沪教版九年级上册数学专题训练专题07利用三角形的性质求解重难点专练(原卷版+解析)

专题07利用三角形的性质求解重难点专练第I卷（选择题）一、单选题1．如图，把△ABC沿AB边平移到△DEF的位置，它们重叠部分的面积是△ABC面积的一半，若AB＝，则此三角形移动的距离是（）A．﹣1 B． C．1 D．2．已知两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角分别为，则另一个三角形的最小内角为（）A． B． C． D．不能确定3．如果两个相似三角形的对应高之比是，那么它们的周长比是（）A． B．C． D．4．下列语句中，不正确的是（）A．两个三角形相似，且有一条边相等，则两个三角形全等B．两个三角形相似，且周长相等，则两个三角形全等C．两个三角形相似，且面积相等，则两个三角形全等D．两个三角形相似，且相似比为1，则两个三角形全等5．△ABC∽△A1B1C1的相似比为2：3，△A1B1C1∽△A2B2C2的相似比为5：4，则△ABC与△A2B2C2的相似比为（）A． B． C． D．6．如图，把△ABC沿AB边平移到△DEF的位置，它们重叠部分的面积是△ABC面积的一半，若AB＝，则此三角形移动的距离是（）A．﹣1 B． C．1 D．7．已知的三边长为,的一边长为,若两个三角形相似，则的另两边长不可能是()A． B． C． D．8．如果，、分别对应、，且，那么下列等式一定成立的是（）A． B．的面积：的面积C．的度数：的度数 D．的周长：的周长9．如图，在中，，，分别是边AB、AC上的高线，连接，那么和的周长之比为（）A． B． C． D．10．一个三角形的三边分别为3,4,5，另一个与它相似的三角形中有一条边长为8，则这个三角形的边长不可能是（）A． B． C．9 D．1011．在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处,能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”,“兵”所在位置的格点构成的三角形相似（）A．①处 B．②处 C．③处 D．④处第II卷（非选择题）二、解答题12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴交于点，与轴交于点，点在该抛物线上且在第一象限．（1）求该抛物线的表达式；（2）将该抛物线向下平移个单位，使得点落在线段上的点处，当时，求的值；（3）联结，当时，求点的坐标．13．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x﹣5与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，抛物线y＝ax2+6x+c经过A、B两点．（1）求这条抛物线的表达式；（2）设抛物线与x轴的另一个交点为C，点P是抛物线上一点，点Q是直线AB上一点，当四边形BCPQ是平行四边形时，求点Q的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，联结QC，在∠QCB内作射线CD与抛物线的对称轴相交于点D，使得∠QCD＝∠ABC，求线段DQ的长．14．已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+2经过点、，与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）点D是抛物线上的点，且位于线段BC上方，联结CD．①如果点D的横坐标为2．求cot∠DCB的值；②如果∠DCB＝2∠CBO，求点D的坐标．15．如图，平面直角坐标系内直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点C是线段的中点．（1）求直线的表达式：（2）若抛物线经过点C，且其顶点位于线段上（不含端点O、A）．①用含b的代数式表示a，并写出的取值范围；②设该抛物线与直线在第一象限内的交点为点D，试问：与能否相似？如果能，请求此时抛物线的表达式：如果不能，请说明由．16．四边形ABCD是菱形，∠B≤90°，点E为边BC上一点，联结AE，过点E作EF⊥AE，EF与边CD交于点F，且EC=3CF．（1）如图1，当∠B=90°时，求与的比值；（2）如图2，当点E是边BC的中点时，求的值；（3）如图3，联结AF，当∠AFE=∠B且CF=2时，求菱形的边长．17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．（1）求该抛物线的表达式及点的坐标：（2）如果点的坐标为，联结、，求的正切值；（3）在（2）的条件下，点为抛物线上一点，当时，求点的坐标．18．两个相似三角形对应边的比是2：3，它们的面积和为65平方厘米，求较小三角形的面积．19．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣4，0）和B（2，6），其顶点为D．（1）求此抛物线的表达式；（2）求△ABD的面积；（3）设C为该抛物线上一点，且位于第二象限，过点C作CH⊥x轴，垂足为点H，如果△OCH与△ABD相似，求点C的坐标．20．如图，中，，，，点是在边上的一个动点，设，的面积为，求关于的函数关系式，并写出的取值范围．21．在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点B（4，0）、D（5，3），设它与x轴的另一个交点为A（点A在点B的左侧），且△ABD的面积是3．（1）求该抛物线的表达式；（2）求∠ADB的正切值；（3）若抛物线与y轴交于点C，直线CD交x轴于点E，点P在射线AD上，当△APE与△ABD相似时，求点P的坐标．22．如图，在中，点分别在边、上，且．（1）如果，求线段的长；（2）设的面积为，求的面积（用的代数式表示）．23．如图，将进行折叠，使得点与点重合，折痕分别与边，交于点，，点关于直线的对称点为点．（1）画出直线和点；（2）连接，，若，，则

