湘教版高中数学必修第一册第6章6-4-1用样本估计总体的集中趋势课件

6.4.1用样本估计总体的集中趋势第6章统计学初步6.4用样本估计总体学习任务核心素养1．结合实例，能用样本估计总体的集中趋势．(重点、难点)2．

理解集中趋势参数的统计含义．(重点、难点)1．通过对数据平均数、中位数、众数概念的学习，培养数学抽象素养．2．通过利用平均数、中位数、众数估计总体的集中趋势，培养直观想象素养．现从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种耐用家电产品中，各抽取8件产品，对其使用寿命进行跟踪调查，其结果如下：(单位：年)甲：3，4，5，6，8，8，8，10；乙：4，6，6，6，8，9，12，13；丙：3，3，4，7，9，10，11，12．三家广告中都称其产品的使用寿命为8年，利用初中所学的知识，你能说明为什么吗？必备知识·情境导学探新知

固定的不同的随机性接近(3)平均数与频率的关系一般地，若取值为x1，x2，…，xn的频率分别为f1，f2，…，fn，则其平均数为______________________．x1f1＋x2f2＋…＋xn

fn

N1＋N2＋…＋NL

体验1．为了解我国13岁男孩的平均身高，从北方抽取了300个男孩，平均身高为1.60m；从南方抽取了200个男孩，平均身高为1.50m．由此可估计我国13岁男孩的平均身高为(

)A．1.57m

B．1.56m

C．1.55m

D．1.54m

√知识点2众数、中位数1．定义(1)众数：观测数据中____________的数是众数，用Mo表示．(2)中位数：将一组观测数据按从小到大的顺序排列后，称处于中间位置的数是中位数，用Me表示．当数据个数为奇数时，处于____位置的数就是中位数；当数据的个数是偶数时，则中间两个数的______即为中位数．出现次数最多中间平均数2．众数、中位数和平均数的比较名称优点缺点平均数与中位数相比，平均数反映出样本数据中更多的信息，对样本中的极端值更加敏感任何一个数据的改变都会引起平均数的改变．数据越“离群”，对平均数的影响越大名称优点缺点中位数不受数据组中极端值的影响，具有较好的稳定性对极端值不敏感众数反映一组数据的集中趋势众数是一个位置代表值，它不受数据中极端值的影响3．众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系(1)平均数：在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的______与小矩形的____的乘积之和近似代替．(2)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该____．(3)众数：众数是____小矩形底边的中点所对应的数据．横坐标面积相等最高思考(1)中位数一定是样本数据中的一个数吗？(2)一组数据的众数可以有几个？中位数是否也具有相同的结论？[提示]

(1)不一定．一组数据按大小顺序排列后，如果有奇数个数据，处于中间位置的数是中位数；如果有偶数个数据，则取中间两个数据的平均数是中位数．(2)一组数据的众数可能有一个，也可能有多个，中位数只有唯一一个．体验2．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一个样本的众数、平均数和中位数都是唯一的． (

)(2)样本的平均数是频率分布直方图中最高小矩形的中点对应的数据． (

)(3)若改变一组数据中其中的一个数，则这组数据的平均数、中位数、众数都会发生改变． (

)×××体验3．一组样本数据为：19，23，12，14，14，17，10，12，18，14，27，则这组数据的众数和中位数分别为(

)A．14，14 B．12，14C．14，15.5 D．12，15.5A

[把这组数据按从小到大排列为：10，12，12，14，14，14，17，18，19，23，27，则可知其众数为14，中位数为14．]√

体验5．已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________．

6类型1平均数、中位数和众数的计算【例1】已知10名工人生产同一零件，生产的件数分别是16，18，15，11，16，18，18，17，15，13，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有(

)A．a＞b＞c

B．a＞c＞bC．c＞a＞b D．c＞b＞a关键能力·合作探究释疑难√

反思领悟

1．求样本数据的中位数和众数时，把数据按照从小到大的顺序排列后，按照其求法进行．2．求样本数据的平均数的难点在于计算的准确性．[跟进训练]1．某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个，命中个数如下所示

