高等数学复习题(含答案)

高等数学复习题与答案解析

一、一元函数微积分概要

(一)函数、极限与连续

I]x

1.求下列函数的定义域：(1)y=\16-x2+lnsinx，(2)y=,+arcsin(—1).

73-x22

解(1)由所给函数知，要使函数y有定义，必须满足两种情况，偶次根式的被开方式大于等于零或对数函数符号

内的式子为正，可建立不等式组，并求出联立不等式组的解.即

16-x2>0,[-4<%<4

VV

sinx>0,推得\2mt<x<(2n+l)nn=0,±l,±2•-•

这两个不等式的公共解为一4<X<—兀与0<X<7T

所以函数的定义域为[-4,一兀)U(0,兀).

(2)由所给函数知，要使函数有定义，必须分母不为零且偶次根式的被开方式非负；反正弦函数符号内的式

子绝对值小于等于1.可建立不等式组，并求出联立不等式组的解.即

,3-x丰0,

-"\/3<x<Vs,

«3-x2>0,推得《

0<x<4,

x,,

——1<1,

2

即o<x<因此，所给函数的定义域为ro,V3).

2.设/(%)的定义域为(0,1),求/(tanx)的定义域.

解：令〃=tanx,则/Q)的定义域为〃w(0,1)

乃

tanxG(0,1),xe(k兀，k7i+—),kGZ,

4

兀

/(tanx)的定义域为xe(k7t,k7t+—),keZ.

4

3.设求

1-X

解：/"(x)]=—4—=—=1--(XHl,0),

1-/U)1—1X

1-X

1

/{/[/«]}=J_/[/u)1=-----j—=x(x*0,1).

(1---)

x

4.求下列极限:

-3x+24——3/+1

(1)lim(2)lim

x-1X->002x4+5x2-6

31

4-+

4

解:原式=limQ二2)Q二D解：原式=lim——”一x_

3X-1XT85~6

2+7-

x4

=lim(x-2)=2.（抓大头）

XTl

=一1.（恒等变换之后“能代就代”）

2―Jx+2「tanx

(3)lim(4)lim------

122-xsinx

2

…靖Eg*解：丁x-0时tan/〜/，

=lim------,■sinx3〜x3,

*T22+y/x+2

Y'

=-.（恒等变换之后“能代就代”）原式=lim—=lim1=1.(等价)

4KTO£

/、「sinx|八八、

(5)lim(z------+100),(6))，

X।\-x~1-x

Qinx2(1)

解：原式=lim把上+lim100解：原式=lim(-^-——)=lim~V

x—X—>002

Xi1一/i-xI-%

=0+100

..(l—x)11

=100(无穷小的性质)=hm----------------=lrim-------=—.

▲fl(1-x)(l+x)if1+x2

⑺

XT+OOx+2

火.(抓大头)

(8)lim"'I

XTlX-1

解：因为lim(x-l)=O而痴(炉+1)工0,求该式的极限需用无穷小与无穷大关系定理解决.因为

x->lx->l

X—1X—1+1

屈与」-=0,所以当XT1时，是无穷小量，因而它的倒数是无穷大量，即~-=00.

I%2+1%2+1jx-\

,、xsinx

(9)hm-f-------

…V1+x3

解：不能直接运用极限运算法则，因为当Xf十为时分子，极限不存在，但sinx是有界函数，即卜inx|〈l

而lim-1*-lim.告=0,因此当xf+8时，为无穷小量.根据有界函数与无穷小乘积仍

3

-1也加+/一y1+1y/1+X

Ycinr

为无穷小定理，即得lim¥=±=().

XT+CO1+x3

…、vcosx-cos3x

(10)lim--------；-------.

解：分子先用和差化积公式变形，然后再用重要极限公式求极限

「2sinxsin2xsinxr.sin2x,//।-E、㈢、，一、二「)、

原式二lim--------；-------=lim--------lim(4---------)x=1x4=4.(也可用洛必达法则)

x->0YA->0xx->oc2%

(11)lim(l--V)v-

X

解一原式=lim(l+L)*(l—L)‘=lim(1+-)x-lim[(1-v]',=ee-1=1,

XTOOXXX->0XXT8X

解二原式与产)r‘=e°=L

.r->81n

/八「tanx-sinx

(12)lim--------------.

