沪教版九年级上册数学专题训练专题04证明两个三角形相似重难点专练(原卷版+解析)

专题04证明两个三角形相似重难点专练第I卷（选择题）一、单选题1．如图，是等边三角形，被一平行于的矩形所截(即：FG∥BC)，若AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积是的面积的（）A． B． C． D．2．如图，在正三角形ABC中，点D、E分别在AC、AB上，且，AE=BE，则有（）A．△AED∽△BED B．△AED∽△CBDC．△AED∽△ABD D．△BAD∽△BCD3．如图，在正方形ABCD中，是等边三角形，AP、BP的延长线分别交边CD于点E、F，联结AC、CP、AC与BF相交于点H，下列结论中错误的是（）A．AE=2DE B． C． D．4．如图，在△ABC中，DE∥BC，若，则S△ADE：S△ABC等于（）A．4：25 B．2：5 C．4：9 D．4：215．如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与相似的是（）A． B．C． D．6．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，∠ACD＝∠B，那么下列判断中，不正确的是（）A．△ADE∽△ABC B．△CDE∽△BCD C．△ADE∽△ACD D．△ADE∽△DBC7．下列说法中正确的是（）A．两个直角三角形一定相似B．两个等腰三角形一定相似C．两个等腰直角三角形一定相似D．两个矩形一定相似8．如图，已知是中的边上的一点，，的平分线交边于，交于，那么下列结论中错误的是（）A．△BAC∽△BDA B．△BFA∽△BECC．△BDF∽△BEC D．△BDF∽△BAE9．如图，在中，是边上一点，连接，给出下列条件：①；②；③；④．其中单独能够判定的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是（）A．都含有一个40°的内角 B．都含有一个50°的内角C．都含有一个60°的内角 D．都含有一个70°的内角11．如图，在△ABC与△ADE中，，添加下列条件，不能得到△ABC与△ADE相似的是（）A． B．C． D．12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有()A．1对 B．2对 C．3对 D．4对13．如图，平行四边形ABCD中，F是CD上一点，BF交AD的延长线于G，则图中的相似三角形对数共有（）A．8对； B．6对； C．4对； D．2对．第II卷（非选择题）二、填空题14．如图，已知矩形，将其折叠，使点与点重合，折痕是那么折痕的长是_________．15．如图，在中，点在边上，将沿直线翻折得到，点的对应点恰好落在线段上，线段的延长线交边于点，如果，那么的值等于__________．16．如图，ABC中，AB=10，BC=12，AC=8，点D是边BC上一点，且BD：CD=2：1，联结AD，过AD中点M的直线将ABC分成周长相等的两部分，这条直线分别与边BC、AC相交于点E、F，那么线段BE的长为______．17．如图，在中，是的角平分线，将绕点旋转，如果点落在射线上，点落在点处，连接ED，那么的正切值为_______________________．18．在△ABC中，D、E分别在边AB、AC上，且DE∥BC，又，则S△ADE：S四边形BCED=_____．19．已知如图，正方形ABCD的边长为4，取AB边上的中点E，连接CE，过点B作BF⊥CE于点F，连接DF．过点A作AH⊥DF于点H，交CE于点M，交BC于点N，则MN=_____．20．如图，在矩形ABCD中，作，垂足为F，延长DF交边AB于点E，在图中一定和△DFC相似的三角形个数是_______个．21．如图，梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC，点P是AD边上一点，联结PB、PC，且，则图中有_______对相似三角形．三、解答题22．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，对称轴是直线x＝1，顶点是点D．（1）求该抛物线的解析式和顶点D的坐标；（2）点P为该抛物线第三象限上的一点，当四边形PBDC为梯形时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，点E为x轴正半轴上的一点，当tan（∠PBO＋∠PEO）＝时，求OE的长．23．如图，已知Q是∠BAC的边AC上一点，AQ＝15，cot∠BAC＝，点P是射线AB上一点，联结PQ，⊙O经过点A且与QP相切于点P，与边AC相交于另一点D．（1）当圆心O在射线AB上时，求⊙O的半径；（2）当圆心O到直线AB的距离为时，求线段AP的长；（3）试讨论以线段PQ长为半径的⊙P与⊙O的位置关系，并写出相应的线段AP取值范围．24．如图，中，点、分别在和上，点是边上一点，且，联结．（1）求证：；（2）求证：．25．已知：如图，在四边形中，，、相交于点，（1）求证：；（2）如果，求证：．26．已知，，，，为线段上的动点，点在射线上，且满足（如图1所示）（1）当，且点与点重合时（如图2所示），求线段的长；（2）在图1中，联结，当，且点在线段上时，设点、之间的距离为，，其中表示的面积，表示的面积，求关于的函数关系式，并写出函数定义域；（3）当，且点在线段的延长线上时（如图3所示），求的大小．27．如图，正方形的边在的边上，顶点、分别在边、上，已知的边，高，求：正方形的边长和面积．28．如图，在矩形中，，，动点从点出发沿向终点运动，同时动点从点出发沿对角线向终点运动，过点作，交于点，动点、的运动速度是每秒1个单位长度，运动时间为秒，当点动到点时，、两点同时停止运动，设．