江苏省淮安市盱眙县2022-2023学年上学期九年级期末数学试卷(含答案)

2022-2023学年江苏省淮安市吁胎县九年级第一学期期末数学试

卷

一、选择题（本题共8小题，每小题3分,共24分。每题的四个选项中，只有一个符合题

意，请把符合题意的选项填在下表中）

1.方程9-9=0的解是（）

A.x\=3,X2=-3B.x=0C.X\=X2=3D.x\=X2=-3

2-微的顶点坐标为

2.抛物线y=2(x+1))

(1)

A.(1,B.C.(-1,—)D.4

*2

3.在射击训练中，某队员的10次射击成绩如图,则这10次成绩的中位数和众数分别是

C.9.5,9.6D.9.6,9.8

4.若关于1的一元二次方程优=0没有实数根，则实数机的取值范围是（）

A.tn<\B.m>-1C.tn>1D.m<-1

5.甲，乙，丙，丁四位同学本学期5次50米短跑成绩的平均数彳（秒）及方差群如下表所

示.若选出一位成绩较好且状态稳定的同学参加学校比赛，则应选的同学是（）

甲乙丙T

X777.57.5

S20.450.20.20.45

A.甲B.乙C.丙D.丁

6.如图，四边形ABC。内接于。。，若N8=108。，则/。的大小为（

5

A.54°B.62°C.72°D.82°

7.用扇形纸片制作一个圆锥的侧面，要求圆锥的高是4cm,底面周长是6-ncm,则扇形的

半径为（）

A.3cmB.8cmC.6cmD.5cm

8.如图所示是二次函数以+c图象的一部分，图象过A点（3,0）,二次函数图象

对称轴为直线x=l,给出五个结论：①8c>0；②a+6+c<0；③4a-2/?+c>0；④方程

加+6x+c=0的根为制=-1,及=3；⑤当天<1时・，y随着x的增大而增大.其中正确结

论是（）

A.①②③B.①③④C.②③④D.①④©

二、填空题（共8小题，每题3分，共24分）

9.将抛物线y="向上平移3个单位长度，所得抛物线的函数解析式为.

10.天气预报说某天最高气温是9℃,最低气温为-3℃,则该天气温的极差是.

11.在一个不透明的口袋中装有若干个只有颜色不同的球，如果已知袋中只有4个红球，

且摸出红球的概率为方，那么袋中的球共有个.

12.已知扇形的圆心角为150°,它所对应的弧长为20何相，则此扇形的面积是

cm2.

13.抛物线产--+法+C的部分图象如图所示，若y>0,则X的取值范围是.

14.如图所示，A8为。0的直径，点C在。。上，且0CL48,过点C的弦C£＞与线段0B

相交于点E,满足N4EC=65°,连接AO,则度.

15.三角形两边的长是3和4,第三边的长是方程x2-12x+35=0的根，则该三角形的周长

为.

16.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x与双曲线y=K交于A,B两点，P是以点C

x

(2,2)为圆心，半径长为1的圆上一动点，连接AP,Q为AP的中点.若线段。。长

度的最大值为2,则k的值为.

三、解答题(本题共U小题，共102分。解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说

明)

17.计算：

(1)5X2-3x=0；

(2)A2-4x+l=0.

18.已知关于x的方程f+,〃x+3=0的一个根是1,求，〃的值和另一个根.

19.在一幅长8分米，宽6分米的矩形风景画(如图①)的四周镶宽度相同的金色纸边，制

成一幅矩形挂图(如图②).如果要使整个挂图的面积是80平方分米，求金色纸边的宽.

图①图②

20.在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△4BC的三个顶点都

在格点上.(每个小方格的顶点叫格点)

(1)画出AABC向下平移3个单位后的山Ci；

(2)画出△4BC绕点。顺时针旋转90°后的△A2&C2,并求点A旋转到4所经过的路

线长.

