2025年高考数学复习核心考点全题型突破（新教材新高考）第04讲 对数与对数函数（解析版）

第04讲对数与对数函数目录TOC\o"1-2"\h\u第一部分：题型篇 1题型一：重点考查对数运算 1题型二：重点考查对数函数的定义 3题型三：重点考查对数换底公式 4题型四：重点考查对数函数的定义域 6题型五：重点考查对数函数的图象过定点 7题型六：重点考查对数函数的值域（含对数型函数） 9题型七：重点考查求对数函数的单调区间 12题型八：重点考查对数函数的单调性及其应用 15题型九：重点考查对数函数的综合性问题 19题型十：重点考查对数函数模型的应用 23题型十一：重点考查反函数的应用 27第二部分：方法篇 33方法一：可化为一元二次函数型 33方法二：分类讨论 36方法三：数形结合 40第三部分：易错篇 44易错一：求对数函数（复合函数）单调区间忽略定义域 44第一部分：题型篇题型一：重点考查对数运算典型例题例题1．（2023春·湖南邵阳·高一统考开学考试）求值：(1)；(2)．【答案】(1)0(2)12【详解】（1）原式（2）原式．例题2．（2023秋·甘肃天水·高一统考期末）计算(1)(2)【答案】(1)(2)【详解】（1）（2）精练核心考点1．（2023秋·贵州黔西·高一统考期末）（1）计算：；（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）【详解】（1）；（2），，，2．（2023秋·贵州遵义·高一统考期末）求下列各式的值：(1)；(2).【答案】(1)(2)【详解】（1）原式（2）原式题型二：重点考查对数函数的定义典型例题例题1．（2023·高一课时练习）若函数是对数函数，则.【答案】5【详解】解：根据对数函数的定义有，解得，故答案为：5．例题2．（2023秋·湖北·高一湖北省黄梅县第一中学校联考期末）已知对数函数，(1)求的值；(2)解不等式．【答案】(1)；(2)【详解】（1）函数是对数函数，，解得，，（2）在定义域上单调递增，可得到，解得，不等式的解集为．精练核心考点1．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高一校考开学考试）已知对数函数，则______．【答案】2【详解】由对数函数的定义，可得，解得．故答案为．2．（2023·高一课时练习）已知为对数函数，，则______．【答案】1【详解】设（，且），则，∴，即，∴，∴．故答案为：1.题型三：重点考查对数换底公式典型例题例题1．（2023春·上海·高三校联考阶段练习）若，且，则__________．【答案】【详解】，且，且，，，，.故答案为：.例题2．（2023秋·上海徐汇·高一统考期末）已知（为常数，且，），则________．（用表示）【答案】【详解】因为，所以，则，所以，故答案为：精练核心考点1．（2023秋·福建厦门·高一统考期末）已知,则＝（

）A．a+b B．2a-b C． D．【答案】C【详解】解:因为,而.故选:C2．（2023·全国·高三专题练习）若，，用a，b表示____________【答案】【详解】因为，所以，.故答案为：.题型四：重点考查对数函数的定义域典型例题例题1．（2023·山东枣庄·统考模拟预测）函数的定义域是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】函数有意义，则有，即解得，所以函数的定义域是.故选：D例题2．（2023·全国·高三专题练习）的定义域为_______________【答案】【详解】因为，所以，，解得，即函数的定义域为.故答案为：例题3．（2023春·新疆乌鲁木齐·高一乌鲁木齐市第70中校考开学考试）已知函数的定义域为_______．【答案】【详解】函数有意义，则有，解得且，所以函数的定义域为.故答案为：精练核心考点1．（2023春·浙江·高一校联考期中）已知函数，则函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】已知函数，则，所以，所以函数的值域为.故选：C.2．（2023春·上海虹口·高三统考期中）函数的定义域为________.【答案】【详解】函数的定义域满足，解得，即故答案为：3．（2023春·上海青浦·高一统考开学考试）函数的定义域是______．【答案】；【详解】函数的定义域满足：.故答案为：.题型五：重点考查对数函数的图象过定点典型例题例题1．