：甲：20，22，27，8，12，13，37，25，24，26乙：14，9，13，18，19，20，23，21，21，11则下面结论中正确的是________(填序号)．①甲的极差是29；②乙的众数是21；③甲的平均数为21.4；④甲的中位数是24．①②③

类型2平均数、中位数和众数的实际应用【例2】某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练，两群市民的年龄如下(单位：岁)：甲：13，13，14，15，15，15，15，16，17，17；乙：54，3，4，4，5，5，6，6，6，57．(1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征？(2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征？

反思领悟

利用样本数字特征进行决策时的两个关注点(1)平均数与每一个数据都有关，可以反映更多的总体信息，但受极端值的影响大；中位数是样本数据所占频率的等分线，不受几个极端值的影响；众数只能体现数据的最大集中点，无法客观反映总体特征．(2)当平均数大于中位数时，说明数据中存在许多较大的极端值．

√

类型3根据频率分布直方图求平均数、中位数和众数【例3】某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示．(1)求这次测试数学成绩的众数；(2)求这次测试数学成绩的中位数．(1)频率分布直方图中每个小矩形的面积代表什么？(2)在频率分布直方图中，如何确定众数和中位数？

[母题探究]1．若例3的条件不变，求数学成绩的平均分．

2．若例3条件不变，求80分以下的学生人数．[解]

[40，80)分的频率为：(0.005＋0.015＋0.020＋0.030)×10＝0.7，所以80分以下的学生人数为80×0.7＝56．反思领悟

众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系(1)众数：众数在样本数据的频率分布直方图中，就是最高矩形的底边中点的横坐标．(2)中位数：在样本中，有50%的个体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可估计中位数的值．(3)平均数：用频率分布直方图估计平均数时，平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以每个小矩形底边中点的横坐标之和．[跟进训练]3．随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机软件层出不穷．现从某市使用A和B两款订餐软件的商家中分别随机抽取100个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图如下．使用A款软件的100个商家“平均送达时间”的频率分布直方图使用B款软件的100个商家“平均送达时间”的频率分布直方图(1)试估计该市使用A款订餐软件的商家的“平均送达时间”的众数及平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；(2)如果以“平均送达时间”的平均数作为决策依据，从A和B两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？[解]

(1)依题意，可得该市使用A款订餐软件的商家中“平均送达时间”的众数约为55，平均数约为15×0.06＋25×0.34＋35×0.12＋45×0.04＋55×0.4＋65×0.04＝40(min)．(2)该市使用B款订餐软件的商家中“平均送达时间”的平均数约为15×0.04＋25×0.2＋35×0.56＋45×0.14＋55×0.04＋65×0.02＝35＜40(min)，所以选B款订餐软件．1．一组观察值4，3，5，6出现的次数分别为3，2，4，2，则样本平均值约为(

)A．4.55

B．6.5

C．12.5

D．1.64学习效果·课堂评估夯基础√23题号41

2．下列数字特征一定会在原始数据中出现的是(

)A．众数 B．中位数C．平均数 D．都不会23题号41√A

[众数是在一组数据中出现次数最多的数，所以一定会在原始数据中出现．]3．已知一组数据按从小到大的顺序排列，得到－1，0，4，x，7，14，中位数为5，则这组数据的平均数为________．23题号41

5

4．某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30，0.40，0.15，0.10，0.05．则(1)高一参赛学生成绩的中位数为________分；(2)高一参赛学生的平均成绩为________分．23题号416765(1)65

(2)67

[∵第一个小矩形的面积为0.3，前两个小矩形的面积和为0.3＋0.4＝0.7＞0.5，∴设第二个小矩形底边的一部分长为x，则x×0.04＝0.2，得x＝5，∴中位数为60＋5＝65分．依题意，平均成绩为55×0.3＋65×0.4＋75×0.15＋85×0.1＋95×0.05＝67，所以平均成绩约为67分．]23题号41回顾本节知识，自我完成以下问题：1．众数、中位数和平均数在分析样本数据时各有何优缺点？[提示]

名称优点缺点平均数与中位数相比，平均数反映出样本数据中更多的信息，对样本中的极端值更加敏感任何一个数据的改变都会引起平均数的改变．数据越“离群”，对平