21.如图，AB是半圆。的直径，C,。是半圆。上不同于A,8的两点，AD=BC,AC与

8。相交于点F.BE是半圆。所在圆的切线，与AC的延长线相交于点£

(1)求证：

(2)若BE=BF,求证：AC平分ND4B.

22.为进一步开展“睡眠管理”工作，某校对部分学生的睡眠情况进行了问卷调查.设每

名学生平均每天的睡眠时间为x小时，其中的分组情况是：

A组：x<8.5

8组：8.5«9

C组:9WXV9.5

小组:9.5WxV10

E组：x210

根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题:

(I)本次共调查了名学生；

(2)补全条形统计图；

(3)在扇形统计图中，求。组所对应的扇形圆心角的度数；

(4)若该校有1500名学生，请估计该校睡眠时间不足9小时的学生有多少人？

t人数

23.体育课上，小明、小强、小华三人在学习训练踢足球，足球从一人传到另一人就记为

踢一次.

(1)如果从小强开始踢，经过两次踢后，用树状图表示或列表法求足球踢到了小华处的

概率是多少

(2)如果从小明开始踢，经过踢三次后，球踢到了小明处的概率.

24.如图，A8是00的直径，点C是。0上一点，/C48的平分线AO交踊于点£>,过点

D作DE//BC交AC的延长线于点E.

(1)求证：DE是。。的切线；

(2)过点。作。于点尸，连接BQ.若。F=l,BF=2,求的长度.

25.某商场将每件进价为160元的某种商品原来按每件200元出售，一天可售出100件，后

来经过市场调查，发现这种商品每降低2元，其销量可增加10件.

(1)求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？

(2)设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元.

①若商场经营该商品一天要获利润4320元，则每件商品售价应降价多少元？

②求出y与x之间的函数关系式，当x取何值时，商场获利润最大？并求最大利润值.

26.阅读理解:

小明热爱数学，在课外数学资料上看到平行四边形一个性质定理：任意平行四边形对角

线的平方和等于四条边的平方和.如图1,在平行四边形A8C。中，40+802=

AB^BC^+CD^+DA2.由此，他探究得到三角形的一个性质：三角形两边的平方和等于第

三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍.

(1)说理证明：

如图2,在△ABC中，若点D为BC的中点，则有：AB2+AC2=2AD2+2BD2.请你证明小

明得到的三角形性质的正确性.

(2)理解运用：

①在△ABC中，点。为BC的中点，AB=4,AC=3,BC=6,则AO=；

②如图3,O。的半径为6,点A在圆内，且。4=4&,点B和点C在。0上，且NBAC

=90°,点E、F分别为A。、8c的中点，则)的长为；

(3)拓展延伸:

如图4,已知。。的半径为2遥，以4(2,2)为直角顶点的aABC的另两个顶点8,C

都在。。上，。为BC的中点，则AO长的最大值为.

27.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-r+瓜+c的图象与坐标轴相交于A、B、C

三点，其中A点坐标为(3,0),8点坐标为(-1,0),连接AC、BC.动点P从点4

出发，在线段AC上以每秒&个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点。从点8出

发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另

一点随之停止运动，连接PQ,设运动时间为，秒.

(1)求6、c的值.

(2)在P、。运动的过程中，当，为何值时，四边形BCP。的面积最小，最小值为多少？

(3)在线段AC上方的抛物线上是否存在点使△MPQ是以点P为直角顶点的等腰

直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

参考答案

一、选择题(本题共8小题，每小题3分，共24分。每题的四个选项中，只有一个符合题

意，请把符合题意的选项填在下表中)

1.方程x2-9=0的解是()

A.xi=3,X2=-3B.x=0C.X\=X2=3D.X\=X2=-3

【分析】将方程常数项移到方程右边，利用平方根的定义开方即可得到方程的解.

解：N-9=0,

变形得：f=9,

开方得：X1=3,X2--3；

故选：A.

