AD＝8，则PC+PE的最小值是（）A．2 B．4 C．8 D．16【分析】连接PB，BE，由等边三角形的对称性可知PB＝PC，有将军饮马模型知PC+PE的最小值为BE的长，由等边三角形的性质知BE＝AD，从而得出PC+PE的最小值．【解答】解：连接PB，BE，∵△ABC是等边三角形，D是BC边的中点，∴AD所在直线是△ABC的对称轴，∴PB＝PC，∴PC+PE＝PB+PE≥BE，∴PC+PE的最小值为BE的长，∵D，E分别是等边三角形ABC的BC，AC边的中点，∴BE＝AD＝8，∴PC+PE的最小值是8，故选：C．【点评】本题考查轴对称﹣最短路线问题，等边三角形的性质，用一条线段表示出两线段的和是解题的关键．【变式1-5】（2022秋•宜春期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB边的垂直平分线DE交AB于点D，若AE＝3，（1）求BC的长；（2）若点P是直线DE上的动点，直接写出PA+PC的最小值为．【分析】（1）根据垂直平分线的性质可证△ABE为等腰三角形，由角度可证△ACE为30°直角三角形，再由线段之间的关系即可求出BC的长；（2）根据将军饮马原理即可得出PA+PC的最小值为BC的长度．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B=∠C=1∵AB边的垂直平分线交AB于点D，∴BE＝AE＝3，∴∠BAE＝∠B＝30°，∴∠CAE＝∠BAC﹣∠BAE＝120°﹣30°＝90°，在Rt△CAE中，∠C＝30°，∴CE＝2AE＝6，∴BC＝BE+CE＝3+6＝9；（2）如图，取点A关于直线DE的对称点，即点B，∵PA＝PB，∴PA+PC＝PB+PC，根据两点之间线段最短，则BC即为PA+PC的最小值，最小值为9．【点评】本题考查了图形的轴对称，相关知识点有：垂直平分线的性质、将军饮马等，轴对称性质的充分利用是解题关键．【变式1-6】（2022秋•路北区校级期末）如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB．（1）若∠ABC＝65°，则∠NMA的度数是度；（2）若AB＝9cm，△MBC的周长是16cm，①求BC的长度；②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值．【分析】（1）根据垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等得AM＝BM，再根据等腰三角形的性质即可求解；（2）①根据垂直平分线的性质得AM＝BM，△MBC的周长是18cm．AC＝AB＝9cm，即可求BC的长度；②依据PB+PC＝PA+PC，PA+PC≥AC，即可得到当P与M重合时，PA+PC＝AC，此时PB+PC最小，进而得出△PBC的周长最小值．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C∵∠ABC＝65°，∴∠C＝65°，∴∠A＝50°，∵MN是AB的垂直平分线，∴AM＝BM，∴∠A＝∠ABM＝50°，∴∠MBC＝∠ABC﹣∠ABM＝15°，∴∠AMB＝∠MBC+∠C＝80°，∴∠NMA=1故答案为：40°；（2）①∵AB＝AC＝9cm，△MBC的周长是16cm，即BM+MC+BC＝16cm，∵AM＝BM，∴AM+MC+BC＝16cm，∴AC+BC＝16cm，∴BC＝7cm．∴BC的长度为7cm．②当P与M重合时，△PBC的周长最小．理由：∵PB+PC＝PA+PC，PA+PC≥AC，∴当P与M重合时，PA+PC＝AC，此时PB+PC最小值等于AC的长，∴△PBC的周长最小值＝AC+BC＝9+7＝16（cm）．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质．题型二利用轴对称解决最短路径问题---两线一点题型二利用轴对称解决最短路径问题---两线一点【例题2】为了保证春节期间的安全出行，某交警执勤小队需要在如图所示的OM和ON两条公路设卡检查，计划是先从A地到公路OM上设卡检查，然后再去公路ON上设卡检查，最后回到A地，请你为执勤小队规划路线，使得所走路程最短．【分析】作点A关于OM，ON的对称点A′，A″，连接A′A″交OM于点E，交ON于点F，连接AE，AF，线路A→E→F→A最短．【解答】解：如图，最短的线路为A→E→F→A．【点评】本题考查轴对称最短问题，解题的关键是理解题意，学会利用轴对称解决最短问题．【变式2-1】如图所示，P为△BOA内任一点，在OB上找一点M，在OA上找一点N，使得△PMN的周长最短．【分析】作点P关于OA、OB的对称点P''、P'，连接P'P''，分别交OA、OB于点N、M，即M、N为所求．