（2023春·江苏常州·高一江苏省前黄高级中学校考开学考试）已知函数的图象恒过定点，若点在角的终边上，则满足条件的值可以为_________.【答案】（答案不唯一）【详解】对于函数，令，可得，此时，即，则，因为点在第二象限，故为第二象限角，故.故答案为：（答案不唯一）.例题2．（2023春·四川雅安·高一雅安中学校考开学考试）函数的图像恒过定点，点的坐标是______．【答案】【详解】对于函数，令，即，则，即函数的图像恒过定点，即P的坐标是，故答案为：例题3．（2023秋·广东广州·高一校考期末）已知函数且的图象恒过定点，若点在一次函数的图象上，其中，则的最小值为____________．【答案】2【详解】∵函数且的图象恒过定点A，∴当时，，∴，又点A在一次函数的图象上，∴，又，∴，（当且仅当时取“”），故答案为：2.精练核心考点1．（2023秋·湖北黄冈·高一统考期末）已知函数的图象过定点，且点在指数函数图象上，则__________.【答案】【详解】在中，令,可得,故.设,由题意可得,解得.所以，.故答案为:.2．（2023秋·北京·高一校考期末）已知函数且的图像恒过定点，又点的坐标满足方程，则的最大值为__________.【答案】/0.5【详解】过定点，所以，又点的坐标满足方程，所以，故，当且仅当即时取等号.故答案为：.3．（2023春·云南昆明·高三校考阶段练习）函数且的图象恒过的定点是_____________.【答案】【详解】因为，所以该函数的图象恒过的定点是，故答案为：题型六：重点考查对数函数的值域（含对数型函数）典型例题例题1．（2023春·云南保山·高一校联考阶段练习）函数的值域为，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为函数的值域为，所以，为函数的值域的子集，所以，，解得.故选：C.例题2．（2023·高一课时练习）已知函数，则的值域为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，所以，所以，故选：D例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知，若，且的最大值为，则函数的最小值为______【答案】【详解】因为，则，当且仅当，即时，等号成立，所以，则，故的最大值为，即，故．则，注意到在定义域内单调递减，可得，，故当时，取得最大值32，则的取到最小值为．故答案为：.例题4．（2023春·湖北·高二湖北省鄂州高中校联考期中）函数的值域是实数集，则实数的取值范围是__________.【答案】【详解】函数的值域是实数集R，则能取遍内所有的数.，当时，，即在R上单调递减．当时，；当时，．这表明，的值域为R，当然可取遍的所有值．当时，令，则，由解得；由解得.所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，所以成立，令，在上单调递增且，故.综上：.故答案为：.精练核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）函数的最小值为________．【答案】/【详解】显然，∴，

令，∵x∈，∴t∈[－1，2]，则，当且仅当t＝－即x＝时，有.故答案为：2．（2023秋·湖北武汉·高一武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期末）函数的值域为_______________.【答案】【详解】因为，对于函数，则有，所以，.故答案为：.3．（2023春·安徽安庆·高二校考阶段练习）若函数的值域为，则的取值范围是______．【答案】【详解】解：的值域为，∴，解得或，故答案为：．4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.当时，求该函数的值域；【答案】【详解】解：，令，由，则，所以有，，所以当时，，当时，所以函数的值域为.题型七：重点考查求对数函数的单调区间典型例题例题1．（2023秋·山东威海·高一统考期末）函数的单调递减区间为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】对于有，解得函数的定义域为，又，对于，其在上单调递增，在上单调递减，又在上单调递增，由复合函数单调性的规则：同增异减得函数的单调递减区间为.故选：A.例题2．