考点12 解三角形平面图形类问题6种常见考法归类-【考点通关】2022-2023学年高一数学题型归纳与解题策略(人教A版2019必修第二册)（解析版）

考点12解三角形平面图形类问题6种常见考法归类

^±解题策略

1、，，算一次”问题常见的平面几何图形有两种类型：

一种是由两个三角形拼成一个大三角形，一种是由两个三角形拼成一个四边形.所谓“算一次”

问题，就是只需通过一次正弦定理或余弦定理就可以把问题角或边长算出来，即直接单个

三角形进行突破。

2、“算两次”问题在一些平面几何问题中，所求的角或边长放在任何一个三角形中，由于条

件较少，都不可能通过一次正弦定理或余弦定理求出.那么，可找两个三角形，通过它们

的公共边或角，运用两次正弦定理或余弦定理，就可以解决问题，简称“算两次”.

(-)求角

一般地，求三角形某个内角问题，可寻找其中的一条边，对其放到两个三角形，分别

运用正弦定理或余弦定理，“算两次”解方程求之.

(二)求边

一般地，求三角形某个边长问题

(1)可寻找其中的一个角，对其放到两个三角形，分别运用余弦定理，“算两次”解方程求

之.

(2)边长可表示成某个未知角的正弦或余弦值

3、解决三角形图形类问题的方法：

(1)两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质

解题；

(2)等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的

问题，相似是三角形中的常用思路；

(3)正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；

(4)构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的

不错选择；

(5)平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算

法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；

(6)建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得

问题更加直观化.

6、三角形中线模型

涉及中线长的工具：

在AABC中，D是AC中点，AD=-{AB+~AC）

2

示例：—ABC的三边分别为a,b,c,边BC,CA,AB上的中线分别记为,利

222

用余弦定理证明ma=1也门+目一片,啊,=gJ2（a+c）-b,

%弓回合+切工

〃2,„2_>2

【解析】方法一：证明：根据余弦定理得cos8=十c一。，

2ac

同理可得仍,二1^2（«2+C2）-/?2,久=g^2（a2+Z72）-c2.

方法二：设BC边上的中线为AD,在△ABD中，c2=n^+（-a）2-2--amcosZADB

22

在^ACD中，。2="+（—tz）2一2,。•也cosZADC

a22

由于ZADB+ZADC=71①+②可得c?+/=2m^+-a2,即有

2

222

ma=^2（b+c）-a,同理可证

町,=3小2（/+。2）一82,"=口2（片+吁c?

方法三：值得一提的是，此结论除了可以用余弦定理证明以外，还可以用向量证明，证明

11212121

如下：因为AE>=—A6+-AC,所以A。=-AB+-AC+-ABAC,所以

22442

欣=—c2+—h2+—cbcosZ.BAC

“442

在△ABC中，由余弦定理得：

所以a2=c2+〃—2c为cosNB4C，由③④得砥=g用7百万，同理可证

%=口2(。2+02)—/,"=gj2(a2+叶必

比较上述后两种证法，可以发现，如果已知的是三边，那么选择前一种方法好些，如果已知

的是夹角，那么后一种做法相对好些.熟记这组结论，无论是对填空题还是大题，无论是对

思维还是计算都大有裨益.

当然，若将BC上的中点D改为靠近C点的三等分点，证明方法完全一样.此时结论变为

ma=1，(2/+/)一2〃.

若将BC上的中点D改为靠近B点的三等分点，此时结论变为”,=^3(2c2+h2)-2a2.

边上的结论可以类比上式，不再赘述.

7,涉及角平分线的工具：

△ABC中，AD是NA4c的角平分线

8、平面四边形模型

一般解三角形问题如果给出的平面图形是四边形，那么这其中所包含的三角形就有很多.

思考过程大致可以概况如下流程:设角一在某个三角形中由正弦定理用角表示边一在另一个

三角形中用正弦定理或余弦定理找到等量关系一得出结论.

当然，如果题目众多三角形中有特殊三角形，比如直角三角形或等腰三角形，我们优先

选择从这些三角形中设角.很多时候，学生没办法从一个三角形中找到等量关系，则尽可能

多求图中的角.从而可以在两个三角形中找共同的边或角、从而得到一些等量关系、来解决

问题.