此时△PMN的周长最短．【解答】解：如图．作点P关于OA、OB的对称点P''、P'，连接P'P''，分别交OA、OB于点N、M，即M、N为所求．此时△PMN的周长为PM+PN+MN＝P''N+MN+P'M≥P'P''，即最小值为P'P''的长度．【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握两点间线段最短是解题的关键．【变式2-2】（2022秋•大连期末）如图，∠AOB＝30°，点D是它内部一点，OD＝m．点E，F分别是OA，OB上的两个动点，则△DEF周长的最小值为（）A．0.5m B．m C．1.5m D．2m【分析】作D点关于AO的对称点G，作D点关于OC的对称点H，连接GH交AO于点E，交OC于点F，连接GO，OH，此时△DEF的周长最小，最小值为GH，证明△GOH是等边三角形，即可求解．【解答】解：作D点关于AO的对称点G，作D点关于OC的对称点H，连接GH交AO于点E，交OC于点F，连接GO，OH，由对称性可知，GE＝ED，DF＝FH，OG＝OD＝OH，∴ED+DF+EF＝GE+EF+FH＝GH，此时△DEF的周长最小，最小值为GH，∵∠GOA＝∠AOD，∠DOC＝∠COH，∴∠GOH＝2∠AOC，∵∠AOC＝30°，∴∠GOH＝60°，∴△GOH是等边三角形，∴GH＝OD，∵DO＝m，∴△DEF周长的最小值为m，故选：B．【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，轴对称的性质，等边三角形的性质是解题的关键．【变式2-3】如图．已知△ABC．∠ACB＝30°，CP为∠ACB的平分线，且CP＝6，点M、N分别是边AC和BC上的动点，则△PMN周长的最小值为（）A．4 B．6 C．63 D．10【分析】作点P关于AC的对称点E，点P关于BC的对称点F，连接EF交AC于M，交BC于N，连接CE、CF．此时△PMN的周长最小．【解答】解：作点P关于AC的对称点E，点P关于BC的对称点F，连接EF交AC于M，交BC于N，连接CE、CF．此时△PMN的周长最小．由对称的性质可知，∠ACP＝∠ACE，∠PCB＝∠BCF，CP＝CE＝CF＝6，∵∠ACB＝30°，∴∠ECF＝60°，∴△CEF是等边三角形，∴EF＝CE＝6，∴△PMN的周长的最小值＝PM+MN+PN＝EM+MN+NF＝EF＝6，故选：B．【点评】本题考查轴对称﹣最短问题、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．【变式2-4】（2022秋•乌鲁木齐期末）如图，在锐角△ABC中，∠C＝40°；点P是边AB上的一个定点，点M、N分别是AC和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是（）A．90° B．100° C．110° D．80°【分析】分别作P关于BC，AC的对称点E，D，连接DE，交AC于M，交BC于N，此时△MNP的周长最小，由条件求出∠DPE的度数，由轴对称的性质，等腰三角形的性质得到∠MPD+∠NPE＝∠D+∠E＝40°，从而求出∠MPN的度数．【解答】解：分别作P关于BC，AC的对称点E，D，连接DE，交AC于M，交BC于N，此时△MNP的周长最小，∵∠PHM＝∠PGN＝90°，∠C＝40°，∴∠DPE＝360°﹣∠PHM﹣∠PGN﹣∠C＝360°﹣90°﹣90°﹣40°＝140°，∴∠D+∠E＝180°﹣∠DPE＝180°﹣140°＝40°，∵PM＝DM，NP＝NE，∴∠MPD＝∠D，∠NPE＝∠E，∴∠MPD+∠NPE＝∠D+∠E＝40°，∴∠MPN＝∠DPE﹣（∠MPD+∠NPE）＝140°﹣40°＝100°．故选：B．【点评】本题考查轴对称的性质，关键是分别作P关于BC，AC的对称点E，D，连接DE，交AC于M，交BC于N，找到周长最小的△PMN．【变式2-5】（2023春•叙州区期末）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝a，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，则∠MAN的度数为（）A．12a B．2a﹣180° C．180°﹣a D．a【分析】延长AB到A′使得BA′＝AB，延长AD到A″使得DA″＝AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N，此时△AMN周长最小，推出∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″），进而得出∠MAN的度数．