.iox3

5「tanx-sinxsinx(l-cosx)

解：hm---------------=lvim-------------------

a。sinxa。xcosx

sinx(1-cosx)1

=lim--------------------------------

2°XXCOSX

c・2%

2sin

=lim------R

2

Xf。X

=y(：xfO.sin?).(等价替换)

5.求下列极限

xcotx-1..cosxln(x-3)11,.

(1)lim-------------(2)lim--------——-一(3)lim[r--------71n(1+刈n

Z+Z

XT。Xx-»3ln(e'-e')XT。XX

1+COSX

(4)lim(Vx-Inx)(5)lim

x->0+X->-KOX

X1故原极限为。型，用洛必达法则

解：（1）由于Xf0时,xcotx=---------->1,

tanx0

T.xcotx-1「xcosx-sinx

所以lim--------——=lim-------------------

厂xsinx

xcosx-sinx

=lim-------；-----------

i。x3（分母等价无穷小代换）

cosx-xsmx-cosx

lim

Xf0

-1sinx-1

—lim-------

3xT

此极限为之,

(2)可直接应用洛必达法则

00

cosxIn(尢-3)limcosx-lim1n

所以lim

ln(ev-e3).v->3+x->3+ln(ex-e3)

=cos3-lim-----lim----------

fe'13+x-2>

=--cos3-lime'=cos3.

3

eXT3+

（3）所求极限为8-8型，不能直接用洛必达法则，通分后可变成9或方型.

08

1---------

lim[--^7-ln(l+x)]=lim-~~叫+不)=lim——

1。XXX~1°2x

1+X—1

lim-------lim------

•1。2x(1+x)2(1+x)2

(4)所求极限为>8型，得

limV^-lnx=lim(2型)

x->0+x->0+一00

X〃

XnX八

=lvim---^―■—=-rlim-----=一〃l1i•mx—1=0.

xf()+1-l-ixf()+xx->o+n

--xn

n

(5)此极限为艺型，用洛必达法则，得

00

lim”+cosx=®1二m二不存在,因此洛必达法则失效!

A,->+00%XT+ooI

1+—COSX1

1.X+COSX[.X1rI1cl

但lim-------=lim--------=1+lim—cosx=1+0=1.

XT+73%]XT+oo%

6.求下列函数的极限：

\x-2|rein—4-Z7X<0,

(1)limj~L,(2)/(x)=<x'当。为何值时，/(x)在x=0的极限存在.

…一41+/%>0,

解：⑴曾犯;咚3MrV

lim——L=lim------------=—,

2

Xf2+%-412+(x-2)(x+2)4

因为左极限不等于右极限，所以极限不存在.

(2)由于函数在分段点x=0处，两边的表达式不同，因此一般要考虑在分段点x=0处的左极限与右极

限.于是，有

limf(x)=lim(xsin—+(7)=lim(xsin—)+lima=a,

xfOKfOXx->0-Xx->0-

limf(x)=lim(1+x2)=1,

XT0+X->0+

为使lim/(x)存在，必须有limf(x)=lim/(x),

XTO入3+x->0-

因此，当旧时，吧J(x)存在且=

x>x<0

7.讨论函数/(x)=<,1一，在点x=0处的连续性.

xsm-,>0

xx

解：由于函数在分段点x=0处两边的表达式不同，因此，一般要考虑在分段点x=0处的左极限与右极限.

因而有limf(x)=limx=0,liinf(x)=limxsin—=0,

.sO一xWXTO'X

而/(0)=0,即

lim/(x)=lim/(x)=/(O)=O,

、3-

由函数在一点连续的充要条件知/(%)在x=0处连续.

—1

8.求函数/(%)=上一L的间断点，并判断其类型:

(x-l)x

解：由初等函数在其定义区间上连续知/(%)的间断点为x=0,x=1.

