浙教版初中数学八年级下册全册课件

第1章

二次根式1.1二次根式1课堂讲解二次根式的定义二次根式有意义的条件二次根式的“双重”非负性(≥0，a≥0)2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升1知识点二次根式的定义

我们知道，正数的正平方根和零的平方根统称算术平方根，用(a≥0)表示.

根据下图所示的直角三角形、正方形和等腰直角三角形的条件，完成以下填空：

直角三角形的斜边长是_____________________；

正方形的边长是_____________________；知1－导（来自教材）知1－导等腰直角三角形的腰长是_____________________.你认为所得的各代数式的共同特点是什么?归纳知1－导

像

这样表示算术平方根的代数式叫做二次根式.知1－讲定义：像

这样表示算术平方根的代数式叫做二次根式，其中二次根式

中的“”称为二次根号，a称为被开方数(式)．要点精析：(1)二次根式的定义是从式子的结构形式上界定的，必须含

有二次根号“”；“”的根指数为2，即

，“2”

一般省略不写．(2)被开方数a可以是一个数，也可以是一个含有字母的式

子，但前提是a必须大于或等于0.知1－讲判断下列各式是否为二次根式，并说明理由．例1判断一个式子是不是二次根式，实质是看它是否具备二次

根式定义的条件，紧扣定义进行识别．一看根指数是否为2，二看被开方数(式)是否为非负数．导引：知1－讲(1)∵无论x为何值，都有x2＋1＞0，∴是二次根式．(2)当0≤0时，－5a≥0，∴是二次根式；

当a＞0时，－5a＜0，∴不是二次根式．∴不一定是二次根式．(3)当x＝－3时，

无意义，∴也无意义；

当x≠－3时，

＞0，解：知1－讲∴是二次根式．∴不一定是二次根式．(4)当a＝4时，－(a－4)2＝0，∴是二次根式；

当a≠4时，－(a－4)2＜0，∴不是二次根式．∴不一定是二次根式．(5)∵x2＋2x＋2＝x2＋2x＋1＋1＝(x＋1)2＋1＞0，∴是二次根式．总结知1－讲

二次根式的识别方法：判断一个式子是否为二次根式，一定要紧扣二次根式的定义，看所给的式子是否同时具备二次根式的两个特征：(1)含根号且根指数为2(通常省略不写)；(2)被开方数(式)为非负数．知1－练下列各式中，一定是二次根式的是（

）1知1－练下列式子不一定是二次根式的是(

)2知1－练下列式子：中，是二次根式的有(

)A．2个B．3个C．4个D．5个32知识点二次根式有意义的条件知2－讲(1)式子

只有在条件a≥0时才叫二次根式．即a≥0是

为二次根式的前提条件.式子

就不是二次根式，

但式子

却又是二次根式．

（a≥0）实际上就是非负数a的算术平方根，既可

表示开方运算,也可表示运算的结果.同时

（a≥0）

也是一个非负数，我们把这个性质叫做二次根式的

双重非负性.总结知2－讲1.二次根式有意义的条件是被开方数(式)为非负数，反

之也成立，即

有意义⇔a≥0.2.二次根式无意义的条件是被开方数(式)为负数，反之

也成立，即

无意义⇔a＜0.知2－讲要点精析：(1)如果一个式子含有多个二次根式，那么它有意义的条件

是：各个二次根式中的被开方数(式)都必须是非负数．(2)如果一个式子既含有二次根式又含有分式，那么它有意

义的条件是：二次根式中的被开方数(式)是非负数，分

式的分母不等于0．(3)如果一个式子含有零指数幂或负整数指数幂，那么它有

意义的条件是：底数不为0．知2－讲求下列二次根式中字母a的取值范围.例2解：(1)由a+1≥0，得a≥

-1，所以字母a的取值范围是大

于或等于-1的实数.(2)由>0，得1-2a>0，即a<.

所以字母a的取值范围是小于

的实数.(3)因为无论a取何值，都有(a-3)

2≥0,所以a的取值范

围是全体实数.总

结知2－讲

求式子有意义时字母的取值范围的方法：第一步，明确式子有意义的条件，对于单个的二次根式，则必须满足被开方数为非负数；对于含有多个二次根式的，则必须满足多个被开方数同时为非负数；对于零指数幂或负整数指数幂，则必须满足底数不能为零；对于含有分式的，则必须满足分母不能为零．第二步，利用式子中所有有意义的条件，建立不等式或不等式组．第三步，求出不等式或不等式组的解集，即为字母的取值范围．知2－练（来自教材）求下列二次根式中字母x的取值范围.1知2－练(中考·济宁)要使二次根式