【解答】解：延长AB到A′使得BA′＝AB，延长AD到A″使得DA″＝AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N．∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴A、A′关于BC对称，A、A″关于CD对称，此时△AMN的周长最小，∵BA＝BA′，MB⊥AB，∴MA＝MA′，同理：NA＝NA″，∴∠A′＝∠MAB，∠A″＝∠NAD，∵∠AMN＝∠A′+∠MAB＝2∠A′，∠ANM＝∠A″+∠NAD＝2∠A″，∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″），∵∠BAD＝a，∴∠A′+∠A″＝180°﹣a，∴∠AMN+∠ANM＝2×（180°﹣a）＝360°﹣2a．∴∠MAN＝180°﹣（360°﹣2a）＝2a﹣180°，故选：B．【点评】本题考查对称的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理等知识，利用对称作辅助线是解决最短的关键．题型三利用轴对称解决最短路径问题---两线两点题型三利用轴对称解决最短路径问题---两线两点【例题3】（2022秋•临洮县期中）如图，AB是∠MON内部的一条线段，在∠MON的两边OM，ON上各取一点C，D组成四边形ABDC，如何取点才能使该四边形的周长最小？【分析】作A关于OM的对称点E，再作B关于ON的对称点F，连接EF交OM于C，交ON于D，连接AC，CD，BD，根据两点之间线段最短即可得到四边形ABCD即为所求．【解答】解：作A关于OM的对称点E，再作B关于ON的对称点F，连接EF交OM于C，交ON于D，连接AC，CD，BD，则四边形ABCD即为所求．【点评】此题考查了轴对称﹣﹣﹣最短路径问题，两点之间的距离，线段最短．作出A关于OM、ON的对称点，根据轴对称的性质将四边形周长最小值问题转化为线段长度问题是解题的关键．【变式3-1】如图，为了做好2013年沈阳全运会起降的交通安全工作，某交警执勤小队从A处出发，先到公路l1上设卡检查，再到公路l2上设卡检查，最后再到B地执行任务，他们应如何走才能使总路程最短？【分析】根据轴对称确定最短路线问题，作A关于公路l1的对称点A′，作B关于公路l2的对称点B′，连接A′B′与公路l1、l2分别相交于点C、D，然后沿A→C→D→B走才能使总路程最短．【解答】解：如图所示，交警小队沿A→C→D→B走才能使总路程最短．【点评】本题考查了轴对称确定最短路线问题，应用与设计作图，此类问题的求解方法比较单一，需熟记．【变式3-2】城北中学八（2）班举行文艺晚会，桌子摆成两直条（如图中的AO，BO），AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先到AO桌面上拿桔子，再到OB桌面上拿糖果，然后回到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短．【分析】作点C关于直线AO的对称点C′，点D关于直线OB的对称点D′，连接C′D′交AO于M，交OB于N，则路线CM→MN→ND即为所求．【解答】解：如图所示，小明所走的行走路线为：CM→MN→ND，所走的总路程最短．【点评】本题考查了轴对称-最短路线问题，作图-应用与设计作图，首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．解题的关键是利用了轴对称的性质，两点之间线段最短的性质求解．题型四利用平移解决最短路径问题题型四利用平移解决最短路径问题【例题4】如图，平行河岸两侧各有一城镇P，Q，根据发展规划，要修建一条公路连接P，Q两镇．已知相同长度造桥总价远大于陆上公路造价，为了尽量减少总造价，应该选择方案（）A． B． C． D．【分析】虽然P，Q两点在河两侧，但连接P，Q的线段不垂直于河岸．关键在于使PM+NQ最短，但PM与QN未连起来，要用线段公理就要想办法使M与N重合起来，利用平行四边形的特征可以实现这一目的．【解答】解：如图，作PP'垂直于河岸L，使PP′等于河宽，连接QP′，与河岸L相交于N，作NM⊥L，则MN∥PP′且MN＝PP′，于是四边形PMNP′为平行四边形，故PM＝NP′．根据“两点之间线段最短”，QP′最短，即PM+NQ最短．观察选项，选项C符合题意．故选：C．【点评】考查了轴对称﹣最短路径问题，要利用“两点之间线段最短”，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．目前，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化，以后还会学习一些线段转化的方法．