高中数学必修4第二章平面向量教案

中学数学必修4其次章平面对量教案（12课时）

本章内容介绍

向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，是近代数学中重要和基本的数学概念之一,

有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具.向量概念引入后，全等和平行（平移）、相像、垂

直、勾股定理就可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量积运算，从而把图形的基本性质转

化为向量的运算体系.

向量是沟通代数、几何及三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景.在本章中，学生将

了解向量丰富的实际背景，理解平面对量及其运算的意义，学习平面对量的线性运算、平面对量

的基本定理及坐标表示、平面对量的数量积、平面对量应用五部分内容.能用向量语言和方法表述

和解决数学和物理中的一些问题.

本节从物理上的力和位移动身，抽象出向量的概念，并说明白向量及数量的区分，然后介绍了向

量的一些基本概念.（让学生对整章有个初步的、全面的了解

第1摩时

§2.1平面对黄的实除背景及基本概念

教学目标：

1.了解向量的实际背景，理解平面对量的概念和向量的几何表示；驾驭向量的模、零向量、单位

向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.

2.通过对向量的学习，使学生初步相识现实生活中的向量和数量的本质区分.

3.通过学生对向量及数量的识别实力的训练，培育学生相识客观事物的数学本质的实力.

教学重点；理解并驾驭向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.

教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区分和联系.

学法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可依据在原有的位移、力等物理概念

来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.

教具：多媒体或实物投影仪，尺规

授课类型：新授课

教学思路：

一、情景设置：

如图，老鼠由A向西北逃跑，猫在B处向东追去，设问：猫能否

追到老鼠？（画图）C\^

结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.A-*D

D

分析：老鼠逃跑的路途AC、猫追逐的路途BD事实上都是有方向、

有长短的量.

引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？

二、新课学习：

（-）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量

（-）请同学阅读课本后回答：（可制作成幻灯片）

1、数量及向量有何区分？

2、如何表示向量？

3、有向线段和线段有何区分和联系？分别可以表示向量的什么？

4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？

5、满意什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？

6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？

7、假如把一组平行向量的起点全部移到一点O,这是它们是不是平行向量？这时各向量的

终点之间有什么关系？

（三）探究学习

1、数量及向量的区分：

数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；

向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.

2.向量的表示方法：

①用有向线段表示；

②用字母a、b

（黑体，印刷用）等表示；

③用有向线段的起点及终点字母：而；

④向量而的大小一一长度称为向量的模，记作|而I.

3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.

向量及有向线段的区分：

（1）向量只有大小和方向两个要素，及起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是

相同的向量；

（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的

有向线段.

4,零向量、单位向量概念：

①长度为0的向量叫零向量，记作0.0的方向是随意的.

留意。及0的含义及书写区分.

②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.

说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.

5、平行向量定义：

①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定。及任一向量平行.

说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量a、b、c平行，记作a〃6〃

6、相等向量定义：

长度相等且方向相同的向量叫相等向量.

说明：（1）向量a及方相等，记作a=6：（2）零向量及零向量相等;

（3）随意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且及有向线段的起

卓无夫.

7、共线向量及平行向量关系：

平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同始终线上（及有向线段的起点

木夫）..

说明：（1）平行向量可以在同始终线上，要区分于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以

相互平行，要区分于在同始终线上的线段的位置关系.

（四）理解和巩固：

例1书本86页例1.

例2推断：

（1）平行向量是否肯定方向相同？（不肯定）

（2）不相等的向量是否肯定不平行？（不肯定）

（3）及零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）

（4）及随意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）

（5）若两个向量在同始终线上，则这两个向量肯定是什么向量？（平行向量）

（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（长度相等且方向相同）

（7）共线向量肯定在同始终线上吗？（不肯定）

例3下列命题正确的是（）

A.a及6共线，6及c共线，则a及c也共线

B.随意两个相等的非零向量的始点及终点是一平行四边形的四顶点

C.向量a及b不共线，则a及b都是非零向量

D.有相同起点的两个非零向量不平行

解：由于零向量及任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中探讨的向量是自由向量，所以两

个相等的非零向量可以在同始终线上，而此时就构不成四边形，根本不行能是一个平行四边形的

四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，及起点是否相同无关，所以D

不正确；对于C,其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假如a及b不都是

非零向量，即a及b至少有一个是零向量，而由零向量及任一向量都共线，可有a及b共线，不

符合己知条件，所以有a及b都是非零向量，所以应选C.