有意义，x必须满足(

)A．x≤2B．x≥2C．x＜2D．x＞22知2－练(中考·巴中)要使式子

有意义，则m的取值范围是(

)A．m>－1B．m≥－1C．m>－1且m≠1D．m≥－1且m≠13知2－讲（来自教材）当x=-4时，求二次根式

的值.例3解：将x=-4代入二次根式，得总

结知2－讲本题运用类比思想．求二次根式的值与求有理式的值的方法一样，代入数值计算即可．但要注意被开方数必须是非负数．知2－练当x分别取下列值时，求

的值．(1)x＝

；(2)x＝－1；(3)x＝1.1知2－练(中考·滨州)如果式子

有意义，那么x的取值范围在数轴上表示出来，正确的是(

)2知3－讲3知识点二次根式的“双重”非负性(≥0，a≥0)

（a≥0）是一个非负数.1.理解二次根式的非负性应从算术平方根入手，当a≥0时，

表示a的算术平方根，因此

≥0.所以“二次根式”

包含有两个“非负”即：①被开方数非负：a≥0；②二

次根式的值非负：

≥0.2.若=0,则

a=0,b=0.由于二次根式

和

都是

非负数，所以它们的值都为0.若

，则

x-y

的值为（

）A．1 B．－1 C．7 D．－7知3－讲例4根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．因为

都是非负数，它们的和为0，所以（y+3)2=0，

，所以y+3=0，x+y-1=0，解得y=-3，x=4，所以x-y=7，故选C．导引：C总

结知3－讲两个非负数的和为0时，这两个非负数都为0．知3－练若

，求a2012+b2012的值．1知3－练若

＋(y＋2)2＝0，则(x＋y)2016等于(

)A．－1B．1C．32016D．－3201621.二次根式的条件：(1)带二次根号“”；(2)被开方数是非负数．2.常见具有“非负性”的三类数：

，|a|，a2n(n为正

整数)；二次根式的双重非负性为：(1)≥0；(2)a≥0.)1.必做:完成教材P5课内练习T2，

教材P5-P6作业题T1-T62.补充:请完成《典中点》剩余部分习题1.2二次根式的性质第1课时

二次根式的

性质(一)第1章

二次根式1课堂讲解性质1：()2＝a(a≥0)性质2：

＝|a|＝(数形结合思想)2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升在很很久以前，欧几里得做了一个奇怪的梦，在梦里上帝要他求出

和（

）2的结果，欧几里得想啊，做啊，就是完不成这个任务，所以他也就一直没有睡醒，你能帮帮欧几里得，让他快点醒来吗？1知识点性质1：()2＝a(a≥0)根据平方根的意义，完成以下填空：知1－导（来自教材）归纳知1－导一般地，二次根式有下面的性质:()2＝a(a≥0)（来自教材）知1－讲

即(a≥0)是一个非负数，表示非负数a的算术平方根，因此通过算术平方根的定义，将非负数a的算术平方根平方，就等于它本身，即()2＝a(a≥0).知1－讲（来自教材）计算：例1解：总结知1－讲（

）2=a（a

≥0）这一性质也可以反过来用，即

a=（

）2（a≥0），如3=（

）2，=（

）2等．知1－练计算：1知1－练下列计算正确的是(

)A．－()2＝－6B．()2＝9C．()2＝±16D．2知1－练()2的平方根是(

)A.B．±C．－D．不存在32知识点性质2：

＝|a|＝(数形结合思想)知2－导填空：比较左右两边的式子，议一议：有什么关系？

当a≥0时，

当

a<0时，

（来自教材）归纳知2－导（来自教材）一般地，二次根式有下面的性质：

＝|a|＝知2－讲当a是负数时，如

说明此时的结果是a的相反数-a.故此公式可以写为

＝|a|＝

，如果没有特别说明，被开方式中的所有字母均表示正数．注意：运用公式

＝|a|＝

进行化简时，一定要先确定

a的取值范围.知2－讲（来自教材）计算：例2解：总

结知2－讲运用()2＝a(a≥0)，

＝|a|进行计算的方法：(1)计算()2(a≥0)，直接运用()2＝a(a≥0)．(2)计算

一般有两个步骤：①去掉根号及被开方数的指数，写成绝对值的形式；②去掉绝对值符号，根据绝对值的意义进行化简．知2－练（来自教材）计算：1知2－练（来自《典中点》）下列各式中，正确的是(

)2知2－练（来自《典中点》）

的值等于(

)3知2－讲（来自教材）计算：例3解：总

结知2－讲根据二次根式的性质对

进行化简时，易出现符号上的错误．因此为避免此问题，首先要利用

进行过渡，然后再根据a的正负去掉绝对值符号．尤其是当a＜0时，去掉绝对值符号后应等于它的相反数－a.知2－练（来自教材）数a在数轴上的位置如图，则=____________.1知2－练若代数式