【变式4-1】（2022秋•潜江期末）如图，直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1∥l2．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄Q的路程最短，应该选择路线（）A．路线：PF→FQ B．路线：PE→EQ C．路线：PE→EF→FQ D．路线：PE→EF→FQ【分析】根据两点间直线距离最短，使FEPP′为平行四边形即可，即PP′垂直河岸且等于河宽，接连P′Q即可．【解答】解：作PP'垂直于河岸l2，使PP′等于河宽，连接QP′，与另一条河岸相交于F，作FE⊥直线l1于点E，则EF∥PP′且EF＝PP′，于是四边形FEPP′为平行四边形，故P′F＝PE，根据“两点之间线段最短”，QP′最短，即PE+FQ最短．故C选项符合题意，故选：C．【点评】此题考查了轴对称﹣最短路径问题，要利用“两点之间线段最短”，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．目前，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化．【变式4-2】如图直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1∥l2，现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），桥建在何处才能使从村庄A经过河到村庄B的路线最短？画出示意图，并说明理由．【分析】先确定AA′与河等宽，且AA′⊥河岸，连接BA′，与河岸的交点就是点C，过点C作CD垂直河岸，交另一河岸于点D，即可得出答案．【解答】解：如图，先确定AA′与河等宽，且AA′⊥河岸，连接BA′，与河岸的交点就是点C，过点C作CD垂直河岸，交另一河岸于点D，CD就是所求的桥的位置．理由：由作图过程可知，四边形ADCA′为平行四边形，AD平移至A′C即可得到线段A′B，两点之间，线段最短，由于河宽不变，CD即为桥．【点评】本题考查的是作图﹣平移变换以及利用轴对称解决最短路径问题，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．题型五利用轴对称与垂线段的有关知识解决最值问题题型五利用轴对称与垂线段的有关知识解决最值问题【例题5】（2023•明水县模拟）如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，∠BAC＝60°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，当BM+MN取得最小值时，AN＝（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】作B点关于AD的对称点E，过E点作EN⊥AB交AB于点N，交AD于CM于点M，连结BM，此时BM+MN的值最小，在Rt△ABE中，求出AN即可．【解答】解：作B点关于AD的对称点E，过E点作EN⊥AB交AB于点N，交AD于CM于点M，连结BM，∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，∴E点在AC上，∵BM+MN＝EM+MN＝EN，此时BM+MN的值最小，由对称性可知，AE＝AB，∵AB＝4，∴AE＝4，在Rt△ABE中，∠EAN＝60°，∴∠AEN＝30°，∴AN＝2，故选：A．【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法是解题的关键．【变式5-1】（2022秋•无为市期末）如图，等边△ABC中，AD是BC边上的中线，且AD＝4，E，P分别是AC，AD上的动点，则CP+EP的最小值等于（）A．4 B．6 C．8 D．9【分析】过点B作BM⊥AC于M，根据等腰三角形三线合一性质推出BP＝CP，根据垂线段最短得，CP+EP＝BP+EP＝BE≥BM，再通过等面积法即可求解．【解答】解：如图，过点B作BM⊥AC于M，∵等边△ABC中，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分线，∴点B、C关于AD对称，∴BP＝CP，根据垂线段最短得，CP+EP＝BP+EP＝BE≥BM，∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∵S△ABC=∴BM＝AD＝4，即CP+EP的最小值等于4，故选：A．