2017-2018学年高中数学选修2-2全册教案北师大版

2017^2018学年北师大版高中数学

选修2-2全册教案汇编

目录

归纳推理.........................................................................1

类比推理.........................................................................4

演绎推理.........................................................................7

分析法1...................................................................................................................................11

分析法2...................................................................................................................................14

综合法1...................................................................................................................................17

综合法和分析法的应用...........................................................20

反证法1...................................................................................................................................23

反证法2...................................................................................................................................27

数学归纳法.....................................................................31

第一章推理与证明..............................................................35

变化的快慢与变化率——平均变化率..............................................39

变化的快慢与变化率——瞬时变化率..............................................44

瞬时速度与瞬时加速度...........................................................47

导数的概念及其几何意义.........................................................50

计算导数（一）.......................................................................................................................54

计算导数（二）.......................................................................................................................57

导数的加法与减法法则...........................................................60

导数的乘法与除法法则...........................................................63

导数的乘法与除法法则2........................................................................................................66

简单复合函数的求导法则.........................................................69

导数与函数的单调性（一）.......................................................73

导数与函数的单调性（二）.......................................................79

导数与函数的单调性（三）....................................................................................................83

函数的极值.....................................................................86

函数的最大值与最小值（二）....................................................91

导数的实际应用（一）...........................................................................................................95

导数的实际应用（二）...........................................................98

导数的实际应用（三）.........................................................................................................103

导数应用小结与复习............................................................109

曲边梯形的面积................................................................114

汽车行驶的路程................................................................119

曲边梯形的面积................................................................124

微积分基本定理................................................................129

微积分基本定理................................................................131

4.3.1平面图形的面积...........................................................136

4.3.1平面图形的面积..........................................................140

4.3.2简单几何体的体积.......................................................144

定积分的简单应用..............................................................147

定积分........................................................................151

II

数系的扩充与复数的概念........................................................155

复数的几何意义................................................................160

复数复数的乘法与除法..........................................................163

复数的加法与减法..............................................................166

第五章数系的扩充与复数的引入................................................169

III

归纳推理

一、教学目标

1.知识与技能：（1）结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义；（2）能利用归纳进行

简单的推理；（3）体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.