【点评】本题主要考查直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法解一元二

次方程的依据是解题的关键.

2.抛物线y=2(x+1)2-•的顶点坐标为()

A.(1,——)B.(-1,——)C,(-1,—)D.(1,-

2222

【分析】根据题目中的抛物线，可以直接写出该抛物线的顶点坐标.

解：：抛物线y=2(x+l)2-'

.♦•该抛物线的顶点坐标为(-1,,

故选：B.

【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质

解答.

3.在射击训练中，某队员的10次射击成绩如图，则这10次成绩的中位数和众数分别是

()

【分析】将折线统计图中的数据按照从小到大排列，然后即可得到这组数据的中位数；

一组数据中出现次数最多的数据叫做众数.

解：这10次射击成绩从小到大排列是：8.8,9.0,9.2,9.4,9.4,9.6,9.6,9.6,9.8,

9.8,

.•.中位数是C9.4+9.6）+2=9.5（环），

9.6出现的次数最多，故众数为9.6环.

故选：C.

【点评】本题考查众数与中位数，解答本题的关键是明确题意，会求一组数据的中位

数.

4.若关于x的一元二次方程/-2x+m=O没有实数根，则实数，”的取值范围是（）

A.m<Z1B.m>-1C.D.-1

【分析】方程没有实数根，则△<（）,建立关于〃，的不等式，求出机的取值范围.

解：由题意知，A=4-4/V0,

.'.m>1

故选：C.

【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（I）△>0=方程有两个不相等的实数根；

（2）△=0=方程有两个相等的实数根；

（3）△<0=方程没有实数根.

5.甲，乙，丙，丁四位同学本学期5次50米短跑成绩的平均数7（秒）及方差W如下表所

示.若选出一位成绩较好且状态稳定的同学参加学校比赛，则应选的同学是（）

甲乙丙丁

X777.57.5

S20.450.20.20.45

A.甲B.乙C.丙D.丁

【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量.方差越大，则平均值的离散程度越

大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好.

解：•••丙的平均分最好，方差最小，最稳定，

应选的同学是丙.

故选：C.

【点评】本题考查了方差，正确理解方差的意义是解题的关键.

6.如图，四边形A8C。内接于。0,若N8=108°,则/。的大小为（）

A.54°B.62°C.72°D.82°

【分析】运用圆内接四边形对角互补计算即可.

解：；四边形ABC。内接于ZB=108°,

.".ZD=180°-ZB=180°-108°=72°,

故选：C.

【点评】本题主要考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形对角互补是解答

此题的关键.

7.用扇形纸片制作一个圆锥的侧面，要求圆锥的高是4cm,底面周长是则扇形的

半径为（）

A.3cmB.8cznC.6cmD.5cm

【分析】首先根据圆锥的底面周长求得圆锥的底面半径，然后根据勾股定理求得圆锥的

母线长就是扇形的半径.

解：•底面周长是6nc/n,

底面的半径为3cm,

•.•圆锥的高为4cm,

圆锥的母线长为：732+42=5（。机），

扇形的半径为5cm,

故选：D.

【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是了解圆锥的母线、高及底面半径围成一

个直角三角形.

8.如图所示是二次函数yuaf+bx+c图象的一部分，图象过A点（3,0）,二次函数图象

对称轴为直线x=\,给出五个结论：①儿>0；②a+b+c<0；③4a-2Hc>0；④方程

加+法+c=0的根为xi=-1,及=3；⑤当x<l时，y随着x的增大而增大.其中正确结

论是（）

A.①②③B.①③④C.②③④D.①④

【分析】根据抛物线的开口方向得对称轴在），轴右侧，得6>0,抛物线与y轴的

正半轴相交，得。0,故①正确；当x=l时，y=a+6+c>0,故②错误；当x=-2时，

y=4a-2b+c<0,故③错误；根据对称轴为x=l,与x轴交于点（3,0）可得与x轴的

另一个交点（-1,0）,故④正确；由抛物线的对称性，得⑤正确.

