2025年高考数学复习核心考点全题型突破（新教材新高考）第02讲 传统法中的空间直线、平面的平行垂直关系（原卷版）

第02讲利用向量法解决空间直线、平面的平行，垂直关系目录TOC\o"1-1"\h\u题型一：线面平行的判定 1题型二：面面平行的判断 5题型三：线面平行的性质 11题型四：面面平行的性质 15题型五：直线与平面垂直 22题型六：平面与平面垂直 29题型一：线面平行的判定典型例题例题1．（2023春·重庆北碚·高一西南大学附中校考期末）如图，正三棱柱的各棱长均为1，点为棱的中点．

(1)证明：平面；(2)求异面直线和所成角的余弦值．例题2．（2023春·四川成都·高一统考期末）如图，在三棱锥中，，在上，且．

(1)求三棱锥与三棱锥的体积之比；(2)若点在上，且．证明：平面．例题3．（2023春·黑龙江牡丹江·高一牡丹江市第三高级中学校考期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点是上一点，当时，平面.精练核心考点1．（2023春·辽宁·高一校联考期末）在直三棱柱中，是的中点．

(1)求证：//平面；(2)求三棱锥的体积；2．（2023春·贵州黔西·高一统考期末）如图，在正方体中，是棱的中点.

(1)证明：平面；(2)若正方体棱长为2，求三棱锥的体积.3．（2023·全国·高一专题练习）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为AA1中点，点P在侧面BCC1B1上运动，当点P满足条件时，A1P平面BCD(答案不唯一，填一个满足题意的条件即可)题型二：面面平行的判断典型例题例题1．（2023春·陕西西安·高一统考期末）如图，在几何体中，已知四边形是正方形，，分别为的中点，为上靠近点的四等分点.

(1)证明：//平面；(2)证明：平面//平面.例题2．（2023春·新疆喀什·高一统考期末）如图，已知棱长为6的正方体中，点在线段上运动.

(1)证明：平面平面；(2)求三棱锥的体积.例题3．（2023春·新疆昌吉·高一统考期末）如图，在三棱柱中，若，分别是线段，的中点．(1)求证：//面．(2)在线段上是否存在一点，使得平面//平面，若存在，指出的具体位置并证明；若不存在，说明理由．精练核心考点1．（2023春·山东临沂·高一山东省临沂第一中学校考阶段练习）如图：在正方体中，为的中点.

(1)试判断直线与平面的位置关系，并说明理由；(2)若为的中点，求证：平面平面.2．（2023春·福建泉州·高一福建省泉州市培元中学校考阶段练习）如图：在正方体中，，为的中点.

(1)求证：平面；(2)若为的中点，求证：平面平面.3．（2023春·广西百色·高一统考期末）如图：在正方体中，M为的中点.

(1)求证：平面；(2)在线段上是否存在一点N，使得平面平面，说明理由.题型三：线面平行的性质典型例题例题1．（2023·全国·高一专题练习）如图，在五面体中，平面平面，四边形为直角梯形，其中，，，，．求证：．例题2．（2023·全国·高二假期作业）如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点．

(1)求证：；(2)求证：平面；例题3．（2023春·全国·高一专题练习）如图，已知，分别是菱形的边，的中点，与交于点，点在平面外，是线段上一动点，若平面，试确定点的位置．

精练核心考点1．（2023春·黑龙江哈尔滨·高一校考期中）如图，在四棱锥中，//平面PAD，，，，点N是AD的中点．求证：

(1)//；(2)求异面直线PA与NC所成角余弦值．2．（2023春·广西河池·高一校联考阶段练习）如图所示，在多面体中，四边形，，ABCD均为边长为2的正方形，E为的中点，过，D，E的平面交于点F．

(1)证明：；(2)求三棱锥的体积．3．（2023·全国·高一专题练习）如图，在四棱锥中，，且．点是线段上一动点．当平面时，求的值．

题型四：面面平行的性质典型例题例题1．（2023春·黑龙江哈尔滨·高一黑龙江省哈尔滨市双城区兆麟中学校考期中）如图，在棱长为的正方体中，，分别是，的中点．(1)若平面与直线交于点，求的值；(2)若为棱上一点且，若平面，求的值．例题2．（2023·全国·高一专题练习）如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，，分别是棱，上的动点（不与顶点重合）.作出平面与平面的交线（要求写出作图过程），并证明：若平面平面，则；例题3．（2023春·江西上饶·高一统考期末）如图，正四棱台中，，，.

(1)证明：平面；(2)若，求异面直线与所成的角的余弦值.精练核心考点1．（2023春·全国·高一专题练习）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，F，G分别为线段BC，PB，AD的中点．

(1)证明：平面PAC；(2)在线段BD上找一点H，使得平面PCG，并说明理由．2．（2023春·广东汕尾·高一统考期末）如图，在正方体中，，分别为棱，的中点，是线段上的动点.证明：

(1)平面；(2)平面.3．（2023·全国·高一专题练习）如图所示正四棱锥，，P为侧棱上的点．且，求：侧棱上是否存在一点E，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由．题型五：直线与平面垂直典型例题例题1．（2023春·吉林长春·高一东北师大附中校考期末）如图，四棱锥的底面是正方形，底面，，是棱的中点.

(1)证明：直线平面PBC；(2)求直线与平面所成角的余弦值.例题2．（2023春·福建南平·高一统考期末）如图，在四棱锥中，底面是梯形，为的中点，，且，，.

(1)证明：平面；(2)证明：平面.例题3．（2023·全国·高一专题练习）如图，在四棱锥中，，，平面，，为的中点．（1）求证：平面．（2）平面内是否存在一点，使平面？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由．精练核心考点1．（2023春·北京西城·高一统考期末）如图，在正方体中，E，F分别是棱，的中点．

(1)证明：平面；(2)证明：平面．2．（2023春·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校联考阶段练习）在四棱锥P-ABCD中，，，，，E为PA的中点.

(1)求证：BE∥平面PCD；(2)求证：PA⊥平面PCD.3．（2023·四川绵阳·绵阳南山中学实验学校校考模拟预测）如图所示，已知正方体的棱长为，..分别是..的中点.（1）求证：平面平面；（2）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由.题型六：平面与平面垂直典型例题例题1．（2023春·江苏镇江·高一统考阶段练习）如图，和都垂直于平面，且，是的中点

(1)证明：直线//平面；(2)若平面平面，证明：直线平面.例题2．（2023春·湖南长沙·高一湖南师大附中校考期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点.

(1)求证：⊥平面；(2)求直线与底面所成角的正弦值.例题3．（2023·江苏·高一专题练习）如图，在直三棱柱中，为棱的中点，，，.在棱上是否存在点，使得平面平面？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由.精练核心考点1．（2023春·四川成都·高一成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考期末）如图，中，，是正方形，平面平面，若、分别是、的中点．

(1)求证：