例4如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中及向量次、丽、历相等的

向量.

变式一：及向量长度相等的向量有多少个？（11个）

变式二：是否存在及向量长度相等、方向相反的向量？（存在）

变式三：及向量共线的向量有哪些？（而，丽，正）

课堂练习：

1.推断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.

①向量AB及是共线向量，则A、B、C、。四点必在始终线上;

②单位向量都相等；

③任一向量及它的相反向量不相等；

④四边形ABCD是平行四边形当且仅当~AB=DC

⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；

⑥共线的向量，若起点不同，则终点肯定不同.

解:①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可,并不要求两个向量施、公

在同始终线上.

②不正确.单位向量模均相等且为1,但方向并不确定.

③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量及零向量是相等的.④、⑤正确.⑥不正确.

________ABC

如图元及丽共线，虽起点不同，但其终点却相同.1---------1---------

2.书本88页练习

三、小结：

1、描述向量的两个指标：模和方向.

2、平行向量不是平面几何中的平行线段的简洁类比.

3、向量的图示，要标上箭头和始点、终点.

四、课后作业：

书本88页习题2.1第3、5题

第2球时

§2.2.1向it•的加法运算及其几何意义

教学目标；

1、驾驭向量的加法运算，并理解其几何意义；

2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培育数形结合解决问题

的实力；

3、通过将向量运算及熟识的数的运算进行类比，使学生驾驭向量加法运算的交换律和结合律，

并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；

教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.

教学难点；理解向量加法的定义.

学法：

数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合

成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生

顺理成章接受向量的加法定义.结合图形驾驭向量加法的三角形法则和平行四边形法则.联系数的

运算律理解和驾驭向量加法运算的交换律和结合律.

教具：多媒体或实物投影仪，尺规

授课类型：新授课

教学思路：

一、设置情景：

1、复习：向量的定义以及有关概念

强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们探讨的

向量是及起点无关的自由向量，即任何向量可以在不变更它的方向和大小的前提下，移到任何

位置

2、情景设置：_______________________

(1)某人从A到B,再从B按原方向到C,ABC

则两次的位移和：AB+BC^AC

(2)若上题改为从A到B,再从B按反方向到C,CAB

则两次的位移和：AB+BC=AC,

(3)某车从A到B,再从B变更方向到C,

则两次的位移和:AB+BC=AC

(4)船速为AB,水速为8C,则两速度和：AB+BC=AC/

二、探究探讨：

1、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.A------------„

AB

2、三角形法则(“首尾相接，首尾连”)

如图，已知向量a、b.在平面内任取一点A,作43=a,BC=b,则向量AC叫做a及b

的和，记作a+b,即a+b=AB+BC=AC,规定：a+0-=0+a

探究：(1)两相向量的和仍是一个向量;

(2)当向量4及b不共线时,a+b的方向不同向,且|。+匕|<|。|+屹卜

（3）当a及b同向时，则。+匕、a、b同向,

且|a+11=1。|+而,当〃及石反向时，若|4|>向，

则a+g的方向及a相同，且|。+加=|4卜|加；若

\a\<\b\,则7+B的方向及3相同，且1+中而-而.

（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n个

向量连加

3.例一、已知向量a、h,求作向量a+B

作法：在平面内取一点，\^OA=aAB=h,则3=力+反

4.加法的交换律和平行四边形法则

问题：上题中5+a的结果及a+1是否相同？验证结果相同

从而得到：1）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）

2）向量加法的交换律：a+b=b+a

5.向量加法的结合律：(a+B)+c=a+(g+c)

证：如图：使蕊=",BC=b,CD=c

贝!1(a+3)+c=AC+CD=AD,a+(b+c)=AB+BD=AD

.".(a+b)+c=a+(b+c)

从而，多个向量的加法运算可以依据随意的次序、随意的组合来进行.

三、应用举例：

例二（P94—95）略

练习：P95

四、小结

1、向量加法的几何意义；

2、交换律和结合律；

3、留意：\a+b\W向+面，当且仅当方向相同时取等号.