解：•.•抛物线的开口向下，

：.a<0,

•.,对称轴x=l在y轴右侧，

：.b>0,

•••抛物线与y轴的正半轴相交，

.,.c>0,故①正确；

当x=l时，y=a+b+c>0,故②错误；

当x=-2时，y=4a-2b+c<0,故③错误；

•.•对称轴为x=l,与x轴交于点（3,0）,

...与x轴的另一个交点（-1,0）,故④正确；

由图象得x<l时，），随着x的增大而增大，故⑤正确；

正确结论有①④⑤，

故选：D.

【点评】本题考查了二次函数图象与二次函数系数之间的关系，是二次函数的综合题

型，是一道数形结合题，要熟悉二次函数的性质，观察图形，得出正确结论.

二、填空题(共8小题，每题3分，共24分)

9.将抛物线>=正向上平移3个单位长度，所得抛物线的函数解析式为丫=加+3.

【分析】直接运用平移规律”左加右减，上加下减”，在原式上加3即可得新函数解析

式y—2x1+3.

解：•；y=2x2向上平移3个单位长度，

新抛物线为旷="+3.

【点评】此题比较容易，主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加

右减，上加下减.并用规律求函数解析式.

10.天气预报说某天最高气温是9℃,最低气温为-3℃,则该天气温的极差是12℃.

【分析】根据极差的公式计算，即用9c减去-3C即可.

解：这天气温的极差是9-(-3)=12℃.

故答案为12℃.

【点评】本题考查了极差的知识，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法

是用一组数据中的最大值减去最小值.

11.在一个不透明的口袋中装有若干个只有颜色不同的球，如果已知袋中只有4个红球，

且摸出红球的概率为费，那么袋中的球共有12个.

【分析】根据红球的概率公式列出方程求解即可.

解：设袋中的球共有机个，其中有4个红球，则摸出红球的概率为匹，

m

根据题意有名=《，

m3

解得：m=12.

故本题答案为：12.

【点评】本题考查的是随机事件概率的求法的运用，如果一个事件有〃种可能，而且这

些事件的可能性相同，其中事件A出现种结果，那么事件A的概率P(A)=g.

12.已知扇形的圆心角为150。，它所对应的弧长为20TOTO,则此扇形的面积是，

2

C77r.

【分析】首先根据弧长公式求得扇形的半径，然后利用扇形的面积公式即可求解.

解：设扇形的半径是R,由题意得：/="黑&=20皿,

180

解得：R=24cm,

则扇形的面积S=」/R=』X20TTX24=24X10n=240nc/M2.

22

故答案是：2407t.

【点评】本题考查了扇形的面积公式，正确掌握扇形的面积公式以及弧长公式是关键.

13.抛物线y=-x2+bx+c的部分图象如图所示，若y>0,则x的取值范围是-3VxV

【分析】根据抛物线的对称轴为x=-1,一个交点为（1,0）,可推出另一交点为（-3,

0）,结合图象求出y>0时，x的范围.

解：根据抛物线的图象可知：

抛物线的对称轴为x=-1,已知一个交点为（1,0）,

根据对称性，则另一交点为（-3,0）,

所以y>0时，x的取值范围是

故答案为：-3<xVl.

【点评】此题的关键是根据二次函数的对称轴与对称性，找出抛物线y=-『+fev+c的完

整图象.

14.如图所示，A8为。。的直径，点C在。0上，且OCLAB,过点C的弦CD与线段02

相交于点E,满足NAEC=65°,连接AD,则N8AD=20度.

【分析】由直角三角形的性质得出NOC£=25°,由等腰三角形的性质得出NOOC=N

OCE=25°,求出NOOC=130°,得出NBOO=NDOC-NCOE=40°,再由圆周角

定理即可得出答案.

