高中数学讲义微90 取球问题VIP

微专题90取球问题

一、基础知识:

在很多随机变量的题目中，常以“取球”作为故事背景，通过对“取球”提出不同的要求，来

考察不同的模型，常见的模型及处理方式如下：

1、独立重复试验模型：关键词“可放回的抽取“，即下一次的取球试验与上一次的相同。

2、超几何分布模型：关键词“不放回的抽取“

3、与条件概率相关：此类问题通常包含一个抽球的规则，并一次次的抽取，要注意前一次的

结果对后一步抽球的影响

4、古典概型：要注意虽然题目中会说明“相同的”小球，但是为了能使用古典概型(保证基本

事件为等可能事件)，通常要将“相同的”小球视为“不同的”元素，在利用排列组合知识进行分

子分母的计数。

5、数字问题：在小球上标注数字，所涉及的问题与数字相关(奇，偶，最大，最小等)，在

解决此类问题时，要将数字模型转化为“怎样取球'’的问题，从而转化为前几个类型进行求解。

二、典型例题：

例1：一袋中有6个黑球，4个白球

(1)不放回地依次取出3个球，已知第一次取出的是白球，求第三次取到黑球的概率

(2)有放回地依次取出3个球，已知第一次取出的是白球，求第三次取到黑球的概率

(3)有放回的依次取出3个球，求取到白球个数X的分布列，期望和方差

(1)思路：因为是不放回的取球，所以后面取球的情况受到前面的影响，要使用条件概率相

关公式进行计算。第一次已经取到白球，所以剩下6个黑球，3个白球；若第二次取到黑球，

AvaA

则第三次取到黑球的概率为——，若第二次取到白球，则第三次取到黑球的概率为——，从

9898

而能够得到第三次取到黑球的概率

解：设事件A为“不放回取球，第一次取出白球时，第三次取到黑球”

c/八6536482

/.P(A)=-----+------=—=—

9898723

(2)思路：因为是有放回的取球，所以每次取球的结果互不影响，属于独立重复试验模型,

所以第三次取球时依然是6个黑球，3个白球，取得黑球的概率为g

9

解：设事件B为“有放回取球，第一次取出白球时，第三次取到黑球”

••・P（5）=|

(3)思路：本问依然属于独立重复试验模型，X的取值为0,1,2,3,则X符合二项分布，即

,所以可通过二项分布的概率计算公式求得概率，得到分布列

X~83,|

解：X的取值为0,1,2,3,依题意可得:

P(X=0)=Cfi3327

5)~125

2

叱2)=咱回唱

X0123

2754368

P

125125125125

•••X~83,|

EX=32=9£)X=3---=—

555525

例2：已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的3个红球和3个黑

球，现从甲，乙两个盒内各任取2个球

(1)求取出的4个球中没有红球的概率

(2)求取出的4个球中恰有1个红球的概率

(3)设自为取出的4个球中红球的个数，求J的分布列和数学期望

思路：本题这三问的关键在于所取球中红球的个数，考虑红球个数来自于两个盒内拿出红球

个数的总和，所以可将红球总数进行分配，从而得到每个盒中出红球的情况，进而计算出^

率

(1)设事件A,为“甲盒中取出，个红球”，事件与为“乙盒中取出/个红球”

则p(a)=%，p(B/)=3

设事件A为“4个球中没有红球”

则尸(小尸("闯=等•等=抬4

（2）设事件B为“4个球中恰有1个红球”

z^»0z^»2

.•.P（3）=P（44）+/W°）=岩・岩+岩偿=32_2_3__2

615615-5

（3）自可取的值为0,1,2,3

12

•・/偌=。）=64）=历P（4=l）=P（B）=g

Z^r2✓"'Oz"«lx~»l0

P（舁2）=P（4A）+P（44）=岩.岩+岩

P（4=3）=P（48J=普.安一3♦—3=—1

C4C661510

•••自的分布列为:

0123

1221

PioTo

12213

.-.E^^Ox—+lx-+2x-+3x—=-

1055102

例3：甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分

别为2、3、4,乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3,某人用左右手分别从甲、乙两

袋中取球.

（1）若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；

（2）若左右手依次各取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记成功取法次数

为随机变量X,求X的分布列和数学期望.