（1）求关于的函数关系式；（2）探究：当为何值时，四边形为梯形？（3）是否存在这样的点和点，使、、为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由．29．已知，如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝∠ADC＝，且AC是AD、BC的比例中项．求证：DC⊥BC30．已知：如图，E、M是AB边的三等分点，EF∥MN∥BC．求：△AEF的面积:四边形EMNF的面积:四边形MBCN的面积．31．如图，在平行四边形ABCD中，AC=AB．求证：∠ABD=∠DAC．32．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过原点O（0，0）、A（2，0），直线y＝2x经过抛物线的顶点B，点C是抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，联结BC、OC、AB，过点C作CE∥x轴，分别交线段OB、AB于点E、F．（1）求抛物线的表达式；（2）当BC＝CE时，求证：△BCE∽△ABO；（3）当∠CBA＝∠BOC时，求点C的坐标．33．下面是一位同学的一道作图题：已知线段a、b、c（如图），求作线段x，使他的作法如下：（1）以点O为端点画射线，．（2）在上依次截取，．（3）在上截取．（4）联结，过点B作，交于点D．所以：线段________就是所求的线段x．①试将结论补完整②这位同学作图的依据是________③如果，，，试用向量表示向量．34．如图：四边形ABCD对角线AC与BD相交于点O，OD=2OA，OC=2OB．（1）求证：△AOB∽△DOC；（2）点E在线段OC上，若AB∥DE，求证：OD2=OE•OC．35．如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且BD=CE，AD与BE相交于点F．（1）试说明△ABD≌△BCE；（2）△EAF与△EBA相似吗？说说你的理由．36．已知如图，在四边形ABCD中，∠BAC=∠ADC=90°，AD=a，BC=b,AC=，求证：DC⊥BC37．已知：如图，平行四边形的对角线相交于点，点在边的延长线上，且，连接．（1）求证：；（2）如果，求证：．专题04证明两个三角形相似重难点专练第I卷（选择题）一、单选题1．如图，是等边三角形，被一平行于的矩形所截(即：FG∥BC)，若AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积是的面积的（）A． B． C． D．2．如图，在正三角形ABC中，点D、E分别在AC、AB上，且，AE=BE，则有（）A．△AED∽△BED B．△AED∽△CBDC．△AED∽△ABD D．△BAD∽△BCD3．如图，在正方形ABCD中，是等边三角形，AP、BP的延长线分别交边CD于点E、F，联结AC、CP、AC与BF相交于点H，下列结论中错误的是（）A．AE=2DE B． C． D．4．如图，在△ABC中，DE∥BC，若，则S△ADE：S△ABC等于（）A．4：25 B．2：5 C．4：9 D．4：215．如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与相似的是（）A． B．C． D．6．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，∠ACD＝∠B，那么下列判断中，不正确的是（）A．△ADE∽△ABC B．△CDE∽△BCD C．△ADE∽△ACD D．△ADE∽△DBC7．下列说法中正确的是（）A．两个直角三角形一定相似B．两个等腰三角形一定相似C．两个等腰直角三角形一定相似D．两个矩形一定相似8．如图，已知是中的边上的一点，，的平分线交边于，交于，那么下列结论中错误的是（）A．△BAC∽△BDA B．△BFA∽△BECC．△BDF∽△BEC D．△BDF∽△BAE9．如图，在中，是边上一点，连接，给出下列条件：①；②；③；④．其中单独能够判定的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是（）A．都含有一个40°的内角 B．都含有一个50°的内角C．都含有一个60°的内角 D．都含有一个70°的内角11．如图，在△ABC与△ADE中，，添加下列条件，不能得到△ABC与△ADE相似的是（）A． B．C． D．12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有()A．1对 B．2对 C．3对 D．4对13．如图，平行四边形ABCD中，F是CD上一点，BF交AD的延长线于G，则图中的相似三角形对数共有（）A．8对； B．6对； C．4对； D．2对．第II卷（非选择题）二、填空题14．如图，已知矩形，将其折叠，使点与点重合，折痕是那么折痕的长是_________．15．如图，在中，点在边上，将沿直线翻折得到，点的对应点恰好落在线段上，线段的延长线交边于点，如果，那么的值等于__________．16．如图，ABC中，AB=10，BC=12，AC=8，点D是边BC上一点，且BD：CD=2：1，联结AD，过AD中点M的直线将ABC分成周长相等的两部分，这条直线分别与边BC、AC相交于点E、F，那么线段BE的长为______．17．如图，在中，是的角平分线，将绕点旋转，如果点落在射线上，点落在点处，连接ED，那么的正切值为_______________________．18．在△ABC中，D、E分别在边AB、AC上，且DE∥BC，又，则S△ADE：S四边形BCED=_____．19．已知如图，正方形ABCD的边长为4，取AB边上的中点E，连接CE，过点B作BF⊥CE于点F，连接DF．过点A作AH⊥DF于点H，交CE于点M，交BC于点N，则MN=_____．