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正确作出辅助线，将CP+EP的最小值转化为求BM的长是解题的关键．【变式5-2】（2023春•市中区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（）A．2.4 B．4.8 C．4 D．5【分析】过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，由AD是∠BAC的平分线．得出PQ＝PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，运用勾股定理求出AB，再运用S△ABC=12AB•CM=12AC•BC，得出CM的值，即【解答】解：如图，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，∵AD是∠BAC的平分线．∴PQ＝PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，∵AC＝6，AB＝10，∠ACB＝90°，BC＝8，∵S△ABC=12AB•CM=12∴CM=AC⋅BC即PC+PQ的最小值为245故选：B．【点评】本题主要考查了轴对称问题，解题的关键是找出满足PC+PQ有最小值时点P和Q的位置．【变式5-3】（2023春•和平区期末）如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点E、F分别是AD、AB上的动点，若∠BAC＝50°，当BE+EF的值最小时，∠AEB的度数为（）A．105° B．115° C．120° D．130°【分析】过点B作BB′⊥AD于点G，交AC于点B′，过点B′作B′F′⊥AB于点F′，与AD交于点E′，连接BE′，可证得△ABG≌△AB′G（ASA），所以∠E′B′G＝∠E′BG，由“直角三角形两锐角互余”可得∠AB′F′＝40°＝∠ABE，所以∠BE′F′＝50°，由此可得结论．【解答】解：过点B作BB′⊥AD于点G，交AC于点B′，过点B′作B′F′⊥AB于点F′，与AD交于点E′，连接BE′，如图，此时BE+EF最小．∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠B′AD＝25°，∴∠AE′F′＝65°，∵BB′⊥AD，∴∠AGB＝∠AGB′＝90°，∵AG＝AG，∴△ABG≌△AB′G（ASA），∴BG＝B′G，∠ABG＝∠AB′G，∴AD垂直平分BB′，∴BE＝BE′，∴∠E′B′G＝∠E′BG，∵∠BAC＝50°，∴∠AB′F′＝40°，∴∠ABE＝40°，∴∠BE′F′＝50°，∴∠AE′B＝115°．故选：B．【点评】本题主要考查全等三角形的性质与判定，轴对称最值问题，直角三角形的性质等知识，根据轴对称最值问题作出辅助线是解题关键．【变式5-4】（2023•城厢区校级开学）如图，点M在等边△ABC的边BC上，BM＝8，射线CD⊥BC垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点N是线段AB上一动点，当MP+NP的值最小时，BN＝9，则AC的长为（）A．13 B．15 C．16 D．17【分析】作点M关于直线CD的对称点G，过点G作GN⊥AB于点N，GN交CD于点P，由垂线段最短可知MP+NP的最小值为GP+NP＝NG，再根据含30°角的直角三角形性质求解即可．【解答】解：如图，作点M关于直线CD的对称点G，过点G作GN⊥AB于点N，GN交CD于点P，∴MP＝GP，∵GN⊥AB，∴MP+NP＝GP+NP，由垂线段最短可知，MP+NP的最小值为NG，∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝60°，∵GN⊥AB，∴∠BNC＝90°，∴∠G＝30°，∵BN＝9，∴BG＝2BN＝18，∴MG＝BG﹣BM＝10，∴MC=12∴BC＝BM+MC＝13＝AC．故选：A．【点评】本题主要考查轴对称﹣最短路线问题、等边三角形的性质、含30°角的直角三角形性质，解题关键是作出其中一点关于直线l的对称点，对称点与另一点的连线与直线l的交点就是所要找的点．题型六与最短路径有关的综合问题题型六与最短路径有关的综合问题【例题6】（2022秋•安顺期末）如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AD是BC边上的中线，点E是AB边上一动点，点P是AD上的一个动点．（1）若∠BAD＝37°，求∠ACB的度数；（2）若BC＝6，AD＝4，AB＝5，且CE⊥AB时，求CE的长；（3）在（2）的条件下，请直接写出BP+EP的最小值．