解：（1）设事件A为“两只手中所取的球颜色不同”，则A为“两只手中所取的球颜色相同”

2333432

P（A）=1-P（A----1-----1-—•—

9999993

（2）X可取的值为0,1,2

Cl+C1+C；_5

左手取球成功的概率《

~18

右手取球成功的概率P2=G+Q-+G=-

C94

'7118J41814）18

p（x=2）=』,=a

'718472

X的分布列为

X012

1375

P

241872

“c13,7c519

EX=0x---F1x---F2x—=—

24187236

例4：袋中装有若干个质地均匀大小相同的红球和白球，白球数量是红球数量的两倍，每次从

袋中摸出一个球，然后放回，若累计3次摸到红球则停止摸球，否则继续摸球直到第5次摸

球后结束

（1）求摸球四次就停止的事件发生的概率

（2）记摸到红球的次数为求随机变量J的分布列及其期望

（1）思路：本题为有放回摸球，可理解为独立重复试验，如果摸球四次就停止，说明在这四

次中一共摸到3次红球，且前三次有两次摸到红球，第四次又摸到红球。通过红白球数量关

系可知一次摸球中摸到红球的概率为l，然后可按照分析列式并求出概率。

3

解：设事件4为“摸球四次即停止摸球“

解：依题意可得：在一次摸球中，摸到红球的概率为！

3

/\

(^-

\/

（2）思路：可知〈可取的值为0,1,2,3,当占=0,1,2时，摸球是通过完成5次后停止，所以

可利用独立重复试脸模型计算概率；当自=3时，按照规则有可能摸球提前结束，所以要按摸

球的次数（3次，4次，5次）分类讨论后再汇总

解：J可取的值为0,1,2,3

P楂=2）=C；削Ij嗡

3222

5117

%=3)=

拼唱剧加怎孤）-

724381

・•.4的分布列为:

r0123

32808017

p

24324324381

埼=0x卫+lx幽+2x幽+3X?131

2432432438117

例5：某商场在店庆日进行抽奖促销活动，当日在该店消费的顾客可参加抽奖.抽奖箱中有大

小完全相同的4个小球，分别标有字“生”“意”“兴”“隆顾客从中任意取出1个球，记下上面

的字后放回箱中，再从中任取1个球，重复以上操作，最多取4次，并规定若取出“隆”字球，

则停止取球.获奖规则如下：依次取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球为一等奖；不分顺序取到

标有“生”“意”"兴”"隆”字的球，为二等奖；取到的4个球中有标有“生”“意”“兴”三个字的球为

三等奖.

（1）求分别获得一、二、三等奖的概率；

（2）设摸球次数为求4的分布列和数学期望.

解：（1）设a为“获得i等奖”

P(A)=—x—x—x—=-^―

v74444256

P(A>)=—x—x—x--1)=^—

'"4444、7256

P(AA=C[--X—X—X—-A^=—

V3734444464

（2）摸球次数4可取的值为1,2,3,4

•'P（-）=5g）亮;3

16

33327

P（一）VmP信=4)=

44464

g的分布列为:

1234

£3927

P

4166464

L-1c3c9,2711

EJ=lx—+2x——i-3x——+4x—=—

41664644

例6：学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球，2个黑球；乙箱子里面装

有1个白球，2个黑球；这些球除了颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2

个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖(每次游戏后将球放回原箱)

(1)求在一次游戏中

①摸出3个白球的概率

②获奖的概率

(2)求在三次游戏中获奖次数X的分布列与期望

(1)思路：本题的结果实质上是一个“拼球”的过程，即两个箱子各自拿球，然后统计白球的

个数。则①：若摸出3个白球，则情况为甲2乙1。②：若获奖，则白球个数不少于2个，可

分成白球有3个或有2个两种情况，分别求出概率再求和即可

解：设4为“甲箱子里取出，个白球”，鸟为“乙箱子里取出/个白球”

①设事件A为“摸出3个白球”

②设事件8为“获奖”(即白球不少于2个)

..•喇=网的)+3)+3)=警•断mm

(2)思路：三次游戏可视为独立重复试验，所以获奖次数X服从二项分布，由(1)可得

X〜8(3,焉)，从而可利用公式计算概率，列出分布列

解：X可取的值为0,1,2,3,依题意可得：X〜^。，彳)

•••?—。)=心儒］=益尸—1)=4款高、蒜

P(X=2)=C；［落信卜焉唳=3)=《图=器

.•.X的分布列为：

X0123

27189441343

P

1000100010001000

­/X3,—

I10

〜“721

EX=3—=—

1010

例7：一个袋子中装有6个红球和4个白球，假设袋子中的每一个球被摸到可能性是相等的。

(1)从袋子中任意摸出3个球，求摸出的球均为白球的概率;