解：连接。。如图：

・.・OC_LAB,

・・・NCOE=90°,

VZA£C=65°,

AZOCE=90°-65°=25°,

*：OC=OD,

：.ZODC=ZOCE=25°,

AZDOC=180°-25°-25°=130°,

:・/BOD=NDOC-/COE=4G°,

/.ZBAD=—ZBOD=20Q,

2

故答案为：20.

【点评】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形内角

和定理；熟练掌握圆周角定理是解题的关键.

15.三角形两边的长是3和4,第三边的长是方程12x+35=0的根，则该三角形的周长

为12.

【分析】先解一元二次方程，由于未说明两根哪个是腰哪个是底，故需分情况讨论，从

而得到其周长.

解：解方程12x+35=0,

得制=5,通=7,

第三边V7,

，第三边长为5,

二周长为3+4+5=12.

【点评】此题是一元二次方程的解结合几何图形的性质的应用，注意分类讨论.

16.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x与双曲线y=K交于4,B两点，P是以点C

x

(2,2)为圆心，半径长为1的圆上一动点，连接AP,。为AP的中点.若线段。。长

【分析】确定。。是△ABP的中位线，。。的最大值为2,故BP的最大值为4,则8C=

BP-PC=4-1=3,则(根-2)2+(-机-2)2=32,即可求解.

解：连接BP,点。是AB的中点，则。。是△4BP的中位线，

当8、C、P三点共线时，PB最大，则OQ=aBP最大，

而。。的最大值为2,故BP的最大值为4,

则BC=BP-PC=4-1=3,

设点Bhn,-m),则(m-2)?+(--2)2=32,

解得：，"=*,

:・k=m(-in)=--,

2

【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，确定。。是△ABP的中位线

是本题解题的关键.

三、解答题(本题共11小题，共102分。解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说

明)

17.计算：

(1)5A2-3x=0；

(2)x2-4x+l=0.

【分析】(1)提公因式法因式分解，可得结论；

(2)直接利用配方法解方程得出答案.

解：(1)V5x2-3x=0,

.'.x(5x-3)=0,

...x=0或5x-3=0,

；.X1=O,X2="-；

5

(2)；N-4x+l=0,

'.x2--4x=-1,

.'.x2-4x+4=-1+4,

(x-2)2=3,

.,•X-2=土我，

解得：xi=2+J^,X2=2-

【点评】此题主要考查了因式分解法以及配方法解一元二次方程，熟练应用因式分解法

解方程是解题关键.

18.己知关于x的方程N+,〃x+3=0的一个根是1,求机的值和另一个根.

【分析】先把x=1代入关于x的方程始+皿+3=0求出m的值，再把m的值代入方程，

利用根与系数的关系即可得出结论.

解：•••关于x的方程/+如+3=0的一个根是1,

/.12+;«+3=0,

'.m=-4,

.,.把，”=-4代入方程x2+mx+3=0得x2-4x+3=0,

设方程的另一个根为a,则l+a=4,

Aa=3.

【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟知箝，及是方程/+px+q=O的

两根时，Xl+X2=-p,XlX2=q是解题的关键.

19.在一幅长8分米，宽6分米的矩形风景画（如图①）的四周镶宽度相同的金色纸边，制

成一幅矩形挂图（如图②）.如果要使整个挂图的面积是80平方分米，求金色纸边的宽.

囹①图②

【分析】设金色纸边的宽为x分米，关键题意列出方程，求出方程的解即可.

解：设金色纸边的宽为x分米，

方程为（8+2x）（6+2x）=80,

解方程得：x=-8或x=l,

经检验x=-8或1都是所列方程的解，但是宽不能为负数，

即X—1,

答：金色纸边的宽是1分米.

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，能根据题意列出方程是解此题的关键.