（2023·全国·高三专题练习）函数的单调递减区间为_________【答案】/【详解】函数分为内外层函数，设，，令，得，内层函数，在区间单调递增，在区间单调递减，外层函数单调递增，根据复合函数“同增异减”的判断方法可知，函数在区间单调递减.故答案为：例题3．（2023秋·辽宁·高一大连二十四中校联考期末）已知函数，若在区间内单调递减，则的取值范围是______.【答案】【详解】因为函数在区间内单调递减，设，所以在区间上为减函数，且在区间上恒成立，当时，，满足题意；当时，，开口向下，在区间上不为减函数，不满足题意；当时，，所以，解得；所以综上可得.故答案为：例题4．（2023秋·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期末）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是__________.【答案】【详解】，令，为增函数，所以，所以在单调递减，所以，即，解得，故答案为:.精练核心考点1．（2023春·云南·高二校联考阶段练习）已知函数在上为减函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】令，对称轴为，因为函数是正实数集上的减函数，所以要想函数在上为减函数，只需函数在上为增函数，且在上恒成立，所以，且，解得.故选：C2．（2023春·黑龙江佳木斯·高一富锦市第一中学校考阶段练习）函数的单调增区间是（

）．A． B． C． D．【答案】D【详解】由，得或，则函数的定义域为，令（），则，因为在上单调递增，在上单调递增，所以的单调增区间是，故选：D3．（2023秋·河北邢台·高一邢台一中校考期末）已知函数的定义域是，则函数的单调增区间为__________.【答案】【详解】因为函数的定义域是，所以是方程的两个根，所以，解得，即.令，，则为减函数，函数是开口向下，对称轴为的二次函数，且时，为减函数；所以函数的单调增区间为.故答案为：.4．（2023秋·新疆乌鲁木齐·高一乌鲁木齐市第六十八中学校考期末）已知函数，若，求的单调区间.【答案】增区间为，减区间为【详解】，，函数定义域满足，解得或，函数在上单调递减，函数在上单调递减，在上单调递增，故函数的单调增区间为，减区间为题型八：重点考查对数函数的单调性及其应用典型例题例题1．（2023春·湖南·高二临澧县第一中学校联考期中）已知，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】当时，，即，即，又，即，故，即，当时，由，无解，综上，实数a的取值范围是．故选:A．例题2．（2023秋·山东菏泽·高三统考期末）已知函数在上单调递增，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】由复合函数单调性的规律和函数定义域可知：函数在上单调递增且在上恒成立，则有，解得，则a的取值范围为.故选：D例题3．（2023·全国·模拟预测）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：结合指数函数，对数函数单调性可知：，，，且，所以，所以.故选：B．例题4．（2023·北京海淀·清华附中校考模拟预测）不等式的解集为__________．【答案】【详解】由，在同一直角坐标系内画出函数的图象如下图所示：因为，所以由函数的图象可知：当时，有，故答案为：精练核心考点1．（2023·江西南昌·统考二模）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，，，所以.故选：C.2．（2023·天津·校联考一模）已知，，，则的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】因为在上单调递增，故，而单调递增，故，，所以.故选：D3．（2023秋·山东临沂·高一校考期末）已知且，函数，满足时，恒有成立，那么实数a的取值范围（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题可知函数在区间R上为增函数，则，解可得.故选：D.4．（2023秋·辽宁·高一大连二十四中校联考期末）已知函数，若在区间内单调递减，则的取值范围是______.【答案】【详解】因为函数在区间内单调递减，设，所以在区间上为减函数，且在区间上恒成立，当时，，满足题意；当时，，开口向下，在区间上不为减函数，不满足题意；当时，，所以，解得；所以综上可得.故答案为：5．