的值是常数2，则x的取值范围是(

)A．x≥4B．x≤2C．2≤x≤4D．x＝2或x＝42二次根式的性质：

中a≥0，≥0，即一个非负数的算术平方根是

一个非负数；(2)()2＝a(a≥0)，即一个非负数的算术平方根的平方

等于它本身；

＝|a|＝

即一个数的平方的算术平方根

等于它的绝对值．1.必做:完成教材P7-P8课内练习T1（1），

T3，完成教材P8作业题T1-T62.补充:请完成《典中点》剩余部分习题1.2二次根式的性质第2课时

二次根式的

性质(二)第1章

二次根式1课堂讲解积的算术平方根的性质商的算术平方根的性质最简二次根式2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升如图，一只蚂蚁从长、宽都是4，高是6的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是多少.1知识点积的算术平方根的性质知1－讲一般地，二次根式有下面的性质:(a≥0,b≥0)（来自教材）知1－讲1.当二次根号下是两个非负数的积的形式时，则可转化成

两个非负数的算术平方根的积，即二次根式有以下性质：(a≥0，b≥0)．也就是说：积的算术平方根等于

积中各因数(式)算术平方根的积．2.拓展：此性质可以推广到二次根号下含有多个非负因数(式)

的情况：(a≥0，b≥0，c≥0，d≥0)．3.易错警示：公式中的a，b既可以是数，也可以是含字母的代

数式，但都必须是非负的．因为负数没有平方根，若原被开

方数中各个因数(式)是负数时，应先化成非负数再运用性质

求解．知1－讲（来自教材）化简：例1解：总结知1－讲在利用积的算术平方根的性质时，要注意以下两点：(1)注意公式中被开方数(式)的范围；(2)注意被开方数(式)一定是乘积的形式，不要出现“”这样的错误．知1－练化简：1（来自教材）知1－练下列计算正确的是(

)A.B.＝5a2bC.＝8＋5D.＝72知1－练对于任意实数a，下列各式中一定成立的是(

)32知识点商的算术平方根的性质知2－导填空（可用计算器计算）：比较左右两边的等式，你发现了什么？你能用字母表示发现的规律吗？（来自教材）归纳知2－导（来自教材）一般地，二次根式有下面的性质：知2－讲1．当二次根号下是一个非负数与一个正数的商的形式时，它可以转化成这两个数的算术平方根的商．一般地，二次根式有如下性质：

(a≥0，b＞0)．也就是说：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根．2．易错警示：商的算术平方根的性质的限制条件(a≥0，b＞0)与积的算术平方根的性质的限制条件类似，但也有区别．因为分母不能为0，所以被除式a必须是非负数，除式b必须是正数否则性质不成立．如：设a＝－3，b＝－5，则∵无意义，∴.知2－讲（来自教材）化简：例2解：总

结知2－讲利用商的算术平方根的性质化简二次根式的方法：(1)若被开方数(式)的分母是一个完全平方数(式)，则可以直

接利用商的算术平方根的性质，先将分子、分母分别开

平方，然后求商；(2)若被开方数(式)的分母不是完全平方数(式)，可根据分式

的基本性质，先将分式的分子、分母同时乘一个不等于0

的数或整式，使分母变成一个完全平方数(式)，然后利用

商的算术平方根的性质进行化简．知2－练（来自教材）化简：1知2－练下列各式计算正确的是(

)A.B.C.D.2知2－练若

，则a的取值范围是(

)A．a≤0B．a<0C．a>0D．0<a≤13知2－讲去掉下列分母中的根号：例3导引：要想将分母有理化，其实质是将分子、分母同乘一个适当的数(式)，使分母转化为()2或

的形式．(1)分子、分母同乘

；(2)可以先分别把分子、分母进行化简，再将分子、分母同乘一个适当的数(式)，化去分母中的根式；(3)分子、分母同乘

；(4)分子、分母同乘

＋1.知2－讲解：总

结知2－讲分母有理化一般经历如下三步：

“一移”，即将分子、分母中能开得尽方的因数(式)开方后移到根号外；“二乘”，即将分子、分母同乘分母的有理化因数(式)；“三化”，即化简计算．知2－练（来自教材）化简：1知2－练下列计算正确的有(

)A．1个B．2个C．3个D．4个2知3－导3知识点

最简二次根式像

这样，在根号内不含分母，不含开得尽方的因数或因式，这样的二次根式我们就说它是最简二次根式.二次根式化简的结果应为最简二次根式.（来自教材）归纳知3－导1．定义：像

这样，在根号内不含分母，不含开得尽方的因数或因式，这样的二次根式我们就说它是最简二次根式．要点精析：最简二次根式必须满足：(1)被开方数不含分母，也就是被开方数必须是整数(式)；(2)被开方数中每个因数(式)的指数都小于根指数2，即每

个因数(式)的指数都是1.下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是最简二次根式？不是最简二次根式的，请说明理由．知3－讲例4根据最简二次根式的定义进行判断．导引：知3－讲(1)不是最简二次根式，因为被开方数中含有分母．(2)是最简二次根式．(3)不是最简二次根式，因为被开方数是小数(即含有分母)．(4)不是最简二次根式，因为被开方数24x中含有能开得尽

