2019杭州市经开区九年级（上）期末数学试卷

2018-2019学年浙江省杭州市经济开发区九年级（上）期末数学

试卷

一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中,

只有一个选项是符合题目要求的

ab

1.（3分）已知二=一（"W0,^0）,下列变形正确的是（）

23

b223aba2

A.—=-B.-=-C・-=-D.-=一

a3ab323b

2.（3分）在中，ZC=90°,a、b、c分别是/A、NB、/C的对边，则（）

..Cl

stnAcosA=—C.sinB=1tanB=

A.=EB.D.b

3.（3分）下列事件中，属于不可能事件的是（）

A.掷一枚骰子，朝上一面的点数为5

B.任意画一个三角形，它的内角和是178°

C.任意写一个数，这个数大于-1

D.在纸上画两条直线，这两条直线互相平行

4.（3分）如图，点A、B、C在。。上，NHC8=40°,贝IJ（）

A.NAO8=80°,而的度数为80。

B.NAO8=80°,而的度数为40°

C./AOB=40。，丽的度数为80。

D.ZAOB=40°,丽的度数为40°

5.（3分）关于二次函数y=3/-6,下列叙述正确的是（）

A.当x=3时，y有最大值-6B.当x=3时，y有最小值-6

C.当x=0时，y有最大值-6D.当x=0时，y有最小值-6

6.（3分）如图，直线/1〃/2〃/3,直线4c交八、3/3于点A、B、C,直线。尸交4、12、

Be3

/3于点E、F,已知就V'若DE=3,则。F的长是（）

D

Bl\EI,

7.（3分）已知圆心角为120°的扇形的弧长为6TT,该扇形的面积为（）

A.18TCB.27TTC.36TTD.54n

8.（3分）如图，在aABC中，点。、E、F分别在边AB、AC、BC上，DE//BC,DF//AC,

若与四边形。BCE的面积相等，则△DBF与△ADE的面积之比为（）

11

A.-B.-C.V2-1D.3-2V2

24

9.（3分）在平面直角坐标系中有两点A（-2,4）、8（2,4）,若二次函数y=o?-2依-

3a（a#0）的图象与线段A8只有一个交点，则（）

A.__3

A.。的值可以是一彳B.。的值可以是二

C.a的值不可能是-1.2D.。的值不可能是1

10.（3分）如图，42是。0的直径，点C是圆上任意一点，点。是AC中点，0。交AC

于点E,3。交AC于点/，若BF=1.25Z）F,则tan/AB£＞的值为（）

2V33V5

A.-B.一C.一D.—

3354

二、填空题：本题有6个小题，每小题4分,共24分.

11.（4分）任意抛掷一枚质地均匀的骰子，朝上面的点数能被3整除的概率是_______

12.（4分）计算：COS245°-tan30°sin60°

13.（4分）铁路道口的栏杆如图所示，AO=16.5米，CO=1.25米，当栏杆C端下降的垂

直距离(CD)为0.5米时，栏杆A端上升的垂直距离(AB)为米.

①当yVO时，x的取值范围是

②方程o?+fev+c=3的解是.

15.(4分)如图是一个圆拱形隧道的截面，若该隧道截面所在圆的半径为3.5米，路面宽

AB为4.2米，则该隧道最高点距离地面米.

16.(4分)如图在RtZ\ABC中，NACB=90°,AC=3,BC=4,点E、尸分别在边AB、

AC上，将aAEF沿直线EF折叠，使点A的对应点。恰好落在边BC上.若△BOE是直

角三角形，则CF的长为.

三、解答题本大题有7个小题，共66分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17.(6分)己知二次函数丫=才+法+1的图象过点(2,3).

(1)求该二次函数的表达式；

(2)若点尸(m,nr+\)也在该二次函数的图象上，求点P的坐标.

18.(8分)如图，某轮船在海上向正东方向航行，上午8：00在点A处测得小岛。在北偏

东60°方向的16gh“处；上午8：30轮船到达B处，测得小岛。在北偏东30°方向.

(1)求轮船从A处到B处的航速；

(2)如果轮船按原速继续向东航行，还需经过多少时间轮船才恰好位于小岛的东南方

向？

19.(8分)把9个只有颜色不同的小球分别装入甲乙丙三个布袋里其中甲布袋里有3个红

球，1个白球；乙布袋里有1个红球，2个白球；丙布袋里有I个红球，1个白球.