20．如图，在矩形ABCD中，作，垂足为F，延长DF交边AB于点E，在图中一定和△DFC相似的三角形个数是_______个．21．如图，梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC，点P是AD边上一点，联结PB、PC，且，则图中有_______对相似三角形．三、解答题22．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，对称轴是直线x＝1，顶点是点D．（1）求该抛物线的解析式和顶点D的坐标；（2）点P为该抛物线第三象限上的一点，当四边形PBDC为梯形时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，点E为x轴正半轴上的一点，当tan（∠PBO＋∠PEO）＝时，求OE的长．23．如图，已知Q是∠BAC的边AC上一点，AQ＝15，cot∠BAC＝，点P是射线AB上一点，联结PQ，⊙O经过点A且与QP相切于点P，与边AC相交于另一点D．（1）当圆心O在射线AB上时，求⊙O的半径；（2）当圆心O到直线AB的距离为时，求线段AP的长；（3）试讨论以线段PQ长为半径的⊙P与⊙O的位置关系，并写出相应的线段AP取值范围．24．如图，中，点、分别在和上，点是边上一点，且，联结．（1）求证：；（2）求证：．25．已知：如图，在四边形中，，、相交于点，（1）求证：；（2）如果，求证：．26．已知，，，，为线段上的动点，点在射线上，且满足（如图1所示）（1）当，且点与点重合时（如图2所示），求线段的长；（2）在图1中，联结，当，且点在线段上时，设点、之间的距离为，，其中表示的面积，表示的面积，求关于的函数关系式，并写出函数定义域；（3）当，且点在线段的延长线上时（如图3所示），求的大小．27．如图，正方形的边在的边上，顶点、分别在边、上，已知的边，高，求：正方形的边长和面积．28．如图，在矩形中，，，动点从点出发沿向终点运动，同时动点从点出发沿对角线向终点运动，过点作，交于点，动点、的运动速度是每秒1个单位长度，运动时间为秒，当点动到点时，、两点同时停止运动，设．（1）求关于的函数关系式；（2）探究：当为何值时，四边形为梯形？（3）是否存在这样的点和点，使、、为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由．29．已知，如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝∠ADC＝，且AC是AD、BC的比例中项．求证：DC⊥BC30．已知：如图，E、M是AB边的三等分点，EF∥MN∥BC．求：△AEF的面积:四边形EMNF的面积:四边形MBCN的面积．31．如图，在平行四边形ABCD中，AC=AB．求证：∠ABD=∠DAC．32．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过原点O（0，0）、A（2，0），直线y＝2x经过抛物线的顶点B，点C是抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，联结BC、OC、AB，过点C作CE∥x轴，分别交线段OB、AB于点E、F．（1）求抛物线的表达式；（2）当BC＝CE时，求证：△BCE∽△ABO；（3）当∠CBA＝∠BOC时，求点C的坐标．33．下面是一位同学的一道作图题：已知线段a、b、c（如图），求作线段x，使他的作法如下：（1）以点O为端点画射线，．（2）在上依次截取，．（3）在上截取．（4）联结，过点B作，交于点D．所以：线段________就是所求的线段x．①试将结论补完整②这位同学作图的依据是________③如果，，，试用向量表示向量．34．如图：四边形ABCD对角线AC与BD相交于点O，OD=2OA，OC=2OB．（1）求证：△AOB∽△DOC；（2）点E在线段OC上，若AB∥DE，求证：OD2=OE•OC．35．如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且BD=CE，AD与BE相交于点F．（1）试说明△ABD≌△BCE；（2）△EAF与△EBA相似吗？说说你的理由．36．已知如图，在四边形ABCD中，∠BAC=∠ADC=90°，AD=a，BC=b,AC=，求证：DC⊥BC37．已知：如图，平行四边形的对角线相交于点，点在边的延长线上，且，连接．（1）求证：；（2）如果，求证：．参考答案1．C分析：AB被截成三等分，可得AB=3AE，AF=2AE，由EH∥FG∥BC，可得△AEH∽△AFG∽△ABC，则S△AEH：S△AFG：S△ABC=AE2：AF2：AB2，S阴影=S△AFG-S△AEH=S△ABC．【详解】∵AB被截成三等分，∴AB=3AE，AF=2AE，∵EH∥FG∥BC，∴△AEH∽△AFG∽△ABC，∴S△AEH：S△AFG：S△ABC=AE2：AF2：AB2=AE2：（2AE）2：（3AE）2=1:4:9，∴S△AEH=S△ABC,S△AFG=4S△AEH，S阴影=S△AFG-S△AEH=3S△AEH=3×S△ABC=S△ABC．故选择：C．【点睛】本题考查阴影部分面积问题，关键是利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，找到阴影面积与△AEH的关系，由△AEH与△ABC的关系来转化解决问题．2．B分析：本题可以采用排除法，即根据已知中正三角形ABC中，D、E分别在AC、AB上，，AE=BE，我们可以分别得到：△AED、△BCD为锐角三角形，△BED、△ABD为钝角三角形，然后根据锐角三角形不可能与钝角三角形相似排除错误答案，得到正确答案．【详解】由已知中正三角形ABC中，D、E分别在AC、AB上，，AE=BE，