(2)一次从袋子中任意摸出3个球，若其中红球的个数多于白球的个数，则称“摸球成功”(每

次操作完成后将球放回)，某人连续摸了3次，记“摸球成功”的次数为求4的分布列和数

学期望。

(1)思路：此间可用古典概型解决，事件Q为“10个球中任意摸出3个球“，则〃(C)=C3

所求事件A为“均是白球”，则〃(A)=C，从而P(A)=4d=-!-

J4\)〃g)30

解：设事件A为“3个球均为白球“

n/八亡41

尸(A)=-F=----=—

、)对12030

(2)思路：按题目叙述可知对于摸3次球，由于是有放回的摸，所以相当于独立重复试验,

结合J的含义可知J服从二项分布。但“摸球成功'’的概率还未知，所以先根据“摸球成功'’的要

求利用古典概型计算出一次成功的^率，再通过二项分布的公式计算J的分布列即可

解：设事件8为“一次摸球成功”

...p(5)=c；y+gc=殁二

\)C：o1203

J的取值为0,1,2,3,依题意可得：

—2)=需闾若电=3)=呜'吟

.•.4的分布列为：

0123

1248

P

279927

例8：袋中装着标有数字1,2,3,4的小球各3个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可

能性都相等.

(1)求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；

(2)用X表示取出的3个小球上所标的最大数字，求随机变量X的分布列和数学期望.

(1)思路：本题的特点在于每个编号都有3个球，若将这12个球视为不同元素，则可利用

古典概型进行计算，设。为“12个球中任取3个“，则”(。)=品，事件A为“三个球数字各

不相同”，则计数时第一步要先选出不同的三个编号，即C：,然后每个编号中都有3个小球可

供选择，即所以〃(A)=C](C；y。进而可计算出尸(A)

解：设事件A为“三个球数字各不相同”

.P⑷=业L受立卫

-i，〃⑼a55

(2)思路：依题意可知X的取值为1,2,3,4,依然用古典概型解决，但要明确X取每个值时

所代表的情况：当X=1时，只能3个球均为1号球；当X=2时，说明至少有一个2号球，

其余的用1号球组成，即+C；C；+C；C；,或者使用间接法：从1,2号共6个球中先随意

取三个，再减去不含2号球的情况，即(C；—C；)个，同理可得：X=3时，至少有一个3号

球，其余的球为1,2号球，所以由—个，X=4时，至少有一个4号球，其余的球为

1,2,3号球，所以由(C；2—C；)个，进而求得概率得到分布列

解：X的取值为1,2,3,4

=19

.P（X=1）;-G=_LP(X=2)：

C，220C；2220

Cl-Cl=64

P（X=3）=P（X=

%—220'3220

的分布列为：

X1234

1191634

p

2202205555

,1c19+3x3,34_775_155

=lx----+2x----_i_A\z__—

EX=十V人--2-20--

220220555544

例9：一个盒子中装有大小相同的小球〃个，在小球上分别标有1,2,3,…，〃的号码，已知从盒

子中随机的取出两个球，两球的号码最大值为"的概率为‘，

4

(1)盒子中装有几个小球？

(2)现从盒子中随机的取出4个球，记所取4个球的号码中，连续自然数的个数的最大值为

随机变量自(如取2468时;。=1；取1246时，4=2,取1235时，J=3)

(1)思路：以两球号码最大值为拉的概率为入手点，则该叙述等价于“取出一个〃号球和一个

其它号码球的概率为从而利用古典概型列出关于”的方程并解出n

4

解：设事件A为“两球号码最大值为〃”

111

得

角

即8

=-c,=---=

cr44

(2)思路：由(1)可得小球的编号为1—8,结合所给的例子可知自的取值为1,2,3,4,其概

率可用古典概型计算。4=1代表所取得数两两不相邻，可能的情况有{1,3,5,7},

{1,3,5,8},{1,3,6,8},{1,4,6,8},{2,4,6,8}共5种；4=2表示只有一对相邻的数或两对相邻的

数(两队相邻的数之间不再相邻)；4=3表示有三个相邻的数，与另一个数不相邻；J=4表

示四个数均相邻，共5个。由于4=2包含情况较复杂，所以可以考虑算出其他情况的概率再

用1减即可。

解：J的取值为1,2,3,4

P（4=1）=W202

C814707

P（4=4）=--7=—-=—

’1C：7014

4

••・P（&=2）=l—P4=l）—P（4=3）—P《=4）=,

J的分布列为:

1234

1421

P

147714

i,1c4c2,133

二.EJ=lx----l-2x—+3x—+4x—=——

14771414

例10：袋中装有35个球，每个球上分别标有1-35的一个号码，设号码为〃的球重

n~

-—5〃+15克，这些球等可能的从袋中被取出

2

(1)如果任取1球，试求其重量大于号码数的概率

(2)如果不放回任意取出2球，试求它们重量相等的概率

(3)如果取出一球，当它的重量大于号码数，则放回，将拌均匀后重取；当它的重量小于号

码数时，则停止取球，按照以上规则，最多取球3次，设停止之前取球次数为求J的分布

列和期望

思路：(1)本题的球重与编号存在函数关系，要解得重量大于号码数的概率，先要判断出在

35个球中，那些球的重量大于号码数，即解不等式°-5"+15>〃，可解出〃>6+指或

2

〃<6—6，所以〃的解集为｛1,2,3,9,10,11,…35｝共30个数，所以取出球重量大于号码数

以*,,306

的概率为——=-

357

解：设事件A为“取I球其重量大于号码数”

r\~

若球重量大于号码数，则上5〃+15>〃

2

/.n2—12/2+30>0,解得：n>6+V6<6-V6

v1<n<35,nGN*

.・.〃的取值集合为{1,2,3,9,10,11,…35},共30个元素

22

〃JYT

（2）思路：不妨设取出的球的编号为机,九，从而----5〃+15=-------5机+15,可推得:

22

4

根+〃=10,从而取出球的组合为{1,9},{2,8},{3,7},{4,6}共4组，所以概率为一了

。35

解：设所取球的编号为加,〃，依题意可得:

22

-----5〃+15=-------5/7t+15

22

n2-nr=10(/?-m)=>(A:-m-10)=0

'：m^n/.根+〃=10

取出球的组合为{1,9},{2,8},{3,7},{4,6}

设事件B为“取出2球重量相等”

•••尸⑻技嗡

（3）思路：依题意可知：J可取的值为1,2,3,由（1）可知球重量大于号码的概率为与，因

为是可放回的抽取，所以每次抽取为独立重复试验。当彳=1时，可知取出的球重量小于号码

数；当4=2时，则第一次取出的球比号码数大，第二次取出的球比号码数小；当J=3时,

则前两次取出的球比号码数大（无论第三次如何都终止取球），从而求出概率得到分布列

解：J可取的值为1,2,3,由（1）可知取出球重量大于号码的概率尸（A）=。

.-.P（^=1）=P（A）=1-^=1

p传=2）=g[=cP（。=3）=9.9=迎

''7749'/7749

4的分布列为:

4123

636

P

74949

三、历年好题精选

1、(2014,福建)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行

奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个

球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.

(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求:

①顾客所获的奖励额为60元的概率；

②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望.

(2)商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值

10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客

得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对

袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.

2、(2014,重庆)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数

字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片.

(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；

(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望.

(注：若三个数。，"c,满足aW力Wc,则称沙为这三个数的中位数)

3、袋中共有10个大小相同的编号为1,2,3的球，其中1号球有1个，2号球有3个，3号球

有6个

(1)从袋中任意摸出2个球，求恰好是一个2号球和一个3号球的概率

(2)从袋中任意摸出2个球，记得到小球的编号数之和为求随机变量J的分布列和数学

期望

4、袋中装有标有数字1,2,345的小球各2个，现从袋中任意取出3个小球，假设每个小球被

取出的可能性都相等

(1)求取出的3个小球上的数字分别是1,2,3的概率

(2)求取出的3个小球上的数字恰有2个相同的概率

(3)用X表示取出的3个小球上的最大数字，求X的分布列

习题答案:

1、解析：(1)①设顾客所获的奖励额为X

，P(X=60)=卷弓

(2)X可取的值为20,60

1C21

P（X=60）*心…。）=才万

」.X的分布列为

X2060

P0.50.5

所以顾客所获的奖励额的期望为欧=40.

(2)每个顾客平均奖励额为竺吧=60元，可知期望有可能达到60的只有方案

1000

(10,10,50,50)或(20,20,40,40),分别分析以下两种方案：

方案一：(10,10,50,50),则毛的取值为20,60,100

「(乂=2。)咱年360)=登彩尸”口。。)咱V

EX=20--+60-+100-=60

i636

1600

DX（20-60）2--+（60-60）2--+（100-60）2--

}6363

方案二：(20,20,40,40),则X?的取值为40,60,80

P(Xz=40)=W唳2=60)=詈=：网匕=80)=击=；

。46C436

:.EX,=40-+60--+80--=60

2636

,1,291400

DX}=(40-60)'--+(60-60)---+(80-60)--=——