；（3）若，，则

．24．一仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施，该设施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=米，上部△CDG是等边三角形，固定点E为AB的中点。△EMN是由电脑控制其变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN（MN可与CD重合）是可以沿设施边框上下滑动且始终保持与AB平行的伸缩横杆。（当MN在DC上方时，MD的长度是MN到DC距离的倍）（1）当MN和AB之间的距离为0.5米时，求此时△EMN的面积；（2）设MN与AB之间的距离为x米，求△EMN的面积S（平方米）与x的函数关系式；（3）探究△EMN的面积S（平方米）有无最大值，若有，求出这个最大值；若无，请说明理由。25．已知一次函数的图像经过点，与轴相交于点，与轴相交于点，二次函数的图像经过点和点，顶点为，对称轴与一次函数的图像相交于点。（1）求一次函数的解析式以及点，点的坐标；（2）求顶点的坐标；（3）在轴上求一点，使得和相似。26．如图，在梯形中，,,,,点为边上一动点，作⊥,垂足在边上，以点为圆心，为半径画圆，交射线于点.（1）当圆过点时，求圆的半径；（2）分别联结和，当时，以点为圆心，为半径的圆与圆相交，试求圆的半径的取值范围；（3）将劣弧沿直线翻折交于点,试通过计算说明线段和的比值为定值，并求出次定值.27．如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，由于受条件限制无法直接测量A，B间的距离.小明利用学过的知识，设计了如下三种测量方法，如图①、②、③所示（图中a，b，c表示长度）.（1）请你写出小明设计的三种测量方法中AB的长度：图①中，AB=______，图②中，AB=______，图③中，AB=______；（2）请你再设计一种不同于以上三种的测量方法，画出示意图（不要求写画法）28．已知：如图，梯形中，，，，动点在射线上，以为半径的交边于点（点与点不重合），联结、，设，.（1）求证：；（2）求关于的函数解析式，并写出定义域；（3）联结，当时，以为圆心半径为的与相交，求的取值范围.三、填空题29．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．将△ABC翻折，使点C落在AB边上的点D处，折痕EF交边AC于点E，交边BC于点F，如果DE∥BC，则线段EF的长为__________________．30．如果两个相似三角形的周长比为，那么它们的对应角平分线的比为_________________．31．如果四边形边上的点，它与对边两个端点的连线将这个四边形分成的三个三角形都相似，我们就把这个点叫做该四边形的“强相似点”．如图1，在四边形中，点在边上，如果、和都相似，那么点就是四边形的“强相似点”；如图2，在四边形中，，，，，如果点是边上的“强相似点”，那么___．32．如图，斜边长12cm，∠A=30°的直角三角尺ABC绕点C顺时针方向旋转90°至的位置，再沿CB向左平移使点B'落在原三角尺ABC的斜边AB上，则三角尺向左平移的距离为_____．（结果保留根号）33．两个相似三角形的面积之差为，周长比是2：3，那么较小的三角形面积是______．34．在中，点D、E分别在边AB、AC上，AB=12，AC=16，AE=4，若与相似，则AD=__________．35．如图，在中，边上的高和中线及的平分线将四等分，__________36．已知两个相似三角形的相似比为2：3，其中较小三角形的面积是36，那么较大三角形的面积为_______．37．两个相似三角形对应高的比为，且已知这两个三角形的周长差为，则较小的三角形的周长为_______．38．有一个三角形的三边长为2，4，5，若另一个和它相似的三角形的最短边为4，则第二个三角形的周长为________．39．已知△ABC与△DEF相似，且△ABC与△DEF的相似比为2：3，若△DEF的面积为36，则△ABC的面积等于________．40．已知△ABC∽△A1B1C1，且相似比为2:5，AD、A1D1分别是BC、B1C1上的高，则AD：A1D1=______．41．已知中，点D在边AC上，AB=12，AC=8，AD=6，点E在边AB上，若和相似，则AE的长是____________．42．如图，梯形中，，，点在边上，且，则的面积与四边形的面积之比为________________．43．如图所示，在△ABC中，DE∥AB∥FG，且FG到DE、AB的距离之比为1：2．若△ABC的面积为32，△CDE的面积为2，则△CFG的面积S等于_____．44．如果两个相似三角形的最长边分别是35厘米和14厘米，它们的周长之差60厘米，那么这两个三角形的周长分别是________.45．已知∽，且相似比，的面积为8，那么的面积为___________.46．已知，顶点、、分别与、、对应，若，，则_____度．47．两个相似三角形的相似比为，他们的周长差为30，则较大三角形的周长为__．48．如图，中，如果，，那么__．49．如图，△ABC中，AB＝5，AC＝6，将△ABC翻折，使得点A落到边BC上的点A′处，折痕分别交边AB、AC于点E，点F，如果A′F∥AB，那么BE＝_____．50．定义：如果P是圆O所在平面内的一点，Q是射线OP上一点，且线段OP、OQ的比例中项等于圆O的半径，那么我们称点P与点Q为这个圆的一对反演点．已知点M、N为圆O的一对反演点，且点M、N到圆心O的距离分别为4和9，那么圆O上任意一点到点M、N的距离之比AMAN专题07利用三角形的性质求解重难点专练第I卷（选择题）一、单选题1．如图，把△ABC沿AB边平移到△DEF的位置，它们重叠部分的面积是△ABC面积的一半，若AB＝，则此三角形移动的距离是（）A．﹣1 B． C．1 D．2．已知两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角分别为，则另一个三角形的最小内角为（）A． B． C． D．不能确定3．如果两个相似三角形的对应高之比是，那么它们的周长比是（）A． B．C． D．4．下列语句中，不正确的是（）A．两个三角形相似，且有一条边相等，则两个三角形全等B．两个三角形相似，且周长相等，则两个三角形全等C．两个三角形相似，且面积相等，则两个三角形全等D．两个三角形相似，且相似比为1，则两个三角形全等5．△ABC∽△A1B1C1的相似比为2：3，△A1B1C1∽△A2B2C2的相似比为5：4，则△ABC与△A2B2C2的相似比为（）A． B． C． D．6．如图，把△ABC沿AB边平移到△DEF的位置，它们重叠部分的面积是△ABC面积的一半，若AB＝，则此三角形移动的距离是（）A．﹣1 B． C．1 D．7．已知的三边长为,的一边长为,若两个三角形相似，则的另两边长不可能是()A． B． C． D．8．如果，、分别对应、，且，那么下列等式一定成立的是（）A． B．的面积：的面积C．的度数：的度数 D．的周长：的周长9．如图，在中，，，分别是边AB、AC上的高线，连接，那么和的周长之比为（）A． B． C． D．10．一个三角形的三边分别为3,4,5，另一个与它相似的三角形中有一条边长为8，则这个三角形的边长不可能是（）A． B． C．9 D．1011．在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处,能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”,“兵”所在位置的格点构成的三角形相似（）A．①处 B．②处 C．③处 D．④处第II卷（非选择题）二、解答题12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴交于点，与轴交于点，点在该抛物线上且在第一象限．（1）求该抛物线的表达式；（2）将该抛物线向下平移个单位，使得点落在线段上的点处，当时，求的值；（3）联结，当时，求点的坐标．13．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x﹣5与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，抛物线y＝ax2+6x+c经过A、B两点．（1）求这条抛物线的表达式；（2）设抛物线与x轴的另一个交点为C，点P是抛物线上一点，点Q是直线AB上一点，当四边形BCPQ是平行四边形时，求点Q的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，联结QC，在∠QCB内作射线CD与抛物线的对称轴相交于点D，使得∠QCD＝∠ABC，求线段DQ的长．14．已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+2经过点、，与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）点D是抛物线上的点，且位于线段BC上方，联结CD．①如果点D的横坐标为2．求cot∠DCB的值；②如果∠DCB＝2∠CBO，求点D的坐标．15．如图，平面直角坐标系内直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点C是线段的中点．（1）求直线的表达式：（2）若抛物线经过点C，且其顶点位于线段上（不含端点O、A）．①用含b的代数式表示a，并写出的取值范围；②设该抛物线与直线在第一象限内的交点为点D，试问：与能否相似？如果能，请求此时抛物线的表达式：如果不能，请说明由．16．四边形ABCD是菱形，∠B≤90°，点E为边BC上一点，联结AE，过点E作EF⊥AE，EF与边CD交于点F，且EC=3CF．（1）如图1，当∠B=90°时，求与的比值；（2）如图2，当点E是边BC的中点时，求的值；（3）如图3，联结AF，当∠AFE=∠B且CF=2时，求菱形的边长．17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．（1）求该抛物线的表达式及点的坐标：（2）如果点的坐标为，联结、，求的正切值；（3）在（2）的条件下，点为抛物线上一点，当时，求点的坐标．18．两个相似三角形对应边的比是2：3，它们的面积和为65平方厘米，求较小三角形的面积．19．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣4，0）和B（2，6），其顶点为D．（1）求此抛物线的表达式；（2）求△ABD的面积；（3）设C为该抛物线上一点，且位于第二象限，过点C作CH⊥x轴，垂足为点H，如果△OCH与△ABD相似，求点C的坐标．20．如图，中，，，，点是在边上的一个动点，设，的面积为，求关于的函数关系式，并写出的取值范围．21．在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点B（4，0）、D（5，3），设它与x轴的另一个交点为A（点A在点B的左侧），且△ABD的面积是3．（1）求该抛物线的表达式；（2）求∠ADB的正切值；（3）若抛物线与y轴交于点C，直线CD交x轴于点E，点P在射线AD上，当△APE与△ABD相似时，求点P的坐标．22．如图，在中，点分别在边、上，且．（1）如果，求线段的长；（2）设的面积为，求的面积（用的代数式表示）．23．如图，将进行折叠，使得点与点重合，折痕分别与边，交于点，，点关于直线的对称点为点．（1）画出直线和点；（2）连接，，若，，则