（2023春·重庆江北·高一字水中学校考开学考试）若函数在上单调递增，则的取值范围是______．【答案】【详解】令，，则，∵在上单增，在上单减，∴，∵在上恒成立，∴.故答案为：.题型九：重点考查对数函数的综合性问题典型例题例题1．（2023秋·江西吉安·高一江西省新干中学校考期末）已知函数其中且．(1)求函数的定义域；(2)判断函数的奇偶性，并证明；(3)若，求的取值范围．【答案】(1)(2)偶函数，证明见解析(3)答案见解析【详解】（1）由题意得，即，故，所以函数的定义域为.（2）设，的定义域为.因为，所以为偶函数.（3）当时，，，所以，当时，，，所以.综上，当时，；当时，.例题2．（2023秋·河南郑州·高一郑州市第四十七高级中学校考期末）已知函数.(1)求函数的值域；(2)解关于的不等式；(3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)或(3)【详解】（1）因为定义域为，则设，则，所以值域为.（2）不等式可化为，即解得或即或，解得或所以不等式的解集为或（3）因为，所以，设，则，原问题化为对任意，即，因为（当且仅当即时，取等号），即的最小值为0，所以.例题3．（2023秋·河北邯郸·高一校考期末）已知函数(1)求证：的图象关于原点对称；(2)设，若的图象恒在函数图象的上方，求实数的取值范围.【答案】(1)证明见解析；(2).【详解】（1）因为，定义域为R，所以是奇函数，所以的图象关于原点对称；（2）若的图象恒在函数图象的上方，则有，即，当时，，即，所以；当时，，即，所以，所以；故实数的取值范围为.精练核心考点1．（2023秋·浙江杭州·高一校考期末）已知函数．(1)当时，求函数的单调区间；(2)若在上单调递减，求a的取值范围．【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为；(2)．【详解】（1）根据题意，当时，，由，解得或，故的定义域为,令，则该函数在上单调递减，在上单调递增，因为函数为减函数，所以的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）令函数，该函数在上单调递减，在上单调递增．①当时，要使在上单调递减，则在上单调递减，且恒成立，故，又，所以；②当时，要使在上单调递减，则在上单调递增，且恒成立，因为在上单调递减，故函数在上不能单调递增，此种情况不可能；综上，的取值范围为．2．（2023春·重庆九龙坡·高一重庆市育才中学校考阶段练习）已知，函数.(1)若函数的图象经过点，求不等式的解集；(2)设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.【答案】(1)或；(2).【详解】（1）由题可得，解得，即由，可得，解得或，所以不等式的解集为或；（2）因为是复合函数，设，，因为，在区间单调递增，单调递增，故函数在区间上单调递增，又，所以，所以，由题意，，即，对任意恒成立，故，对任意恒成立，整理得：，令，，只需即可，因为的对称轴为，图象是开口向下的抛物线，故在上单调递减，故，所以，即的取值范围是.3．（2023秋·山东枣庄·高一统考期末）已知函数．(1)若函数是奇函数，求实数的值；(2)当时，函数的图象始终在函数的图象上方，求实数的取值范围．【答案】(1)a＝1(2)【详解】（1）因为为奇函数，所以对于定义域内任意x，都有，即．即，即，化简得．上式对定义域内任意x恒成立，所以必有，解得a＝1．（2）要使时，函数的图象始终在函数的图象的上方，必须使在上恒成立．令，则，上式整理得，．由基本不等式可知．（当且仅当时，等号成立）即，所以，所以a的取值范围是．题型十：重点考查对数函数模型的应用典型例题例题1．（2023秋·四川凉山·高一统考期末）凉山州地处川西南横断山系东北缘，地质构造复杂，时常发生有一定危害程度的地震，尽管目前我们还无法准确预报地震，但科学家通过多年研究，已经对地震有了越来越清晰的认识与了解．例如：地震时释放出的能量（单位：）与地震里氏震级之间的关系为，年月日，我州会理市发生里氏级地震，它所释放出来的能量是年年初云南省丽江市宁蒗县发生的里氏级地震所释放能量的约多少倍（