五、课后作业：

P103第2、3题

六、板书设计（略）

七、备用习题

1、一艘船从A点动身以2仆修〃//1的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行的速度的

大小为4km/h,求水流的速度.

2、一艘船距对岸4出km,以2百k〃力力的速度向垂直于对岸的方向行驶，到达对岸时，船的

实际航程为8km,求河水的流速.

3、一艘船从A点动身以％的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为V2,船的实际

航行的速度的大小为4Zm/〃，方向及水流间的夹角是60。，求V］和V2.

4、一艘船以5km/h的速度在行驶，同时河水的流速为2km/h,则船的实际航行速度大小最大是

km/h,最小是km/h

5、已知两个力Fi，F2的夹角是直角，且已知它们的合力F及Fi的夹角是60°,|F|=10N求

Fi和F2的大小.

6、用向量加法证明：两条对角线相互平分的四边形是平行四边形

第3璐时

§2.2.2向量的球落运算及其几何意义

教学目标：

1.了解相反向量的概念;

2.驾驭向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义;

3.通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的

辩证思想.

教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法.

教学难点：减法运算时方向的确定.

学法：减法运算是加法运算的逆运算，学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算驾驭

向量的减法运算；并利用三角形做出减向量.

教具：多媒体或实物投影仪，尺规

授课类型：新授课

教学思路：

一、复习：向量加法的法则：三角形法则及平行四边形法则

向量加法的运算定律：

例：在四边形中，CB+BA+BA=—.

解：CB+BA+BA^CB+BA+AD^CD

二、提出课题：向量的减法

1.用“相反向量”定义向量的减法

(1)“相反向量”的定义：及。长度相同、方向相反的向量.记作-a

(2)规定：零向量的相反向量仍是零向量.-(-a)=a.

任一向量及它的相反向量的和是零向量.a+(-a)=0

假如a、力互为相反向量，则a=-8,b--a,a+b-0

(3)向量减法的定义：向量“加上的)相反向量，叫做。及6的差.

即：a-b^a+(-b)求两个向量差的运算叫做向量的减法.

2.用加法的逆运算定义向量的减法：

向量的减法是向量加法的逆运算：

若b+x=a,则x叫做a及b的差，记作a-5

3.求作差向量：己知向量”、方，求作向量

V(a-b)+b=a+(-b)+b=a+O=a

作法：在平面内取一点。，

作0A=a,AB=b

贝i|BA-a-b

即a-6可以表示为从向量6的终点指向向量a的终点的向量.

留意：1。48表示。-6.强调：差向量“箭头”指向被减数

2。用“相反向量”定义法作差向量，a-b=a+(-b)

明显，此法作图较繁，但最终作图可统一.

1)假如从向量a的终点指向向量b的终点作向量，那么所得向量是』.

2)若。〃》，如何作出a-。?

三、例题：

例一、（P97例三）已知向量a、b、c、d,求作向量a-6、c-d.

解：在平面上取一点O,作。4=a,OB-b,OC=c,OD=d.

例二、平行四边形ABC。中，AB=

用a、b表示向量/、DB.

解：由平行四边形法则得：

AC^a+b,~DB=~AB-~AD=a-b

变式一：当a,b满意什么条件时，a+b及a-方垂直？(|a|=|6|)

变式二：当a,b满意什么条件时，\a+b\=\a-b\?(a,b相互垂直)

变式三：a+力及可能是相当向量吗？（不行能，：。对角线方向不同）

练习：P98

四、小结：向量减法的定义、作图法|

五、作业：P103第4、5题

六、板书设计（略）

七、备用习题：

1.SAABC中,BC=a,C4=b,则AB等于()

A.a+bB.-a+(-b)C.a-bD.b-a

2.0为平行四边形ABCD平面上的点，设OA=a,OB=b>OC=c>OD=d,则

A.a+b+c+d=OB.a-b+c-d=OC.a+b-c-d=OD.a-b-c+d=O

3.如图，在四边形ABCD中，依据图示填空：

a+b=,b+c=,c-d=,a+b+c-d=.

4、如图所示，0是四边形ABCD内任一点，试依据图中给出的向量，确定a、b、c、d的方

向（用箭头表示），a+b=AB,c-d=DC,并画出b-c和a+d.