(1)从甲布袋中随机摸出1个小球，摸出的小球是红球的概率是多少？

(2)用列表法或画树状图，解决下列问题：

①从甲、乙两个布袋中随机各摸出1个小球，求摸出的两个小球都是红球的概率；

②从甲、乙、丙三个布袋中随机各摸出1个小球，求摸出的三个小球是一红二白的概率.

20.(10分)如图，在△ABC中，AB=8,AC=6.点。在边AB上，A£>=4.5.△ABC的

角平分线AE交CD于点F.

(1)求证：AACD^AABC；

21.(10分)如图，四边形A8C。内接于O。，BC=CD,ZC=2ZBAD.

(1)求N8。。的度数；

(2)求证：四边形OBC。是菱形；

(3)若。。的半径为r,NODA=45°,求△ABD的面积(用含r的代数式表示).

22.(12分)某植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为〃米的墙，现准备用20米的

篱笆围两间矩形花圃，中间用篱笆隔开.小俊设计了如图甲和乙的两种方案：

方案甲中AZ)的长不超过墙长；方案乙中AQ的长大于墙长.

⑴若4=6.

①按图甲的方案，要围成面积为25平方米的花圃，则的长是多少米？

②按图乙的方案，能围成的矩形花圃的最大面积是多少？

(2)若0<a<6.5,哪种方案能围成面积最大的矩形花圃？请说明理由.

23.(12分)如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的分别交BC,AC于点。，E,

连结EB,交0。于点F.

(1)求证：OD1.BE.

(2)若DE=&,AB=6,求4E的长.

(3)若△(?£>£：的面积是△OBF面积的|,求线段BC与AC长度之间的等量关系，并说

明理由.

B

2018-2019学年浙江省杭州市经济开发区九年级（上）期末数学

试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中,

只有一个选项是符合题目要求的

1.（3分）已知］QW0,匕W0）,下列变形正确的是（）

b223aba2

A.­=-B.-=-c.-=-D.-=一

a3ab323b

【分析】根据两内项之积等于两外项之积解答即可.

b2

【解答】解：A、由一=;得：2a=3b,故选项A不正确；

a3

B、由一=三得：3a=2b,故选项8正确；

a2

ab

C＞由一=一得：2a=3b,故选项。不正确；

32

a2

D、由一=［得：ab—6,故选项。不正确；

3b

故选：B.

【点评】本题主要考查比例的性质，可根据比例的基本性质直接求解.

2.（3分）在Rtz^ABC中，ZC=90°,a、b、c分别是NA、NB、NC的对边，则（）

..cic.（icba

AA.sinA=B.cosA=-C.sinB=-D.tanB=

【分析】根据三角函数的定义解答即可得出结论.

【解答】解：•••/C=90°,a、b、c分别是/A、NB、NC的对边，

.".sinA=cosA=sinB=tanB=

故选：C.

【点评】本题主要考查了正切函数的定义，锐角A的对边a与斜边c的比叫做NA的正

弦，记作siM.锐角4的邻边6与斜边c的比叫做N4的余弦，记作cosA.锐角A的对

边”与邻边人的比叫做/A的正切，记作tanA.

3.（3分）下列事件中，属于不可能事件的是（）

A.掷一枚骰子，朝上一面的点数为5

B.任意画一个三角形，它的内角和是178。

C.任意写一个数，这个数大于-1

D.在纸上画两条直线，这两条直线互相平行

【分析】不可能事件是在一定条件下一定不会发生的事件，依据定义即可求解.

【解答】解：人掷一枚骰子，朝上一面的点数为5是随机事件；

B.任意画一个三角形，它的内角和是178°是不可能事件；

C.任意写一个数，这个数大于-1是随机事件；

D.在纸上画两条直线，这两条直线互相平行是随机事件；

故选：B.

【点评】本题考查事件的分类，事件根据其发生的可能性大小分为必然事件、随机事件、

不可能事件，理解定义是关键.

B.ZAOB=SO°,而的度数为40°

C.乙4。8=40°,检的度数为80。

D.NAO8=40°,然的度数为40°

【分析】利用圆周角定理即可解决问题.

【解答】解：；/AO8=2/ACB,ZACB=40°,

，通的度数为80°,

故选：A.

【点评】本题考查圆周角定理，弧的度数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属

于中考学考题型.

5.（3分）关于二次函数y=3/-6,下列叙述正确的是（）

A.当x=3时，y有最大值-6B.当x=3时，y有最小值-6

C.当x=0时，y有最大值-6D.当x=0时，y有最小值-6

【分析】由抛物线解析式可求得开口方向、对称轴、顶点坐标，可求得答案.