；（3）若，，则

．24．一仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施，该设施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=米，上部△CDG是等边三角形，固定点E为AB的中点。△EMN是由电脑控制其变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN（MN可与CD重合）是可以沿设施边框上下滑动且始终保持与AB平行的伸缩横杆。（当MN在DC上方时，MD的长度是MN到DC距离的倍）（1）当MN和AB之间的距离为0.5米时，求此时△EMN的面积；（2）设MN与AB之间的距离为x米，求△EMN的面积S（平方米）与x的函数关系式；（3）探究△EMN的面积S（平方米）有无最大值，若有，求出这个最大值；若无，请说明理由。25．已知一次函数的图像经过点，与轴相交于点，与轴相交于点，二次函数的图像经过点和点，顶点为，对称轴与一次函数的图像相交于点。（1）求一次函数的解析式以及点，点的坐标；（2）求顶点的坐标；（3）在轴上求一点，使得和相似。26．如图，在梯形中，,,,,点为边上一动点，作⊥,垂足在边上，以点为圆心，为半径画圆，交射线于点.（1）当圆过点时，求圆的半径；（2）分别联结和，当时，以点为圆心，为半径的圆与圆相交，试求圆的半径的取值范围；（3）将劣弧沿直线翻折交于点,试通过计算说明线段和的比值为定值，并求出次定值.27．如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，由于受条件限制无法直接测量A，B间的距离.小明利用学过的知识，设计了如下三种测量方法，如图①、②、③所示（图中a，b，c表示长度）.（1）请你写出小明设计的三种测量方法中AB的长度：图①中，AB=______，图②中，AB=______，图③中，AB=______；（2）请你再设计一种不同于以上三种的测量方法，画出示意图（不要求写画法）28．已知：如图，梯形中，，，，动点在射线上，以为半径的交边于点（点与点不重合），联结、，设，.（1）求证：；（2）求关于的函数解析式，并写出定义域；（3）联结，当时，以为圆心半径为的与相交，求的取值范围.三、填空题29．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．将△ABC翻折，使点C落在AB边上的点D处，折痕EF交边AC于点E，交边BC于点F，如果DE∥BC，则线段EF的长为__________________．30．如果两个相似三角形的周长比为，那么它们的对应角平分线的比为_________________．31．如果四边形边上的点，它与对边两个端点的连线将这个四边形分成的三个三角形都相似，我们就把这个点叫做该四边形的“强相似点”．如图1，在四边形中，点在边上，如果、和都相似，那么点就是四边形的“强相似点”；如图2，在四边形中，，，，，如果点是边上的“强相似点”，那么___．32．如图，斜边长12cm，∠A=30°的直角三角尺ABC绕点C顺时针方向旋转90°至的位置，再沿CB向左平移使点B'落在原三角尺ABC的斜边AB上，则三角尺向左平移的距离为_____．（结果保留根号）33．两个相似三角形的面积之差为，周长比是2：3，那么较小的三角形面积是______．34．在中，点D、E分别在边AB、AC上，AB=12，AC=16，AE=4，若与相似，则AD=__________．35．如图，在中，边上的高和中线及的平分线将四等分，__________36．已知两个相似三角形的相似比为2：3，其中较小三角形的面积是36，那么较大三角形的面积为_______．37．两个相似三角形对应高的比为，且已知这两个三角形的周长差为，则较小的三角形的周长为_______．38．有一个三角形的三边长为2，4，5，若另一个和它相似的三角形的最短边为4，则第二个三角形的周长为________．39．已知△ABC与△DEF相似，且△ABC与△DEF的相似比为2：3，若△DEF的面积为36，则△ABC的面积等于________．40．已知△ABC∽△A1B1C1，且相似比为2:5，AD、A1D1分别是BC、B1C1上的高，则AD：A1D1=______．41．已知中，点D在边AC上，AB=12，AC=8，AD=6，点E在边AB上，若和相似，则AE的长是____________．42．如图，梯形中，，，点在边上，且，则的面积与四边形的面积之比为________________．43．如图所示，在△ABC中，DE∥AB∥FG，且FG到DE、AB的距离之比为1：2．若△ABC的面积为32，△CDE的面积为2，则△CFG的面积S等于_____．44．如果两个相似三角形的最长边分别是35厘米和14厘米，它们的周长之差60厘米，那么这两个三角形的周长分别是________.45．已知∽，且相似比，的面积为8，那么的面积为___________.46．已知，顶点、、分别与、、对应，若，，则_____度．47．两个相似三角形的相似比为，他们的周长差为30，则较大三角形的周长为__．48．如图，中，如果，，那么__．49．如图，△ABC中，AB＝5，AC＝6，将△ABC翻折，使得点A落到边BC上的点A′处，折痕分别交边AB、AC于点E，点F，如果A′F∥AB，那么BE＝_____．50．定义：如果P是圆O所在平面内的一点，Q是射线OP上一点，且线段OP、OQ的比例中项等于圆O的半径，那么我们称点P与点Q为这个圆的一对反演点．已知点M、N为圆O的一对反演点，且点M、N到圆心O的距离分别为4和9，那么圆O上任意一点到点M、N的距离之比AMAN参考答案1．A分析：移动的距离可以视为AD或BE的长度，根据题意可知△ABC与阴影部分为相似三角形，且面积比为2：1，所以AB：DB＝：1，推出DB＝1，所以AD＝﹣1．【详解】∵△ABC沿AB边平移到△DEF的位置，∴AC∥DF，∴△ABC∽△DBG，∴，∴AB：DB＝：1，∵AB＝，∴DB＝1，∴AD＝﹣1．故选：A．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质、平移的性质，关键在于求证△ABC与阴影部分为相似三角形．2．C分析：根据相似三角形的性质、三角形的内角和定理可得出另一个三角形的三个内角度数，由此即可得．【详解】由相似三角形的性质得：另一个三角形的两个内角分别为，则另一个三角形的第三个内角为，因此，另一个三角形的最小内角为，故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．3．A分析：根据相似三角形对应高的比等于相似比，周长的比等于相似比解答．【详解】解：∵对应高之比是1：2，