第3题

2.3平面对童的基本定理及生标袤示

第4扉时

§2.3.1平面对量基本定理

教学目的：

(1)了解平面对量基本定理；

(2)理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步驾驭应用向量解决实际

问题的重要思想方法；

(3)能够在详细问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.

教学重点：平面对量基本定理.

教学难点：平面对量基本定理的理解及应用.

授课类型；新授课

教具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

1.实数及向量的积：实数人及向量力的积是一个向量，记作：xa

(1)|Xa|=|X||a|；(2)入＞0时入。及。方向相同；入＜0时入。及。方向相反；入=0时入。=6

2.运算定律

结合律：入(|i之)=(入(1)。；安排律：(8+*)2=入A，x(5+^)=xa+xb

3.向量共线定理向量B及非零向量d共线的充要条件是：有且只有一个非零实数入，使B=入a.

二、讲解新课：

平面对量基本定理：假如[是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任

一向量。，有且只有一对实数入1，入2使2=入16]+入202.

探究:

（1）我们把不共线向量子、e2叫做表示这一平面内全部向量的一组基底;

（2）基底不惟一，关键是不共线；

（3）由定理可将任一向量a在给出基底e,、入的条件下进行分解；

（4）基底给定时，分解形式惟一.从，却是被2，［，［唯一确定的数量

三、讲解范例：

例1已知向量61,e2求作向量-2.56］+3e2.

例2如图二BCD的两条对角线交于点M,且赢=G,AD=h，用/，B表示忘，MB,MC

Z77

和MO

例3已知cABCD的两条对角线AC及BD交于E,0是随意

一点，求证：0A+OB+0C+0D=40E

例4（1）如图，0A,而不共线，而女薪（teR）用衣，0B

表示0P.

（2）设OA、OR不共线，点P在O、A、B所在的平面内，且OP=（1-力。4+/03。6/?）.求证：

A、B、P三点共线.

例5已知a=2e「3e2,b=2ei+3e2,其中e\,ei不共线，向量c=2e「9e2，问是否存在这样的实数

2、〃，使d=+及c共线.

四、课堂练习：

1.设ei、e2是同一平面内的两个向量，则有（）

A.ei、e2肯定平行

Be、e2的模相等

C.同一平面内的任一向量a都有a=&|+〃02（入neR）

D.若切、e2不共线，则同一平面内的任一向量a都有a=2ei+〃e2（%、"CR）

2.已知矢量a=ei-2e?,b=1e\+e2,其中ei、e?不共线，则a+A及c=6e「2e2的关系

A.不共线8共线C.相等D.无法确定

3.已知向量ei、e2不共线，实数x、y满意（3x-4y）ei+（2x-3y）e2=6ei+3e2，则x-y的值等于（）

A.33.-3C.OD.2

4.已知。、方不共线，且c=%ia+%2Z＞（，i，%2仁田，若c及b共线，则右=__.

5.已知万＞0,22＞0，ei、e2是一组基底，且a=制6|+2202,则a及ei,a及e】（填共

线或不共线）.

五、小结（略）

六、课后作业(略)：

七、板书设计(略)

八、课后记：

笫5摩时

§2.3.2—§2.3.3平面对黄的正交分解和生稀震示及运算

教学目的：

(1)理解平面对量的坐标的概念；

(2)驾驭平面对量的坐标运算；

(3)会依据向量的坐标，推断向量是否共线.

教学重点：平面对量的坐标运算

教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的精确性.

授课类型：新授课

教具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

1.平面对量基本定理：假如1是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任

一向量,，有且只有一对实数入1，入2使,=A1+入202

(1)我们把不共线向量e八e2叫做表示这一平面内全部向量的一组基底；

(2)基底不惟一，关键是不共线；

(3)由定理可将任一向量a在给出基底e,、ez的条件下进行分解；

(4)基底给定时，分解形式惟一.Q,入2是被G，［，［唯一确定的数量

二、讲解新课：

1.平面对量的坐标表示

如图，在直角坐标系内，我们分别取及x轴、y轴方向相同的两个单位向量八，作为基底.任

作一个向量〃，由平面对量基本定理知，有且只有一对实数x、y,使得

a=xi+yj.......①

我们把(x,y)叫做向量。的(直角)坐标，记作

a=(x,y)........②

其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做〃在y轴上的坐标，②式叫做向

y

yN(x,y)

量的坐标表示.及a相等的向量的坐标也为(x,y).