）A．倍 B．0.56倍 C．倍 D．0.83倍【答案】A【详解】设里氏级、级地震所释放的能量分别为、，则，上述两个等式作差可得，则，故.故选：A.例题2．（2023·全国·高三专题练习）中国的5G技术领先世界，技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率取决于信道带宽，经科学研究表明：与满足，其中是信道内信号的平均功率，是信道内部的高斯噪声功率，为信噪比.当信噪比比较大时，上式中真数中的1可以忽略不计.若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至4000，则大约增加了（

）(附：)A．10% B．20% C．30% D．40%【答案】B【详解】当时，；当时，.所以增大的百分比为：.故选：B.例题3．（2023·辽宁大连·高一大连八中校考阶段练习）我国的通信技术领先世界，技术的数学原理之一是著名的香农（Shannon）公式，香农提出并严格证明了“在被高斯白噪声干扰的信道中，计算最大信息传送速率的公式，其中是信道带宽（赫兹），是信道内所传信号的平均功率（瓦），是信道内部的高斯噪声功率（瓦），其中叫做信噪比．根据此公式，在不改变的前提下，将信噪比从99提升至，使得大约增加了60%，则的值大约为（

）（参考数据：）A．1559 B．3943 C．1579 D．2512【答案】C【详解】由题意得：，则，，故选：C例题4．（2023·高一单元测试）我们知道，声音通过空气传播时会引起区域性的压强值改变.物理学中称为“声压”.用P表示（单位：Pa（帕））：“声压级”（单位：dB（分贝））表示声压的相对大小.已知它与“某声音的声压与基准声压的比值的常用对数（以10为底的对数）值成正比”，即（k是比例系数）.当声压级提高60dB时，声压会变为原来的1000倍.(1)求声压级关于声压的函数解析式；(2)已知两个不同的声源产生的声压，叠加后得到的总声压，而一般当声压级时人类是可以正常的学习和休息的.现窗外同时有两个声压级为40dB的声源，在不考虑其他因素的情况下，请问这两个声源叠加后是否会干扰我们正常的学习？并说明理由.（参考数据：lg2≈0.3）【答案】(1)(2)不会，理由见解析【详解】（1）由题意得：，，所以，所以声压级S关于声压P的函数解析式为（2）不会干扰我们正常的学习，理由如下：将代入得：，所以，解得：，即所以，代入得：，所以不会干扰我们正常的学习.精练核心考点1．（2023春·四川宜宾·高一校考阶段练习）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解．例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为：．年月日，我国汶川发生了里氏级大地震，它所释放出来的能量约是年月日我国泸定发生的里氏级地震释放能量的（

）倍．（参考数据：，，）A． B． C． D．【答案】B【详解】设里氏级、里氏级地震释放的能量分别为、，则，即，所以，.故选：B.2．（2023·高一课时练习）声音的等级（单位：）与声音强度（单位：）满足.喷气式飞机起飞时，声音的等级约为；一般说话时，声音的等级约为，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（

）A．105倍 B．108倍 C．1010倍 D．1012倍【答案】B【详解】设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为，，，，，所以，因此，喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的倍.故选：B3．（2023·全国·高三专题练习）中西方音乐的不同发展与其对音阶的研究有密切的关系，中国传统音阶是五声音阶：宫､商､角､徵､羽；西方音阶是七声音阶“Do､Re､Mi､Fa､Sol､La､Si”.它们虽然不同，却又极其相似，最终发展的结果均是将一个完整的八度音阶分成了12个半音，即“十二平均律”.从数学的角度来看，这12个半音的频率成公比为的等比数列.已知两个音高，的频率分别为，，且满足函数关系：，已知两个纯五度音高的频率比，则它们相差的半音个数________.(其中，，结果四舍五入保留整数部分).【答案】7【详解】由题意可知，所以，即，故，故答案为：74．（2023·上海奉贤·高三校考阶段练习）某服装店对原价分别为175元和200元的甲乙两种服装搞促销活动，规定甲服装每天降价5%，直到其售完为止；乙服装每天降价7%，直到其售完为止.假设两种服装在10天内均没有售完，_____天后甲服装的售价将高于乙服装的售价.【答案】7【详解】设天后甲服装的售价将高于乙服装的售价，则有，所以7天后甲服装的售价将高于乙服装的售价，故答案为：7题型十一：重点考查反函数的应用典型例题例题1．（2023春·福建莆田·高二莆田第十中学校考阶段练习）已知点与点分别在函数与图象上，则的最小值为（