无+]

•••lim/(x)=lim——=2而f(x)在x=1处无定义，故x=1为其可去间断点.

XflA->1X

r+1

又・・・=——=oox=0为/(%)的无穷间断点.

xfOx

综上得x=1为/(x)的可去间断点，x=0为/(x)的无穷间断点.

(二)一元函数微分学

1.判断:

(1)若曲线y=/(x)处处有切线，则y=/(x)必处处可导.

答：命题错误.如：F=2x处处有切线，但在x=0处不可导.

(2)若lim,")一/(幻=A(A为常数)，试判断下列命题是否正确.

X—x-a

①/(x)在点x=a处可导，②/(x)在点兄=。处连续，③/(x)-/(a)=A(x-a)+o(x-a).

答：命题①、②、③全正确.

⑶若/(x),g(x)在点/处都不可导，则/Q)+g(x)点/处也一定不可导.

答：命题不成立.

0,x<0,x,x<0,

如：/(%)=<g(尤)=,

%,x>0,0,x>0,

f(x),g(x)在x=0处均不可导，但其和函数/(x)+g(x)=x在x=0处可导.

(4)若/(%)在点/处可导，g(x)在点x0处不可导，则f(x)+g(x)在点x0处一定不可导.

答：命题成立.

原因：若/(X)+g(x)在x0处可导，由y(x)在/处点可导知g(x)=[f(x)+g(x)]-/(X)在x0点处也可导，

矛盾.

(5)/'(%)与"(%)]'有区别.

答：命题成立.

因为/'(%)表示/(X)在X=/处的导数；"(%)]'表示对/(X)在X=X。处的函数值求导，且结果为0.

(6)设y=/(x)在点与的某邻域有定义，且/(%+以)一/(/)=。故+仇心尸，其中a泊为常数，下列命

题哪个正确？

①/(X)在点几处可导，且/'(Xo)=a,②/(x)在点与处可微，且4A(X)IE0=或5，

③/(x0+Ax)»/(x0)+aAx(|Ax|很小时).

答：①、②、③三个命题全正确.

si.n/(兀—+x)\-lF

2.已知(sinx)'=cosx,利用导数定义求极限lim―2-------.

*70*

si.n(/兀—+x\)-l«

解：lim-----------

•2。x

«/兀、.兀

sin(—+x)-sm

=lim-------------—

3X

兀

=(sinx),|江二cos—=0.

，2

卜[ln(l+x),x>0

3.求/(x)=\V7八，的导数.

[x,x<0

1

解：当x>o时，/（幻=

l+x

当x<0时，f\x)=1,

当x=0时，r(O)=lim~—lim~~~~~~,

XT。X-0Xf°X

x—0

所以/：(0)=lim^—^=1,

I。-X

“0、rIn(l+x)-01•】/1、！ii

f(0)=lim---------------=limln(l+x)A=Ine=1,

X->0+xio'

因此尸(0)=1,

于是《(X)=<77T，x；：，

[1,x<0.

4.设/(x)=ln(l+x),y=./V(x)),求学

ax

解：y==ln[l+ln(l+%)],

/.电=----1-----[1+ln(l+x)]'=-------------1------------

dxl+ln(l+x)[l+ln(l+x)](l+x)

5.已知arctan—=Iny/x2+y2,求y”.

y

解：两端对％求导，得一1—•（-）f1-（7%2+/）>,

1+（X）2y次+/

y

y2y-孙,12x+2y・y'

--------.............-------------------------------

整理得(y+x)y'=y—x，故>'=)二日，

y+x

上式两端再对x求导，得

”(y'T)(y+x)-(y'+l)(y—x)

一(y+x)2

=)—y+孙JW+Ry+x

(y+x)2

_2xy'-2y

(>+x)2'

将代入上式，得

y+x

小y-x-

2%---------2y

"y+x2xy—2x2—2y2-2xy2(x2+y2)

y=--------------=—:-----------：--------=------------,

(y+x『(x+yP(y+x)3

2

6求二「(叶？(xt2)(x+3)]3的导数位

'_x3-(x+4)Jdr

解：两边取对数：

2

Iny=—[ln(x+1)+ln(x+2)+ln(x+3)-3Inx-ln(x+4)],

两边关于x求导：

1,2r1113_1]

y3%+1x+2x+3Xx+4'

dy2,1113_1)

-_yy.11

dx3*x+1x+2x+3Xx+4

7.设=求T(x).