【分析】（1）利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可解决问题．（2）利用面积法即可解决问题．（3）连接PC，把问题转化为两点之间线段最短．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∵AD是BC边上的中线，∴∠ADB＝90°，∵∠BAD＝37°，∴∠ABC＝53°，∴∠ACB＝53°．（2）∵CE⊥AB，∴12•BC•AD=12•AB∵BC＝6，AD＝4，AB＝5，∴CE=24（3）连接PC．∵AD垂直平分线段BC，∴PB＝PC．∴PB+PE＝PE+PC≥CE，∴PE+PB的最小值为245【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，等腰三角形的性质，点到直线的距离垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．【变式6-1】如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，EF垂直平分AC，交AC于点E，交AB于点F，M是直线EF上的动点．（1）当MD⊥BC时．①若ME＝1，则点M到AB的距离为；②若∠CMD＝30°，CD＝3，求△BCM的周长；（2）若BC＝8，且△ABC的面积为40，则△CDM的周长的最小值为．【分析】（1）①由题意可知A、M、D共线，则AD是△ABC的对称轴，由对称性即可求解；②由题意可知MB＝MC，MD平分∠BMC，可判断△BCM是等边三角形，再求解即可；（2）连接AD交EF于点M，此时△CMD的值最小，最小值为AD+CD．【解答】解：（1）①∵MD⊥BC，AB＝AC，D是BC的中点，∴A、M、D共线，∴AD是△ABC的对称轴，∵ME＝1，∴点M到AB的距离为1，故答案为：1；②∵D是BC的中点，MD⊥BC，∴MB＝MC，∴MD平分∠BMC，∴∠BMC＝2∠CMD＝60°，∴△BCM是等边三角形，∴BC＝BM＝MC，∵D是BC的中点，∴BC＝2CD＝6，∴BM＝MC＝BC＝6，∴△BCM的周长为BC+BM+MC＝18；（2）连接AD交EF于点M，∵EF是AC的垂直平分线，∴AM＝CM，∴CM+MD＝AM+MD＝AD，此时△CMD的值最小，最小值为AD+CD，∵BC＝8，△ABC的面积为40，∴AD＝10，∵D是BC的中点，∴CD＝4，∴AD+CD＝14，∴△CMD的周长最小值为14，故答案为：14．【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质是解题的关键．【变式6-2】如图，∠MON＝60°，点A、B分别是射线OM、射线ON上的动点，连接AB，∠MAB的角平分线与∠NBA的角平分线交于点P．（1）当OA＝OB时，求证：AP∥OB；（2）在点A、B运动的过程中，∠P的大小是否发生改变？若不改变，请求出∠P的度数；若改变请说明理由；（3）连接OP，C是线段OP上的动点，D是线段OA上的动点，当S△OAB＝12，OB＝6时，求AC+CD的最小值．【分析】（1）首先证明△ABO是等边三角形，再证明∠PAB＝∠ABO＝60°，可得结论．（2）如图2中，∠P的大小不变，∠P＝60°．求出∠PAB+∠PBA的大小，可得结论．（3）如图3中，过点A作AH⊥OB于H，过点P作PJ⊥AB于J，PK⊥OM于K，PI⊥ON于I．首先证明OP平分∠MON，作点D关于OP的对称点D′，连接CD′，则有AC+CD＝AC+CD′≥AH，求出AH，可得结论．【解答】（1）证明：如图1中，∵∠O＝60°，OA＝OB，∴△OAB是等边三角形，∴∠OAB＝∠ABO＝60°，∴∠BAM＝180°﹣60°＝120°，∵PA平分∠BAM，∴∠PAB=12∠∴∠PAB＝∠ABO＝60°，∴AP∥OB．（2）解：如图2中，∠P的大小不变，∠P＝60°．理由如下：∵∠MAB＝∠O+∠OBA，∠ABN＝∠O+∠OAB，∴∠MAB+∠ABN＝∠O+∠ABO+∠OAB+∠O＝180°+60°＝240°，∵PA，PB分别平分∠MAB，ABN，∴∠PAB+∠PBA=12（∠MAB+∠∴∠P＝180°﹣120°＝60°．（3）解：如图3中，过点A作AH⊥OB于H，过点P作PJ⊥AB于J，PK⊥OM于K，PI⊥ON于I．∵PA平分∠MAB，PK⊥OM，PJ⊥AB，∴PK＝PJ，∵PB平分∠ABN，PJ⊥AB，PI⊥ON，∴PJ＝PI，∴PK＝PI，∴OP平分∠MON，作点D关于OP的对称点D′，连接CD′，∵S△AOB=12•OB•∴12=12×∴AH＝4，∵CD＝CD′，∴AC+CD＝AC+CD′≥AH，∴AC+CD≥4，∴AC+CD的最小值为4．