2.方法与过程：归纳推理是从特殊到一般的一种推理方法，通常归纳的个体数目越多，越

具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。

3.情感态度与价值观：通过本节学习正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成从小开

始认真观察事物、分析事物、发现事物之间的质的联系的良好品质，善于发现问题，探求新

知识。

二、教学重点：了解归纳推理的含义，能利用归纳进行简单的推理。

教学难点：培养学生“发现一猜想一证明”的归纳推理能力。

三、教学方法：探析归纳，讲练结合

四、教学过程

（一）、引入新课

归纳推理的前提是一些关于个别事物或现象的命题，而结论则是关于该类事物或现象的

普遍性命题。归纳推理的结论所断定的知识范围超出了前提所断定的知识范围，因此，归纳

推理的前提与结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的。也就是说，其前提真而结论假

是可能的，所以，归纳推理乃是一种或然性推理。

拿任何一种草药来说吧，人们为什么会发现它能治好某种疾病呢？原来，这是经过我们

先人无数次经验（成功的或失败的）的积累的。由于某一种草无意中治好了某一种病，第二次,

第三次，……都治好了这一种病，于是人们就把这几次经验积累起来，做出结论说，“这种

草能治好某一种病。”这样，一次次个别经验的认识就上升到对这种草能治某一种病的一般

性认识了。这里就有着归纳推理的运用。

从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理。

见书上的三个推理案例，回答几个推理各有什么特点？都是由“前提”和“结论”两

1

部分组成，但是推理的结构形式上表现出不同的特点，据此可分为合情推理与演绎推理

（二）、例题探析

例1、在一个凸多面体中，试通过归纳猜想其顶点数、棱数、面数满足的关系。

解：考察一些多面体，如下图所示：

将这些多面体的面数g棱数（E'顶点数（V）列出，得到下表：

多面体面数（Q棱数（E）顶点数（V）

三棱锥464

四棱锥585

五棱锥6106

三棱柱596

五棱柱71510

立方体6128

八面体8126

十二面体123020

ns

与0

从这些事实中，可以归纳出：1/-E+F=2

例2、如果面积是一定的，什么样的平面图形周长最小试猜测结论。

2

解：考虑单位面积的正三角形、正四边形、正六边形、正八边形，它们的周长分别记作：,

“4，P6,〃8，可得下表：

“3，4〃6Pi

4.5643.723.64

归纳上述结果，可以发现：面积一定的正多边形中，边数越多，周长越小。于是猜测：

图形面积一定，圆的周长最小。

在上述各例的推理过程中，都有共同之处：根据一类事物中部分事物具有某种属性，推

断该类事物中每一个事物都具有这种属性。我们将这种推理方式称为归纳推理。

注意：利用归纳推理得出的结论不一定是正确的。

归纳推理的一般步骤：

⑴对有限的资料进行观察、分析、归纳整理；

⑵提出带有规律性的结论，即猜想；

（3）检验猜想。

WM5n均-----►a虹-Mfr-----------------►H加I—•任认

（三X课堂练习：课本课本2练习：I.

（四x课堂小结：1、归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理。通常归纳的个体数

目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重

要方法。

2、归纳推理的一般步骤：1）通过观察个别情况发现某些相同的性质。

2）从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想卜

（五X作业：课本2习题1T：1、2o

五、教后反思：

3

类比推理

一、教学目标

1、知识与技能：

(1)结合已学过的数学实例，了解类比推理的含义；

(2)能利用类比进行简单的推理；

(3)体会并认识类比推理在数学发现和生活中的作用.

2、方法与过程：递进的了解、体会类比推理的思维过程；体验类比法在探究活动中：类比

的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就

越可靠。

3、情感态度与价值观：体会类比法在数学发现中的基本作用：即通过类比，发现新问题、

新结论；通过类比，发现解决问题的新方法。培养分析问题的能力、学会解决问题的方法；

增强探索问题的信心、收获论证成功的喜悦；体验数学发现的乐趣、领略数学方法的魅力！

同时培养学生学数学、用数学，完善数学的正确数学意识。

二、教学重点：了解类比推理的含义，能利用类比进行简单的推理。

教学难点：培养学生“发现一猜想一证明”的推理能力。

三、教学方法：探析归纳，讲练结合

四、教学过程

(一卜复习：归纳推理的概念：根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事

物中每一个事物都具有这种属性。我们将这种推理方式称为归纳推理。

注意：利用归纳推理得出的结论不一定是正确的。

①归纳推理的要点：由部分到整体、由个别到一般；②典型例子方法归纳。

(-x引入新课：据科学史上的记载，光波概念的提出者，荷兰物理学家、数学家赫尔斯

坦•惠更斯曾将光和声这两类现象进行比较，发现它们具有一系列相同的性质：如直线传播、

有反射和干扰等。又已知声是由一种周期运动所引起的、呈波动的状态，由此，惠更斯作出

推理，光也可能有呈波动状态的属性，从而提出了光波这一科学概念。惠更斯在这里运用的

推理就是类比推理。

4

(三x例题探析

例I：已知r正三角形内一点到三边的距离之和是一个定值”，将空间与平面进行类比，空间

中什么样的图形可以对应三角形？在对应图形中有与上述定理相应的结论吗？

解：将空间与平面类比，正三角形对应正四面体，三角形的边对应四面体的面。得到猜测：

正四面体内一点到四个面距离之和是一个定值。

例2:根据平面几何的勾股定理，试类比地猜测出空间中相应的结论。A

解：平面中的直角三角形类比到空间就是直四面体。如图，在四面体乃4%'\\

中，平面PAB、平面PBC、平面心两两垂直B

勾股定理：斜边长的平方等于两个直角边的平方和。

类比到空间就是：“式■面积的平方等于三个直角三角形面积的平方和。

即'S&c=S：PAB+S：pBC+S'cA

在上述各例的推理过程中，都有共同之处：由于两类不同对象具有某些类似的特征，在

此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种

推理过程称为类比推理。

注意：利用类比推理得出的结论不一定是正确的。归纳推理和类比推理是最常见的合情

推理。合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定

义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式。

(四)、巩固练习：

练习1、已知实数加法满足下列运算规律:(1)a+b=h+a;(2)(a+b)+c=a+(Z?+c).

类比实数的加法运算律，列出实数的乘法与加法相似的运算律.

练习2、我们已经学过了等差数列，是否想到过等和数列？

(1)类比“等差数列”给出“等和数列”定义；(2)探索等和数列｛《,｝的奇数项和偶数项有

a1=a,a2=b

5

什么特点；⑶等和数列｛4｝中，如果求前几项和.