易判断出：△AED为一个锐角三角形，△BED为一个钝角三角形，故A错误；

△ABD也是一个钝角三角形，故C也错误；

但△BCD为一个锐角三角形，故D也错误；

故选：B．【点睛】此题考查相似三角形的判定，解题关键在于可以直接根据相似三角形的定义，大小不同，形状相同，排除错误答案，得到正确结论．3．C分析：A.利用直角三角形30度角的性质即可解决问题．

B.根据两角相等两个三角形相似即可判断．

C.通过计算证明∠DPB≠∠DPF，即可判断．

D.利用相似三角形的性质即可证明．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠D=∠DAB=90°，

∵△ABP是等边三角形，

∴∠PAB=∠PBA=∠APB=60°，

∴∠DAE=30°，

∴AE=2DE，故A正确;

∵AB∥CD，

∴∠CFP=∠ABP=∠APH=60°，

∵∠PHA=∠PBA+∠BAH=60°+45°=105°，

又∵BC=BP，∠PBC=30°，

∴∠BPC=∠BCP=75°，

∴∠CPF=105°，

∴∠PHA=∠CPF，又易得∠APB=∠CFP=60°，

∴△CFP∽△APH，故B正确;

∵∠CPB=60°+75°=135°≠∠DPF，

∴△PFC与△PCA不相似，故C错误;

∵∠PCH=∠PCB-∠BCH=75°-45°=30°，

∴∠PCH=∠PBC，

∵∠CPH=∠BPC，

∴△PCH∽△PBC，

∴,

∴PC2=PH•PB，故D正确，

故选：C．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正方形的性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．4．A分析：由可得=，由DE∥BC可得△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得答案.【详解】∵=，∴=，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=()2=()2=.即S△ADE：S△ABC等于4：25，故选A．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键.5．B分析：根据相似三角形的判定方法一一判断即可．【详解】解：因为中有一个角是135°，选项中，有135°角的三角形只有B，且满足两边成比例夹角相等，故选B．【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．6．D解析：分析：若是两个三角形中两组角对应相等，那么这两个三角形相似，根据此判定作判断即可．【详解】∵点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，故A正确；