特殊地，i=(l,O),j=(0,1),0=(0,0).

如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作苏=a,则点A的位置由a唯一确定.

设。A=xi+W，则向量。4的坐标(x,y)就是点A的坐标；反过来，点A的坐标(x,y)也就是向

量衣的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面对量都是可以用一对实数唯一表示.

2.平面对量的坐标运算

(1)若a=(x”y)，b-(x2,y2),则a+6=(当+々，＞1+%)，a-b-(xt-x2,yt-y^

两个向量和及差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和及差.

设基底为i、j.则a+6=+++=区+》2»+(凹+%)/

即a+6=(玉+x2,y1+y2),同理可得。一匕=(须一々，必一当)

(2)若Aa,%),B(x2,y2),则A8=(w-%,%-%)

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.

AB=OB-OA=(X2.y2)-(x”yi)=(x2-xi,y：-yi)

(3)若a=(x,y)和实数丸，则〃=(Ax,办).

实数及向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.

设基底为i、/，则为7=2(xz+yj)=2xi+初，即痴=(2r,Ay)

三、讲解范例：y+”D.

例1已知A(x”yi),B(X2,y2)，求AJ?的坐标.

例2已知a=(2,1),6=(-3,4),求a+6,a-b,3a+48的坐-------QH------------

标.

例3已知平面上三点的坐标分别为A(-2,1),B(-l,3),C(3,4),求点D的坐标使这四点

构成平行四边形四个顶点.

解：当平行四边形为ABCD时，由蒜=反得Di=(2,2)

当平行四边形为ACDB时，得D?=(4,6),当平行四边形为DACB时，得D.3=(-6,0)

例4已知三个力元(3,4),弓(2,-5),^(x,y)的合力元+弓+元=6,求弓的坐标.

解：由题设齐+弓+弓=。得：(3,4)+(2,-5)+(x,y)=(0,0)

即：/..•商(-5,1)

四、课堂练习：

1.若M(3,-2)N(-5,-1)且MN,求P点的坐标

2.若A(0,1),B(I,2),C(3,4),贝lj而一2团=.

3.已知：四点A(5,1),B(3,4),C(l,3),D(5,-3),求证：四边形ABCD是梯形.

五、小结(略)

六、课后作业(略)

七、板书设计(略)

八、课后记：

第6课时

§2.3.4平面对登终线的坐裤着示

教学目的：

(1)理解平面对量的坐标的概念；

(2)驾驭平面对量的坐标运算；

(3)会依据向量的坐标，推断向量是否共线.

教学重点；平面对量的坐标运算

教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的精确性

授课类型：新授课

教具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

1.平面对量的坐标表示

分别取及x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、/作为基底.任作一个向量。，由平面对量基

本定理知，有且只有一对实数x、y,使得

把(x,y)叫做向量a的(直角)坐标，记作a=(x,y)

其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做。在y轴上的坐标，特殊地,

i=(l,O),j=(0,1),0=(0,0).

2.平面对量的坐标运算

若a=(Xi，y),6=(》2，8)，

则a+匕=(X+々，必+为)，ci-b-(xi-x2,yt-y2),Aa=(Ax,Ay).

若A(x”y),B(x2,y2),则A8=伍一知%一X)

二、讲解新课：

d//b(B#6)的充要条件是xiy2-X2yi=0

设五=(xi，yi),b=(X2>y2)其中BHG.

由5=入行得，(xi，yi)=A(X2，y2)消去入，xiy2-X2yi=0

探究：(1)消去人时不能两式相除，,；yi，y2有可能为0，Vb^6.,.X2，y2中至少有一个不

为。

(2)充要条件不能写成Vx,.X2有可能为0

(3)从而向量共线的充要条件有两种形式：a//h

三、讲解范例：

例1己知2=(4,2),b=(6,y),且万〃求y.

例2己知A(-l,-1),B(l,3),C(2,5),试推断A,B,C三点之间的位置关系.

例3设点P是线段P1P2上的一点,Pi、P2的坐标分别是(xi，yi),(X2,y2).

(1)当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；

(2)当点P是线段P|P2的一个三等分点时，求点P的坐标.