练习3、若数列｛4｝是等差数列，且2=4…,则也,｝也是等差数列。类比上述

n

性质，相应地，数列匕｝是等比数列，且C,,>0,dn=,贝|J｛4,｝也是等比

数列(以上〃eN*)

练习4、在AA3C中，若AC_L8C,AC=b,BC=a，则AA8C的外接圆半径/="一十",

2

将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体S-ABC中，若SA、SB、SC两两互

相垂直，S4=a,SB=b,SC=c,则四面体S-A8C的外接球半径R=()

AJ/+一+/址+1»2a+b2,r—

A.-----------BR.-----------Cr.-----------Dn.3abe

233

练习5、类比解答(1)、(2)：(1)求证：tan(x+工］="二/；(2)设为

I4)1-tanx

非零常数，且/(x+a)=l+/3,试问:/Xx)是周期函数吗？证明你的结论。

1--(幻

(五x小结：由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他

特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理。

注意：利用类比推理得出的结论不一定是正确的。归纳推理和类比推理是最常见的合情

推理。合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定

义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式。

归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、

类比，然后提出猜想的推理，统称为合情推理。

(六)作业：课本课本巴练习：2.课本舄习题1T：4.

五、教后反思：

6

演绎推理

一、教学目标

1、知识与技能：

（1）了解演绎推理的含义；

（2）能正确地运用演绎推理进行简单的推理；

（3）了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。

2、方法与过程：认识演绎推理的主要形式为三段论，认识三段论推理一般模式，包括三步（1）

大前提，（2）小前提，（3）结论.再从实际应用中认识数学中的证明，主要通过演绎推理来进行

的.从实例中认识它的重要作用和具体做法。

3、情感态度与价值观：通过本节的学习，使学生认识到演绎推理在数学中的重要性,我们既

需要用合情推理来发现结论，也要用演绎推理来证明结论的对否。

二、教学重点：了解演绎推理的含义，能利用“三段论”进行简单的推理.

教学难点：了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别，分析证明过程中包含的“三段论”

形式,三段论的证明原理

三、教学方法：探析归纳，讲练结合

四、教学过程

（-X复习准备：

1.练习：①对于任意正整数万，猜想（2斤1）与（加1”的大小关系？

②在平面内，若“_Lc,b_Lc,则a〃6类比到空间，你会得到什么结论？

（结论：在空间中，若,则a〃6；或在空间中，若al.%尸J.%则a〃尸）

2.讨论：以上推理属于什么推理，结论正确吗？

合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明，有什么能使结论正确的推理形式呢？

3.导入：

所有的金属都能导电铜是金属铜能导电

在一个标准大气压下，水的在一个标准大气压下，把水水会沸腾

沸点是100'C加热到100°C

三角函数是周期函数tanc（是三角函数tana是周期函数

7

太阳系的大行星都以椭圆形冥王星是太阳系的大行星冥王星是以椭圆形轨道绕

轨道绕太阳运行太阳运行

一切奇数都不能被2整除2i°°+l是奇数2侬+1不能被2整除

（讨论：上述例子的推理形式与我们学过的合情推理一样吗？一课题：演绎推理）

（二X新课探析

1.概念：

①概念：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推

理。

要点：由一般到特殊的推理。

②讨论：演绎推理与合情推理有什么区别？

归纳推理：由特殊到一般

合情推理演绎推理：由一般到特殊.

类比推理：由特殊到特殊

③提问：观察上面导入的表格，它们都由几部分组成，各部分有什么特点？

所有的金属都导电铜是金属铜能导电

已知的一般原理特殊情况根据原理，对特殊情况做出的判断

大前提II小前提I殛

2.“三段论”是演绎推理的一般模式；包括

⑴大前提--已知的一般原理；

⑵小前提--所研究的特殊情况；

⑶结论——据一般原理，对特殊情况做出的判断.

三段论的基本格式

M—P（M是P）（大前提）

S—M（S是M）（小前提）

8

s—P（S是P）（结论）

3.三段论推理的依据,用集合的观点来理解:如图

若集合VI的所有元素都具有性质P,S是M的一个子集,那么S中所有元素也都具有性质P.

④举例：举出一些用“三段论”推理的例子.