∴相似比=1：2，

∴对应周长之比是1：2．

故选：A．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，周长的比等于相似比．4．A分析：由相似求全等，即在相似的基础上，再得出其对应边相等即可，而题干中只有当面积与周长相等时，才可得出其对应边相等，而A中叙述并不是对应边，所以叙述错误．【详解】A中相似三角形一边为公共边，但并没有说明是对应边，所以A说法不正确；B中用反证法，假如不全等，但是相似，则周长不相同．这和题目给出的周长相等矛盾，因此必全等，故B正确；由于相似三角形的面积比等于相似比的平方，如果面积相等，则相似比为1，所以全等，故CD正确．故选：A【点睛】本题主要考查了相似三角形及全等三角形的性质及判定问题，能够熟练掌握这两类三角形的性质及区别，在以后的解题过程中能够熟练求解．5．B分析：利用两组相似三角形的相似比，进行转化即可得出，其实相乘即可．【详解】∵△ABC∽△A1B1C1，相似比为2：3＝10：15，又∵△A1B1C1∽△A2B2C2，相似比为5：4＝15：12，∴△ABC与△A2B2C2的相似比为10：12＝5：6，故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的传递性，也可以用其他方法解．6．A分析：移动的距离可以视为AD或BE的长度，根据题意可知△ABC与阴影部分为相似三角形，且面积比为2：1，所以AB：DB＝：1，推出DB＝1，所以AD＝﹣1．【详解】∵△ABC沿AB边平移到△DEF的位置，∴AC∥DF，∴△ABC∽△DBG，∴＝（）2＝，∴AB：DB＝：1，∵AB＝，∴DB＝1，∴AD＝﹣1．故选：A．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质、平移的性质，关键在于求证△ABC与阴影部分为相似三角形．7．D分析：设△DEF的另两边长为xcm，ycm，讨论：利用相似三角形的性质得到或或，然后分别其x、y即可对各选项进行判断．【详解】设△DEF的另两边长为xcm，ycm，∵△ABC与△DEF相似，∴当，解得x=2，y=2.5；当，解得x=2.5，y=3；当，解得x=1.6，y=2.4．故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．相似三角形的面积的比等于相似比的平方．8．D分析：相似三角形对应边的比等于相似比，面积之比等于相似比的平方,对应角相等.【详解】根据相似三角形性质可得：A：BC和DE不是对应边，故错；B：面积比应该是，故错；C:对应角相等，故错；D：周长比等于相似比，故正确.故选：D【点睛】考核知识点：相似三角形性质.理解基本性质是关键.9．A分析：由∠A=60°，CD、BE是AB、AC边上的高，可得∠ABE=∠ACD=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得，由∠A是公共角，即可证明△ADE∽△ACB，根据相似三角形周长比等于相似比即可得答案.【详解】∵∠A=60°，CD、BE是AB、AC边上的高，∴∠ABE=∠ACD=30°，∴，∵∠A为△ADE和△ACB的公共角，∴△ADE∽△ACB，∴△ADE与△ACB的相似比为，∴和的周长之比=.【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，如果两个三角形的两组对应边的比相等，且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似；熟练掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题关键.10．C分析：题干中另一个与它相似的三角形中有一条边长为8，则其可能与与三角形的三边分别为3，4，5，中边长为3的对应成比例，也可能也边长为4的对应成比例，亦有可能与边长为5的成比例，所以应分开讨论．【详解】解：当边长为8的边长与三角形的三边分别为3，4，5，中边长为3的对应成比例时，则另两条边长分别为：，；当与边长为4的对应成比例时，其另两条边长分别为：=6，=10；当与边长为5的对应成比例是，其另两条边长分别为：，；∴这个三角形的边长不可能是9，故选C．【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质，全等三角形的对应边成比例，以及分类讨论的数学思想，正确分类讨论是解题关键．11．B分析：确定“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长，然后利用相似三角形的对应边的比相等确定第三个顶点的位置即可．【详解】帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长分别为； “车”、“炮”之间的距离为1，“炮”②之间的距离为，“车”②之间的距离为2， ∵∴马应该落在②的位置，故选B【点睛】本题考查了相似三角形的知识，解题的关键是利用勾股定理求得三角形的各边的长，难度不大．12．（1）；（2）；（3）【详解】（1）把A、B两点坐标代入解析式，解二元一次方程求出b、c即可；（2）根据，求出点D的坐标，把横坐标代入解析式，求出C点纵坐标，求差即可；（3）延长CB交x轴于点F因为，所以，BA=BF可求F坐标（-4，0），求出BC析式，再求它与抛物线交点即可．解：（1）把、代入得，解得：∴抛物线的解析式为；（2）抛物线向下平移时，C点所在直线交x轴于点E，由题意可得：DE⊥x∴DE∥OB，∴△ADE∽△ABO，∴，∵∴，，把x=3代入得，，∴m=；（3）∵点C在第一象限，连接CB并延长，交x轴于点F，，，∴∠BAO=∠BFO，∴BA=BF，∴F点于A点关于y轴对称，∴F点的坐标为F（-4，0），由B（0，2）易求BC解析式为：，与抛物线解析式联立方程组，，解得或，，．【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质；会利用待定系数法求抛物线和一次函数的解析式；灵活应用相似比表示线段之间的关系；理解坐标与图形的性质；会利用数形结合的思想解决数学问题．