例4若向量G=(-l,x)及坂=(-x,2)共线且方向相同，求x

解：•.•口=(-1,x)及B=(-x,2)共线/.(-l)X2-jf(-x)=0

/.x=±V2O及B方向相同x=V2

例5已知A(-L-1),B(l,3),C(l,5),D(2,7),向量而及而平行吗？直线AB及平

行于直线CD吗？

解：VAB=(1-(-1),3-(-1))=(2,4),CD=(2-1,7-5)=(l,2)

又V2X2-4X1=OAB//CD

又VAC=(1-(-1),5-(-1))=(2,6),AB=(2,4),2X4-2X6*0,AC及A3不平行

AA,B,C不共线；.AB及CD不重合；.AB〃CD

四、课堂练习：

1.若a=(2,3),6=(4,-1+y),3a//b,则y=()

A.68.5C.7D.8

2.若A(x,-1)，B(l,3),C(2,5)三点共线，则x的值为()

A.-3B.-lC.lD.3

3.若AB=i+4，DC=(3-x)i+(4-y)/(其中i、j的方向分别及x、y轴正方向相同且为单位向量).AB

及皮共线，则x、y的值可能分别为()

A.l,282,2C.3,2D.2,4

4.已知a=(4,2),方=(6,y),且a〃方，贝!|y=.

5.已知a=(l,2),b=(x,1),若a+2b及2a-/(平行，则x的值为.

6.已知必BC。四个顶点的坐标为A(5,7),8(3,x),C(2,3),0(4,x),则x=.

五、小结(略)

六、课后作业(略)

七、板书设计(略)

八、课后记：

§2.4平面对黄的敬量积

第7课时

一、平面对H■的数景秋的杉理,素及其畲义

教学目的：

1.驾驭平面对量的数量积及其几何意义；

2.驾驭平面对量数量积的重要性质及运算律；

3.了解用平面对量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；

4.驾驭向量垂直的条件.

教学重点：平面对量的数量积定义

教学难点：平面对量数量积的定义及运算律的理解和平面对量数量积的应用

授课类型：新授课

教具：多媒体、实物投影仪

内容分析：

本节学习的关键是启发学生理解平面对量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量

积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面对量数量积的相识.主要学问点：平面对量数

量积的定义及几何意义；平面对量数量积的5个重要性质；平面对量数量积的运算律.

教学过程：

一、复习引入：

1.向量共线定理向量B及非零向量。共线的充要条件是：有且只有一个非零实数入，使囚=入

a.

2.平面对量基本定理：假如或是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任

一向量有且只有一对实数入1，入2使入1+入202

3.平面对量的坐标表示

分别取及X轴、y轴方向相同的两个单位向量八，作为基底.任作一个向量4,由平面对量基本

定理知，有且只有一对实数X、y,使得a=xi+yf

把（x,y）叫做向量a的（直角）坐标，记作a=（x,y）

4.平面对量的坐标运算

若。=（占，%），b^（x2,y2）,则a+b=（否+々，必+必），a-b=（x）-x2,yt-y2）,

Aa=（Ax,Ay）.

若B（X2,y2）,则A8=（%2-玉,%一弘）

5.a//b（B#6）的充要条件是xiy2-X2yi=0

6.线段的定比分点及A

Pl,P2是直线/上的两点，P是/上不同于P|,P2的任一点，存在实数A,

使其/=入短，入叫做点P分而所成的比，有三种状况：

-Pjp:­p??-P*~5i

入>0（内分）（外分）X<O（X<-1）（外分）入<0（-l<X<0）

7.定比分点坐标公式：

若点P（xi，力），P“X2,y2）.2为实数，且月下=/短，则点P的坐标为（），我们称2

为点P分耳鸟所成的比.

8.点尸的位置及％的范围的关系：

①当4>0时，耳不及而同向共线，这时称点P为版的内分点.

②当4<0（/1/一1）时，qp及PE反向共线，这时称点P为66的外分点.

9.线段定比分点坐标公式的向量形式:

在平面内任取一点。，设O《=a,OP2=b,

-TZHa+劝IA.,

可得OP=------=-----a+-----b.

1+A1+A1+X

10.力做的功：W=|fl做cos。,0是尸及s的夹角.

二、讲解新课:

1.两个非零向量夹角的概念

已知非零向量a及b,作。4=a,OB=b,则NAOB=0（0W先乃）叫a及6的夹角.

