2025版新教材高中数学第二章三角恒等变换2.2二倍角的三角函数第2课时二倍角的三角函数2导学案湘教版必修第二册

第2课时二倍角的三角函数(2)教材要点要点倍角公式的变换(1)因式分解变换：cos2α＝cos2α－sin2α＝(cosα＋sinα)(cosα－sinα)．(2)配方变换：1±sin2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα＝________．(3)升幂缩角变换：1＋cos2α＝________，1－cos2α＝________．(4)降幂扩角变换：cos2α＝12(1＋cos2α)，sin2α状元随笔(1)以上变形可作为公式用，三角函数的化简、求值、证明中均离不开这些公式．(2)留意角的倍数和三角函数的幂次可以相互转化，这在三角恒等变换中是特别重要的思想．基础自测1.2sin215°－1的值是()A．12B．－C．32D．－2．函数y＝sin22x的最小正周期是()A．π2C．2πD．4π3．若α∈-π2，A．sinα＋cosαB．－sinα－cosαC．sinα－cosαD．cosα－sinα4．已知cosπ6-α＝1题型1利用倍角公式求值角度1给角求值例1求值：3tan方法归纳(1)留意视察式子的结构特点及角之间是否存在特别的倍数关系，敏捷正用或逆用二倍角公式．(2)结合诱导公式恰当改变函数名称，敏捷处理系数，构造二倍角公式的形式．角度2给值求值例2已知sinθ-π12＝－1A．－29B．－79C．2方法归纳(1)一是对题设条件变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；另一种是对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论．(2)留意几种公式的敏捷应用，如：①sin2x＝cosπ2-2x＝cos2π4-x②cos2x＝sinπ2-2x＝sin2π4跟踪训练1(1)化简32tan20A．14B．12C．(2)已知sinπ4-x＝513，0＜x＜题型2利用倍角公式化简三角函数式例3化简：2cos方法归纳(1)化简三角函数式与求三角函数式的值，解题思路上没有大的区分，只是化简到最终的答案不肯定是详细的数字．(2)本题方法一是将分母都化为同一个角π4－α的三角函数，再利用倍角公式进行转化，而方法二则是干脆利用公式将分母化为角α跟踪训练2化简：sin2x2题型3二倍角公式的综合应用角度1与三角函数的综合应用例4已知函数f(x)＝sin2x＋sinxcosx－12，x∈R(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)若f(α)＝26，α∈-π8方法归纳此类问题的一般思路是先利用二倍角公式与和差公式，将函数化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式，再探讨函数的有关性质．角度2倍角公式的实际应用例5点P在直径AB＝1的半圆上移动，过P作圆的切线PT且PT＝1，∠PAB＝α，问α为何值时，四边形ABTP面积最大？方法归纳解答此类问题，关键是合理引入协助角α，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关学问求解，在求解过程中，要留意角的范围．跟踪训练3(1)函数y＝sin2x＋23sinx·cosx＋3cos2x的最大值是________．(2)如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为π3的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形，记∠COP＝α，求当α取何值时，矩形ABCD易错辨析忽视角的范围致误例6化简：2+2+2cosα(2π＜解析：∵2π＜α＜3π，∴π＜α2＜3π2，π∴2+2+2cosα＝2+4cos2α易错警示易错缘由纠错心得去根号时，只是机械地套用公式，忽视角的范围，导致错误．利用二倍角化简1+cosα＝2cosα2，1-cos课堂特别钟1．函数f(x)＝cos22x－sin22x的最小正周期是()A．π22．计算：4cos10°－cos10A．－2B．2C．－3D．33．已知α∈3π2，A．sinα2B．cosα2C．－sinα4．已知sinα-π6＝25．已知tan(π4－α(1)求tan2(2)求1-第2课时二倍角的三角函数(2)新知初探·课前预习要点(2)(sinα±cosα)2(3)2cos2α2sin2α(4)12(1－cos2α[基础自测]1．解析：2sin215°－1＝－(1－2sin215°)＝－cos30°＝－32答案：D2．解析：∵f(x)＝sin22x＝12-1即ω＝4，∴T＝2πω＝2π答案：A3．解析：由α∈-π2，0，可得cos又由1-sin2α＝1-2sin答案：D4．解析：依题意cos2α-π3＝cos2α-π6答案：－7题型探究·课堂解透例1解析：3tan12＝3sin12＝2＝2＝-＝－43.例2解析：由2θ－2π3＝2θ－π6-π又cos2θ-π6＝1－2sin2∴sin2θ-2答案：B跟踪训练1解析：(1)32tan20°＝3cos20＝3＝3cos20°-3(2)因为x∈0，π4，所以π4－又因为sinπ4-x＝513，所以cos所以cos2x＝sinπ2-2x＝2sin＝2×513×12答案：(1)B(2)120例3解析：方法一原式＝2＝2cos2α方法二原式＝cos＝cos＝cos＝cos2跟踪训练2解析：sin2x＝sin＝2sinx＝sinx·cosx2cos例4解析：(1)因为f(x)＝sin2x＋sinxcosx－1＝1-cos2x2+12sin2x－1＝22sin2x故f(x)的最小正周期为T＝2πω＝由2kπ－π2≤2x－π4≤2kπ＋π2，k解得：kπ－π8≤x≤kπ＋3π8(k所以函数f(x)的单调递增区间为：kπ-π8，(2)因为f(α)＝26，则22sin2α即sin2α-π因为α∈-π8，3π8，所以2则cos2α-π4＝1-所以sin2α＝sin2α-π4+π4＝sin2α-π4例5解析：如图所示，∵AB为直径，∴∠APB＝π2，又AB∴PA＝cosα，PB＝sinα.又PT切圆于P点，∠TPB＝∠PAB＝α，∴S四边形ABTP＝S△PAB＋S△TPB＝12PA·PB＋12PT·PB＝12sinαcosα＋12sin2α＝14sin2α＋1＝14(sin2α－cos2α)＋14＝24∵0<α<π2，∴－π4<2α－π4∴当2α－π4＝π即α＝38π时，S四边形ABTP跟踪训练3解析：(1)函数y＝sin2x＋23sinx·cosx＋3cos2x＝3sin2x＋2cos2x＋1＝3sin2x＋cos2x＋2＝2sin2x+π当2x＋π6＝2kπ＋π2，即x＝kπ＋π6(k∈Z)时，(2)由题意可得在三角形OCB中，OC＝1，∠COP＝α，所以BC＝sinα，OB＝cosα在三角形OAD中，∠AOD＝π3，AD＝BC＝sin所以OA＝33sinα所以AB＝OB－OA＝cosα－33则，矩形ABCD的面积为S，则S＝BC·AB＝sinα·cosα-33sinα＝sinα·cosα＝12sin2α＋36cos2α－36＝所以矩形ABCD面积的最大值为36此时2α＋π6＝π2，∴α＝答案：(1)4(2)见解析[课堂特别钟]1．解析：依题意f(x)＝cos4x，所以f(x)的最小正周期为T＝2π4＝答案：A2．解析：原式＝4