13．（1）y＝﹣x2+6x﹣5；（2）Q（3，﹣2）；（3）8分析：（1）求出A、B坐标代入y＝ax2+6x+c即可得答案；（2）求出C坐标，设P、Q坐标，根据平行四边形两条对角线的中点重合可列方程求解；（3）CD与AB交于N，由∠QCD＝∠ABC可得△CQN∽△BQC，求出QN及N坐标，再求CN解析式及D坐标即可得出答案．【详解】解：（1）在y＝x﹣5中令x＝0，得y＝﹣5，令y＝0得x＝5，∴A（5，0），B（0，﹣5），将A（5，0），B（0，﹣5）代入y＝ax2+6x+c得：，解得，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+6x﹣5；（2）在y＝﹣x2+6x﹣5中令y＝0得x1＝1，x2＝5，∴C（1，0），点P是抛物线上一点，点Q是直线AB上一点，设P（m，﹣m2+6m﹣5），Q（n，n﹣5），则BP的中点为（，），CQ的中点为（，），∵四边形BCPQ是平行四边形，∴线段BP的中点即是CQ的中点，∴，解得或，∴Q（3，﹣2）；（3）设CD与AB交于N，如图：∵B（0，﹣5），C（1，0），Q（3，﹣2），∴CQ＝2，BQ＝3，∵∠QCD＝∠ABC，∠CQN＝∠BQC，∴△CQN∽△BQC，∴，即＝，∴QN＝，设N（t，t﹣5），而Q（3，﹣2），∴＝，∴t＝或t＝，∵在∠QCB内作射线CD，∴t＝，N（，﹣），设CN解析式为y＝kx+b，将N（，﹣），C（1，0）代入得：，解得，∴CN解析式为y＝﹣5x+5，令x＝3得y＝﹣10，∴Q（3，﹣10），∴DQ＝﹣2﹣（﹣10）＝8．【点睛】本题考查二次函数、平行四边形及相似三角形综合知识，解题关键是设出坐标，利用相似三角形性质求出QN的长度．14．（1）；（2）①；②分析：（1）根据点，的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）①根据（1）中所求抛物线表达式，可以得到点、、的坐标，根据坐标系中两点间距离公式求出、、的值，证明三角形为直角三角形，进而求出cot∠DCB的值；②过作轴的平行线，过作轴平行线交于，根据平行线的性质推导出，从而得出三角形相似，利用相似比求出点D的坐标．【详解】（1）将、代入y＝ax2+bx+2，得，，解得：，∴抛物线的表达式为；（2）①当时，，当时，，∴，，，∴，,,，为直角三角形，其中，∴;②过作轴的平行线，过作轴平行线交于，设点D坐标为,则，，∵，∴，,,，，,∴，解得：，（舍），∴．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数上点的坐标、坐标中两点间距离公式、余切三角函数、平行线的性质、相似三角形的判定、相似比等，解答本题的关键是熟练运用这些知识点并根据已知条件做好辅助线．15．（1）；（2）①，0＜＜1；②能，分析：（1）根据直线解析式分别求出点A和点B的坐标，然后根据中点求出点C的坐标，然后设直线AC的解析式为y=kx＋d，利用待定系数法即可求出结论；（2）①将点C的坐标代入即可求出c的值，然后根据题意可知：该抛物线与x轴只有一个交点，从而求出b和a的关系，然后根据其顶点位于线段上（不含端点O、A）即可求出的取值范围；②根据题意，画图，设点D的坐标为（x，x＋4），利用平面直角坐标系中任意两点的距离公式即可求出DC、DB和DA，根据相似三角形的性质列出比例式即可求出点D的坐标，然后将点D的坐标代入抛物线解析式中即可求出结论．【详解】解：（1）将y=0代入中，解得：x=-4；将x=0代入中，解得：y=4∴点A的坐标为（-4，0），点B的坐标为（0，4）∵点C是线段的中点∴点C的坐标为（0，2）设直线AC的解析式为y=kx＋d将点A和点C的坐标分别代入，得解得：∴直线AC的解析式为；（2）①将点C的坐标代入中，得∴抛物线解析式为由题意可知：该抛物线与x轴只有一个交点，∴∴∴抛物线的解析式为，其对称轴为直线∵其顶点位于线段上（不含端点O、A）∴-4＜＜0解得：0＜＜1；②能，如下图所示，连接DC设点D的坐标为（x，x＋4），易知x＞0∴DC=DB=DA=由∠BDC=∠CDA，∠DBC和∠DCA为钝角，结合已知可得△BDC∽△CDA∴即整理，得=解得：x=1，经检验x=1是方程的解，∴点D的坐标为（1,5）将点D的坐标代入中，得解得：b1=，b2=当b=时，则＜0，显然不符合0＜＜1，故舍去；当b=时，则，满足0＜＜1；∴抛物线的解析式为．【点睛】此题考查的是二次函数与一次函数的综合大题，掌握利用待定系数法求一次函数解析式、二次函数解析式、相似三角形的性质和平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式是解题关键．16．（1）；（2）；（3）分析：（1）先证明：可得：，结合：可得：再设可得而，建立方程：可得：再利用相似三角形的性质可得答案．（2）延长相交于，过作于连接先证明：可得：证明：设再设利用求解，可得从而可得答案；（3）如图，过作交的延长线于，延长至,使证明：设证明：可得：再证明：利用相似三角形的性质列方程组，解方程组可得答案．【详解】解：（1）四边形ABCD是菱形，四边形ABCD是正方形，，设而（2）延长相交于，过作于连接菱形，为的中点，,设则设由菱形可得：（3）如图，过作交的延长线于，延长至,使设则菱形，解得：经检验：是原方程组的解，即菱形的边长为：【点睛】本题考查的是三角形全等的判定与性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理的应用，菱形，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，解分式方程组，掌握以上知识是解题的关键．17．（1）抛物线为，；（2）；（3）分析：（1）将两个点坐标代入解析式即可求出，令x为0，求得C点坐标；（2）过D作CA延长线的垂线，通过证明求出DE和EC的长度，再求出正切值；（3）设，通过可求出参数t，从而得出P点坐标．【详解】解：（1）将，代入抛物线，解得：，∴抛物线为，令x=0，得y=4，故．