方的因数4，4＝22.(5)不是最简二次根式，因为x3＋6x2＋9x＝x(x2＋6x＋9)＝x(x＋3)2，被开方数中含有能开得尽方的因式．(6)不是最简二次根式，因为分母中有二次根式．综上，只有(2)是最简二次根式．解：总结知3－讲判断最简二次根式有两大思维误区：(1)是被开方数不含分母而不是式子不含分母，如

有分母但

是最简二次根式；(2)被开方数中不能含有开得尽方的因数或因式，如

是最简二次根式．知3－练在下列根式：

中，最简二次根式的个数为(

)A．4B．3C．2D．11积的算术平方根性质:(a≥0,b≥0)商的算术平方根性质：把二次根式化成最简二次根式时，需要注意①把根号下的带分数化成假分数；②被开方式是多项式的要进行因式分解；③被开方式不含分母；④被开方式中能开得尽方的因数或因式，要将它的

算术平方根移到根号外；⑤化去分母中的根号；⑥约分．1.必做:完成教材P11-P12作业题T1-T72.补充:请完成《典中点》剩余部分习题1.3二次根式的运算第1课时二次根式的乘除第1章

二次根式1课堂讲解二次根式的乘法二次根式的除法2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升如图，架在消防车上的云梯AB长为15m，AD：BD=1:0.6,云梯底部离地面的距离BC为2m.你能求出云梯的顶端离地面的距离AE吗？（来自教材）1知识点二次根式的乘法知1－导（来自教材）计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？归纳知1－导根据二次根式的性质，我们可以得到:(a≥0,b≥0)（来自教材）知1－讲1.法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数

不变，即：(a≥0，b≥0)．要点精析：(1)法则中的被开方数a，b既可以是数，也可以是含字

母的代数式，但都必须是非负数．(2)当二次根式根号外有因数(式)时，可类比单项式乘单

项式的法则进行运算，即根号外因数(式)之积作为根

号外因数(式)，被开方数(式)之积作为被开方数(式)．知1－讲(3)二次根式相乘的结果是一个二次根式或一个有理式．(4)如果没有特别说明，本章中的所有字母都表示正数.2.拓展：(1)几个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即：

(a≥0，b≥0，c≥0)．(2)几个二次根式相乘，可利用交换律、结合律使运算简便．3.易错警示：不要把字母表示正数误认为含该字母的式子

的值就是正数．知1－讲（来自教材）计算：例1解：总结知1－讲(1)两个二次根式相乘，被开方数的积中有开得尽方的

一定要开方；(2)当二次根式根号外有因数(式)时，将根号外的因数

(式)与根号外的因数(式)相乘作为积的“系数”，被

开方数与被开方数相乘作为积的被开方数．知1－练计算：1（来自教材）知1－练(中考·安徽)计算

的结果是(

)A.B．4C.D．22(中考·海南)下列各数中，与

的积为有理数的是(

)A.B．C．D．

3知1－讲如图，一个正三角形路标的边长为

个单位，求这个路标的面积.例2解：如图，作AD丄BC于点D，则BD=CD=

BC=

在Rt△ACD中，AD=∴S△ABC=BC×AD=(平方单位).答:这个路标的面积为

平方单位.总结知1－讲利用二次根式的乘法解决问题时，问题中的已知量是二次根式，在计算时要运用到二次根式的乘法法则．知1－练如图，在Rt△ABC中，∠ACB=Rt∠，BC=

,AC=,求斜边上的高线CD的长1（来自教材）知1－练洛湾中学要在一块长方形土地上进行绿化，已知这块长方形土地的长a＝m，宽b＝m.(1)求该长方形土地的面积(结果保留整数)；(2)如果绿化该长方形土地每平方米的造价为180元，

那么绿化该长方形土地所需资金约为多少元？22知识点二次根式的除法知2－导1.计算：2.根据上题计算结果，用“>”、“<”或“=”填空：知2－导综上所述，二次根式的除法法则：________________。当二次根式前面有

系数时，类比单项式除以单项式法则进行计算：即系数之商

作为商的_____，被开方数之商为________.归纳知2－导1．法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变，即：(a≥0，b＞0)．要点精析：(1)法则中的被开方数a，b既可以是数，也可以是含字母的代数式，

但都必须是非负的且b·

不为0；(2)当二次根式根号外有因数(式)时，可类比单项式除以单项式的法

则进行运算，将根号外的因数(式)之商作为商的根号外因数(式)，

被开方数(式)之商作为被开方数(式)．知2－导2．易错警示：(1)在(a≥0，b＞0)中，特别注意b＞0，若b＝0，则代数式无意义；(2)二次根式的运算结果要尽量化到最简；(3)如果被开方数是带分数，应先将它化成假分数，以

免出现类似

这样的错误；(4)如果是几个二次根式相除，应按除法法则依次计算,

也可以把除法运算转化为乘法运算来计算．知2－讲计算：例3导引：(1)直接利用二次根式的除法法则进行计算；(2)进行计算时需先把带分数化成假分数；(3)要注意根号外的因数与因数相除，同时要注意结果的符号．知2－讲解：总