说明：（1）当6=0时，a及b同向；

（2）当。=兀时，a及6反向；

TT

（3）当。=一时，a及方垂直，记a_L8；

2

（4）留意在两向量的夹角定义，两向量必需是同起点的.范围0”0s180。

2.平面对量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a及6,它们的夹角是则数量⑷INcos。

叫a及6的数量积，记作ab,即有ab=|t/||/?|cosO,

（0<0<7T）.并规定0及任何向量的数量积为0.

・探究：两个向量的数量积及向量同实数积有很大区分

（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos。的符号所确定.

（2）两个向量的数量积称为内积，写成。例今后要学到两个向量的外积〃Xb,而。乃是两个向

量的数量的积，书写时要严格区分,符号“•”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“X”

代替.

（3）在实数中，若4M,且。b=0,则6=0；但是在数量积中，若且。乃二0,不能推出加=0.

因为其中cos。有可能为0.

（4）己知实数〃、b、C（ZM0）,则4b=〃=c.但是。乃二b•。至a=c

如右图：ab=同|b|cos0=|/?||OA|,b-c=|/?||c|cosa=|Z?||OA|

=>ab=be但aHc

(5)在实数中,有(a在)c=a("c),但是(ab)cwaec)

明显，这是因为左端是及c共线的向量，而右端是及。共线的向量，而一般a及c不共线.

3.“投影”的概念：作图

定义：网cosO叫做向量b在。方向上的投影.

投影也是一个数量，不是向量；当。为锐角时投影为正值；当。为钝角时投影为负值；当。为直角时

投影为0；当0=0。时投影为依；当0=180。时投影为-依.

4.向量的数量积的几何意义：

数量积ab等于a的长度及在。方向上投影版|cosO的乘积.

5.两个向量的数量积的性质：

设°、。为两个非零向量，e是及6同向的单位向量.

1°ea=a-e=|a|cos0

2°alb<^>a-b=0

3°当a及b同向时，ab=|6?||/?|；当a及。反向时，ab=-|a||^|.a-a=|a|2gic|a|=Va-a

4°cosQ=

5°\a-b\W\a\\b\

三、讲解范例:

例1已知|a|=5,依=4,。及6的夹角。=120。,求

例2已知|a|=6,依=4,aRb的夹角为60。求(a+2b>(a-3b).

例3己知同=3,以=4,且。及。不共线，k为何值时，向量a+kb及a-kb相互垂直.

例4推断正误,并简要说明理由.

①a-0=0；②().a=0；③0—AB=BA®\a'b\=\a\161；⑤若a#0,则对任

一非零6有a.；⑥a.6=0,则a及6中至少有一个为0；⑦对随意向量a,6,c都有(a.b)

c=a(Z>-c)；⑧a及6是两个单位向量，则a2=6'.

解：上述8个命题中只有③⑧正确；

对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0a=0；对于②：应有0.a=0；

对于④：由数量积定义有Ia-b\—\a\■\b\'\cos。I<Ia\\b\,这里0是a及

6的夹角，只有。=0或(9=加时，才有Ia-b\=\a|•|bI；

对于⑤：若非零向量a、6垂直，有a-b=0；

对于⑥：由6=0可知aJ.6可以都非零；

对于⑦：若a及c共线，记a=Q.

则a•6=(Ac)-b=X(c-/>)=2(Z>-c),

(,a-b)c=X(b-c)c=(b-c)2c=(b-c)a

若a及c不共线，贝！1(a•/>)c#(b-c)a.

评述：这一类型题，要求学生的确把握好数量积的定义、性质、运算律.

例6己知IaI=3,|b|=6,当①a//b,②a_Lb,③a及6的夹角是60。时，分别求

a,b.

解：①当，〃6时，若a及上同向，则它们的夹角8=0。，

・，・a,6=Ia\•\bIcosO°=3x6xl=18；

若一及6反向,则它们的夹角0=180。，

,a•6=IaIIbIcosl80°=3x6x（-1）=—18；

②当aJ_6时,它们的夹角夕=90。，

/.a♦6=0；

③当a及6的夹角是60。时，有

a-b—\aIIb\cos60°=3x6x—=9

2

评述：两个向量的数量积及它们的夹角有关，其范围是［0。，180。］,因此，当a〃6时，有

0。或180。两种可能.