第二次

善高频考点

考点一算一次问题

考点二算两次问题

考点三三角形中线模型

考点四角平分线模型

考点五平面四边形模型

(-)直角三角形模型

(二)外接圆模型

考点精析

考点一算一次问题

3%

1、如图，已知AABC中，AB=—,ZABC=45°,ZACB=60°.

2

(1)求AC的长；

(2)若8=5,求AD的长.

【解析】(D如图所示:

已知AABC中，AB=—,ZABC=45°,NACB=60°.

2

利用正弦定理.，

sinZ.ABCsinZACB

376•

-----xsin45°

整理得AC=2-------------=3.

sin600

(2)利用AC=3,ZAC£>=120°,CD=5,

利用余弦定理AD=VAC2+CD2-2ACCD-cosl20°=^9+25+2x3x5x1=7.

2、如图，在一ABC中，。为边BC上一点，DC=3,AD=5,AC=7,ZDAC=ZABC.

⑴求—ADC的大小;

（2）求4?C的面积.

【答案】（1）120。

⑵五6

【分析】（1）利用余弦定理，即可求得本题答案；

（2）结合正弦定理和三角形的面积公式，逐步求解，即可得到本题答案.

,、»，•，，、一、五人/“ccAD2+DC2-AC232+52-721

【详解】（1）在AWC中，cosZADC=---------------=----------=-一,

2ADDC2x3x52

又0°<NA£）C<180°,所以NADC=120°；

DCAC

（2）在八4£心中,

sinNDAC~~sinNADC

则由“心空限（当

因为ND4C=NABC,所以§3/48。=迪，

14

ADABADsinZADB35

在△ABQ中,---------,AB==——

sinZABCsinZADB-----------sinZABC3

sinNBAD=sin(/ABC+ZADB)=sin(/ABC+60°)

4J3

=sinZABCcos600+cosXABCsin60°=—

7

ADBD山”ADsmZBAD40

在△ABQ中，因为-------,所以50=

sinZABCsinNBA。-------------sinABCT

贝|J8C=8O+OC=7,

feSA5C=-ABBCsin^ABC=-x—x—x—=—x/3.

A*22331412

3、如图，在ABC中，点。在边8C上，BD-sinZCAD=AB-sinZBAD

(1)证明：AC=CD；

Q)若CD=2BD,sinZBAD=-f求cosC.

【答案】⑴证明见解析

【分析】(1)在△回£)中根据题意结合正弦定理分析运算；

(2)不妨设比＞=1,在八4£9、ABC.△ABO中利用余弦定理运算求解.

ABBD

【详解】(1)在△A3。中，由正弦定理知:即

sinNBD4-sinNBAD

BDsin/BDA=AB-sin/BAD

又BD-sinZCAD=sinNBAD,

可得sinZCAD=sinNBDA=sinZADC,

在，AC£＞中，所以NC4D=/4Z)C,所以AC=CD.

(2)不妨设80=1,则AC=CD=2BO=2

在乙钮)。中，由余弦定理知；AD2=AC2+C£＞2-2ACC£)COSC=8-8COSC

在.ABC中同理可知：AB2=13-12cosC

在公ABD中，cosZBAD=Jl-sin?NBAD=—=3+对-帅

42ADAB

10(1-cosC)

IJ4J(8-8cosC)(13-12cosC)

解得cosC=?.

4

4、如图，平面四边形ABC。是由钝角AABC与锐角AAC£＞拼接而成，且

ACmsABAC=BC-sinZABC,ZBAD=-.

2

(I)求NC4Q的大小；

(II)若AC=4,CD=M，求AAC£＞的面积.

【解析】(I)在AAfiC中，因为ACcosNfl4C=3Csin/4BC,

所以sinZABC-cosABAC=sinABAC-sinZABC,

因为sinNABCxO,所以tan/R4c=1,

又N54Ce(0,乃)，所以N8AC=%，

4

因为NBAD=工,所以NC4O=工.

