北师版八上数学专题1 勾股定理及其逆定理在平面几何中的应用（课件）

第二章实数专题1勾股定理及其逆定理在平面几何中的应用数学八年级上册BS版专题解读典例讲练目录CONTENTS

◎问题综述勾股定理及其逆定理是平面几何中十分重要的定理，是数

与形的完美结合.勾股定理作为平面几何有关度量的基本定理，

它从边的角度进一步刻画了直角三角形的特征.学习勾股定理及

其逆定理是进一步认识和理解直角三角形的需要，也是后续有

关几何度量运算和代数学习的基础.因而勾股定理及其逆定理具

有学科的基础性和广泛的应用性.数学八年级上册BS版02典例讲练

类型一

求线段的长度

如图，在△

ABC

中，已知∠

ACB

＝90°，

BC

＝1，

AC

＝

2，

AB

的垂直平分线

DE

交

AB

于点

D

，交

AC

于点

E

.

延长

DE

，

交

BC

的延长线于点

F

，连接

AF

.

（2）求

AF

的长.【思路导航】（1）根据勾股定理求

AB

的长，即可求

AD

的长；

（2）根据

AF

＝

BF

，在Rt△

ACF

中，由勾股定理列出关于

AF

长的方程，解方程即可.

（1）求

AD

的长；（2）因为

DF

是线段

AB

的垂直平分线，所以

BF

＝

AF

.

所以

CF

＝

BF

－

BC

＝

AF

－1.因为∠

ACF

＝90°，所以

CF2＋

AC2＝

AF2，即（

AF

－1）2＋22＝

AF2，

【点拨】利用勾股定理表示出直角三角形三边的数量关系求线

段的长度，是一种十分重要的方法.需要注意的是，应用勾股定

理时，必须把要求的线段放到直角三角形中，如果没有直角三

角形，可以通过添加辅助线构造出直角三角形来解决问题，切

忌乱用勾股定理.在求得相应的线段后，可进一步求其他线段的

长度、图形的周长和面积.

如图，在△

ABC

中，已知

AD

，

BE

分别为边

BC

，

AC

的中线，

分别交

BC

，

AC

于点

D

，

E

.

（1）若

CD

＝4，

CE

＝3，

AB

＝10，试说明：∠

C

＝90°；（2）若∠

C

＝90°，

AD

＝6，

BE

＝8，求

AB

的长.解：（1）因为

AD

，

BE

分别为边

BC

，

AC

的中线，

CD

＝4，

CE

＝3，所以

BC

＝8，

AC

＝6.因为

AB

＝10，所以

AB2＝

AC2＋

BC2.所以△

ABC

是直角三角形，且∠

C

＝90°.

类型二

求角的度数

如图，已知点

E

是正方形

ABCD

内一点，连接

AE

，

BE

，

CE

，将△

ABE

绕点

B

按顺时针方向旋转90°到△CBE'的位置，

且

AE

＝1，

BE

＝2，

CE

＝3，求∠BE'C的度数.【思路导航】连接EE'，由旋转的性质和勾股定理可得EE'的长

和∠BE'E的度数，再由勾股定理的逆定理证得△EE'C是直角三

角形，便可得到∠BE'C的度数.

【点拨】勾股定理常用来求直角三角形的边长，而勾股定理的

逆定理常用来判定直角三角形，同时说明一个角为90°，所以

常通过勾股定理的逆定理及其他条件（如两边相等）来求角的

度数.

如图，已知点

P

是等边三角形

ABC

内的一点，且

AP

＝3，

BP

＝

4，

CP

＝5，求∠

APB

的度数.

答图类型三

证明线段的平方关系

如图，已知∠

BAC

＝∠

DAF

＝90°，

AB

＝

AC

，

AD

＝

AF

，点

D

，

E

为边

BC

上的两点，且∠

DAE

＝45°，连接

EF

，

BF

.

试说明：

BE2＋

CD2＝

DE2.【思路导航】先说明△

AED

≌△

AEF

，得到

DE

＝

FE

；再说明

△

ACD

≌△

ABF

，得到

CD

＝

BF

；最后在Rt△

BEF

中，由勾股

定理即可得到结论.