20.在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的三个顶点都

在格点上.（每个小方格的顶点叫格点）

（1）画出△ABC向下平移3个单位后的△48G；

（2）画出△ABC绕点。顺时针旋转90°后的△A2&C2，并求点A旋转到4所经过的路

【分析】（1）根据平移的规律找到出平移后的对应点的坐标，顺次连接即可；

（2）根据旋转的性质找出旋转后各个对应点的坐标，顺次连接即可.点4旋转到A2所

经过的路线是半径为OA,圆心角是90度的扇形的弧长.

解：(1)画出△4BiG；

(2)回出232c2

连接°A,%,0A=722+32=V13>

点A旋转到A2所经过的路线长为1=9%；胪=呼71.

【点评】本题考查的是平移变换与旋转变换作图.

作平移图形时，找关键点的对应点也是关键的一步.平移作图的一般步骤为：①确定平

移的方向和距离，先确定一组对应点；②确定图形中的关键点；③利用第一组对应点和

平移的性质确定图中所有关键点的对应点：④按原图形顺序依次连接对应点，所得到的

图形即为平移后的图形.

作旋转后的图形的依据是旋转的性质，基本作法是①先确定图形的关键点；②利用旋转

性质作出关键点的对应点；③按原图形中的方式顺次连接对应点.要注意旋转中心，旋

转方向和角度.

21.如图，AB是半圆。的直径，C,。是半圆。上不同于A,B的两点，AD=BC,AC与

相交于点足BE是半圆。所在圆的切线，与4C的延长线相交于点E.

(1)求证：△C84丝△D48；

(2)若BE=BF,求证：AC平分/D4B.

【分析】(1)根据圆周角定理得到/ACB=/AOB=90°,根据全等三角形的判定定理

即可得到结论；

(2)根据等腰三角形的性质得到NE=NBFE,根据切线的性质得到NA8E=90°,根

据三角形的内角和以及角平分线的定义即可得到结论.

【解答】(1)证明：••'AB是半圆。的直径，

4cB=乙4。8=90°,

(RC=An

在RtaCBA与RtADAB中，J，

lBA=AB

.,.RtACBA^RtADAfi(HL)；

(2)解：'：BE=BF,由(1)知8C_LE尸,

.,.ZE=ZBFE,

：BE是半圆。所在圆的切线，

AZABE=90°,

AZE+ZBAE=90°,

由⑴知N£>=90°,

AZDAF+ZAFD=90°,

4AFD=NBFE,

：.ZAFD=ZE,

'：ZDAF=90°-ZAFD,ZBAF=90°-ZE,

：.ND4F=NBAF,

，AC平分ND48.

【点评】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的识别

图形是解题的关键.

22.为进一步开展“睡眠管理”工作，某校对部分学生的睡眠情况进行了问卷调查.设每

名学生平均每天的睡眠时间为x小时，其中的分组情况是：

A组：x<8.5

B组：8.5Wx<9

C组：9WxV9.5

。组：9.5WxV10

E组：x>10

根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：

(1)本次共调查了100名学生:

(2)补全条形统计图；

(3)在扇形统计图中，求。组所对应的扇形圆心角的度数；

(4)若该校有1500名学生，请估计该校睡眠时间不足9小时的学生有多少人？

(2)根据(1)中的结果、条形统计图中的时间和扇形统计图中的数据，可以计算出4

组和E组的人数，从而可以将条形统计图补充完整；

(3)根据。组的人数和调查的总人数，可以计算出。组所对应的扇形圆心角的度数；

(4)根据条形统计图中的数据，可以计算出该校睡眠时间不足9小时的学生有多少人.

解：(1)20・20%=100(名)，

即本次共调查了100名学生，

故答案为：100;

(2)选择E的学生有：100X15%=15(人)，

选择A的学生有：100-20-40-20-15=5(人)，

补全的条形统计图如右图所示；

(3)360°X-2^0-=72°,

100

即D组所对应的扇形圆心角的度数是72。；

(4)1500义^^=375(A)，

100

答：估计该校睡眠时间不足9小时的学生有375人.