24

(II)在AACO中，AC=4,CD=回,NCAD=%,

4

历

由余弦定理可得a>2=AC：2+4)2-2AC-AD-cosZCW,BP10=16+AD2-2x4xADx—,

2

解得A。=血,或AO=3®,

当AD=0时，cosZA\C=2+?)一%<0,此时A4C£>为钝角三角形，不满足题意，舍

2xV2XA/10

去；

当AO=3立时，AAC£>的面积S=，ACAO-sinNC4O=6.

2

5、如图，在平面四边形ABCD中，ZDAB=-9ZADC=-9A8=2AC=20,CD=l.

64

(1)求cosZAC£)的值;

(2)求BC的值.

【解析】⑴在MS中'由正弦定理知‘合=缶

血二1

sinZCAD=—,

y/2sinZCAD2

57rji

/CAD</DAB=—,:.ZCAD=-

66

cosZACD=cos[万-(ZC4£>+ZAZ?C)]=-cos(ZC4£>+ZADC)

K兀、nTV.7T.7T

=-cos(—H--)=-cos—cos——bsin—sin—=-----------

6464644

(2)由(1)知，ZCAD=-

69

、冗TT27r

/.ZBAC=NDAB-ACAD=--------=——，

663

在A4BC中，由余弦定理知，

BC2=AB2+AC2-2AB-AC-COSZBAC=8+2-2X2A/2XV2XCOS—=14,

3

/.BC=Vl4.

6、如图，..ABC中，已知点。在8c边上，AD1AC,sinB=—,cosZA£）C=—»

33

CD=3>/3.则△AOC的面积为;A8的长是.

【解析】因为AD_LAC,cosZADC=->CD=30

3

所以AO=CDcosNADC=36*且=3,

3

又sinZ.ADC=，

3

则AAOC的面积为5=,40・。。。皿/4。。=,*3乂36乂逅=述，

2232

又sinZADB=sinNAOC=",所以在AABD中由正弦定理得:

3

理=但,心口町二;3万

sinZADBsinBsin8<3

3

故答案为：券；3行・

7、某农户有一个三角形地块ABC,如图所示.该农户想要围出一块三角形区域曲（点Z）在

BC上）用来养一些家禽，经专业测量得到A8=3,cos8=g.

BD

(1)若cos/AQC=—J,求AD的长；

2

(2)若3D=2OC,"幺也=4五，求△AQC的周长.

sin/CAD

【答案】(1)4

⑵3+6夜+庖

【分析】(1)在中应用正弦定理得出AO的长；

5

(2)由产2"=2结合面积公式得出AC,再由余弦定理得MBC,AD,进而得出八位)。的

、4ACD

周长.

【详解】(1)解：在ABC中，cosB=1,且5«0,7)，所以sin8=手.

因为cos/AOC=-*,Z4DCe(O,T),所以sin/AOB=乎.

AnAB

在由正弦定理可得藏=

sinZADB

22V2

3x

ABsinB____3

所以AO二=4.

sinZADB~ir

2

S

(2)因为比>=2£>C,所以萨皿=2,

—AB-AD-sin^ABD..\o•一力人

2八口nAnBsinZAAnBrD3smZABD

所以彳-----------------=2,即：-----；-------=------：-------=

ADACsinzfCADACsinZCADACsmZCAD

2

在...ABC中，山余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB-BCcosB，

所以8c2-28C-63=0,解得BC=9或8C=—7(舍去).

因为BD=2DC,所以BO=6,OC=3.

在△ABO中，由余弦定理可得AD?=AB2+8Q2_2A8-8£>・COS8=33

所以△ADC的周长为3+6夜+回.

考点二算两次问题

(一)求角

8、如图，在AABC中，ZABC=90°,AB=&BC=\,P为AABC内一点，ZBPC=90°.

(1)若PB=,，求左；

2

(2)若ZAP5=150°,求tan/PBA.

【解析】(/)在RtAPBC中，cosZPBC=—=,-.ZPBC=60°,ZPBA=30°.

BC2

在APBA中，由余弦定理得

PA2=PB-+AB2-2PB.ABcos30°=(-)2+(抬了-2x-xy/jx^-=-.

2224

PA=—.

2

(〃)设在RtAPBC中，PH=BCcos(90°-a)=sina.

