高中数学 2.3.2 等比数列的前n项和活页训练 新人教B版必修5

2.3.2等比数列的前n项和eq\a\vs4\al\co1(双基达标限时20分钟)1．在等比数列{an}(n∈N*)中，若a1＝1，a4＝eq\f(1,8)，则该数列的前10项和为 ()．A．2－eq\f(1,28) B．2－eq\f(1,29)C．2－eq\f(1,210) D．2－eq\f(1,211)解析∵a1＝1，a4＝eq\f(1,8)，a4＝a1q3，∴q3＝eq\f(1,8)，q＝eq\f(1,2).∴S10＝eq\f(1·\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))10)),1－\f(1,2))＝2－eq\f(1,29).答案B2．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则eq\f(S5,S2)＝ ()．A．11 B．5C．－8 D．－11解析设数列的公比为q，则8a1q＋a1q4＝0，解得q∴eq\f(S5,S2)＝eq\f(\f(a11－q5,1－q),\f(a11－q2,1－q))＝eq\f(1－q5,1－q2)＝－11，故选D.答案D3．在14与eq\f(7,8)之间插入n个数组成等比数列，若各项总和为eq\f(77,8)，则此数列的项数为 ()．A．4 B．5C．6 D．7解析a1＝14，an＋2＝eq\f(7,8).∴Sn＋2＝eq\f(14－\f(7,8)q,1－q)＝eq\f(77,8)，∴q＝－eq\f(1,2).∴an＋2＝14×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n＋1＝eq\f(7,8)，∴n＝3.答案B4．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S4＝10，S8＝110，则S12＝.解析S4，S8－S4，S12－S8…成等比数列且首项为S4＝10，公比q＝eq\f(S8－S4,S4)＝10.∴S12－S8＝10(S8－S4)＝1000.∴S12＝1110.答案11105．已知数列前n项和Sn＝2n－1，则此数列奇数项的前n项和为.解析由Sn＝2n－1知数列{an}是首项为a1＝1，公比为q＝2的等比数列．∴所有奇数项构成1为首项，4为公比的等比数列．∴前n项和为eq\f(1,3)(22n－1)．答案eq\f(1,3)(22n－1)6．一个项数为偶数的有穷等比数列的首项为1，奇数项的和为85，偶数项和为170，求数列的公比及项数．解法一设原等比数列的公比为q，项数为2n(n∈N＋)，由已知a1＝1，q≠1，且有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(85＝\f(a11－q2n,1－q2),170＝\f(a21－q2n,1－q2)，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1－q2n,1－q2)＝85，①,\f(q1－q2n,1－q2)＝170.②))②÷①得q＝2，∴eq\f(1－4n,1－4)＝85.∴4n＝256，∴n＝4，故公比为2，项数为8.法二设项数为n.∵等比数列的项数为偶数，Sn＝S奇＋S偶，则S奇＝a1＋a3＋a5＋…＋an－1，S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋an＝a1q＋a3q＋a5q＋…＋an－1q＝q(a1＋a3＋a5＋…＋an－1)＝q·S奇，∴85q＝170，∴q＝2，又∵Sn＝85＋170＝255，∴eq\f(a11－qn,1－q)＝255，∴eq\f(1－2n,1－2)＝255，∴2n＝256，∴n＝8，故公比q＝2，项数n＝8.eq\a\vs4\al\co1(综合提高限时25分钟)7．已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝x·3n－1－eq\f(1,6)，则x的值为 ()．A.eq\f(1,3) B．－eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)解析当n＝1时，a1＝S1＝x－eq\f(1,6)，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝x·3n－1－x·3n－2＝2x·3n－2.∵{an}是等比数列，∴n＝1时也适合an＝2x·3n－2，∴2x·3－1＝x－eq\f(1,6)，解得x＝eq\f(1,2).答案C8．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝eq\f(1,4)，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝ ()．A．16(1－4－n) B．16(1－2－n)C.eq\f(32,3)(1－4－n) D.eq\f(32,3)(1－2－n)解析∵q3＝eq\f(a5,a2)＝eq\f(1,8)，∴q＝eq\f(1,2)，a1＝4，数列{an·an＋1}是以8为首项，eq\f(1,4)为公比的等比数列，不难得出答案为C.答案C9．在等比数列{an}中，若a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝eq\f(31,16)，a3＝eq\f(1,4)，eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋eq\f(1,a3)＋eq\f(1,a4)＋eq\f(1,a5)＝.解析a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝eq\f(a3,q2)＋eq\f(a3,q)＋a3＋a3q＋a3q2＝a3(eq\f(1,q2)＋eq\f(1,q)＋1＋q＋q2)＝eq\f(31,16)，∴eq\f(1,q2)＋eq\f(1,q)＋1＋q＋q2＝eq\f(31,4)，∴eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋eq\f(1,a3)＋eq\f(1,a4)＋eq\f(1,a5)＝eq\f(1,a3)(q2＋q＋1＋eq\f(1,q)＋eq\f(1,q2))＝4×eq\f(31,4)＝31.答案3110．在等比数列{an}中，公比q＝2，前99项的和S99＝30，则a3＋a6＋a9＋…＋a99＝.解析∵S99＝30，即a1(299－1)＝30，数列a3，a6，a9，…，a99也成等比数列且公比为8，∴a3＋a6＋a9＋…＋a99＝eq\f(4a11－833,1－8)＝eq\f(4a1299－1,7)＝eq\f(4,7)×30＝eq\f(120,7).答案eq\f(120,7)11．等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16，(1)求数列{an}的通项公式；(2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.解(1)设{an}的公比为q，由已知得16＝2q3，解得q＝2，∴an＝2n.(2)由(1)得a3＝8，a5＝32，则b3＝8，b5＝32.设{bn}的公差为d，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b1＋2d＝8，,b1＋4d＝32，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b1＝－16，,d＝12.))从而bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28，所以数列{bn}的前n项和Sn＝eq\f(n－16＋12n－28,2)＝6n2－22n.12．(创新拓展)设{an}为等比数列，Tn＝na1＋(n－1)a2＋…＋2an－1＋an，已知T1＝1，T2＝4.(1)求数列{an}的首项和公比；(2)求数列{Tn}的通项公式．解(1)设等比数列{an}的公比为q，则T1＝a1，T2＝2a1＋a2＝a1(2＋q又T1＝1，