、用样本估计总体，解答本题的关键是明确

题意，利用数形结合的思想解答.

23.体育课上，小明、小强、小华三人在学习训练踢足球，足球从一人传到另一人就记为

踢一次.

(1)如果从小强开始踢，经过两次踢后，用树状图表示或列表法求足球踢到了小华处的

概率是多少

(2)如果从小明开始踢，经过踢三次后，球踢到了小明处的概率.

【分析】(1)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与经过两

次踢后，足球踢到了小华处的情况，再利用概率公式求解即可求得答案.

(2)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与经过踢三次后，

球踢到了小明处的情况，再利用概率公式求解即可求得答案.

解：(1)画树状图得：

开始

小明“用

小祸〃毋小幅小明

•.•共有4种等可能的结果，经过两次踢后，足球踢到了小华处的有1种情况,

...足球踢到了小华处的概率是：~

(2)画树状图得:

小强4埠

小明"呼小明小强

Z\/\/\

小祸<1用小祸小明小祸〃晔〃冷小明

♦.•共有8种等可能的结果，经过踢三次后，球踢到了小明处的有2种情况，

.••经过踢三次后，球踢到了小明处的概率为：?==.

【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复

不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两

步以上完成的事件.注意概率=所求情况数与总情况数之比.

24.如图，AB是。0的直径，点C是。。上一点，NC4B的平分线A。交标于点。，过点

D作DE//BC交AC的延长线于点E.

(1)求证：QE是。。的切线；

(2)过点。作。于点F,连接8D若OF=1,BF=2,求8。的长度.

【分析】(1)连接0。，由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出/AQ0=/D4E,

从而0D〃AE,由£>E〃BC得乙£=90°,由两直线平行，同旁内角互补得出/OOE=

90°,由切线的判定定理得出答案；

(2)先由直径所对的圆周角是直角得出/AOB=90°,再由。尸=1,8/=2得出08的

值，进而得出AF和BA的值，然后证明△DBFs△AB。，由相似三角形的性质得比例

式，从而求得的值，求算术平方根即可得出的值.

解：(1)连接O。，如图，

E

D

9

：OA=ODf

：.ZOAD=ZADOf

TAO平分NC48,

：.ZDAE=ZOADf

：.ZADO=ZDAEf

J.OD//AE,

♦:DE〃BC,

：.ZE=90°,

：.ZODE=\SO°-NE=90°,

・・・DE是O。的切线；

(2)〈AB是OO的直径，

AZADB=90°,

,?OF=1,BF=2,

：・OB=3,

・・・AF=4,BA=6.

\'DF±ABf

：.ZDFB=90°,

NADB=NDFB,

又：NDBF=NABD,

：./XDBFsdABD,

.BD_BF

••前一丽’

：.BD2=BF^BA=2X6=]2,

***BD=2\j"^.

解法二：利用勾股定理求出。R再利用勾股定理求出3。即可.

【点评】本题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握

圆的切线的判定与性质及圆中的相关计算是解题的关键.

25.某商场将每件进价为160元的某种商品原来按每件200元出售，一天可售出100件，后

来经过市场调查，发现这种商品每降低2元，其销量可增加10件.

(1)求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？

(2)设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润了元.

①若商场经营该商品一天要获利润4320元，则每件商品售价应降价多少元？

②求出y与x之间的函数关系式，当x取何值时，商场获利润最大？并求最大利润值.

【分析】(1)根据总利润=单件利润X销量即可列式计算；

(2)①分别表示出销量和单件的利润即可表示出总利润，从而列出方程求解；

②列出二次函数关系式后配方即可确定最大利润值.