ABPBGsina

在A/吸4中，由正弦定理得Bnnp=

sinZAPSsinZPABsin150°sin(30°-a)

、73

化为\/5cosa=4sina・•二tana-

9、如图，在AA5C中，ZABC=90°,AB=6BC=1,P在平面ABC内，且为AA3c外

一点，ZBPC=90°

(1)若PB=L求B4;

2

(2)若ZAPB=30°,求tanNPBA.

【解析】（1）在AABC中，由于AB=6，BC=\,P为AABC内一点，ZBPC=90°,

直角三角形依C中，若=•.cosNP8c=1,.,.NP8C=60。.

22

/.ZPBA=ZABC+ZPBC=90°+60°=150°.

在APB4中，由余弦定理得PA2=+3+』一2xWx'x(-走)，:.PA=®.

4222

(2)^ZPBA=x,贝!|ZPBC=x-90°,Z/VU?=150°-x,

在直角ABPC中，BP=cos(90°-x),

在"43中，根据正弦定理得：-^-=8s(90J),即sin(15(T-x)=@sinx,

sin300sin(150°-x)6

化简得tanx=——-,贝！JtanNP84=——-.

22

10、如图,在平面四边形ABCD^,^ABC=，(0<，<兀),AB=BC=CD=1,AC±CD.

(1)试用。表示30的长；

⑵求AC2+BD2的最大值.

【答案】(l)8O=2cos：

4

噌

【分析】(I)根据已知条件将NBCD用。表示，再在△88中利用余弦定理求解即可；

(2)在43c中先用余弦定理将AC?用。表示，再结合(1)的结论，利用二次函数的性质求解最

大值即可.

【详解】(1)ZABC=0(0<(9<7t),AB=BC=CD^l.ACJ.CD.

ZBCA=---,则NBCD=P+NBC4=2+(2_g)=7t_g,

2222222

在△BCD中,BO?=BC2+CD2-2BC-CDcosZBCD=2+2cosg=2(l+2cos2^-lj=4cos24,

0<。<兀，

nQ

cos—>0,则BD=2cos~.

44

(2)在ABC^,AC2=AB2+BC2-2AB-BCcosZABC=2-2cos6>,

.，-2M2ccccc9,2。ce//01Y25

••AC+BD~=2—2cos，+2+2cos—=_4cos'—h2cos—F6=-4cos----H-----,

222I24j4

e

0<。<兀，「•0<cos—<i,

2

则当cosg=1时，取到最大值

244

故AC?+8/)2的最大值是午25.

4

11、如图，在梯形AB8中，AB//CD,AB=2,CD=5,ZABC=一.

3

(1)若AC=2g,求梯形96»的面积；

(2)若AC_L8。，求tanZABD.

【解析】(1)设3C=x,在A4BC中，由余弦定理可得28=f+4-2x・2・(-3,整理可得:

x2+2x—24=0,解得x=49

所以8c=4,贝！］5.肥=3*2、4、手=2右，

因为8=与，所以％^=生产=56，

所以S悌形488=+SgcD=7邪;

(2)设Z/WO=a,贝!|NBDC=a,ZBAC=--a,ZDBC=--aZBCA=a--

23969

2BC

在AABC中，由正弦定理可得---二———,

sin(a--)sin(--a)

5nr

在ABC。中，由正弦定理可得一3——=—

sin(|…)皿〃

c•/2y/31.、

2sm(一4一a).2-(——cosa+-sincr)

sina

两式相除可得——^~~^=詈,展开可得^-------2——

cosa

5sin(6Z-—)sin(--a)5•sincr-cosa)

所以可得56$m2二一7§m"0$2-2\/58320=0,

即5\/3tan2a-7tana-2>/3=0,

解得小=¥或的。=弋，

又因为0咻‘9'

所以tana=亚，即tanNA8D=亚

33

（二）求边

JT］贝I」48=

12、如图，在直角MC中，ZC=-,BC=2,〃是8c的中点，若sinNB4M=

在RlZWWC中，AM=>J\+x2-

在Rt4ABC中，48=,4+/，

在中，sinZBAM=1,且N&4M为锐角,

则cosNBAM=,

3

BM-=AM2+AB2-2AM-AB-cosZBAM,

得W=2,即AB=A/4+X2=底,

故答案为：底.