）A． B． C． D．1【答案】C【详解】根据反函数的性质，函数的图象与函数的图象关于直线对称，结合图象可知，当直线与直线垂直，且处两函数图象的切线均与直线平行时，最小.设，，因为，，所以，，则有，所以，即点，，所以，即点，此时，即的最小值为.故选：A.例题2．（多选）（2023春·广东广州·高一广东实验中学校考阶段练习）已知，若分别是方程和的根，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【详解】因为，则，所以的图像是由的图像向右平移一个单位，再向上平移一个单位而得，则在上单调递减，不妨设点是上的一点，则，即，故，则，所以也是上的点，故的图像关于直线对称，联立，解得，又与互为反函数，所以与的图像也关于直线对称，因为分别是方程和的根，所以画出函数，与的图像，如图，.对于A，当且趋近于时，由的性质可知趋于无穷大，，则；当时，，，因为，所以，则，即，所以，则，即，则；由图像可知，与的图像的交点的横坐标落在区间中，因为是方程的根，即为与的图像的交点的横坐标，所以，故，故A正确；对于B，因为分别是方程和的根，所以与的图像的交点为，与的图像的交点为，又的图像关于直线对称，所以与关于直线对称，则或，所以，故，故B错误；对于C，当时，，，则；当时，，，由选项A知，则；所以与的图像的交点的横坐标落在区间中，即，又，所以，故C正确；对于D，因为是方程的根，则，所以，当且仅当，即时，等号成立，而由选项C可知，即等号不成立，所以，故D错误.故选：AC.例题3．（2023·山东日照·统考二模）已知曲线与的两条公切线的夹角余弦值为，则_________．【答案】【详解】曲线与互为反函数，图象关于对称，如图所示，由题意可知，，所以，解得或，因为为锐角，所以由对称性，不妨取直线进行研究，则直线的倾斜角为，，设切点的横坐标为，切点的横坐标为，则，，，所以，所以直线的方程为即，所以，所以直线的方程为即所以即所以即，所以，即，于是有，所以.故答案为：.精练核心考点1．（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知函数的零点为，函数的零点为，则下列不等式中成立的是（）A． B．C． D．【答案】BC【详解】令、，则、，在同一坐标系中分别绘出函数、、的图像，因为函数的零点为，函数的零点为，所以，，解方程组，因为函数与互为反函数，所以由反函数性质知、关于对称，则，，所以，当且仅当a=b=1时，等号成立，所以A、D错误，B、C正确.故选：BC2．（多选）（2023秋·江西萍乡·高一统考期末）已知直线与直线相互垂直，若函数，，的零点分别为，，，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【详解】A：∵单调递增，，，∴，∵单调递增，，，∴，则，故A错误；B：由，可得，由，可得，函数与互为反函数，图象关于对称，作出函数，及的图象，如图，又与垂直，由，可得，则，与直线的交点的横坐标分别为，，且，故B正确；C：∵单调递增，，，∴，又，∴，故C正确；D：∵，，∴，，故D错误.故选：BC.3．（2023秋·陕西渭南·高一统考期末）设方程的解为，方程的解为，则___________．【答案】6【详解】由方程得，由方程得.由于与互为反函数，图像关于对称.如图示，的根为点A的横坐标，的根为点B的横坐标，因为与图像关于对称，且与垂直，所以两点为与的交点，且关于对称.由解得：，则．故答案为：6．第二部分：方法篇方法一：可化为一元二次函数型典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则的值域为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，，所以的定义域为，解得，所以该函数的定义域为；所以，所以，所以，当时，，当时，，所以；所以函数的值域是．故选：B．例题2．（2023春·云南普洱·高一校考阶段练习）已知函数，，(1)求的取值范围；(2)求的值域.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为在上是增函数，所以；（2）令，则，因为在区间上单调递减，在上单调递增，，，，所以，即的值域为.例题3．