四、课堂练习：

1.已知同=1,\b\-ypl.,且（如。）及〃垂直，则。及匕的夹角是（）

A.6008.30。C.135°D.45°

IT

2.已知间=2,|/?|=1,。及匕之间的夹角为一，那么向量根的模为（）

3

A.28.26C.6D.12

3.己知a、b是非零向量，则间=阴是（a+b）及（a-b）垂直的（）

A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

TT

4已知向量〃、〃的夹角为一，|a|=2,|fe|=L则|〃+如她=___________.

3

5.已知a+b=2i-Sjfa-b=-Si+16j,其中5j是直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位向量,那么

ab-.

6.已知a_Lb、。及。、（的夹角均为60及且|h|=2,|c|=3»则（a+2b-c）”=.

7.已知闷=1,\b\=42，⑴若a//b,求ab；（2）若a>b的夹角为60°,求|a+Z?|；⑶若a-b及。垂

直，求。及人的夹角.

8.设根、〃是两个单位向量，其夹角为60°,求向量。=2根+〃及）=2〃-3根的夹角.

9.对于两个非零向量a、b,求使|a+出最小时的，值，并求此时分及。+仍的夹角.

五、小结（略）

六、课后作业（略）

七、教学后记：

第8德时

二、平面对黄数it积的运算拜

教学目的：

1.驾驭平面对量数量积运算规律；

2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；

3.驾驭两个向量共线、垂直的几何推断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简洁问题.

教学重点：平面对量数量积及运算规律.

教学难点：平面对量数量积的应用

授课类型：新授课

教具：多媒体、实物投影仪

内容分析：

启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生留意数量积

性质的相关问题的特点，以娴熟地应用数量积的性质.

教学过程：

一、复习引入：

1.两个非零向量夹角的概念

己知非零向量a及6,作。4=a,OB=b,则/4。5=。（0W比工）叫a及6的夹角.

2.平面对量数量积（内积）的定义：己知两个非零向量a及6,它们的夹角是"，则数量|a||b|cosO

叫a及6的数量积，记作a-b,即有ab=|fl||/?|cos0,

（0W族无）.并规定0及任何向量的数量积为（）.

3.“投影”的概念：作图

定义：依cos。叫做向量匕在。方向上的投影.C

投影也是一个数量，不是向量；当。为锐角时投影为正值；当。为钝角时投影为负值；当。为直角时

投影为O当。=0。时投影为血；当。=180。时投影为-I外

4.向量的数量积的几何意义：

数量积ah等于a的长度及〃在a方向上投影|加cosO的乘积.

5.两个向量的数量积的性质：

设a、b为两个非零向量，e是及6同向的单位向量.

1°e-a=ae=|a|cos0；2°alboab=0

3。当。及b同向时，a-b=|a||fe|；当。及6反向时,ab=-|a||fe|.特殊的或Ia|=Ja•a

4°cos0=；501abiW同依

二、讲解新课：

平面对量数量积的运算律

1.交换律：a,b=b•a

证：设。，b夹角为。,则。•b=|〃||b|cos。，b-a=|/?||6f|cos0

:・a•b=b,ci

2.数乘结合律：(入办方二＞(°右)=4,(入/?)

证：若＞＞0,(Xa)b=Xk/||Z?|cos0,X(ab)=X|«||Z?|cos0,a-(A,Z?)=X|«||Z?|cos0,

若九v0,(Xa)-fe=|Xa|夜|cos(n-0)=-X|i?||Z?|(-cosO)=X|a||0|cos0,九(〃•》)=Z,|a|网cos。,

。(1力)=|a||XZ?|COS(K-0)=-X|a||fe|(-cos0)=九|a||fe|cosG.

3.安排律：(a+b)-c=ac+b-c

在平面内取一点。，作。4=小AB=byOC=c,9.9a+b（即08）在c方向上的投影等

于。、Z?在c,方向上的投影和，即k；+b\cos0=\a\cosOi+\b\cos02

\c\\a+h\cos0=\c\\a\cosGi+\c\\b\cos02,:.c(a+b)=c-a+cb即：(a+b)c=ac+be

说明：(1)一般地，(a-6)今a(b-c)

(2)a-c=b-c,。邦号a=b

(3)有如下常用性质：