B

13、如图，为了测量A、。两点间的距离，选取同一平面上B、。两点，测出四边形A3CD

各边的长度（单位：km）：AB=5,3C=8,CD=3,ZM=5,且NB与ND互补，则AC

的长为（）切z.

A.7B.8C.9D.6

S24-—4「2a21c2_4小

【解析】co®，U,COSQJ十'一次，因为/B与NO互补，所以

2x5x82x3x5

C21Q2_4r242s2_4「2

cosB+cosD=0,所以~£+二±2_空-=0,解得AC=7.故选A.

2x5x82x3x5

14、已知四边形ABC。中，AC与BD交于点E,AB=2BC=2CD=4.

2

(1)若NADC=—乃,AC=3,求cosNCAD;

3

(2)若AE=CE,BE=2>/i,求AABC的面积.

24

【解析】(1)在AACD中，ZADC=一，AC=3,CD=2,

3

可得一=—生一，

sinZADCsinZ.CAD

即有sinACAD=C"包=21^-=旦,

AC33

可得cosZ.CAD=Jl-g=~~<

(2)在AABC中，AB=4,BC=2,BE=2近,

设AE=CE=x,ZAEB=a,ZCEB=7r-a,

X2+8-16X2+8-4

由余弦定理可得cosa=

2X-2A/2-2x-242

解得x=>/2,

15、在中，BC=2,AB=2AC,。为8C的中点，则tanNADC的最大值为.

【答案】|4

【分析】先设AC=x,由三角形三边关系得到;<x<2,再利用三角函数的诱导公式与余弦

定理得到4犷=:*2-1,从而利用换元与基本不等式求得COSNADC的最小值，结合

y=cosx与y=tanx在（0,?上的单调性即可求得tanNADC的最大值.

【详解】设AC=x,则AB=2x,

因为。为BC的中点，BC=2,所以8O=DC=1,

2

由三角形三边关系，可知2x+x>2且2x-x<2,解得t<x<2,

在△ABO中，由余弦定理，得cosZAZM=+1-（2”,

2AD

在/AC。中，山余弦定理，得cos/ADC=,

2AD

因为NA£W5+NADC=7i,所以cosNA£>B=cos（兀一NADC）=-cosN/LDC,

2222

所以A£>2+1-（2X）-=_AD+1-X,解得AD=-X-1,

2AD2AD2

令|*2_1=,，则re1,9),x2=|(r+l),/(产+2/+1),

则cosZADCvX卜+；+1=,Xj+；+2*X/招+2=|,

当且仅当r=L口"=1时，等号成立，此时《*2-1=1,解得》=马叵,

t25

因为cosNAOC2|>0,所以NAQCe（0,5）.

因为y=cosx在国）上单调递减，y=tanx在代）单调递增，

所以当cosZADC取得最小值时，tan/4£>C取得最大值，

此时sinZ.ADC=Jl-cos?ZADC=1，则tanZADC=g,

4

所以tanNADC的最大值为§.

4

故答案为：y.

【点睛】关键点睛：本题中突破口为NA0B+NADC=兀，由此得到cosZ4Z）B=_cosN4DC,

再结合余弦定理得到AD。=（好一1,最后利用基本不等式即可得解.

考点三三角形中线模型

16、已知A8C的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且C=60。，a=3,s^ABC=^-,

则AB边上的中线长为（）

497

A.49B.7C.—D.-

42

【解析】因为S.c=[a6sinC=1x3x6x@=M,故可得匕=5,

2224

根据余弦定理可得c?=a?+〃-2a/?cosC=19,故c=M,

不妨取AB中点为故CM=g（C4+C8）,

故ICM卜;^|CA|2+|CB|：+2|CA||CB|COSC=1^25+9+2x5x3xl=1.

即A3边上的中线长为I7

故选：D.

17、已知在_ABC中，B=45o,AC=

⑴求8C边的长；

(2)求AB边上的中线CD的长.