【解答】解：：y=37-6,

.,.抛物线开口向上，对称轴为x=0,顶点坐标为（0,-6）,

...当x=0时，y有最小值-6；

二。正确，

故选：D.

【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y

—a（x-/z）2+%中，对称轴为x=〃，顶点坐标为（刀，k）.

6.（3分）如图，直线/1〃/2〃/3,直线AC交人、/2、/3于点A、B、C,直线。F交/1、b、

BC3

/3于点。、E、F,已知二7=-，若OE=3,则。尸的长是（）

AC7

A.-B.4C.—D.7

44

,_BCEFBC3BC

【分析】由直线t/i〃/2〃/3可得出二=工，结合==二，AC=AB+8C可得出二的值,

ABDEAC7AB

进而可得出EF=初£=t再将其代入。尸=QE+EF中即可求出结论.

【解答】解：:直线/1〃/2〃/3,

.BCEF

AB~DE

BC3

■:—=一，AC=AB+BC,

AC7

■££3

AB-7-3-4，

39

：.EF=^DE=J,

44

21

:.DF=DE+EF=%.

故选：C.

【点评】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“三条平行线截两条直线，所得的对应

线段成比例”是解题的关键.

7.（3分）已知圆心角为120°的扇形的弧长为6m该扇形的面积为（）

A.I8TTB.27TtC.36ITD.54IT

【分析】设扇形的半径为几利用弧长公式构建方程求出入再利用扇形的面积公式计算

即可.

【解答】解：设扇形的半径为八

,120-7rr

由题息：-------=6n,

180

Ar=9,

故选：B.

【点评】本题考查扇形的弧长公式，面积公式等知识，解题的关键是学会构建方程解决

问题，属于中考常考题型.

8.（3分）如图，在△ABC中，点。、E、尸分别在边A8、AC、BC上，DE//BC,DF//AC,

若△AOE与四边形。8CE的面积相等，则△DBF与△AOE的面积之比为（）

11LL

A.-B.-C.V2-1D.3-2V2

24

【分析】根据矩形的性质得到DE=CF,根据相似三角形的性质得到笑包=（"）2=1

S“BCBC2

DE^2r-「

求得===,设。七=&匕BC=2k,得到8/=2女-企公根据相似三角形的性质即可

BC2

得到结论.

【解答】瞬「DE//BC,DF//AC,

・・・四边形DFCE是平行四边形，

:・DE=CF,

,/△ADE与四边形DBCE的面积相等，

・S»ADE_1

ShABC2'

,:DE〃BC,

,S△力DE_，丝、2_1

S"BCBC2

,DEyj2

••=»

BC2

设.DE=©k,BC=2k,

：.BF=2k-V2k,

,JDF//AC,

:.△BDFs^BAC,

:.丛DBFS丛ADE,

_S^4BBDDFF_=(B_F)、2=(I_k—yp_Zk.)92=3_.—

：2A/2,

S44DEDEy/2k.

故选：D.

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判

定和性质是解题的关键.

9.(3分)在平面直角坐标系中有两点A(-2,4)、8(2,4),若二次函数y=o?-2依-

3a(a#0)的图象与线段A8只有一个交点，则()

A._3

A.。的值可以是一彳B.。的值可以是二

C.a的值不可能是-1.2D.。的值不可能是1

【分析】先把8(2,4)代入尸城2-2ax-3a得a=-*此时抛物线与线段AB有两个

公共点，所以当抛物线与线段A2只有一个交点时，a<~l；把A(-2,4)代入y=o?

-2or-3a得。=则当抛物线与线段AB只有一个交点时，«>会，然后利用a的范围

对各选项解析式判断.

【解答】解：把8(2,4)代入、=以2-2"-3。得4“-4“-3。=4,解得。=一条则当

抛物线与线段4B只有一个交点时，«<-1；

把A(-2,4)代入3a得4a+4a-3a=4,解得*则当抛物线与线段

4

AB只有一个交点时，a>^.

故选：C.

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系.二次函数y=o?+法+cQWO）系数符

号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定.

10.（3分）如图，AB是。。的直径，点C是圆上任意一点，点。是AC中点，OD交AC

于点E,8。交AC于点片若8F=L25OF,则tan/ABO的值为（）

【分析】由推出A£）2=O尸由8尸=1.25。尸，可以假设。尸=4〃?,

则8F=5，w,BD—9m,可得A£>=6〃?，根据tan/A8O=需计算即可解决问题.

