2025高考数学一轮复习-3.1-导数的概念及运算【课件】

第三章一元函数的导数及其应用第1节导数的概念及运算ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知识诊断基础夯实11.导数的概念函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的______，相应的切线方程为________________________.2.导数的几何意义斜率y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝____f(x)＝xα(α∈Q，α≠0)f′(x)＝_________f(x)＝sinxf′(x)＝__________f(x)＝cosxf′(x)＝___________f(x)＝ax(a＞0且a≠1)f′(x)＝____________f(x)＝exf′(x)＝______f(x)＝logax(a＞0且a≠1)f′(x)＝_______f(x)＝lnxf′(x)＝_____0αxα－1cosx－sinxaxlnaex4.导数的运算法则5.复合函数的定义及其导数 (1)一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数，记作y＝________________. (2)复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝________________，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.f(g(x))yu′·ux′×1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率.(

) (2)函数f(x)＝sin(－x)的导数f′(x)＝cosx.(

) (3)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0).(

) (4)曲线y＝f(x)在某点处的切线与曲线y＝f(x)过某点的切线意义是相同的.(

)×××解析(1)f′(x0)表示y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，(1)错.(2)f(x)＝sin(－x)＝－sinx，则f′(x)＝－cosx，(2)错.(3)求f′(x0)时，应先求f′(x)，再代入求值，(3)错.(4)“在某点”的切线是指以该点为切点的切线，因此此点横坐标处的导数值为切线的斜率；而对于“过某点”的切线，则该点不一定是切点，要利用解方程组的思想求切线的方程，在曲线上某点处的切线只有一条，但过某点的切线可以不止一条，(4)错.ABD所以C项错误，其余都正确.2.(多选)下列导数的运算中正确的是(

)所以切线方程为y＋3＝5(x＋1)，即y＝5x＋2.y＝5x＋21解析因为f(x)＝x2＋xlnx，所以f′(x)＝2x＋lnx＋1，切线斜率k＝f′(1)＝2＋1＝3，又该切线与直线x－ay－1＝0平行，5.已知函数f(x)＝x2＋xlnx的图象在点(1，f(1))处的切线与直线x－ay－1＝0平行，则实数a＝________.解析函数y＝(x－1)3的导数为y′＝3(x－1)2，设过原点的切线的切点坐标为(x0，(x0－1)3)，则切线的斜率为k＝y′|x＝x0＝3(x0－1)2.∵切线过原点(0，0)，6.(易错题)过原点与曲线y＝(x－1)3相切的切线方程为_____________________.y＝0或27x－4y＝0∴对应的切线方程为即y＝0或27x－4y＝0.KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考点突破题型剖析2解析f′(x)＝－2sin2x＋2e2x，选A.1.已知f(x)＝cos2x＋e2x，则f′(x)＝(

) A.－2sin2x＋2e2x

B.sin2x＋e2x C.2sin2x＋2e2x

D.－sin2x＋e2xA解析若f(x)＝x2，则f′(x)＝2x，令x2＝2x，得x＝0或x＝2，方程显然有解，故A符合要求；若f(x)＝e－x，则f′(x)＝－e－x，令e－x＝－e－x，此方程无解，故B不符合要求；2.(多选)已知函数f(x)及其导函数f′(x)，若存在x0∈R使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”.下列选项中有“巧值点”的函数是(

) A.f(x)＝x2

B.f(x)＝e－x C.f(x)＝lnx

D.f(x)＝tanxAC3.若函数f(x)＝lnx－f′(1)x2＋3x－4，则f′(3)＝________.解

y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.4.求下列函数的导数. (1)y＝x2sinx；解析设切点坐标为(x0，y0)，例1(1)曲线y＝lnx＋x＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为__________.角度1求切线方程2x－y＝0∴y0＝ln1＋1＋1＝2，即切点坐标为(1，2)，∴切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.解得x0＝－1或x0＝2.当x0＝－1时，切线方程为x－y＋2＝0；当x0＝2时，切线方程为4x－y－4＝0.x－y＋2＝0或4x－y－4＝0又切线过点(－e，－1)，例2

在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是_________.角度2求曲线的切点坐标(e，1)再由n＝lnm，解得m＝e，n＝1.故点A的坐标为(e，1).∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，又由题意可知f(3)＝1，例3

已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________.角度3导数与函数图象问题0解析由y＝f′(x)的图象是先上升后下降可知，函数y＝f(x)图象的切线的斜率先增大后减小，故选B.训练1(1)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是(

)B从而有lnt＝1，∴t＝e，(2)曲线f(x)＝2lnx在x＝t处的切线l过原点，则l的方程是(

)A.2x－ey＝0 B.2x＋ey＝0C.ex－2y＝0 D.ex＋2y＝0A解析因为y′＝aex＋lnx＋1，所以k＝y′|x＝1＝ae＋1，所以曲线在点(1，ae)处的切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，即y＝(ae＋1)x－1.(3)已知曲线y＝aex＋xlnx在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则(