∵DE∥BC，∴∠BCD=∠EDC，∵∠B=∠DCE，∴△CDE∽△BCD，故B正确；∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴△ADE∽△ACD，故C正确；△ADE与△DBC不一定相似，故D不正确；本题选择不正确的，故选D．【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，要熟记这些判定定理才能灵活运用．7．C分析：根据三角形、矩形相似的判定方法逐个分析，确定正确答案即可．【详解】解：A、两个直角三角形只有一个直角可以确定相等，其他两个角度未知，故A不正确；B、等腰三角形的角度不一定相等，各边也不一定对应成比例，故B不正确；C、两个等腰直角三角形的对应相等，所以两个等腰直角三角形相似，故C正确；D、两个矩形对应角相等，但对应边的比不一定相等，故D不正确；故选C．【点睛】本题考查了相似图形的知识，解题的关键是了解对应角相等，对应边的比相等的图形相似，难度不大．8．C分析：根据相似三角形的判定，采用排除法，逐项分析判断．【详解】∵∠BAD=∠C，∠B=∠B，∴△BAC∽△BDA．故A正确．∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴△BFA∽△BEC．故B正确．∴∠BFA=∠BEC，∴∠BFD=∠BEA，∴△BDF∽△BAE．故D正确．而不能证明△BDF∽△BEC，故C错误．故选C．【点睛】本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边和对应角．9．B分析：由图可知△ABD与△ACB中∠A为公共角，所以只要再找一组角相等，或夹∠A的两边对应成比例即可解答．【详解】解：①∵∠ABD=∠ACB,∠A=∠A,∴△ABD∽△ACB；②∵AB2=ADAC,∴=,∠A=∠A,△ABC∽△ADB；③∠A=∠ABD,不能判定△ABD∽△ACB；④∵ABBC=ACBD,∴=，∠A=∠A，△ABC与△ADB不相似；故选：B.【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的判定与性质.10．C【详解】试题解析：因为A,B,D给出的角可能是顶角也可能是底角，所以不对应，则不能判定两个等腰三角形相似；故A，B，D错误；C.有一个的内角的等腰三角形是等边三角形，所有的等边三角形相似，故C正确.故选C.11．D解析：解：∵∠B=∠D，∠E=∠C，∴△ABC∽△ADE，故A正确；∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAC=∠DAE，∵∠B=∠D，∴△ABC∽△ADE，故B正确；∵，∠B=∠D，∴△ABC∽△ADE，故C正确；若，则需要∠E=∠C，才能得到△ABC∽△ADE，故D错误．故选D．12．C【详解】∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴△ABC∽△ACD，△ACD∽CBD，△ABC∽CBD，所以有三对相似三角形．故选C．13．B分析：试题分析：根据平行四边形的性质，得到平行四边形的对边平行，即AD∥BC，AB∥CD；再根据相似三角形的判定方法：平行于三角形一边的直线与三角形另两边或另两边的延长线所构成的三角形相似，进而得出答案．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴△BEC∽△GEA，△ABE∽△CEF，△GDF∽△GAB，△DGF∽△BCF，∴△GAB∽△BCF，还有△ABC≌△CDA（是特殊相似），∴共有6对．故选B．考点：1.相似三角形的判定；2.平行四边形的性质．14．分析：连接BD交EF于点O，则O是BD的中点，易证，根据相似三角形的对应的边的比相等，即可求得OE的长，再根据即可求解．【详解】如图所示，B点与D点重合后，折痕为EF，连接BD交EF交于点O，则O是BD的中点，在中，，则，∵B、D关于EF对称，∴，又∵矩形ABCD中，，∴，在与中，，，∴，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题）、矩形的性质、三角形相似等知识点，熟练掌握翻折变换和三角形相似的判定与性质是解题的关键．15．分析：由轴对称的性质可得：，，，结合平行四边形的性质，结合，设则，证明，再证明，可得：，求解：，从而可得答案．【详解】解：，，，，，，设则，，，，，，，，，，，，故答案为：【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．16．分析：如图，过作交于，设由三角形的周长关系可得：再证明：利用相似三角形的性质求解再证明：可得：再解方程组可得答案．