【解析】(1)由cosC=叱得：sinC=Vl-cos2C=^,正弦定理得：第=名，即

55sinBsinC

YJLU/IOc,cc/—

——=—r嚣由4叱-Xffl先AB2+BC2-AC216+BC2-10V2

sin452V5，解得：A4BD=4»由余弦定理得：cos8o=-----------------------=-----------------=—,

—2ABBCSBC2

5

解得：BC=C或36,

当BC=血时，cosC=10+氏3—正,不合题意，舍去;

4石5

业厂Nc10+18-16

当BC=3立时，cosC=-^-j=—y,满足题意，综上：BC=3^2

(2)因为O为5c中点，所以3£>=2,在△8CZ)中，由余弦定理得:

CD2=BD2+BC2-2BDSCcos450=4+18-2x2x3^x—=10,所以CO=M.

2

18、在A3C中，/C=。，AC=2,M为AB边上的中点，且CM的长度为⑺，则他=()

A.26B.4C.2不D.6

【答案】A

【分析】根据cosNAMC=-cosNBMC,结合余弦定理可得到AC?+3C?=2(CM?+AM?),

由此可整理得到28c2-20=48，在二A3C中，利用余弦定理可得4+BC?-28C=A"，

解方程组可求得A8.

A

AM2+CM2-AC2

在…/XA…MC…中、，cosZ.AMC=----------------------；

2AMCM

在△5CM中，cosNBMC=BM-+CM--BC-；

2BMCM

ZAMC+NBMC=TT,cosXAMC=-cosZ.BMC，又AM=BM，

.AW+CMJAC/4M2+CM2-BC2

"2AMCM~2AMCM

整理可得：AC2+BC2=2（CM2+AM2）,g|J4+BC2=2（7+AM2）,

2AM2^^-AB2=BC2-IO,2BC2-20=AB2:

2

在，ABC1P,AB2=AC2+BC2-2AC•3CcosC=4+BC2-2BC=AB2,

/.4+BC2-2BC=2BC2-20,解得：BC=-6（舍）或BC=4,

AB=>/2BC2-20=26•

故选：A.

19、在ABC中，AB=9,点。在边BC上，AD=1.

2

(1)若cosB=§,求8。的值，

2

⑵若cosNBAC=-§,且点。是边8c的中点，求AC的值.

【答案】(1)8。=8或%>=4

(2)AC=6+V15T

【分析】(1)由余弦定理列出方程，求出8。的值;

(2)作出辅助线，得到cosNAEO=],由余弦定理求出胡=3+画，从而求得答案.

32

【详解】(1)在△43。中，由余弦定理得：AD-=AB2+BD2-2AB-BD-cosB,

2

所以49=81+8£>2-2X98OX],解得B£>=8或3£>=4，

经检验均符合要求；

(2)在中，过Q作A8的平行线交AC于E,

因为点〃是边BC的中点，所以点E为4c的中点，

19

在△AED中，ED=—AB=—,

22

2

又NB4C+NAE»=7i,所以COS/AEO=-.

3

+A”.，、,m组✓AmAE~+ED~-AD~2

由余弦定埋得：cosZAED=——--------------=-,

2•AE•ED3

所以£4?一6£4-"=0,所以£4=3+垣＞0或£4=3-垣＜0（舍去），

422

故AC=2EA=6+^/i?T.

考点四角平分线模型

20、AA5C中，。是BC上的点，4。平分NBAC,△A3。面积是AADC面积的2倍.

⑴求誓；

'sinC

血

(2)若4。=1,DC=\,求BO和4c的长.

【解析】(l)SAA2=14"4OsinNB4。，

ADC=CA&sinNC4D.

因为SAAM=2SAADC,ZBAD=ZCADf所以45=2AC.

A七口、^用^sinBAC1

由正弦无理，得嬴1=通=》

(2)因为SGAKD:ShADc=BD：DC,所以BD=2DC=®

在AA5O和△40C中，由余弦定理，知

AB2=AD2+BD2-2ADBDcosZADB,

AC2=AD2+DC2-2AZ)DCCOSZADC.

故AB2+2AC2=3AD1+BD2+2DC2=6.

由(1),知A5=2AC,

所以AC=1.