)A.a＝e，b＝－1 B.a＝e，b＝1C.a＝e－1，b＝1 D.a＝e－1，b＝－1D解析法一设切点为(x0，y0)，y0>0，则切线方程为y－b＝ex0(x－a).例4(1)若过点(a，b)可以作曲线y＝ex的两条切线，则(

) A.eb<a

B.ea<b C.0<a<eb

D.0<b<eaD设f(x)＝ex(1－x＋a)，则f′(x)＝ex(1－x＋a)－ex＝－ex(x－a).由f′(x)＝0得x＝a，所以当x<a时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x>a时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以f(x)max＝f(a)＝ea(1－a＋a)＝ea.当x<a时，a－x>0，所以f(x)>0，又当x→－∞时，f(x)→0，当x→＋∞时，f(x)→－∞，故函数f(x)＝ex(1－x＋a)的大致图象如图所示，法二过点(a，b)可以作曲线y＝ex的两条切线，则点(a，b)在曲线y＝ex的下方且在x轴的上方，得0<b<ea.故选D.由题意知f(x)的图象与直线y＝b有两个交点，所以0<b<ea.故选D.(2)若曲线C1：y＝ax2(a＞0)与曲线C2：y＝ex存在公共切线，则a的取值范围为____________.解析由y＝ax2(a＞0)得y′＝2ax，由y＝ex得y′＝ex.当x∈(0，2)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增.解析函数f(x)＝lnx＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，训练2(1)函数f(x)＝lnx＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是(

) A.(－∞，2]

B.(－∞，2) C.(2，＋∞)

D.(0，＋∞)B所以a的取值范围是(－∞，2).解析f′(x)＝2e2x－2ex＋a，依题意知f′(x)＝3有两个实数解，即2e2x－2ex＋a＝3有两个实数解，即a＝－2e2x＋2ex＋3有两个实数解，令t＝ex，∴t＞0，∴a＝－2t2＋2t＋3(t＞0)有两个实数解，(2)已知曲线f(x)＝e2x－2ex＋ax－1存在两条斜率为3的切线，则实数a的取值范围是(

)A∴y＝a与φ(t)＝－2t2＋2t＋3(t＞0)的图象有两个交点，公切线问题求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切可用判别式法.解析设P(x0，y0)，由于P为公共点，D一、共切点的公切线问题又点P处的切线相同，则f′(x0)＝g′(x0)，又a＞0，x0＞0，则x0＝a，则h′(x)＝2x(1－3lnx).解析法一

∵y＝x＋lnx，例2(1)已知曲线y＝x＋lnx在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________.8二、切点不同的公切线问题∴曲线y＝x＋lnx在点(1，1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.∵y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，∴a≠0(当a＝0时曲线变为y＝2x＋1与已知直线平行).由Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.法二

同法一得切线方程为y＝2x－1.∵y′＝2ax＋(a＋2)，∴y′|x＝x0＝2ax0＋(a＋2).1设(x2，y2)是公切线和曲线y＝lnx的切点，设t＝－x1＞0，于是f(x)＝0有唯一解，于是两曲线的公切线的条数为1.FENCENGXUNLIANGONGGUTISHENG分层训练巩固提升3C中，(5x)′＝5xln5，其余都正确.1.(多选)下列求导运算正确的是(

)BD故曲线在点(3，2)处的切线的斜率D解析函数f(x)的导数f′(x)＝2x＋2f′(1)，令x＝1，得f′(1)＝2＋2f′(1)，即f′(1)＝－2，故f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，所以f(0)＝f(4)＝3.3.若函数f(x)在R上可导，且f(x)＝x2＋2f′(1)x＋3，则(

) A.f(0)<f(4) B.f(0)＝f(4) C.f(0)>f(4) D.以上都不对BA.2x＋y＋e－4＝0 B.2x＋y－e＋4＝0C.2x－y＋e－4＝0 D.2x－y－e＋4＝0所以函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线的斜率为2，切点为(1，e－2)，则切线方程为y－(e－2)＝2(x－1)，即2x－y＋e－4＝0.C5.已知直线y＝ax是曲线y＝lnx的切线，则实数a＝(

)C解析f′(x0)的几何意义是f(x)在x＝x0处的切线的斜率.由图知f′(2)＞f′(3)＞0，故A错误，B正确.6.(多选)已知函数f(x)的图象如图，f′(x)是f(x)的导函数，则下列结论正确的是(

)BCDA.f′(3)＞f′(2) B.f′(3)＜f′(2)C.f(3)－f(2)＞f′(3) D.f(3)－f(2)＜f′(2)3∴f′(0)＝－a＋1＝－1，则a＝2.2∵直线l与曲线g(x)相切，－4解

f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2).10.已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R). (1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；解得b＝0，a＝－3或a＝1.(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围.解

f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2).因为曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，所以关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)＞0，解

方程7x－4y－12＝0可化为证明设P(x0，y0)为曲线y＝f(x)上任一点，(2)证明曲线f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值.令y＝x，得y＝x＝2x0，∴切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0，2x0).故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和y＝x所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.解析如图所示，若