2.例题探析：

例1.把“函数y=1+*+1的图象是一条抛物线”恢复成完全三段论。

解：二次函数的图象是一条抛物线（大前提）

函数y=1+%+1是二次函数（小前提）

所以，函数》=无2+尤+1的图象是一条抛物线（结论）

例2:在锐角三角形"C中，ADLBC,BE1AC,。，£是垂足.求证：/8的中点."到

的距离相等.

分析：证明思路一板演：证明过程一指出：大前题、小前题、结论.

例3、证明函数/0）=-x2+2x在（YO,T]上是增函数.

板演：证明方法（定义法、导数法）一指出：大前题、小前题、结论.

n+2

例4.数列｛外,｝的前〃项和记为5“,已知q=1,%+]=SnN*）

n

证明：⑴数列也是等比数列;（2）Se=4%

n

思考：因为所有的边长相等的凸多面体是正多边形，.........大前提

而菱形是所有边长都相等的凸多边形，.........小前题

所以菱形是正多边形........结论

（1）上面的推论形式正确吗？

（2）推理的结论正确吗？为什么？

（3）演绎推理怎样才结论正确？（只要前提和推理形式正确，结论必定正确）

3.比较：合情推理与演绎推理的区别与联系？（从推理形式、结论正确性等角度比较；演绎

推理可以验证合情推理的结论，合情推理为演绎推理提供方向和思路.）

9

4.小结：“三段论”是演绎推理的一般模式；包括：⑴大前提--已知的一般原理；

⑵小前提-一所研究的特殊情况；⑶结论——据一般原理，对特殊情况做出的判断，演绎推

理错误的主要原因是（11大前提不成立；（2\小前提不符合大前提的条件。

（三X巩固练习：见练习册P92、3题

（四X作业布置：P95、7题

五、教后反思：

10

分析法1

一、教学目标：1、结合已经学过的数学实例，了解直接证明的基本方法之一：分析法；2,

了解分析法的思考过程、特点。

二、教学重点：了解分析法的思考过程、特点；难点：分析法的思考过程、特点。

三、教学方法：探析归纳，讲练结合

四、教学过程

（一）、复习：综合法的思考过程、特点

（二卜引入新课

在数学证明中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后

达到题设的已知条件。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，它是寻求解题思路的一

种基本思考方法，应用十分广泛。从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结

论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件为止，这种

证明的方法叫做笈姆.这个明显成立的条件可以是：已知条件、定理、定义、公理等。

特点：执果索因。即：要证结果Q,只需证条件P

（三X例题探析

3322

例1、已知：a,8是不相等的正数。求证：a+b>ab+abo

证明：要证明/+by>a2b+ab2

只需证明｛a+b）｛a2—ab+b2）>ab（a+b）,

只需证明（。+人）（。2—9）+〃2）—。伙。+方）>o,

只需证明（a+力）（&2-2ab+〃~）>0,

只需证明（a+/?）（a-Z?）2>0,

只需证明（a+Z?）>0且（a-，）？>0。

11

由于命题的条件、，b是不相等的正数”，它保证上式成立。

这样就证明了命题的结论。

例2、求证：V8+V7>V5+V10o

证明：要证明V8+V7>V5+V10,

只需证明(、回+近尸>(、6+Ji。1,

即8+7+2756>5+10+2750,

只需证明屈〉同，

即56>50,这显然成立。

这样就证明了北+J7>石+而

例3、求证:函数/(幻=2/—12x+16在区间(3,+8)上是增加的。

证明：要证明函数/(》)=2/-12x+16在区间(3,+8)上是增加的，

只需证明对于任意斗，x2e(3,+«),且项>々时，有/(A：1)-/(%,)>0,

只需证明对任意的占>%2>3,有

/(%()-/(%2)=(2元；-12玉+16)(2x；-12x2+16)

-2x；——(12X]—12%2)

=2(——x2)(.+x2)-12(Xj-X2)