解：令丁=元"，两边取对数得：Iny=evInx,

两边关于％求导数得：

1e”

—­y'=ex-lnx+—

yx

e

y'=y(e"InXH-----)

x

即y=xe，(evlnx+—).

X

8.设y=/(〃),〃=sin求也和

dr

解：—=/z(w)«2x-cosx2,

dx

^--T=/"(〃)•4,(cos—)2+/r(w)(2cosx2-4x2sinx2).

dr"

9.y=x4+e\求y(4)

解：y，=4/+?\y"=12/+e'y'"=24x+e*,/4,=24+ev.

x=t-cost，gd2y

10.设《求T.

y=sint9dx

r

解dy；(sinf)_cosf

心(z-cos//1+sinf

d2ydy'dcost、dcost、dtcost'1

~2~-"j———j-(*i)­j，—一；)J

djrdrdrl+sinrdtl+sinrdr14-sinr心

dr

_-sinr(1+sin0-cos211_-1

(1+sint)21+sinr(1+sinr)2

x=t

ii.求曲线4;在点(i,i)处切线的斜率.

解：由题意知：

1=t,

4zz>/=1

1=J,'

曲线在点(1,1)处切线的斜率为3

12.求函数y=xe®1ag的微分.

解一用微分的定义d)，=/'(x)dx求微分，有

dy=(xeln,anf)，dx=[eln,anx+xeln,anx——•sec2x]dx

tanx

QY

=eln,anv(l+-±^-)dx.

sin2x

解二利用一阶微分形式不变性和微分运算法则求微分，得

dy=d(xelnIanv)=eln,antdx+xdeln3nx

=eln侬'dx+xelntanxd(Intanx)

=eMsn'dr+xe"3nxL&tanx)

tanx

-eln,an'dx+xeln,anv---------二dr

tanxcos-x

Oy

=eln,anx(l+^-)dx.

sin2x

13.试证当x。1时，e'>ex.

证明：令/(x)=e'—ex,易见/(x)在(-8,+oo)内连续，且/⑴=or(x)=e=e.

当x<1时，f'(x)=e'-e<0可知/(x)为(—8,1］上的严格单调减少函数，即

/(x)>/(l)=O.

当x>1时，f'(x)=er-e>0,可知/(x)为［1,+8)上的严格单调增加函数,

即/。)>川)=0.

故对任意xw1,有/(x)>0,即ex-ex>0.e'>ex.

14.求函数y=--/的单调性与极值.

4

解：函数的定义域为(一℃,+8).

>'=/一3x2=/(x-3),

令y'=0,驻点x,=0,x2=3

列表

X(-oo,0)0(0,3)3(3,+oo)

y'-00+

yX极小/

由上表知，单调减区间为(-oo,3)，单调增区间为(3,+8),极小值y(3)=—-

4

求函数的极值也可以用二阶导数来判别，此例中

y"^3x2-6x,y"\^=0不能确定尤=0处是否取极值，

77

/=9>0,得y(3)=--是极小值.

4

15.求/(好=/+3/在闭区间［—5,5］上的极大值与极小值，最大值与最小值.

解：r(x)=3/+6x,令/'(x)=o,得玉=0,x2=-2,

/"(x)=6x+6,/〃(0)=6>0,/"(—2)=-6<0,

，/(%)的极大值为/(—2)=4,极小值为/(0)=0.

V/(-5)=-50,"5)=200.

二比较/(—5)J(—2)J(0)J(5)的大小可知:

/(x)最大值为200,最小值为-50.

16.求曲线y=10+5/+W/的凹凸区间与拐点.