结知2－讲利用二次根式的除法法则进行计算，被开方数相除时，可以用“除以一个不为零的数等于乘这个数的倒数”进行约分、化简．知2－练（来自教材）计算：1知2－练

成立的条件是(

)A．a≠1B．a≥1且a≠3C．a＞1D．a≥32知2－练计算：

等于(

)A．5B.C.D.31.计算二次根式相乘的方法：根号外的因数(式)相乘的结

果作为积的根号外的因数(式)，被开方数相乘的结果作

为积的被开方数，再将二次根式化为最简二次根式．2.与前面学习二次根式的乘法法则类似.将式子（a≥0，b＞0）的等号左右两边的式子交换一下，我们

又得到了商的算术平方根的性质。商的算术平方根的性质：（a≥0，b＞0），可

以叙述为两个数的商的算术平方根，等于被除数的算

术平方根除以除数的算术平方根.1.必做:完成教材P14作业题T1-T62.补充:请完成《典中点》剩余部分习题1.3二次根式的运算第2课时二次根式的加减第1章

二次根式1课堂讲解被开方数相同的最简二次根式二次根式的加减2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升

加法符号“+”：1489年德国数学家魏德曼开始在他所著的数学书中首先使用．但直到16世纪之后，经过德国数学家韦达的提倡和宣传，“+’’号才开始普及．减法符号“一”：仍是德国数学家魏德曼1489年在他的著作中首先使用，但直到1630年，“一”号才获得大家的公认．两个二次根式能否相加减呢?如何加减呢?1知识点被开方数相同的最简二次根式知1－导下列3组二次根式，各有什么共同特征？归纳知1－导经过化简后，被开方数相同的二次根式，称为同类二次根式.知1－讲可合并的二次根式的条件：（1）最简二次根式；（2）被开方数相同.要点精析：（1）可合并的二次根式必须同时满足：最简二次根式

和被开方数相同这两个条件，它与根号前面的数

字因数无关；（2）“被开方数相同的最简二次根式”在习惯上及相关课外读物上都称为“同类二次根式”.知1－讲〈中考·凉山州〉下列式子中，不能与

合并的是(

)A.

B.

C.

D.例1导引：首先把选项中每个式子化成最简二次根式，然后找出被开方数不是3的二次根式，即C总结知1－讲判断两个二次根式是否能合并，应先把二次根式化为最简二次根式，然后判断被开方数是否相同，相同就能合并，否则不能合并．知1－练如果最简二次根式

与

可以合并，求a，b的值.1知1－练(中考·扬州)下列二次根式中的最简二次根式是(

)A.B.C.D.2(改编·常德)下列各式化简后与

是被开方数相同的最简二次根式的是(

)A.B.C.D.32知识点二次根式的加减知2－导

计算下列各式．

（1）2x+3x；（2）2x2-3x2+5x2；（3）x+2x+3y；

（4）3a2-2a2+a3

上面题目的结果，实际上是我们以前所学的合并同类

项．合并同类项就是系数相加减，字母及其指数不变.知2－导

对于下列各式．（1）

如果我们把

当成x，就转化为上面的问题（1），于是有（2）如果我们把

当成y；

就转化为上面的问题（2），于是有知2－导（3）如果我们把

当成z；就转化为上面的问题（3），于是有（4）

如果我们把

看为x，

看为y．就转化为上面的问题（4），于是有知2－导因此，二次根式的被开方数相同时是可以合并的。又如计算

的值时，

与

表面上看是不相同的，但化成最简二次根式后它们是可以合并的．归纳知2－导二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式进行合并.二次根式的加减法的一般步骤：①将每一个二次根式化成最简二次根式；②找出其中的同类二次根式；③合并同类二次根式．知2－讲合并下列二次根式：例2导引：根据合并被开方数相同的二次根式的方法，将根号外的因数相加(减)，根指数和被开方数不变．知2－讲解：总

结知2－讲(1)合并结果中容易漏掉二次根式部分；(2)合并后根号外的因数是分数的要写成假分数形式，

不能写成带分数形式．知2－练计算：1知2－练(中考·聊城)下列计算正确的是(

)A．B.

C．D.2知2－练(中考·重庆)计算

的值是(

)A．2B．3C.D．3知2－讲化简：例3解：总

结知2－讲二次根式加减运算的技巧：(1)将每个二次根式都化为最简二次根式，若被开方数中含有带分

数，则要先化成假分数；若含有小数，则要化成分数，进而化

为最简二次根式．(2)原式中若有括号，要先去括号，再将被开方数相同的二次根式

进行合并．(3)含字母的二次根式的加减运算的一般步骤：化简→判断→合并．知2－练（来自教材）化简：1知2－练计算

的结果是(

)A.

B.

C.