=2(x,-x2)(%,+x2-6)>0

X,>x2>3

x,-x2>0,且X]+%2>6,它保证上式成立。

这样就证明了：函数/a)=2/-12x+16在区间(3,+8)上是增加的。

(四x小结：分析法的特点是：从未知看需知，逐步靠拢已知，其逐步推理，实际上是寻

找它的充分条件。分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中，分析法

是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。

综合法则是从数学题的已知条件出发经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。

12

对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路

的两种基本思考方法，应用十分广泛。

（五入练习：课本与练习1：1、2。

（六X作业：课本%习题1-24、5o

五、教后反思：

13

分析法2

一、教学目标：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；

了解分析法和综合法的思考过程、特点。

二、教学重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点。

难点：分析法的思考过程、特点

三、教学方法：探析归纳，讲练结合

四、教学过程

（一）、复习：直接证明的方法：综合法、分析法。

（二）,引入新课

分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中，分析法是从数学题的

待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。综合法则是从

数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解答证

明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本

思考方法，应用十分广泛。在很多数学命题的证明中，往往需要综合地运用这两种思维方法。

（三X例题讲解：

例1:如图、已知必，成分别为A46C的边然，/6上的高，G为"的中点，〃为a'的中点.

求证：HG'EF.

证明：考虑待证的结论“〃.

根据命题的条件：G为成的中点，连接£7/,/瓜，

只要证明•'为等腰三角形，即EII-IIF.

根据条件CFLAB,且〃为6c的中点，可知77/是RtASC/斜边

上的中线.

14

所以FH=-BC.

2

同理HE=-BC.

2

这样就证明了3破■为等腰三角形.

所以HGLEF.

例2:已知：a,b,c都是正实数，且ab+bc+carl.求证：a^lAc>V3.

证明：考虑待证的结论匕+夕。2指”，因为界田。>0,

只需证明(。+/?+c)“23,

BPa2+b2+c2+2(ah+Z?c+ac)>3.

又at^bc+carl,

所以，只需证明。2+/+。2A1，

BP6i2+/72+c2-l>0.

因为ab^bc^ca-\,

所以，只需证明a2+h24-c2-(ab+be+ac)>0,

只需证明ZQ?+2〃2+2c2-2(a〃+Z?c+ac)N0,

即(〃一8)2+(/?-c)2+(c-a)2>0.

由于任意实数的平方都非负，故上式成立.

所以a^lAc>.

例3.如图，SA±平面ABC,AB±BC,过A作SB的垂线，垂足为E,过E作SC的垂线，垂足为F,求

证AF±SC

证明：要证AF,SC,只需证:SC,平面AEF,只需证:AE^SC,只需证:AE,平面SBC

只需证:AE±BC,只需证:BC_L平面SAB,只需证:BC_LSA,只需证:SA_L平面ABC

因为：SA_L平面ABC成立。所以.AF_LSC成立。

15

s

（四x小结：综合法与分析法各有其特点.从需求解题思路来看，分析法执果索因，常常根

底渐近，有希望成功；综合法由因导果，往往枝节横生，不容易奏效，就表达过程而论，分

析法叙述烦琐，文辞冗长；综合法形式简洁，条理清晰.也就是说，分析法利于思考，综合

法宜于表述.因此，在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先以分析法为主

寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程.

（五入练习：课本儿练习2.

（六x作业：课本儿习题1-2:7、9.

五、教后反思：

16

综合法1

一、教学目标：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的基本方法之一：综合法；了解综

合法的思考过程、特点。

二、教学重点：了解综合法的思考过程、特点；难点：综合法的思考过程、特点。

三、教学方法：探析归纳，讲练结合

四、教学过程

（一入复习：

演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程.数学结论、证明思路的发现，主要

靠合情推理.

（二）引入新课

引例：四边形ABCD是平行四边形，

求证：AB=CD,BC=DA

/I_Z7—N4

证连结AC,因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB〃CD,BC〃DA一'一一

r所以AABC三ACDA“

又AC=CA故AB=CD,BC=DA

直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为直接证明，其一般形式为：

17

本题结论

在数学证明中，综合法是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结

论或需求问题。对于解答证明来说，综合法表现为由因导果，它是寻求解题思路的一种基本

思考方法，应用十分广泛。

从已知条件出发，以已知定义、公理、定理等为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为

止，这种证明方法叫做综合法（顺推证法）

用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论.

则综合法用框图表示为：Pn2Q7。2=Qt>。

特点：“由因导果”

(三X例题探析：

TT

例1:求证：乃是函数/(x)=sin(2x+左)的一个周期。

4

TT

证明：•・•/(x+乃)=sin2(X+ZT)H——=sin(2x+2〃+—)=sin(2xd——)=f(x)

4J44

，由函数周期的定义可知：乃是函数/'（x）=sin（2x+X）的一个周期。

4

例2:（韦达定理）已知玉和九2是一元二次方程or?+bx+c=0（。W0,/?2一4ac>0）的两

个根。求证：x+x=——九2=~°

}2aa

证明：由题意可知：yT三一上产

-。+J/-4ac-b-\b2-4acb

/.项+%=

2a2a

18

_b2-(/72-4ac)_4ac_c

4a24a2a

例3:已知：x,y,z为互不相等的实数，且.¥+1=），+,=2+,，求证：x2y2z2^l.

yzx

证明：根据条件x+,=y+L,可得

yz

zyyz

又由x,y,z为互不相等的实数，

所以上式可变形为'三.