【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，三角形的面积，垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用垂线段最短解决最值问题．【变式6-3】（2022秋•兴宁区校级月考）如图，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝CD，CA＝CE．（1）求证：∠ACB＝∠ACD；（2）过点E作ME∥AB，交AC的延长线于点M，过点M作MP⊥DC，交DC的延长线于点P．①求∠BEA的度数；②连接PE，交AM于点N，证明AM垂直平分PE；（3）点O是直线AE上的动点，当MO+PO的值最小时，证明点O与点E重合．【分析】（1）证明Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）即可；（2）①证明△NEC≌△NPC（SAS）即可；②延长PD、ME交于Q点，结合①推导出∠EPD＝∠DQE＝30°，则PE＝EQ，则ME+PE＝QE+ME≥MQ，此时ME+PE的值最小，再由点O是直线AE上的动点，可得当MO+PO的值最小时，E点与O点重合．【解答】（1）证明：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝CD，AC＝AC，∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），∴∠ACB＝∠ACD；（2）①解∵Rt△ABC≌Rt△ADC，∴∠BAC＝∠CAD，∵CA＝CE，∴∠CAE＝∠CEA，∵∠EBA＝90°，∴∠BEA＝∠BAC＝∠CAE＝30°；②证明：∵PD⊥AE，MP⊥PD，∴AE∥MP，∴∠PMC＝∠MAE＝30°，∵ME∥AB，∴∠MEB＝∠ABE＝90°，∴∠MEA＝90°+30°＝120°，∵∠MAE＝30°，∴∠EMA＝30°，∵CP⊥MP，CE⊥ME，∠MCP＝∠MCE＝60°，∴△NEC≌△NPC（SAS），∴EN＝PN，∴N是EP的中点，NC⊥PE，∴AM垂直平分PE；（3）证明：延长PD、ME交于Q点，由①知，∠BEA＝30°，∠MEB＝90°，∴∠MEA＝120°，∴∠DEQ＝60°，∵PD⊥AE，∴∠EDQ＝90°，∴∠EQD＝30°，∵∠CPN＝30°，∴∠EPD＝∠DQE，∴PE＝EQ，∴ME+PE＝QE+ME≥MQ，此时ME+PE的值最小，∵点O是直线AE上的动点，∴当MO+PO的值最小时，E点与O点重合．【点评】本题考查三角形全等的判定与性质，轴对称﹣最短路径问题，熟练掌握平行线的性质，直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定及性质，轴对称求最短距离是解题的关键．【变式6-4】（2022秋•松原期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝4，CD平分∠ACB，交边AB于点D，点E是边AB的中点．点P为边CB上的一个动点．（1）AE＝，∠ACD＝度；（2）当四边形ACPD为轴对称图形时，求CP的长；（3）若△CPD是等腰三角形，求∠CPD的度数；（4）若点M在线段CD上，连接MP、ME，直接写出MP+ME的值最小时CP的长度．【分析】（1）根据题意可得∠B＝30°，则AB＝2AC＝2AE，即可求出AE的长，再根据角平分线的性质即可求出∠ACD的度数．（2）根据轴对称图形的性质即可解答．（3）根据题意可得∠PCD＝45°，分三种情况：当PC＝PD时；当DP＝DC时；当CP＝CD时．再依次根据三角形内角和定理即可求解．（4）过点M作MP⊥BC，作点P关于CD的对称点P′，根据题意可得∠PCM＝∠P′CM，CM＝CM，∠MPC＝∠MP′C＝90°，根据AAS可证明△PCM≌△P′CM，则PM＝P′M，CP＝CP′，因此MP+ME＝MP′+ME≥EP′，以此得出当点E、M、P′三点共线时，MP+ME的值最小，此时EP′∥BC，最后根据解含30度角的直角三角形即可得到结果．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝30°，∴AB＝2AC＝8，∵点E是边AB的中点，∴AE=1∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=1故答案为：4，45．（2）∵四边形ACPD为轴对称图形，CD平分∠ACB，∴对称轴为直线CD，∴CP＝CA＝4；（3）∵CD平分∠ACB，∴∠PCD＝45°，当PC＝PD时，∠PDC＝∠PCD＝45°，∴∠CPD＝1