【解答】解：•••丽=DC,

：.ZDAF^ZDBA,

■:4ADF=ZADB,

：.XADFsMBDA,

.ADDF

••—,

BDAD

:.A0=DF・DB,

VBF=1.25DF,

・•・可以假设。尸=4m，则8F=5m,BD=9m,

1.AD2=3662,

VAD>0,

.\AD=6m,

TAB是直径，

AZADB=90°,

・AO67n2

-tmZABD=BD=9^=3>

故选：A.

【点评】本题考查圆周角定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题

的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型.

二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分.

11.（4分）任意抛掷一枚质地均匀的骰子，朝上面的点数能被3整除的概率是g.

【分析】根据概率公式可得.

【解答】解：抛掷一枚骰子有1、2、3、4、5、6种可能，

其中所得的点数能被3整除的有3、6这两种，

.。.所得的点数能被3整除的概率为2=

故答案为：

【点评】此题主要考查了概率公式，要熟练掌握随机事件A的概率尸（A）=事件A可能

出现的结果数米所有可能出现的结果数.

12.（4分）计算：COS245°-tan30°sin60°=0.

【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果.

【解答】解：COS245°-tan30°sin60°=.一当x坐=1=0,

故答案为：0.

【点评】此题考查了特殊角的三角函数值，实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的

关键.

13.（4分）铁路道口的栏杆如图所示，AO=16.5米，CO=1.25米，当栏杆C端下降的垂

直距离（C。）为0.5米时，栏杆A端上升的垂直距离（AB）为6.6米.

【分析】由NABO=NCQO=90°、NAOB=NC。。知△ABOs4。。。，利用相似三角

形的性质解答即可.

【解答】解：••,ABLBQ,CDLBD,

.,.NA8O=/CDO=90°,

又；/AOB=NCOD,

：.△ABOs/xcoo,

,4。AB

则—=一,

COCD

16.5AB

即一=一,

1.250.5

解得：AB=6.6米，

故答案为：6.6

【点评】本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与

性质.

14.（4分）函数y=a/+6x+c（aWO）的部分图象如图所示：

①当y<0时，x的取值范围是*<-5或犬>1:

②方程ax2+bx+c=3的解是xi=-4,%2=0.

【分析】①利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-5,0）,然后

写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可；

②抛物线与y轴的交点为（0,3）,利用抛物线对称性得到抛物线过点（-4,0）,从而

得到方程ax1+bx+c^3的解.

【解答】解：①•.•抛物线与x轴的一个交点坐标为（1,0）,

而抛物线的对称轴为直线x=-2,

.,.抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-5,0）,

.•.当y<0时，x的取值范围是xV-5或x>l：

②方程a/+fer+c=3的解为xi=-4,x2=0.

故答案为x<-5或x>l；x\=-4,X2=O.

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=a/+6x+c（a,%,c是常数，

aWO）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程.也考查了二次函数的性

质.

15.（4分）如图是一个圆拱形隧道的截面，若该隧道截面所在圆的半径为3.5米，路面宽

AB为4.2米，则该隧道最高点距离地面6.3米.

【分析】连接。儿由垂径定理可知AD=OB=2.1,利用勾股定理求出0D即可解决问题.

【解答】解：连接。儿

OD±AB,

：.AD=DB=2A米,

22

在RtAuAOO中，0D=一m=J3.5-2.I=2.8（米），

：.CD=OC+OD=6.3（米）

故答案为6.3.

【点评】解决与弦有关的问题时;往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直

角三角形，若设圆的半径为r,弦长为m这条弦的弦心距为4,则有等式/=/+（］）2

成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个.

16.（4分）如图在RtZXABC中，NAC8=90°,4c=3,BC=4,点E、尸分别在边AB、

4c上，将△4EF沿直线EF折叠，使点A的对应点。恰好落在边BC上.若△BOE是直

729

角三角形，则CF的长为二;或二,

-4r98-

BDC

【分析】分两种情况：①NBED=90。，过点F作FMLAE,根据折叠性质可知NAEF

=NDEF=45°,设FC=a,则AF=3-a,在RtZ:\AMF中用a表示出AE,从而得到

BE=5-AE,在RtABED中，根据三角函数用a表示BE,则构造出关于a的方程；②

NBOE=90°,证明NA=NDFC,根据三角函数找到FC和。产关系即可.

【解答】解：①当N8EQ=90°时，过点尸作FMLAE,

根据折叠性质可知NA£F=NQEF=45°,

设FC=a,则AF=3-a,在尸中，

MF44

sirt4==耳，/.MF=耳(3—a)=ME.

cosA=[9,=耳,・・AM=5(3-CL).