D.2(中考·泰州)计算：

等于________．31.二次根式加减运算的步骤：(1)化简：将二次根式化成最简二次根式．(2)判别：找出被开方数相同的二次根式．(3)合并：类似于合并同类项，将被开方数相同的二次根

式合并．2.整式加、减运算中的交换律、结合律及去括号、添

括号法则在二次根式的运算中仍然适用．3.易错警示：(1)合并被开方数相同的二次根式时，根号外的因数(式)

与因数(式)合并，剩下的部分保持不变，一定不要丢

掉；(2)不能合并的二次根式不能丢掉，因为它们也是结果

的一部分；(3)二次根式根号外的因数是带分数的要化为假分数．1.必做:完成教材P16作业题T1，T4-T52.补充:请完成《典中点》剩余部分习题1.3二次根式的运算第3课时二次根式的

混合运算第1章

二次根式1课堂讲解二次根式的混合运算乘法公式在二次根式混合运算中的应用2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升

母亲节快到了，为了表示对妈妈的敬意，格格同学特地做了两张大小不同的正方形的壁画送给妈妈，其中一张面积为800cm2，另一张面积为450cm2，她想，如果把壁画的边包上金色彩带应该会更漂亮，她手上现有1.2m长的金色彩带，请你帮格格算一算，她的金色彩带够用吗？如果不够，还需买多长的金色彩带？1知识点二次根式的混合运算知1－讲1.二次根式的混合运算：(1)运算种类：二次根式的加、减、乘、除、乘方(或开

方)的混合运算．(2)运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加

减，如果有括号就先算括号里面的．知1－讲要点精析：(1)二次根式混合运算的结果应写成最简二次根式(或整

式)的形式并且分母中不含二次根式．(2)进行二次根式的开方运算时应使开出的因数(式)是非

负数(式)．知1－讲2.二次根式的运算律：(1)实数运算中的运算律(交换律、结合律、分配律)和

整式乘法中的乘法公式(平方差公式和完全平方公

式)在二次根式的运算中仍然适用．(2)在进行计算时，能用乘法公式的要尽量使用乘法公

式，同时注意合理地运用运算律．知1－讲（来自教材）计算：例1解：总结知1－讲进行二次根式的混合运算时要注意以下几点：(1)运算顺序；(2)运算法则；(3)运算律与乘法公式的灵活运用；(4)最后结果要化到最简．知1－练计算：1（来自教材）知1－练化简

的结果是(

)A．3B．－3C.D．

2计算

的结果是(

)A．6

B．C．

D．123知1－讲（来自教材）计算：例2解：总结知1－讲

灵活运用乘法公式和运算律可简化运算步骤，并且运算结果不易出错，这是乘法公式和运算律在二次根式的混合运算中的优势所在．知1－练计算：1（来自教材）知1－练若x－y＝

－1，xy＝

，则代数式(x－1)(y＋1)的值为(

)A．

＋2B．

－2C．D．222知识点乘法公式在二次根式混合运算中的应用知2－讲如图,扶梯AB的坡比为1:0.8,滑梯CD的坡比为1:1.6,AE=

m，BC=CD.一男孩从扶梯走到滑梯的顶部，然后从滑梯滑下，经过的总路程是多少米（要求先化简，再取近似值.结果精确到0.01m)?例3（来自教材）知2－讲在Rt△AEB中，AE=m，BE=÷0.8=（m），∴AB=（m）.在Rt△CFD中，DF=×1.6=3（m）∴CD=（m）.解：而BC=CD=m,∴AB+BC+CD=

（m）.答：这个男孩经过的总路程约为7.71m.知2－练（来自教材）如图，一道斜坡AB的坡比为1：10，AC=24m.求斜坡AB的长.请解答本节节前语中的问题（精确到0.01m）.12知2－练下列各数中，与2－

的积为有理数的是(

)A．2＋B．2－C．－2＋D.3若a＝

，b＝

，则ab的值为(

)A．2mB．2mn

C．m＋nD．m－n4二次根式的加减法与二次根式的乘除法的区别运算二次根式的乘除法二次根式的加减法根号外的因数(式)根号外的因数(式)相乘除根号外的因数(式)相加减被开方数被开方数相乘除被开方数不变化简结果化成最简二次根式先化成最简二次根式，再合并被开方数相同的二次根式2.二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序相同，先

乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．

在进行二次根式的混合运算时，实数的运算律和运算

顺序都适用，乘法公式也同样适用。注意：①原来学习的运算律仍然适用；

②原来学习的乘法公式仍然适用；

③运算的结果可能是二次根式，也可能是有理式，如果是二次根式，要化为最简二次根式.1.必做:完成教材P16作业题T2-T3，T6-T7，

教材P19作业题T1-T52.补充:请完成《典中点》剩余部分习题第2章

一元二次方程2.1一元二次方程1课堂讲解一元二次方程的定义一元二次方程的一般形式一元二次方程的解2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升将一个容积为750cm3的包装盒剪开、铺平，纸样如图所示.图中x(cm)应满足怎样的方程？1知识点一元二次方程的定义列出下列问题中关于未知数x的方程：(1)把面积为4m2的一张纸分割成如图所示的正方形和长方形两个部分，求正方形的边长.设正方形的边长为x(m)，可列出方程:_______________.知1－导x2+3x=4(2)某放射性元素经2天后，质量衰变为原来的这