【点拨】因为勾股定理是以线段（边）的平方关系式实现的，

所以遇到需要证明线段的平方关系式时，就应自然地联想到利

用勾股定理来证明.一般地，结论中的线段并非同一个直角三角

形的三边时，常需通过全等三角形进行等量代换.

在△

ABC

中，已知

AB

＝

AC

，

AD

⊥

BC

于点

D

，在

AD

上取一点

F

，使得

DF

＝

DB

，连接

BF

并延长，交

AC

于点

E

.

（1）如图1，若

AB

＝13，

BC

＝10，求

AF

的长；（2）如图2，若

AF

＝

BC

，试说明：

BF2＋

EF2＝

AE2.图1

图2

（2）如图，在

BF

上取一点

H

，使

BH

＝

EF

，连接

CF

，

CH

.

在Rt△

BDF

中，因为

DF

＝

DB

，所以∠

DBF

＝∠

DFB

＝45°.

又因为∠

AFE

＝∠

DFB

，所以∠

DBF

＝∠

AFE

.

在△

CHB

和△

AEF

中，

所以

CH

＝

AE

，∠

CHB

＝∠

AEF

.

所以∠

CEF

＝∠

CHE

.

所以

CE

＝

CH

.

因为

BD

＝

CD

，

FD

⊥

BC

，所以

CF

＝

BF

.

所以∠

FCD

＝∠

FBD

＝45°.所以∠

CFB

＝90°.所以

EF

＝

FH

，

CF2＋

FH2＝

CH2.所以

BF2＋

EF2＝

AE2.类型四

图形折叠问题

如图，四边形

ABCD

是边长为8的正方形纸片，将其沿

MN

折叠，使点

B

落在

CD

边上的点B'处，点

A

的对应点为点A'，且

B'C＝4.求：（1）

CN

的长；（2）

AM

的长；（3）

MN

的长.【思路导航】（1）根据折叠变换的性质得到B'N＝

BN

，再根据

勾股定理列方程求解即可；（2）连接

MB

，MB'，在Rt△

ABM

和Rt△MDB'中，由

MB

＝MB'及勾股定理列方程求解即可得到

AM

的长；（3）过点

M

作

MG

⊥

BC

于点

G

，在Rt△

MGN

中，

根据勾股定理即可求得

MN

的长.解：（1）由题意，得

B

'

N

＝

BN

，

CN

＝8－

BN

.

在Rt△B'CN中，由勾股定理，得B'N2＝B'C2＋

CN2，即B'N2＝42＋（8－B'N）2.解得B'N＝5.所以

CN

＝8－

BN

＝8－B'N＝8－5＝3.（2）如图，连接

MB

，MB'.由折叠的性质，得

MB

＝MB'.设

AM

＝

x

，则有

AB2＋

AM2＝

BM2＝B'M2＝

MD2＋DB'2，即82＋

x2＝（8－

x

）2＋（8－4）2，解得

x

＝1.所以

AM

＝1.

【点拨】（1）折叠是一种轴对称变换，折叠前后图形的形

状和大小不变，只是位置发生变化，也就是说对应边和对应

角相等；（2）折叠的图形是直角三角形，并且都涉及到求

线段的长度时，利用勾股定理；（3）在解决具体问题时，

首先弄清楚折叠和轴对称能够提供的隐含且可利用的条件，

同时为了方便，常常设要求的线段为

x

，然后根据条件用含

x

的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列方程求解.

1.

如图，折叠长方形纸片

ABCD

，使顶点

B

和点

D

重合，折痕

为

EF

.

若

AB

＝3

cm，

BC

＝5

cm，则重叠部分（△

DEF

）的面

积为

cm2.

2.

如图，有一张直角三角形纸片，两直角边

AC

＝30

cm，

BC

＝40

cm.现将直角边

AC

沿

AD

折叠，使点

C

落在斜边

AB

上的点

E

处.求△

DEB

的面积.解得

AB

＝50

cm（负值舍去）.由折叠的性质，得∠

AED

＝∠

C

＝90°，

AE

＝

AC

＝30

cm，

CD

＝

DE

.

所以∠

BED

＝90°，

BE

＝

AB

－

AE

＝20（cm）.设

CD

＝

DE

＝

x

cm，则

BD

＝

BC

－

CD

＝（40－

x

）cm.在Rt△

BED