【详解】解：如图，过作交于，设为的中点，即：解得：或，经检验：不合题意，舍去，故答案为：【点睛】本题考查的是三角形的相似的判定与性质，二元方程组的解法，一元二次方程的解法，掌握以上知识是解题的关键．17．分析：如图，过点D作DG⊥AC于G，可得DG//BC，即可证明△AGD∽△ACB，可得，由CD是角平分线可得∠ACD=45°，可得CG=DG，进而可求出AG的长，根据勾股定理即可求出AD的长，根据旋转的性质可得AC′=AC，AE=AB，根据等腰三角形的性质可得∠CC′A=45°，可得∠CAC′=90°，可得旋转角为90°，可得∠DAE=90°，利用勾股定理可求出AB的长，根据正切的定义即可得答案．【详解】如图，过点D作DG⊥AC于G，∵∠ACB=90°，∴DG//BC，∴△AGD∽△ACB，可得，∵CD是角平分线，∴∠ACD=45°，∴CG=DG，∵AC=3，AC=AG+CG，∴+CG=3，即=3，解得：DG=，∴AG=，∴AD==，∵将绕点旋转，如果点落在射线上，∴AC′=AC，AE=AB，∴∠CC′A=∠ACD=45°，∴∠CAC′=90°，∴旋转角为90°，∴∠DAE=90°，∵AC=3，BC=4，∴AB=5，=．故答案为：【点睛】本题考查旋转的性质、相似三角形的判定与性质及三角函数的定义，正确得出旋转角为90°并熟练掌握相关性质及定义是解题关键．18．4:5分析：由已知条件可证得△ADE∽△ABC，则，再根据已知条件，得出，由相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可求解．【详解】如图：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∵AD：DB＝2：1，∴，∴，∵S△ADE＋S四边形DBCE＝S△ABC，∴S△ADE：S四边形BCED=4:5.故答案为：4:5．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟记相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解题的关键．19．1分析：如图，延长DF交AB于P．首先证明EF：CF=1：4，由△ADP≌△BAN，推出BN=AP，DP=AN，由PE∥DC，推出PE：DC=EF：CF=1：4，推出PE=BP=1，再证明∠NCM=∠NMC即可解决问题；【详解】解：如图，延长DF交AB于P．∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠ABN=∠DAP=90°，∵AN⊥DP，∴∠APD+∠PAH=90°，∠ANB+∠PAH=90°，∴∠APD=∠ANB，∴△ADP≌△BAN，∴AN=DP，BN=AP，∵BF⊥EC，∴∠EBF+∠BEF=90°，∠BCE+∠BEC=90°，∴∠EBF=∠BCE，∴tan∠EBF=tan∠BCE=，∵AB=BC，BE=AE，∴tan∠EBF=tan∠BCE=，设EF=a，则BF=2a，CF=4a，∵PE∥DC，∴∵CD=4，∴PE=1，∵BE=2，∴PE=PB=1，∴PF=BE=1，AP=3，在Rt△ADP中，DP=∴DF=4，BN=AP=3，CN=1，∴BC=DF，∴∠DFC=∠DCF，∵∠BCE+∠DCF=90°，∠FMH+∠DFC=90°，∠FMH=∠NMC，∴∠NCM=∠NMC，∴MN=CN=1．故答案为1．【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题掌握的压轴题．20．5解析：分析：根据两角对应相等的两个三角形相似及相似三角形的传递性判定即可.【详解】∵，∴∠CFD=∠AFD=∠AFE=90°.∵CD∥AB,∴∠CDF=∠AEF,又∵∠CFD=∠AFE,∴△CFD～△AFE；∵∠ADF=∠EDA,∠AFD=∠DAE,∴△ADF～△EDA；∵∠AEF=∠DEA,∠AFD=∠DAE,∴△DAE～△AFE；∵∠DCF=∠DCA,∠CFD=∠ADC,∴△CDF～△CAD；∵∠AEF=∠ABC,∠EAF=∠BAC,∴△AEF～△ACB；∴△CFD～△AFE～△DFA～△DAE～△CDA～△ABC.故答案为：5.【点睛】本题考查了相似三角形的判定方法，相似三角形的判定方法有：①对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形；②平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似；③根据两角相等的两个三角形相似；④两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似判定即可；⑤三边对应成比例得两个三角形相似.21．3【详解】因为梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC，