种放射性元素平均每天减少率为多少？设平均每天减少率为x，

可列出方程:________________.观察上面所列方程，说出这些方程与一元一次方程

的相同和不同之处.知1－导(1-x)2=归纳知1－导方程x2+3x=4和(1-x)2=的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次.我们把这样的方程叫做一元二次方程(quadraticequationinoneunknown).定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知

数的最高次数是2次的方程，叫做一元二次方程．要点精析：(1)理解定义，要掌握三个关键点：方程是整式方程；“一

元”是指方程中只含有一个未知数；“二次”是指该未

知数的最高次数是2.(2)一元二次方程的识别方法：整理前：①整式方程，②只含一个未知数；整理后：未知数的最高次数是2.知1－讲知1－讲导引：下列方程：①x2＋y－6＝0；②x2＋

＝2；③x2－x－2＝0；④x2－2＋5x3－6x＝0；⑤2x2－3x＝2(x2－2)，其中是一元二次方程的有(

)A．1个B.2个C．3个D．4个例1A要判断一个方程是否是一元二次方程，要从原方程及整理后的方程两方面进行判断，看其是否符合一元二次方程的条件．①中有两个未知数；②不是整式方程；④未知数的最高次数是3；⑤整理后二次项系数为零．总

结知1－讲判定一个方程是一元二次方程的方法：(1)整理前是整式方程且只含有一个未知数；(2)整理后未知数知1－练1 判断下列方程是否为一元二次方程.(1)10x2＝9；(2)2

(x－1)＝3x；2x2

－3x

－1＝0；

（来自《教材》）知1－练2下列关于x的方程一定是一元二次方程的是(

)A．ax2＋bx＋c＝0B．x2＋1－x2＝0C．x2＋

＝2D．x2－x－2＝0知1－练3若关于x的方程(a－2)x2－2ax＋a＋2＝0是一元二次方程，则a(

)A．等于2

B．等于－2

C．等于0

D．不等于24若方程(m－1)x|m|＋1－2x＝3是关于x的一元二次方程，则有(

)A．m＝1B．m＝－1C．m＝±1D．m≠±12知识点一元二次方程的一般形式知2－导

我们知道4x2-56x+96叫关于x二次三项式，4x2叫二次项，一次项是-56x

，常数项是96；这里二次项系数是4，一次项系数是-56，此时可以用三个字母代替三个系数写出一元二次方程ax2-bx+c=0（a≠0）.

ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）为一元二次方程的一般形式.其中ax2，bx，c分别称为二次项，一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数．归纳知2－导一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．这种形式叫做一元二次方程的一般形式，其中ax2叫做二次项，a是二次项的系数；bx叫做一次项，b是一次项的系数；c叫做常数项．

知2－讲要特别注意二次项系数a≠0这一条件，当a=0时，方程就不是一元二次方程了.当b=0或c=0时，方程在a≠0的条件下，仍是一元二次方程，只不过是不完全的一元二次方程.对一元二次方程的理解应该注意三点：①只有一个未知数②最高次数是2③整式方程；判定一个方程是否是一元二次方程不能只看表面形式，只要某个方程不符合以上三条中的一条,那它就不是一元二次方程.反之,若是一元二次方程,那么它就一定满足以上三个条件.知2－讲(1)移项，整理，得9x2+4x-5=0.这个方程的二次项系数是9,一次项系数是4,常数项

是-5.(2) 方程左边多项式相乘，得-3x2+2x+8=3，移项，整理，得-3x2+2x+5=0.这个方程的二次项系数是-3,一次项系数是2,常数

项是5.例2解：把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.(1)9x2=5-4x. (2)(2-x)(3x+4)=3.知2－讲当整理为一般形式后，如果二次项系数是负数，一般要把它转化为正数，若有关系数是分数，一般要把它转化为整数．总

结知2－讲去括号，得3x2－3x＝2x－4－4.移项，合并同类项，得方程的一般形式：3x2－5x＋8＝0.它的二次项系数是3，一次项系数是－5，常数项是8.例3解：把方程3x(x－1)＝2(x－2)－4化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项.知2－讲1．化一般形式一般要经历一去(去分母、去括号)、二移、三并这三步；2．当整理为一般形式后，如果二次项系数是负数，一般要把它转化为正数，若有关系数是分数，一般要把它转化为整数．总

结知2－讲根据“常数项为0”这一条件可列出以a为未知数的方程，求出a的值，同时注意二次项系数不能为0.例4导引：关于x的一元二次方程(a－2)x2＋3x＋a2－4＝0的常数项为0，求a的值．∵关于x的一元二次方程(a－2)x2＋3x＋a2－4＝0的常数项为0，∴解得a＝－2.解：知2－讲在解由一元二次方程的定义求有关待定字母的值时，先要把方程整理成一元二次方程的一般形式，再由题中给出的条件及二次项系数不为零列式求出．温馨提示：条件中若明确指出该方程是一元二次方程，则隐含“二次项系数不能为零”这一条件，解题时容易漏掉．总

