专题三 复数与平面向量（2020-2024）五年高考《数学》真题分类汇编（解析版）

第第页专题三复数与平面向量考点五年考情（2020-2024）命题趋势考点01复数的概念2024年新课标Ⅱ卷：复数模的计算以考查复数的运算为主，间或涉及复数的概念、复数的几何意义、复数模的计算，除共轭复数的概念，对于复数相等也应予重视.考点02复数的运算2020年新高考全国I、II卷、2021年新高考I卷、2022年新高考全国I、II卷、2023年新高考I卷、2024年新课标I卷：复数的乘法、除法，其中，2021--2023三个年份的I卷，涉及共轭复数的运算.考点03复数的运算与复数的几何意义2021、2023年新高考II卷：复数的乘法、除法及其对应点所在象限考点04向量的线性运算运算2020年新高考II卷、2022年新高考I卷：以三角形为载体，向量的线性运算.关于平面向量相关知识点的考查比较广泛，主要有：1.平面向量的概念；2.以几何图形为载体，考查向量的线性运算；3.考查向量数量积及其应用，与向量的模、夹角相结合，考查数量积的运算；4.考查向量的平行、垂直，一是判断，二是求参数；5.关注数量积、模、角的函数值及参（系）数的最值、范围问题6.注意向量的“工具性”作用的发挥，在三角函数、解三角形及解析几何问题中的应用..考点05向量的数量积及其范围2020年新高考Ⅰ卷：以正六边形为载体，求两向量数量积的范围.考点06向量的数量积与向量的模2021年新高考I、II卷、2023年新高考II卷、2024年新高考II卷：三类，一是已知向量求数量积、模；二是，已知模的关系，求数量积；三是已知模的关系求模.考点07向量的垂直与向量的数量积2023、2024年新高考I卷：已知向量的垂直关系，求参数.考点08向量的夹角与向量的数量积2022年新高考II卷：已知向量的夹角相等，求参数.考点01复数的概念1．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知，则（

）A．0 B．1 C． D．2【答案】C【分析】由复数模的计算公式直接计算即可.【详解】若，则.故选：C.考点02复数的运算2．（2020年新高考全国卷Ⅰ数学试题）（

）A．1 B．−1C．i D．−i【答案】D【分析】根据复数除法法则进行计算.【详解】故选：D3．（2020年新高考全国卷Ⅱ数学试题）=（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接计算出答案即可.【详解】故选：B4．（2021年全国新高考I卷数学试题）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.【详解】因为，故，故故选：C.5．（2022年新高考全国II卷数学真题）（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用复数的乘法可求.【详解】，故选：D.6．（2022年新高考全国I卷数学真题）若，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】利用复数的除法可求，从而可求.【详解】由题设有，故，故，故选：D7．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知，则（

）A． B． C．0 D．1【答案】A【分析】根据复数的除法运算求出，再由共轭复数的概念得到，从而解出．【详解】因为，所以，即．故选：A．8．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解.【详解】因为，所以.故选：C.考点03复数的运算与复数的几何意义9．（2021年全国新高考II卷数学试题）复数在复平面内对应的点所在的象限为（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】利用复数的除法可化简，从而可求对应的点的位置.【详解】，所以该复数对应的点为，该点在第一象限，故选：A.10．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）在复平面内，对应的点位于（

）．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.【详解】因为，则所求复数对应的点为，位于第一象限.故选：A.考点04向量的线性运算运算11.（2020年新高考全国卷Ⅱ数学试题）在中，D是AB边上的中点，则=（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据向量的加减法运算法则算出即可.【详解】故选：C12．（2022年新高考全国I卷数学真题）在中，点D在边AB上，．记，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．【详解】因为点D在边AB上，，所以，即，所以．故选：B．考点05向量的数量积及其范围13．（2020年新高考全国卷Ⅰ数学试题）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到在方向上的投影的取值范围是，利用向量数量积的定义式，求得结果.【详解】的模为2，根据正六边形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范围是，结合向量数量积的定义式，可知等于的模与在方向上的投影的乘积，所以的取值范围是，故选：A.考点06向量的数量积与向量的模14．（多选）（2021年全国新高考I卷数学试题）已知为坐标原点，点，，，，则（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】A、B写出，、，的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.【详解】A：，，所以，，故，正确；B：，，所以，同理，故不一定相等，错误；C：由题意得：，，正确；D：由题意得：，，故一般来说故错误；故选：AC15．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知向量满足，且，则（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】由得，结合，得，由此即可得解.【详解】因为，所以，即，又因为，所以，从而.故选：B.16．（2021年全国新高考II卷数学试题）已知向量，，，．【答案】【分析】由已知可得，展开化简后可得结果.【详解】由已知可得，因此，.故答案为：.17．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知向量，满足，，则．【答案】【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令，结合数量积的运算律运算求解.【详解】法一：因为，即，则，整理得，又因为，即，则，所以.法二：设，则，由题意可得：，则，整理得：，即.故答案为：.考点07向量的垂直与向量的数量积18．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知向量，若，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据向量的坐标运算求出，，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．【详解】因为，所以，，由可得，，即，整理得：．故选：D．19．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知向量，若，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】根据向量垂直的