7

・・・AE=AM+MF=((3-a)=DE.

则BE=AB-AE=5-^(3-d).

noono

在RtZXBED中,38=浣=q,ABE=(3-a).

・・5一耳(3—a)=正(3—a),解得。=而；

②当/ED8=90°时，

根据折叠性质可知NA=NEDF,

9：ED//AC,:./EDF=/DFC.

：.ZA=ZDFC.

AcosA=cosZDFC=j,设尸C=x,贝Ij4尸=3-x=O凡

【点评】本题主要考查折叠的性质、勾股定理、解直角三角形，同时还考查了分类讨论

的数学思想.

三、解答题本大题有7个小题，共66分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17.（6分）已知二次函数），=2?+法+1的图象过点（2,3）.

（1）求该二次函数的表达式；

（2）若点P（〃?，,/+［）也在该二次函数的图象上，求点P的坐标.

【分析】（1）把点（2,3）代入二次函数的解析式，解方程即可得到结论；

（2）把点尸（机，m2+l）代入函数解析式，解方程即可得到结论.

【解答】解：（1）•••二次函数y=2/+法+1的图象过点（2,3）,

...3=8+26+1,

:.b=-3,

.•.该二次函数的表达式为y=2?-3x+l；

（2）•.,点尸（相，w2+l）也在该二次函数的图象上，

m2+l-2w2-3m+l,

解得：mi=O,"22=3,

点尸的坐标为（0,1）或（3,10）.

【点评】本题考查了求二次函数的表达式，二次函数图象上点的坐标特征，正确的求得

解析式是解题的关键.

18.（8分）如图，某轮船在海上向正东方向航行，上午8：00在点A处测得小岛。在北偏

东60°方向的16仃的?处；上午8：30轮船到达B处，测得小岛。在北偏东30°方向.

（1）求轮船从A处到B处的航速：

（2）如果轮船按原速继续向东航行，还需经过多少时间轮船才恰好位于小岛的东南方

向？

【分析】（1）过点。作。垂足为。，构造直角三角形利用特殊角的三角函数值

先求出A8,再利用路程、速度和时间间关系求出轮船的航速；

（2）过点。作N£>OE=45°交的延长线与点E.求出BE的长，再求轮船航行的时

间.

【解答】解：(1)如图，过点。作垂足为。.

有题意知：/。4。=30°,/。8。=60°.

在RtZ\OA。中，：04=16百，NOAD=30°,

00=86，AD=24.

在RtZXOB。中，VOD=8V3,ZOBD=60°.

.,.BD=-^3=^=8,

tan6073

：.AB=AD-BD=24-8=16(km),

:.v=Q-^=32(km/h)

答：轮船从4处到B处的航速为32kmlh.

(2)过点。作NOOE=45°交A。的延长线与点E

VZDOE=45°,ZODE=90°,

：.DE=OD=SV3km,

BE=BD+DE=8+8仃(km),

8+8V31+V3

(/i),

32~4

答：轮船按原速继续向东航行，还需要航行丁小时才恰好位于小岛的东南方向.

O

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，根据题意作出辅助线，构造

出直角三角形，利用锐角三角函数求解是解答此题的关键.

19.(8分)把9个只有颜色不同的小球分别装入甲乙丙三个布袋里其中甲布袋里有3个红

球，1个白球；乙布袋里有1个红球，2个白球；丙布袋里有1个红球，1个白球.

(1)从甲布袋中随机摸出1个小球，摸出的小球是红球的概率是多少？

(2)用列表法或画树状图，解决下列问题：

①从甲、乙两个布袋中随机各摸出1个小球，求摸出的两个小球都是红球的概率；

②从甲、乙、丙三个布袋中随机各摸出1个小球，求摸出的三个小球是一红二白的概率.

【分析】（1）根据概率公式求解可得；

（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算

可得.

【解答】解：（1）从甲布袋中随机摸出1个小球，摸出的小球是红球的概率是三；

4

（2）①画树状图如下:

由树状图知，共有12种等可能结果，其中摸出的两个小球都是红球的有3种结果,

31

...摸出的两个小球都是红球的概率为一=

124

②画树状图如下：

图2

由树状图知，共有24种等可能结果，其中摸出的三个小球是一红二白的有9种结果，

93

...摸出的三个小球是一红二白的概率为丁=

248

【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复

不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两

步以上完成的事件.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

20.（10分）如图，在△ABC中，AB=8,AC=6.点。在边A3上，AD=4.5.△A8C的

角平分线4E交C£＞于点F.