（2）过作交延长线于，因为，，∴，∵AD=4，DE=AE，由勾股定理得，DE=AE=2，∴，∴，，EC=6，∴．（3）设，连接DP、AP，∵，∴，∴，∴，∴，∴，解得∴．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，相似三角形的证明和解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．18．20平方厘米分析：根据两个相似三角形的面积比等于对应边的比的平方，结合面积和即可求解．【详解】解：设两个三角形的面积分别为，，则有，解得；答：较小三角形面积为20平方厘米．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于对应边的比的平方．19．（1）y＝x2+2x；（2）12；（3）点H的坐标为（﹣10，30）或（﹣，）分析：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）利用两点间的距离公式：得AB，AD，BD的值，从而得BD2＝AB2+AD2，则△ABD为直角三角形，△ABD的面积＝AB×AD，即可求解；（3）由△OCH与△ABD相似，得tan∠COH＝tan∠ABD或tan∠ADB，即tan∠COH＝＝或3，进而即可求解．【详解】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，∴抛物线的表达式为：y＝x2+2x；（2）对于y＝x2+2x，顶点D(﹣2，﹣2)，∴AD＝，同理：AB＝6，BD＝4，∴BD2＝AB2+AD2，∴△ABD为直角三角形，∴△ABD的面积＝AB×AD＝×6×2＝12；（3）在△ABD中，tan∠ABD＝，∵△OCH与△ABD相似，∴tan∠COH＝tan∠ABD或tan∠COH＝tan∠ADB，即：tan∠COH＝或3，设点C(m，m2+2m)，则tan∠COH＝＝或3，解得：m＝﹣10或﹣（不合题意的值已舍去），∴点H的坐标为(﹣10，30)或(﹣，)．【点睛】本题主要考查二次函数与相似三角形的综合，涉及二次函数的待定系数法，两点间距离公式，勾股定理的逆定理，相似三角形的性质定理以及三角函数的定义，熟练掌握相似三角形的性质定理以及三角函数的定义，是解题的关键．20．分析：如图，过点P作PD垂直BC于点D，得到△ABC∽△PBD，根据已知求出AC，BC，表达出PB，通过相似比列出方程，求出△PBC的高PD，根据三角形的面积公式即可表达出y，根据点P在边AB上运动得出x的取值范围．【详解】解：如图，过点P作PD垂直BC于点D，∴∠PDB=∠ACB=90°，∴△ABC∽△PBD，∴，∵，，∴BC=，AC=，又AP=x，则PB=AB-x=4-x，∴，解得：，∴的面积为，∵点P在边AB上运动，∴，∴．【点睛】本题考查了几何中的动态函数问题，解题的关键充分利用相似三角形，表达出△PBC的高．21．（1）y＝x2﹣6x+8；（2）；（3）P（11，9）或（4，2）．分析：（1）先根据的面积求出点A的坐标，再利用待定系数法求解即可；（2）先根据的坐标求出的值，再过点B作于E，可求出的值，从而可得的正切值；（3）根据的坐标分别求出直线的解析式，再分和两种情况讨论，分别根据相似三角形的性质得出对应角相等，然后利用平行线的性质和解直角三角形求解即可.【详解】（1）设，AB边上的高为3则由的面积是3可得：解得设抛物线解析式为将代入得：，解得故该抛物线的表达式为；（2）如图1，过点D作轴于点F则过点B作于E在等腰中，则故的正切值为；（3）如图2，设直线AD解析式为将代入得，解得则直线AD解析式为同理，由可得直线BD解析式为由可得直线CD解析式为当时，，解得①若，则则可设PE所在直线解析式为将点代入得，解得则直线PE解析式为由，解得故此时点②若，则过点P作于点G由直线AD的解析式可设P的坐标为则，解得综上，点P的坐标为或.【点睛】本题考查了利用待定系数法求解二次函数的解析式、解直角三角形、相似三角形的性质等知识点，读懂题意，根据已求出的函数解析式画出图象是解题关键，属于中考压轴题.22．（1）；（2）分析：（1）根据两边成比例且夹角相等证明△ADE∽ACB，利用相似三角形对应边成比例列式求解；（2）根据三角形面积公式及底边的关系求出△ADE的面积，再利用相似三角形面积比等于相似比的平方列式求解.【详解】解：（1）∵,∴,∵∠A=∠A,∴△ADE∽ACB,∴,∵∴DE=；（2）∵∴,∵，∴∵△ADE∽ACB∴,∴，∴.【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，利用相似三角形对应边成比例解决线段问题，利用相似三角形面积比等于相似比的平方解决面积问题是解答此类问题的重要思路.23．（1）见解析；（2）8；（3）分析：（1）根据题中描述，画出线段AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，然后作点B关于直线DE的对称点F.（2）连接BD、DE，根据点B与点F关于直线DE对称，所以可得，因为DE将△BDC面积分成了两部分，分别是与，易证得，可得，所以，因为D为AC中点，易证；（3）因为由（2）可得，根据，，可得：，所以，又因为D为AC中点，易证.【详解】解：（1）如图即为所求：（2）连接BD、DE，∵点B与点F关于直线DE对称，∴△DEB与△DEF关于直线DE对称，∴，∵设△BDC中BC边上的高为，则：，，∴，∴，∴，∵D为AC中点，∴；（3）由题可得，由（2）可得，∵，，∴，∴，∵D为AC中点，∴.【点睛】本题考查轴对称图形的性质以及三角形面积之间的关系，掌握两个轴对称图形全等是本题做题关键，在一个三角形中如果经过其中一个顶点的直线将两个三角形分成两部分，则这两部分的面积比，与对应底边的线段之比是相等的.24．（1）0.5平方米；（2）；（3）S有最大值，最大值为平方米分析：（1）根据题意得出当MN和AB之间的距离为0.5米时，MN应位于DC下方，且此时△EMN中MN边上的高为0.5米,可得出三角形EMN的面积．