所以∠A＝∠D,

又，

所以,

所以△ABP∽△DPC,

所以∠ABP＝∠DPC,∠APB＝∠DCP,

又AD//BC，

所以∠APB＝∠PBC,∠DPC＝∠PCB,

所以△ABP∽△PCB,△PCB∽△DPC,

所以共有3对相似三角形.22．（1）y＝﹣（x﹣1）2＋4，（1，4）；（2）（﹣2，﹣5）；（3）分析：（1）把A（﹣1，0）代入抛物线的解析式，再由对称轴x＝＝1，列方程组求出a、b的值；（2）四边形PBDC为梯形时，则PB∥CD；先求CD所在直线的解析式，再根据两个一次函数一般式中的k值相等求直线PB的解析式且与抛物线的解析式组成方程，解方程组求出点P的坐标；（3）过点P作x轴的垂线，构造以P为顶点且一个锐角的正切值为的直角三角形，再利用相似三角形的性质求OE的长．【详解】解：（1）根据题意，得，解得，∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2＋2x＋3；∵y＝﹣x2＋2x＋3＝﹣（x﹣1）2＋4，∴该抛物线的顶点D的坐标为（1，4）．（2）如图1，由y＝﹣x2＋2x＋3，得C（0，3），B（3，0）．设直线CD的解析式为y＝kx＋3，则k＋3＝4，解得k＝1，∴y＝x＋3；当四边形PBDC是梯形时，则PB∥CD，设直线PB的解析式为y＝x＋m，则3＋m＝0，解得m＝﹣3，∴y＝x﹣3．由，得，，∴P（﹣2，﹣5）．（3）如图2，作PH⊥x轴于点H，在x轴正半轴上取一点F，使＝tan∠HPF＝，连接PF．由（2）得，直线PB的解析式为y＝x﹣3，则G（0，﹣3），∴OB＝OG＝3．∵PH∥OG，∴∠BPH＝∠BGO＝∠PBO＝45°，∴∠HPF＝45°＋∠FPB；∵tan（∠PBO＋∠PEO）＝，∴45°＋∠PEO＝45°＋∠FPB，∴∠PEO＝∠FPB，又∵∠PBE＝∠FBP（公共角），∴△PBE∽△FBP，∴，BE•BF＝PB2，∵HF＝PH＝×5＝，∴BF＝﹣2﹣3＝，又∵PH＝BH＝5，∴PB2＝52＋52＝50，∴BE＝50，解得BE＝，∴OE＝3＋＝．【点睛】本题考查二次函数解析式、一次函数、锐角三角函数、相似三角形的判定．利用同角锐角三角函数转换角的关系是解题的关键，23．（1）；（2）3或；（3）当⊙O与⊙P内含时，0＜AP＜12．当⊙O与⊙P内切时，AP＝12．当⊙O与⊙P相交时，12＜AP＜18分析：（1）解直角三角形求出PA即可．（2）分两种情形：如图，当点O在射线AB的上方时，，当点O在射线AB的下方时，分别利用相似三角形的性质求解即可．（3）求出两圆内切时AP的值，条件⊙O与AC相切于时A时，AP的值，即可判断．【详解】解：（1）如图，∵点O在PA上，PQ是⊙O的切线，∴PQ⊥AP，∵cot∠PAQ＝＝，∴可以假设PA＝3k，PQ＝4k，则AQ＝5k＝15，∴k＝3，∴PA＝9，PQ＝12，∴⊙O的半径为．（2）如图，当点O在射线AB的上方时，过点Q作QK⊥AB于K，过点O作OH⊥AB于H．∵PQ是⊙O的切线，∴∠PHO＝∠OPQ＝∠PKQ＝90°，∴∠OPH+∠QPK＝90°，∠QPK+∠PQK＝90°，∴△PHO∽△QKP，∴设PA＝2m，则AH＝PH＝m，PK＝9﹣2m，∴解得，m＝或﹣3，经检验，x＝是分式方程的解，且符合题意．∴AP＝3．如图，当点O在射线AB的下方时，同法可得AP＝．综上所述，满足条件的AP的值为3或．（3）如图，当⊙P与⊙O内切时，由△PHO∽△QKP，可得,∵OH⊥AP，∴AH＝PH，∴AP＝2PH，QK＝2PH，∴PA＝QK＝12，如图，当⊙O与AC相切于点A时，∵∠OAQ＝∠OPQ＝90°，OQ＝OQ，OA＝OP，∴Rt△OAQ≌Rt△OPQ（HL），∴AQ＝PQ，∵OA＝OP，∴OQ垂直平分线段AP，∴AP＝2AH＝18，观察图像可知：当⊙O与⊙P内含时，0＜AP＜12．当⊙O与⊙P内切时，AP＝12．当⊙O与⊙P相交时，12＜AP＜18．【点睛】本题相似三角形、全等三角形的判定、圆与圆的位置关系．分类讨论思想是难点．灵活进行角的转换证明相似是重点．24．（1）见解析；（2）见解析.分析：(1)借助公共角，利用两角对应相等，证明△∽△即可得解；(2)利用两边对应成比例及其夹角相等，证明即可.【详解】（1）证明：∵，，∴△∽△，∴，∴．（2）证明：∵，，∴∽，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题考查了三角形的相似，熟练选择三角形相似的判定定理是解题的关键.25．（1）见解析；（2）见解析分析：（1）找到两对相同角即可证明相似（2）证明出后可推出．【详解】证明：（1）∵两个三角形有一公共角∠BAC∴．（2）为等腰三角形为等腰三角形．【点睛】本题考查四边形的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，26．（1）；（2）；（3）分析：（1）当AD=2时，AD=AB，此时为等腰直角三角形，证明也是等腰直角三角形，BC长已知，则PC的长可求；（2）如图，作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，证明，可得设BE=4k，则PE=3k，利用，可得与的函数关系式，过D作BC的垂线DM，求解P在D点时，x的最大值，从而可得的取值范围；（3）作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，结合已知条件可证，则∠EPQ=∠FPC，利用角的和差关系可求得∠QPC=90°，从而可得结论．【详解】解：（1）如图，∵AD∥BC，∠ABC=90°，∴∠A=∠ABC=90°．当AD=2时，AD=AB，∴∠D=∠ABD=45°，∴∠PBC=∠D=45°．∵＝，∴PQ=PC，∴∠C=∠PQC=45°，∴∠BPC=90°．∴PC=BC•sin45°=（2）如图，作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，∵∠ABC=90°，∴四边形EBFP是矩形．∴PF=BE．又∵∠BAD=90°，∴PE∥AD，∴．∴设BE=4k，则PE=3k，∴PF=BE=4k．∵BQ=x，∴．∴，∵，即．