（2023秋·河北保定·高一统考期末）已知函数，.(1)当时，求函数的值域；(2)若函数的最小值为-6，求实数的值.【答案】(1)(2)或【详解】（1）当a=0时，，x∈[，9].∴，，∴，∴函数f(x)的值域为；（2）令，即函数的最小值为，函数图象的对称轴为，当时，，解得；当时，，解得；当时，，解得（舍）；综上，实数a的值为或.精练核心考点1．（2023春·福建莆田·高一校考期中）已知函数．(1)求函数的零点；【答案】(1)和【详解】（1）解：由，得，化简为，解得或，所以，或．所以，的零点为和．2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.当时，求该函数的值域；【答案】【详解】解：，令，由，则，所以有，，所以当时，，当时，所以函数的值域为.3．（2023·全国·高三专题练习）函数的最小值为________．【答案】/【详解】显然，∴，

令，∵x∈，∴t∈[－1，2]，则，当且仅当t＝－即x＝时，有.故答案为：方法二：分类讨论典型例题例题1．（2023春·江西·高一江西师大附中校考阶段练习）已知函数.(1)若，求的值；(2)若函数有且仅有一个零点，求实数的取值范围.【答案】(1)2(2)【详解】（1）原方程等价于，即，可化为.令，则是减函数，又，所以.（2）令得，所以，且，整理得，令，则有且仅有一个零点，且，，①当时，，此时，且开口向上，所以在上有且仅有一个零点；

②当时，，此时，且开口向下且对称轴方程为，因为，，故要使在上有且仅有一个零点，只要且，可得符合条件；综上：.例题2．（2023春·辽宁大连·高一大连市一0三中学校考阶段练习）已知（且）.(1)证明：函数是偶函数；(2)当时，若函数只有一个零点，求实数的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）函数的定义域为.故函数是偶函数.（2）由题意可知方程只有一个根.即，故只有一个根.令，则有且只有一个根.当时，，不合题意；当时，，解得，或；若时，，解得，不合题意；若时，，解得，符合题意.当时，方程有两个不等的实根，显然方程没有零根所以该方程有一个正根和一个负根，即，解得.综上所述，实数m的取值范围为精练核心考点1．（2023秋·广东湛江·高一雷州市第一中学校考期末）已知函数（且）.(1)若函数的图象经过点，求的值；(2)比较与大小，并写出比较过程；(3)若，求的值.【答案】(1)(2)答案见解析(3)或【详解】（1）解：因为函数的图象经过，则，因为且，解得.（2）解：因为，当时，函数在上为增函数，则；当时，函数在上为减函数，则.综上，当时，；当时，.（3）解：由可得，所以，，即，可得或，所以，或.2．（2023秋·浙江杭州·高一校考期末）已知函数．(1)当时，求函数的单调区间；(2)若在上单调递减，求a的取值范围．【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为；(2)．【详解】（1）根据题意，当时，，由，解得或，故的定义域为,令，则该函数在上单调递减，在上单调递增，因为函数为减函数，所以的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）令函数，该函数在上单调递减，在上单调递增．①当时，要使在上单调递减，则在上单调递减，且恒成立，故，又，所以；②当时，要使在上单调递减，则在上单调递增，且恒成立，因为在上单调递减，故函数在上不能单调递增，此种情况不可能；综上，的取值范围为．3．（2023春·重庆江北·高一字水中学校考开学考试）已知函数是偶函数．(1)求实数的值；(2)设，若函数与的图像有且只有一个公共点，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）函数，因为是偶函数，所以，即，即对一切恒成立，所以；（2）因为函数与的图像有且只有一个公共点，所以方程有且只有一个根，即方程有且只有一个根，令，则方程有且只有一个正根，当时，解得，不合题意；当时，开口向上，且过定点，有且只有一个正根符合题意.当时，，解得.综上：实数的取值范围是.方法三：数形结合典型例题例题1．（2023·河南·校联考模拟预测）将的图象向右平移2个单位长度后得到函数的图象，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】依题设可知，在平面直角坐标系中，分别作出函数，的图象，如图，由图可知，当时，.故原不等式的解集为.故