（2）分两种情况解答（0＜x≤；＜x＜2）．①当0＜x≤时，可直接得出三角形的面积函数；②当＜x＜时，连接EG，交CD于点F，交MN于点H，先求FG，再证△MNG∽△DCG，继而得出△EMN面积与x的函数；

（3）分两种情况解答：①当0＜x≤时，S=x，由一次函数性质可得S的最大值；②当＜x＜2时，由二次函数性质可知，在对称轴时取得最大值，比较大小即可得出结论．【详解】解：（1）由题意，当MN和AB之间的距离为0.5米时，MN应位于DC下方如图1此时△EMN中MN边上的高为0.5米．

在ABCD是矩形中，AB=CD=MN=2米，BC=AD=米，∴S△EMN=×2×0.5=0.5（平方米）．

即△EMN的面积为0.5平方米．（2）①如图1所示，当MN在矩形区域滑动，即0＜x≤时，

△EMN的面积S=×2×x=x；

②如图2所示，当MN在三角形区域滑动，即＜x＜时，连接EG，交CD于点F，交MN于点H，

∵E为AB中点，

∴F为CD中点，GF⊥CD，且FG=．∴EG=，∴MN＝4-∴△EMN的面积S=∴（3）①当0＜x≤时，S=x，∴0＜S≤；∴S的最大值=②当＜x＜时，S=当时，S有最大值，且最大值为：∴综上所述：S有最大值，最大值为平方米．【点睛】本题二次函数综合题，考查了相似三角形的判定与性质，学生要学会利用图形，数形相结合解答函数问题，和分类讨论的数学思想，难度较大．25．（1）；（2）；（3）分析：（1）将P点坐标代入一次函数解析式求出k，得到一次函数解析式，再求交点坐标;（2）把A、P代入二次函数求出a，b的值，得到二次函数解析式，再配成顶点式得到顶点坐标；（3）因为相似三角形对应角不明确，所以分两种情况讨论①,②.【详解】（1）把代入一次函数得：，所以，当，.（2）把和代入二次函数得，解得，，∵所以.（3）由题得：；设.因为，设，将代入得，①若所以，Q点为PM与y轴的交点，所以②若因为Q点在y轴上，所以BQ始终平行于MN，不存在这种情况，舍去.综上Q点坐标为【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，抛物线顶点坐标，抛物线中的相似三角形，难度不大，掌握基本知识即可解决.26．（1）x=3（2）（3）分析：(1)作AM⊥BC、连接AP，由等腰梯形性质知BM=4、AM=3，据此知tanB=tanC=，从而可设PH=3k，则CH=4k、PC=5k，再表示出PA的长，根据PA=PH建立关于k的方程，解之可得；(2)由PH=PE=3k、CH=4k、PC=5k及BC=9知BE=9−8k，由△ABE∽△CEH得，据此求得k的值，从而得出圆P的半径，再根据两圆间的位置关系求解可得；(3)在圆P上取点F关于EH的对称点G，连接EG，作PQ⊥EG、HN⊥BC，先证△EPQ≌△PHN得EQ=PN，由PH=3k、HC=4k、PC=5k知sinC=、cosC=，据此得出NC=k、HN=k及PN=PC−NC=k，继而表示出EF、EH的长，从而出答案．【详解】(1)作AM⊥BC于点M，连接AP，如图1，∵梯形ABCD中，AD//BC，且AB=DC=5、AD=1、BC=9，∴BM=4、AM=3，∴tanB=tanC=，∵PH⊥DC，∴设PH=3k，则CH=4k、PC=5k，∵BC=9，∴PM=BC−BM−PC=5−5k，∴AP=AM+PM=9+(5−5k)，∵PA=PH，∴9+(5−5k)=9k，解得：k=1或k=，当k=时，CP=5k=>9，舍去；∴k=1，则圆P的半径为3．(2)如图2，由(1)知，PH=PE=3k、CH=4k、PC=5k，∵BC=9，∴BE=BC−PE−PC=9−8k，∵△ABE∽△CEH，∴，即，解得：k=，则PH=，即圆P的半径为，∵圆B与圆P相交，且BE=9−8k=，∴<r<；(3)在圆P上取点F关于EH的对称点G，连接EG，作PQ⊥EG于G，HN⊥BC于N，则EG=EF、∠1=∠3、EQ=QG、EF=EG=2EQ，∴∠GEP=2∠1，∵PE=PH，∴∠1=∠2，∴∠4=∠1+∠2=2∠1，∴∠GEP=∠4，∴△EPQ≌△PHN，∴EQ=PN，由(1)知PH=3k、HC=4k、PC=5k，∴sinC=、cosC=，∴NC=k、HN=k，∴PN=PC−NC=k，∴EF=EG=2EQ=2PN=k，EH=，∴，故线段EH和EF的比值为定值．【点睛】此题考查全等三角形的性质，相似三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，解题关键在于作辅助线.27．（1）①①αα；②2c；③b;（2）见解析.解析：分析：(1)①结合解直角三角形即可解答,②根据中位线的性质即可填空,③根据矩形的性质即可填空(2)结合题中所提供的方法及所学知识确定测量方法,并画出草图即可,方法不唯【详解】解：（1）①αα；②2c；③b.（2）本题方法很多，下面列出3种供参考.方法1：如图1.方法2：如图2.方法3：如图3.【点睛】此题考查相似三角形的应用，解题关键在于熟练掌握相似三角形的判定和性质28．（1）证明见解析；（2）；（3）解析：分析：根据梯形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据平行线的判定定理即可得到结论；分别过P、A、D作BC的垂线，垂足分别为点H、F、推出四边形ADGF是矩形，，求得，根据勾股定理得到，根据平行线分线段成比例定理得到，，求得，根据勾股定理即可得到结论；作交DC于推出四边形PDME是平行四边形得到，即

，根据相似三角形的性质得到，根据相切两圆的性质即可得到结论．【详解】证明：梯形ABCD，，，，，，；解：分别过P、A、D作BC的垂线，垂足分别为点H、F、G．梯形ABCD中，，，，，四边形ADGF是矩形，，，，，在中，，，，即，，，，在中，，，即，解：作交DC于M．，四边形PDME是平行四边形．，即