结1填表：知2－练（来自《教材》）方程一般形式二次项系数一次项系数常数项知2－练已知关于x的方程(a－4)x|a－2|－2x＋3＝0是一元二

次方程，则a的值为(

)A．0

B．4

C．0或4

D．2

（来自《点拨》）3方程2y2－3＝

y化成一元二次方程的一般形式

是____________，其中二次项系数是________，

一次项系数是________，常数项是________．知3－讲3知识点一元二次方程的解1．定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解(根)．要点精析：(1)判定某个数是方程的根的必要条件：使方程左右两边相等．(2)根据方程的根的定义可以判断解出的方程的根是否正确．(3)一元二次方程的根不止一个，只要符合条件的都是方程的根．知3－讲将和x2=-3代入方程得所以这个一元二次方程是

例5已知一元二次方程的两个根为

和x2=-3,求这个方程.解：解得知3－讲方程的根就是满足方程左右两边相等的未知数的值，因此求含有字母系数的一元二次方程中的字母的值时，只需把已知方程的根代入原方程就可求出相关的待定字母的值．总

结知3－练1已知关于x的一元二次方程x2＋ax＋a＝0的一个根

是3，求a的值.（来自《教材》）2

(中考·重庆)一元二次方程x2－2x＝0的根是(

)A．x1＝0，x2＝－2B．x1＝1，x2＝2C．x1＝1，x2＝－2D．x1＝0，x2＝2(1)本节课主要介绍了一类很重要的方程—一元二次方程

(方程两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数

的最高次数是2次，这样的方程叫做一元二次方程)；(2)要知道一元二次方程的一般形式ax

＋bx＋c＝0(a≠0)，

并且注意一元二次方程的一般形式中“＝”的左边最

多三项、其中二次项、常数项可以不出现，但二次项

必须存在。特别注意的是“＝”的右边必须整理成0；(3)能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫做一元二

次方程的解(或根).1.必做:完成教材P28-P29作业题T1-T62.补充:请完成《典中点》剩余部分习题第2章

一元二次方程2.2一元二次方程的解法第1课时

因式分解法1课堂讲解解方程左边为两个一次因式积的一元二次方程用提公因式法解一元二次方程用乘法公式解一元二次方程2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升如图，工人师傅为了修屋顶，把一架梯子搁在墙上.已知梯子长AB=5米，墙高AC是梯子底端点离墙的距离BC的2倍,求墙高AC.1知识点解方程左边为两个一次因式积的一元二次方程1.若A×B=0,下面两个结论正确吗？(1) A和B都为0,即A

=0,且B=0.(2) A和B中至少有一个为0,即A=0,或B=0.2.你能用上面的结论解方程(2x+3)(2x-3)=0吗？

试一试.知1－导知1－导归纳因为两个数的积为零，至少有一个数为零，所以可以化一元二次方程为两个一元一次方程，从而达到解一元二次方程的目的.先把方程转化为两个一元一次方程，然后分别解答即可.例1解下列方程：(1)x(5x－4)=0， (2)(x－2)(1－x)=0知1－讲解析：解：(1)x(5x－4)=0，x=0或5x-4=0,

∴x1=0或x2=(2)(x－2)(1－x)=0,x－2=0或1－x=0，

∴x1=2，x2=1.例2解方程：(x＋4)(x－1)＝6.知1－讲解：将原方程化为标准形式，得x2＋3x－10＝0.把方程左边分解因式，得(x＋5)(x－2)＝0.∴x＋5＝0或x－2＝0.解方程，得x1＝－5，x2＝2.知1－讲总

结解答此类一元二次方程的方法总结为：一化（把方程转化为一次方程）；二写（写出原方程的解）知1－练1

用因式分解法解方程，下列过程正确的是(

)A．(2x－3)(3x－4)＝0化为2x－3＝0或3x－4＝0B．(x＋3)(x－1)＝1化为x＋3＝0或x－1＝1C．(x－2)(x－3)＝2×3化为x－2＝2或x－3＝3D．x(x＋2)＝0化为x＋2＝0知1－练2一元二次方程x(x－2)＝0根的情况是(

)A．有两个不相等的实数根

B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根

D．没有实数根知1－练若实数x，y满足(x2＋y2＋1)(x2＋y2－2)＝0，

则x2＋y2的值为(

)A．－1B．2C．2或－1D．－2或12知识点用提公因式法解一元二次方程知2－讲(1)将原方程的左边分解因式，得x(x－3)＝0.则

x＝0或x－3＝0.解得

x1＝0,x2＝3.例3解下列方程:(1)x2－3x＝0,(2)(x－5)(3x－2)＝10.解：(