解：函数的定义域为(-8,+00),

V=10x+10x2,/=10+20%,

令y"=0,得x=-g,

用x=-g把(-℃,+<»)分成(-8,-g),(-g,+00)两部分.

当xe(—co,—万)时,y"<0,当xe(—―,+oo)时，y*>0,

曲线的凹区间为(—,+oo),凸区间为(—8,—),拐点为(—,—).

2226

17.求函数y=ln(l+/)的凹向及拐点.

解：函数的定义域(一8,+8),

2x„2(1+X2)-2X-2X2(1-x2)

y=-£，y==22

l+x(1+1)2(1+%)

令丁"=0,得丁=±1,

列表

X-1(-1,1)1(l,+8)

ff

y—0+0一

yn拐点u拐点n

由此可知，上凹区间(―1,1),下凹区间(9，―1)(1,+w),曲线的拐点是(±l,ln2).

的渐近线.

18.求下列曲线的渐近线

/、Inx/、x2-2x+2/、x+3

(1)y=---，(2)y=---------,(3)y

xx-\U-IXA-2)-

解(1)所给函数的定义域为(0,+8).

由于lim=lim—=0,

XT+ooXXT+oo]

Inx

可知y=0为所给曲线丁=上」的水平渐近线.

X

,-PInx

由于lrim---=—co,

io-x

Inx

可知x=0为曲线的铅直渐近线.

X

(2)所给函数的定义域(一8,1),(1,+oo).

r+i工V1-x-2x+2..—2x+2

由于limf(x)=lim----------=-oo,吧/(X)lim---------=+oo,

x->rA->Ex—1•fx—1

可知x=l为所给曲线的铅直渐近线(在x=l的两侧〃幻的趋向不同).

T7r/(X)1-X2-2x+2

又lim——=lim----------=1=Q,

18xzoox(x-l)

lim[/(x)-ax\=lim[―--->'+2-x]=lim—'+、=-1=/?,

50XTOOx(x-1)IBx-\

所以y=X-1是曲线的一条斜渐近线.

(3)lim----v----\=故x=l为曲线的铅直渐近线,

7(x-lXx-2)

「x+3

lim7---弋--------x=oo故x=2为曲线的铅直渐近线,

12(x-1X%-2)

x+3

lim=0,故y=0为曲线的水平渐近线,

X->00(x-l)(x-2)

曲线的渐近线为：y=0,x=l,x=2.

19.求解下列各题：

(1)设某产品的总成本函数和总收入函数分别为

C(X)=3+2V7,R(X)=-^,

x+l

其中x为该产品的销售量,求该产品的边际成本、边际收入和边际利润.

解：边际成本Mc=C(x)=+

边际收入MR=R'(X)=­J

R(x+1)2

边际利润L\q}=MR-Mc=-J--.

(x+l)~y/x

(2)设p为某产品的价格，x为产品的需求量，且有〃+0.1x=80,问p为何值时，需求弹性大或需求弹

性小.

解：由p+O.lx=8O得一=一10,

dp

所以需求价格弹性—=x(-10)=,

Ep80—〃”80

e

故当一^<-1,即40<p<80时，需求弹性大；当一1</需<0,即(Xp<40时，需求弹性小.

(三)一元函数积分学

1.在不定积分的性质1依。)心=灯/(幻口中，为何要求女。0?

答：因为攵=0时，JZ/(x)dx=JOdr=C(任意常数)，而不是0.

2.思考下列问题：

(1)若J/(x)dx=2'+sinx+C,则/(x)为何?

答：/(x)=(J/(x)dLr)'=2'ln2+cosx.

(2)若/(x)的一个原函数为问/(x)为何？

答：/(X)=(/)，=3/

⑶若f(x)的一个原函数的COSX,则J/(X)力;为何？

答：f(x)=(cosx)z=-sinx,Jf'(x)dx=f[x)+C=—sinx+C.