，，，又，，．∽，，即，解得：，即，，当两圆外切时，，即舍去；当两圆内切时，，即舍去，；即两圆相交时，．【点睛】本题属于圆综合题，梯形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键.29．分析：根据折叠的性质可知，EC＝ED，FC＝FD，∠CEF＝∠DEF，EF是CD的垂直平分线，进而得出四边形CEDF是正方形，设未知数，利用相似三角形、直角三角形的边角关系求解即可．【详解】解：如图所示:由折叠可知，EC＝ED，FC＝FD，∠CEF＝∠DEF，EF是CD的垂直平分线，∵DE∥BC，∠ACB＝90°，∴∠AED＝∠ACB＝90°，∴∠CEF＝∠DEF＝45°，∴∠CED＝∠ECF＝∠EDF＝90°∴四边形CEDF是正方形，设CF＝x，则AE＝6﹣x，BF＝8﹣x，由△AED∽△DFB得，，即，解得，在Rt△CEF中，，故答案为：．【点睛】本题考查折叠轴对称，正方形的判定和性质，相似三角形以及直角三角形的边角关系，理解折叠轴对称的性质和直角三角形的边角关系是解题的关键．30．分析：结合题意得：；再根据角平分线的性质，通过证明，即可得到答案．【详解】如图，，的角平分线交BC于点N，交PQ于点M∴∵和周长比为∴∵的角平分线交BC于点N，交PQ于点M∴∴∴故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形、角平分线的知识；解题的关键是熟练掌握相似三角形、角平分线的性质，从而完成求解．31．或分析：过点A作AE∥CD，交BC于点E，可证四边形ADCE是平行四边形，由平行四边形的性质可得AD的长，利用“强相似点”的定义可得△ABQ∽△DQC，则由相似三角形的性质可得，再根据线段之间的数量关系建立关于AQ的方程，求解后即可求出AQ的长．【详解】解：如图，过点A作AE∥CD，交BC于点E，

∵在四边形中，，，∴四边形ADCE是平行四边形，∴AE＝CD＝AB＝2，AD＝CE．∵，∴△ABE是等边三角形．∴BE＝AE＝AB＝2．∴AD＝BC－BE＝6．∵点是边上的“强相似点”，∴△ABQ∽△DQC．∴．设AQ＝x，则DQ＝6－x，即．解得，．故答案为：或．【点睛】本题考查了相似三角形的性质、平行四边形的判定与性质等知识，掌握平行四边形的判定与性质及相似三角形的性质并能灵活应用所学知识是解题的关键．32．cm分析：作B′D//BC与AB交于点D，故三角板向左平移的距离为B′D的长，利用直角三角形的性质求出BC=B′C=6cm，AC=cm，进而根据相似三角形对应线段成比例的性质即可求解．【详解】如图，作B′D//BC与AB交于点D，故三角板向左平移的距离为B′D的长．∵AB=12cm，∠A=30°，∴BC=B′C=6cm，AC=cm，∵B′D//BC，∴，即cm，故三角板向左平移的距离为cm．【点睛】本题考查直角三角形的性质、相似三角形的性质，旋转和平移的性质，解题的关键是作辅助线构造相似三角形．33．分析：根据三角形相似的性质得到面积比，设较小三角形的面积为4S，则较大三角形的面积为9S，列出等量解出S的值即可求出结果．【详解】解：∵两个三角形的周长比是2：3，∴两个三角形的面积比等于4：9，设较小的三角形的面积为4S，则较大的三角形面积为9S，∴9S-4S=3，解得S=∴较小三角形的面积为4S=．故答案为：【点睛】本题考查三角形相似的性质，相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，熟记相关性质内容是解题关键．34．或分析：分类讨论：当△ADE∽△ABC和当△AED∽△ABC，根据相似的性质得出两种比例式进而解答即可．【详解】如图∵∠DAE=∠BAC，

∴当△ADE∽△ABC，

∴，

即，

解得：AD=3，

∴当△AED∽△ABC，

∴，

即，

解得：AD=，故答案为：或【点睛】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．35．45º分析：由题意可证得△ADC≌△ADF，则有AF=AC，FD=DC，再根据三角形内角平分线性质可证得，，根据比例的合比性质可证得，进而有，，由勾股定理可证得AD=DE，则△DAF为等腰直角三角形，即可求得∠EDA的度数．【详解】解：∵AD⊥BC，∴∠ADC=∠ADF=90°，又∠FAD=∠CAD，AD=AD，∴△ADC≌△ADF，∴AF=AC，FD=DC，∵∠BAE=∠FAE，∴，∵AF平分∠BAC，∴，∴，∴，∵BF=BE+EF，FC=CE-EF，BE=CE，∴，∴，∴，又FC=2FD，∴，即∵∠EAF=∠DAF，∴，∴，在Rt△AFD中，，∴DE=AD，∴△ADF是等腰直角三角形，∴∠EAD=45°，故答案为：45°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角平分线性质、合比性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质，属于三角形的综合题，熟练掌握三角形的相关知识，灵活运用三角形的内角平分线性质和合并性质是解答的关键．36．81分析：由相似三角形的面积比等于相似比的平方，得出两个三角形的面积比，即可得出较大三角形的面积．【详解】相似三角形的面积比等于相似比的平方，，较大三角形的面积是81．故答案为：81．【点睛】本题主要考查相似三角形的面积比与相似比的关系，熟记相似三角形面积比是相似比的平方是解题关键．37．分析：依据相似三角形对应高的比等于相似比，根据相似三角形周长的比等于相似比列出方程，解方程即可．【详解】解：∵两个相似三角形对应高的比为2：3，即相似比为2：3，

∴它们周长的比是2：3，

设较小的三角形的周长为2x，则较大的三角形的周长为3x，

由题意得，3x-2x=4，

解得，x=4，

则2x=8，

∴较小的三角形的周长为8．

故答案为：8．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，解题时注意：相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．38．22分析：根据相似三角形的三组对应边的比相等求出另两边的长，进而可得答案．【详解】设另一个三角形的另两边为x、y，∵一个三角形的三边长为2，4，5，另一个和它相似的三角形的最短边为4，∴两个三角形的相似比为=，∴，解得：x=8，y=10，∴第二个三角形的