21、ABC的内角4,B,C的对边分别为a,b,C,已知为+b=2ccosB.

(1)求角C；

(2)若CD是角C的平分线，AD=23,DB=y/l,求C£>的长.

【解析】(1)由2a+b=2c8sB,根据正弦定理可得2sinA+sinB=2sinCcos8,

则2sin(8+C)+sinB=2sinCeos8,所以2sinBcosC+2cosJ5sinC+sinS=2sinCeosB,

整理得(2cosC+l)sinB=0,因为民C均为三角形内角，所以及Ce(0,乃),

万

因此cosC='1,所以C=?2

(2)因为CO是角C的平分线，AD=2出,DB=y/l,

ADCDBDCD

所以在△AC。和△BCD中，由正弦定理可得，兀sinA>乃sinB>

sin—sin—

33

因此=sEB=2,即sin8=2sinA,所以Z?=2a,

BDsinA

又由余弦定理可得/=/+从-2"cosC,即(3=ci2+4a2+2a2,解得a=3,所以。=6,

11c1C

又S^ABC=S&ACD+S^BCD，即]必sinC=”xCOxsin5+]〃xCDxsin5,

即18=98,所以CD=2.

c/a

22、如图所示，在四边形48co中，AC=AD=CD=1,ZABC=120\sinZBAC=—

14

⑴求BC

（2）若8。为/A3C的平分线，试求80.

【答案】⑴5

（2）8

BCAC

【分析】（1）利用正弦定理得，代入数据即可解出BC.

sinZ.BAC~sinZABC

（2）利用余弦定理得到cos/Q8C=BD+BU-DU,代入数据即可解出引）

2BDBC

BCAC

【详解】（1）由正弦定理得

sinZBACsinZABC

BC7

***5>/3=5/3

1A~T

：.BC=5.

(2)由AC=AP=8=7,可得NAZ>C=60',

又NA3C=120°,3。为/ABC的平分线，

.,M,B,C,。四点共圆，ZDBC=ZDAC=60\

2

r1A底士工用殂/CD万BD+BC~~DC~日口1BD~+5~—7"

由n余弦定理得cosNDBC=---------------，即一=------------

2BDBC22x5xBD

：.BD=S.

考点五平面四边形模型

（一）直角三角形模型

23、ABC中/&4C=120,AB=AC=4,。在边BC上，且。C=38。.

（1）求的长；

⑵若_LAC于H,求cosZADH.

【答案】（1）近

⑵通

14

【分析】（1）先在中山余弦定理求得BC的长，再由DC=3BO求得的的长，由

ZBAC=120,48=AC=4,可求/ABC最后在4ABD中由余弦定理即可得AD的长；

（2）由（1）可得AD.8C.BO的长,即有。C的长，在△ADC中由余弦定理可得cosZADC,

再求sinZWC,又有。"_LAC,又有ZAC8=30，则有NCW/=60，将ZA£>"写为

N84-NCD”,根据两角差的余弦公式代入即可求出结果.

【详解】（1）解:由题知「NBAC=120,AB=4C=4,

ABC是等腰三角形,ZA8C=ZACB=30,

在i/WC中,由余弦定理得：

AB2+AC2-BC2

cosNBAC=

2ABxAC

即号_1

2

:.BC=4y/3,

DC=3>BD.

BD=®CD=30

在△M£＞中，由余弦定理得:

AB-+BD2-AD2

cosN48c=

2ABxBD

222

„n4+y/3-AD6

2x4x62

AD=百；

(2)由(1)知,AO=V7,C£)=3G,AC=4,

在△ADC中，由余弦定理得:

AD2+CD2-AC2

cosZCD/4=

2ADxCD

7+27-16_V21

-2x将x3百-7

2出

sinZ.CDA=------,

7

DH1AC,ZBCA=30,

z./CDH=60、

cosZADH=cos(ZCZM-NCDH)

=cosZ.CDHxcosZ.CDA+sinZ.CDHxsinZCDA

1万■82五

=—X------------1---------X-----------

2727

3后

=------------,

14

故cosNAZW=为型.

14

24、如图，在平面四边形ABCZ）中，ADYCD,ABJ.AC,AB=2-j3.

c