3.计算下列积分：

(1)fsin45xd(sinx),(2)fcos3xdx,(3)f(x4-^^=^)dx,

JJx

xdx/、

(4)Jxex~dx,(6)r[-x-d--r-

⑸JVl-x2

In2x.c11

(7)------dx,(8)f(2x+3)2dx,(9)/-dx,

xJarcsinx1-x2

1drdx

(10)dx,(11)(12)J*

(1+x1)arctanx2+x2

•6

解：(1)fsin^xd(sinx)=smA+C.

6

(2)fcos3xdr=j(l-sin2x)cosxd¥

=f(l-sin2x)d(sinx)

=jd(sinx)-/sin2xd(sinx)

(3)f(x+SU1%)dx=fxdx4-2fsinVxdVx

Vx

九2

=------2COSyj-X+C.

2

(4)fxe'dx=—jevd(x2)=—ev+C.

22

1_2_____

(5)fdx=--J(l-x2pd(l-x2)=-71-x2+C.

J2

xdx1rd(x2)1.2厂

(6),•=—I-f=-arcsinx+C.

l-x42幻]_(322

fJl^d(2x)=/ln2xd(ln2x)=-In22x+C.

(7)

xJ2x2

(8)f(2x+3)2dx=-f(2x+3)2d(2x+3)=-(2x+3)3+C.

26

pl1p1.・

(9)---------,dr=------d(arcsinx)=In|arcsinx\+C.

Jarcsinx71-x2Jarcsinx

(10)[-------------dx=f-------d(arctanx)=In|arctanx\+C.

J(1+九~)arctanxJarctanx

(11)f"=-[—————=3f---------d([)=-arctan—C.

J2

2+x2\x2后：尸、2V222

V2V2

4.计算下列不定积分：

(1)[----!dx,(2)jV16-x2dx,(3)[---必“，(4)[.Xdr.

Ji+Vi+xJ(4+/)%

解：(1)令J1+元=t,则x=t2-l,dx=2d,于是

原式二jg由二2/筌『由=2肚_[告]=2/_2111|1+4+0

=2Vb^-21n|14-VT+x|+C.

(2)令x=4sin/(-三</<巴)，则J16—%?=4cos，,dx=4cosrdz,

于是lV16-x2dx=f4cosr-4cosrdr=8f(l+cos2r)dr

=8，+4sin2，+C.

由右图所示的直角三角形，得

xV16-x2xV16-x2

sin2,=2sinrcosr=2—

448

2

xV16-x「

故J716-x2dx=8-arcsin—+--------------+C.

42

3

(2)令x=2tan/(—三<Z<—),则(4+/户=8sec3=2sec2tdt,

22

于是[—[——•2sec?rdf=fcosZjsinr-

------dt=——+C.

J2I」4sec3rJ22

(4+x2)2

由右图所示的直角三角形，得

x

sin/

4+x2

dxx

故J+C.

(4+/)%2"+。

(4)设x=sinr,71-x2=cosf,dx=cosrdr,于是

.2

sin“rcos/dr=jsin2d=JiOS2f市

cosr

cos2rd(2r)

2

-r--sin2r+C=-r--sin/cosr+C

2422

1

=—arcsinx--A/1-X2+C.

22

5.计算下列积分:

(1)In2xdx,(2)arctan2xd¥,(3)jxe4V<U,

(4)\e5xsin4xdx,(5)xsinlOOxdx,(6)Jxarctan2xdx.

解：(1)Jin2xdjc=xln2x—Jxd(ln2x)

=xln2x-f%­—dr

2x

=x]n2x-x+C.

，arctan2xdr=xarctan2x-fxd(arctan2x)

=xarctan2x-\x-------------dr

1+(2无产

d(，)

=xarctan2x-

1+4公

1

=xarctan2x--7d(1+41)

4Jl+4x

12

=xarctan2x--ln(l+4x)+C.

44t4A

(3)Ixe4vdx=f-xde'=-xe--/edx

J444

=-xe4t-—e4A+C.

416

i

(4)Je5vsin4xdx=Jsin4xd(=-e，，sin4x-sin4x)

=-e3vsin4x--/e5'cos4xdx

55

e5'sin4jc--Jcos4xd--

555

15x・44