解：(1)原来一天可获利润是：(200-160)X100=4000元；

(2)①，依题意，得(200-160-x)(100+5x)=4320

解得：x=4或x=16

则每件商品应降价4元或16元；

(2)y=(200-160-x)(100+5%)=-5(x-10)2+4500

,当x=10时，y有最大值，最大值是4500元，

【点评】本题考查了一元二次方程的应用及二次函数的应用，解题的关键是能够表示出

销量和单件的利润，难度不大.

26.阅读理解：

小明热爱数学，在课外数学资料上看到平行四边形一个性质定理：任意平行四边形对角

线的平方和等于四条边的平方和.如图1,在平行四边形ABCD中，A(?+BD2=

AB^BC2+CI^+DA2.由此，他探究得到三角形的一个性质：三角形两边的平方和等于第

三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍.

(1)说理证明：

如图2,在△A8C中，若点。为8c的中点，则有.：AB2+AC2=2AD2+2BD1.请你证明小

明得到的三角形性质的正确性.

(2)理解运用：

①在AABC中，点。为BC的中点，AB=4,AC=3,BC=6,则A£>=H.

~2~

②如图3,OO的半径为6,点A在圆内，且OA=4&,点B和点C在。0上，且/8AC

=90°,点£、尸分别为AO、BC的中点，则E/的长为_力3_；

(3)拓展延伸：

如图4,已知。。的半径为2遥，以A(2,2)为直角顶点的△ABC的另两个顶点3,C

都在OO上，。为BC的中点，则A。长的最大值为

【分析】(1)过点A作4E_L8C于点E,设BD=CD=x,DE=y,由

AC2—A^+CE2,AD2—AE^-^-DE2,可得AB2+A(^—2/4E2+(x-y)2+(x+y)2=

2AE2+2x2+2y2,即得(A^+DE2)+2B£>2=2AD2+2BD2；

(2)解：①由2n用42+32=24752+2X32,故AO=，n>；

2

②连接OC,OF,OB,AF,由4尸是△回(7的中线，EF是△AF。的中线，可得8/=

—AB^—AC2-AF2,。尸=2E产+2AE2-A/，而OF2=OB2-BF2,可推得4芯产=2082

22

-042,故历=技；

(3)连接04,取0A的中点E,连接DE,AD,由(2)的②可知：D^—OB2--0A2

24

=8,有DE=2M，当A,E,。共线时，4。长的最大值为3M.

【解答】(1)证明：过点A作AELBC于点E,如图，

设8£>=C£>=x,DE=y,

在RtZiABE中，AB2=AE1+BE?,

同理可得：AC2=AE1+CE2,AD^AEr+DE2,

：.AB2+AC2=2AE2+CE2+BE?=2AEr+(x-y)2+(x+y)2=2AEr+2x2+2y2,

VBD^x2,DE2=y2,

AB2+AC2=2AE1+2BD2+2DE1=2(A£2+DE2)+2BD2=2AD2+2BD2；

(2)解：①由(1)知482+4(^=2A£>2+2B£>2,

•.•点。为BC的中点，BC=6,

：.BD=3,

'：AB=4,AC=3,

42+32=2A£)2+2x32,

2

故答案为：叵;

2

②连接OC,OF,OB,AF,如图,

：AF是AABC的中线，EF是△AFO的中线，

：.2AFq+2BF2=AB2+AC2,2E产+2A£2=AF2+O产，

.,.5/^=—Afi2+—AC2-A/，O尸=2后产+24层-AF2,

22

,：OB=OC,。/是△BOC的中线，

r.OFYBC,

.•.0产=082-8尸，

：.2EF2+2AE?-AF2=OB2-(—AB2+—AC2-AF2),

22

：AEF，1=2OB--AB--AC2+4AF2-4AE2,

VZBAC=90a,

J.AB^ACr^BC2^(2A尸)2=44产，

；.4E产=2OB?-4AE2,

•：OA=2AE,

：.4AE2=OA2,

：AEP1=2OB2-OA2,

J.EF^^—OB2-—X62-—X(4&)2