过D作BC的垂线DM，四边形是矩形，在直角中，当P在D点时，x最大，则PC=DC=，而，,得PQ=，利用勾股定理得：，所以此时∴（3）如图，作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，∵∠ABC=90°，∴四边形EBFP是矩形．∴PF=BE，，∠EPF=90°，．又，∴PE∥AD．．∴，∴．∴．又∵，∴．∴，∴∠EPQ=∠FPC．∵∠EPQ+∠QPF=∠EPF=90°，∴∠FPC+∠QPF=90°，即∠QPC=90°．【点睛】本题考查的是矩形的性质与判定，勾股定理的应用，列函数关系式，相似三角形的判定与性质的实际应用，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键．27．，分析：由正方形的性质可得DGBC，不难证明∽，即，设正方形的边长为x，分别表示出对应边的长度并代入求解，即可得出正方形的边长，即可得出正方形的面积．【详解】设正方形的边长为x，正方形DEFH，AHBC，DG=GF=MH=x，DGBC，，AM=10－x，在与中，，∽，，，解得：x=6，S=6×6=36．答：正方形的边长为6，面积为36．【点睛】本题主要考查正方形的性质以及相似三角形的判定与性质，设正方形的边长为x，根据相似比等于高之比列方程求解是解题关键．28．（1）；（2）；（3），或，．分析：（1）由四边形ABCD为矩形，得到∠D为直角，对边相等，可得三角形ADC为直角三角形，由AD与DC的长，利用勾股定理求出AC的长，再由，可得出，利用相似三角形的性质可得到y与x的关系式；（2）若QB与PE平行，得到四边形PQBE为矩形，不合题意，故QB与PE不平行，当PQ与BE平行时，利用两直线平行得到一对内错角相等，可得出一对邻补角相等，再由，得到一对内错角相等，可得出，由相似得比例列出关于x的方程，求出方程的解即可得到四边形PQBE为梯形时x的值；（3）存在这样的点P和点Q，使P、Q、E为顶点的三角形是等腰三角形，分两种情况考虑：当Q在AE上时，由表示出QE，再根据PQ=PE，PQ=EQ，PE=QE三种情况，分别列出关于x的方程，求出方程的解即可得到满足题意x的值；当Q在EC上时，由表示出QE，此时三角形为钝角三角形，只能PE=QE列出关于x的方程，求出方程的解得到满足题意x的值，综上，得到所有满足题意的x的值．【详解】解：（1）∵矩形ABCD，∴∠D=90°，AB=DC=3，AD=BC=4，∴在中，利用勾股定理得：∵PE∥CD，∴，又PD=x，AD=4，即∴；（2）若QB∥PE，四边形PQBE是矩形，非梯形，故QB与PE不平行，当QP∥BE时，∠PQE=∠BEQ，∴∠AQP=∠CEB，∵AD∥BC，∴∠PAQ=∠BCE，，由（1）得：又PA=4-x，BC=4，AQ=x，即，整理得：，解得：，经检验：是原方程的根，且符合题意，∴当时，QP∥BE，而QB与PE不平行，此时四边形PQBE是梯形；（3）存在．分两种情况：当Q在线段AE上时：，（i）当QE=PE时，，解得：；（ii）当QP=QE时，∠QPE=∠QEP，∵∠APQ+∠QPE=90°，∠PAQ+∠QEP=90°，∴∠APQ=∠PAQ，∴AQ=QP=QE，∴，解得：；（iii）当QP=PE时，过P作PF⊥QE于F，可得：，∵PE∥DC，∴∠AEP=∠ACD，∴cos∠AEP=cos∠ACD=，∵cos∠AEP=，解得：；经检验：是原方程的根，且符合题意，当点Q在线段EC上时，只能是钝角三角形，如图所示：∴，又∴，解得：．综上，当或或或时，为等腰三角形．【点睛】本题考查的是矩形的判定于性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，平行线的性质，梯形的判定，以及等腰三角形的性质，利用了数形结合及分类讨论的数学思想，分类讨论时要做到不重不漏，掌握以上知识是解题的关键．29．详见解析分析：先由已知条件推出AC2＝AD•BC，通过变形，由直角三角形相似的判定方法可判定Rt△DCA∽Rt△ABC，得到∠DCA＝∠B，∠DCA＋ACB＝90°，即可得出结论．【详解】证明：∵∠BAC＝∠ADC＝90°，∴△ABC与△ACD都是直角三角形，而AC2＝AD•BC，∴，又∵∠BAC＝∠ADC，∴Rt△DCA∽Rt△ABC，∴∠DCA＝∠B，∵∠B＋∠ACB＝90°，∴∠DCA＋ACB＝90°，即∠DCB＝90°，∴DC⊥BC．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是掌握特殊三角形直角三角形相似的判定方法．30．1:3:5分析：由已知条件和平行线得出AM＝2AE，AB＝3AE，△AEF∽△AMN，△AEF∽△ABC，由相似三角形面积的比等于相似比的平方得出△AEF的面积:△AMN的面积＝1:4，△AEF的面积:△ABC的面积＝1:9，得出△AEF的面积:四边形EMNF的面积＝1:3，△AEF的面积:四边形EBCF的面积＝1:8，即可得出结果．【详解】∵EF∥MN∥BC，∴△AEF∽△AMN∽△ABC，∵E、M是AB边的三等分点，∴△AEF，△AMN，△ABC的相似比为1:2:3，∴△AEF，△AMN，△ABC的面积比为1:4:9，∴△AEF的面积∶四边形EMNF的面积∶四边形MBCN的面积=1:3:5.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质.熟练掌握相似三角形的判定与性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．31．见解析．分析：根据AC＝AB证明，从而可证得△AOB∽△ABC，得对应角相等，同时再利用平行线所截的内错角相等得出结论．【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC＝2AO，AD∥BC，∵AC＝AB，∴AO＝AB，∴，∵，∴，∵∠CAB＝∠CAB，∴△AOB∽△ABC，∴∠ABD＝∠ACB，∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠DAC，∴∠ABD＝∠DAC．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形边、角、对角线的关系；在证明两角相等时，除了运用平行线、全等三角形外，还可以证明两三角形相似，