教案：高中数学人教B版 必修 第一册 函数的应用

3.3函数的应用（一）教案

教学课时：1课时

教学目标：

1.了解数学在实际问题中的应用，发展应用数学的意识和能力；

2.通过实例，经历建立函数模型，并用其解决有关的实际问题的过程，理解

建立函数模型的方法，体会数学在生活中的应用；

3.经历观察发现、归纳类比、抽象概括等思维过程，进一步体验从特殊到一

般的思想方法。

教学重点：

根据实际问题的需要，建立一次函数、二次函数等函数模型解决问题。

教学难点：

选择适当的函数模型解决实际问题。

教学过程：

一、提出问题、师生探究

我们学过的函数不但可以解决很多数学问题，还可以运用函数知识和方法解

决实际问题，在生活中有着广泛的应用。

运用函数解决实际问题，通常我们遵循以下几个步骤：

步骤：审题一一转化一一建立模型（函数关系式）一一解答一一检验实

际问题。

1.阅读理解审清题意：读题时要抓住题目中的关键字、词、句，认真分析题

目所给的有关材料，弄清题意，理顺问题中的条件和结论，找到关键量，进而明

确其中的数量关系（等量或大小关系）。

2.建立文字数量关系：在读题的基础上，要能复述题目中的要点，深思题意，

很多情况下，可将应用题翻译成简单的图或表的形式，从而列出题中各种数量之

间的关系，为建立数学模型做好准备。

3.准确建立数学模型：将文字语言、符号语言、图表语言所表达的数量关系

转化成数学语言，建立相应的数学模型，转化为一个数学问题，其中特别注意变

量的范围.准确建立数学模型是解应用题的关键。

4.解决数学模型问题：利用所学数学知识解决转化后的数学问题，得到相应

的数学结论。

5.检验结果还原作答：把所得到的关于应用问题的数学结论，还原为实际问

题本身所具有的意义。

二、例题讲解、学以致用

下面我们一起来看看几个实际问题：

例1：(课本121页例1)为了鼓励大家节约用水，自2013年以后，上海市

实行了阶梯水价制度，其中每户的综合用水单价与户年用水量的关系如下表所

示：

分档户年用水量/m，综合用水单价/(元-n?)

第一阶梯0-220（含）3.45

第二阶梯220-300（含）4.83

第三阶梯300以上5.83

记户年用水量为xn?时应缴纳的水费为f(x)元。

(1)写出f(x)的解析式;

(2)假设居住在上海的张明一家2015年共用水260m3,则张明一家2015

年应缴纳水费多少元？

【交流与讨论1：］

①何为阶梯水价？能否举例说明？

②f(x)和哪个函数模型有关？

【设计意图】：通过让学生举例说明阶梯水价的含义更好的理解题意，从而

能够顺利建立分段函数模型

【学生活动1】：根据上面的讨论，求出f(x)的解析式.

解：(1)由题目可知，f(x)是一个分段函数，

当0<xW220时，f(x)=3.45x；

当220VxW300时，f(x)=220X3.45+(x-220)X4.83=4.83x-303.6；

当x>300时，f(x)=220X3.45+(300-220)X4.83+(x-300)X

5.83=5.83x-603.6；

所以：

3.45x,0<x<220.

/（x）=<4,83x-303.6,220<x<300,

5.83x-603.6,x>300.

(2)因为220V260W300,所以f(260)=4.83X260-303.6=952.2

答：张明一家2015年应缴纳水费952.2元.

【设计意图】：学生亲身实践，体会一次函数在实际问题中的应用。

【交流与讨论2】

①如何正确书写分段函数的解析式;

②生活中还有哪些问题可以用分段函数来描述：如：阶梯电价，居民煤气

费用，公民个人所得税计算方式等。

③实行阶梯水价有什么好处？(在保证了居民正常生活用水的情况下，用

水量越多，价格越高，有利于居民节约用水，提高环保意识。)

【设计意图】：

讨论交流分段函数的形式，避免学生书写错误或者不规范，体现数学的严谨

性；

交流生活中还有哪些实际问题可以用分段函数解决，体现了用数学的角度去

发现问题和解决问题的意识，以及归纳推广的思想方法；

交流阶梯水价的意义，有利于培养学生节约用水的环保意识。

例2：(课本123页例5)已知某产品的总成本C与年产量Q之间的关系为

C=aQ2+3000,且当年产量是100时，总成本是60000设改产品年产量为Q时的平

均成本为f(Q)。

(1)求f(Q)的解析式；

(2)求年产量为多少时，平均成本最小，并求最小值。

【交流与讨论3］：什么是平均成本？

这是函数在经济学中的应用，平均成本是指平均每生产一个单位产品所消耗

的成本，等于总成本除以总产量。

【设计意图】：理清概念，理解题意，为顺利建立模型打下基础。

【学生活动2】：根据上面的讨论，求出f(Q)的表达式，并求出平均成本的

最小值。

解：(1)将Q=100,C=6000代入C=aQ2+3000中，可得：

100a+3000=6000

从而：a=—,于是。=驾+3000

1010

因此一⑼君堀+等,Q>0

⑵分析：由/幻)=0=些+理,。〉0可知：吆和幽均为正数且乘积为定

Q10Q10Q

值.可以运用

均值不等式求最小值.

(产普+aooo“"强=6。

Q10Q\10Q

当且仅当吆=幽，即Q=100时，取等号.

10Q

答:当年产量为100时，平均成本最小，最小值为60.

三、课堂练习、深化理解

1.(课本P124页练习A组第1题)

参考答案:y=x(1+2%)(1-2%)=0.9996x,x>0

【注意自变量x范围】

2.(课本P124页练习A组第2题)

4320+160X216+8x

v=----------=-------.xGN

2000+20x100+x

参考答案:

【注意自变量x范围】

3.(课本P124页练习B组第1题)

参考答案：

(1)

Rx)=R(x)-C(x)=-20.x2+2500x-4000.xGN*.x<100

JWP(X)=Rx+1)—P(x)=-40x+2480.xeN*u<100

(2)P(x)在x=62或63时取得最大值74120元，MP(x)在x=l时取得最

大值2440元，因此它们不具有相同的最大值。

四、课堂小结、回