工一丁

同理可得孙二士2,"==三，

Z-Xy-z

.222y-z

所以x2y-z*=------x----y--z---x-=1,.

x-yz-xy-z

（四）、课堂练习：在AABC中，三个内角A、B、C对应的边分别为a、b、c,且A、B、

C成等差数列，a、b、c成等比数列，求证△ABC为等边三角形.

分析：由A,B,C成等差数列可得什么？

怎样把边，角联系起来？

由a,b,c成等比数列可得什么？

余弦定理:〃2=a~+c2-laccosB

（五）、小结：综合法的特点是：从已知看可知，逐步推向未知，其逐步推理，实际上是寻找

它的必要条件。

（六入课后作业：课本儿习题L22,3。课本外练习

五、教后反思：

19

综合法和分析法的应用

一、教学目标：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法;

了解分析法和综合法的思考过程、特点。

二、教学重点：会用分析法和综合法证明问题；了解分析法和综合法的思考过程。

教学难点：根据问题的特点，结合分析法和综合法的思考过程、特点，选择适当的证明

方法。

三、教学方法：探析归纳，讲练结合

四、教学过程

（-X复习准备

1、已知“若4，外€内，且4+4=1，则,+^-24”，试请此结论推广猜想。

a\a2

+

（答案：若671,6?2...E7?,且4+&+….+4〃=1,则-----1--a-------2〃-）

“2册

2、已知a,6,ce/?+,a+b+c=\,求证：—+—+—>9.

abc

先完成证明-讨论：证明过程有什么特点？

3、讨论：如何证明基本不等式"（4>0,匕>0）。

2

（讨论—板演―分析思维特点：从结论出发，一步步探求结论成立的充分条件）

（二x探析新课

1.探析例题

①出示例1:已知a,b,c是不全相等的正数，求证：a（9+c2）+bg+/）+c（才+炉）>

6abe

分析：运用什么知识来解决？（基本不等式）一板演证明过程（注意等号的处理）

f讨论：证明形式的特点

②综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推

导出所要证明的结论成立.

20

QQQJ一

框图表示：要点：顺推证法；由因导果.

③出示例2:在中，三个内角4B、C的对边分别为a、b、c,且/、B、C成等差数

列，a、b、c成等比数列.求证：为“％等边三角形.

分析：从哪些已知，可以得到什么结论？如何转化三角形中边角关系？

一板演证明过程一讨论：证明过程的特点.

一小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件（内角和）

④出示例2:见练习册P11讨论：如何寻找证明思路？（从结论出发，逐步反推）

⑤出示例3:见练习册PU讨论：如何寻找证明思路？（从结论与已知出发，逐步探求）

⑥分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结

论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.

（QUPJ~—（>|UPXP，5）一一^出到•个明公

框图表示：要点：逆推证法；执果索因.

2、课堂练习（11已知a/,c是全不相等的正实数，求证"+c-"+"+・'+"+b—c*

abc

（2\证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，那么

截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大.

提示：设截面周长为/,则周长为/的圆的半径为截面积为力（-J）?,周长为/的

2兀27

正方形边长为:，截面积为,）2,问题只需证：乃（（）2>,）2.

（三X小结：综合法是从已知的P出发，得到一系列的结论2,。2,…,直到最后的结论

是Q.运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题。分析法由

要证明的结论0思考，一步步探求得到。所需要的已知4心…，直到所有的已知，都成立；

比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析

法与综合法，即从“欲知”想“需知”（分析），从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，

逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径。

（四\作业布置：

1、A,8为锐角，tanA+tanB+V3tanAtanB=73,求证：4+8=600.（提示：算

21

tan(A+B))

2、已知a>b>c,求证：一!一十—!—2」一.

a-bb-ca-c

3、练习：设x>0,y>0,证明不等式：(Y+y?户>(d+y3)3.

先讨论方法-