（1）求证：MACDsXABJ

【分析】(1)由43,AC,AO的长可得出丁=—,结合NCAO=N5AC即可证出△ACO

ABAC

(2)利用相似三角形的性质可得出NACO=N8,由AE平分N8AC可得出NC4/=N

4/7

BAE,进而可得出△ACFS^BAE,再利用相似三角形的性质即可求出)的值.

AE

【解答】(1)证明：：AB=8,AC=6,AD=4.5,

.ACAD3

"AB~AC~4

又,.•/CAO=NR4C,

二AACD^AABC；

(2)解：VAACD^AABC,

ZACD=ZB.

：AE平分NBAC,

：.ZCAF^ZBAE,

：./XACF^/XBAE,

.AFAC3

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及角平分线的定义，解题的关键是：(1)

利用“两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似”找出△ACns/visc；(2)利用

“两角对应相等，两个三角形相似”找出△ACFS^BAE.

21.(10分)如图，四边形438内接于。。，BC=CD,NC=2NBAD.

(1)求N8。。的度数；

(2)求证：四边形OBC。是菱形;

(3)若。。的半径为r,ZODA=45°,求△A8。的面积(用含r的代数式表示).

【分析】(1)结合圆的内接四边形对角互补，运用方程思想，再运用圆周角定理求解即

可；

(2)连接0C,证明△BOC和△OOC都是等边三角形，进而即可证明结论;

(3)分别计算△BO。，△AOO和aAOB的面积，再求和即可.

【解答】解：(1)•••四边形内接于

AZC+ZBAD=180°,

'：ZC=2ZBAD,

AZC=120°,/BA力=60°,

/.ZBOD^2ZBAD^120°；

(2)如图1连接OC,

图1

,:BC=CD,

.•./BOC=/OOC=60°,

•：OB=OC=OD,

：.△BOC和△OOC都是等边三角形，

:.OB=OC=OD=BC=DC,

.•.四边形OBCD是菱形，

(3)如图2,连接OA,过点A作8。的垂线交BO的延长线于点M

图2

*：ZBOD=\20°,OB=OD,

：.ZODM=30°,

•・・NBOM=NDOM,

C.OMLBD,

1"

0M=/DM=-^-r,

:.BD=2DM=V3,

.C_>/3

••)△80。一~4-r2，

VZODA=45°,OA=OD,

・♦・/04。=NODA=45°,

AZAO£>=90°,

VZBOD=120°,ZAOD=90°,

/.ZAOB=\50°,

，NAON=30°,

11

・・AN=）OA=2r,

•••S^AOB=4广，

.,.△A8£）的面积为,/+芬2+32=（：+苧）R

【点评】此题主要考查圆的综合问题，会运用圆的相关性质进行推理，会进行菱形的判

定，会计算三角形的面积是解题的关键.

22.（12分）某植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为a米的墙，现准备用20米的

篱笆围两间矩形花圃，中间用篱笆隔开.小俊设计了如图甲和乙的两种方案:

方案甲中AD的长不超过墙长；方案乙中AO的长大于墙长.

⑴若4=6.

①按图甲的方案，要围成面积为25平方米的花圃，则AO的长是多少米？

②按图乙的方案，能围成的矩形花圃的最大面积是多少？

(2)若0<“<6.5,哪种方案能围成面积最大的矩形花圃？请说明理由.

图甲图乙

【分析】(1)①设AB的长是x米，根据矩形的面积公式列出方程；

②列出面积关于x的函数关系式，再根据函数的性质解答；

(2)设AB=x,能围成的矩形花圃的面积为S,根据题意列出S关于x的函数关系，再

通过求最值方法解答.

【解答】解：(1)①设A8的长是x米，则AC=20-3x,

根据题意得，x(20-3%)=25,

解得:XI=5,X2=

当时，4D=15>6,

・・x=5,

：.AD=5f

答：的长是5米；

②设BC的长是x米,矩形花圃的最大面积是y平方米，则AB=j[20-x-(x-6)J=苧-

根据题意得，y=x(―~~x^=-,/+学人=一号。一竽产+(x>6),

，当后竽时，y有最大值为^

答：按图乙的方案，能围成的矩形花圃的最大面积是半平方米；

6

(2)设8C=x,能围成的矩形花圃的面积为S,

按图甲的方案，S=XX当3=一寺产