2024秋高中数学单元评估验收二达标检测含解析新人教A版必修5

PAGE1-单元评估验收(二)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．数列3，5，9，17，33，…的通项公式等于()A．2n B．2n＋1C．2n－1 D．2n＋1解析：由数列3，5，9，17，33，…的前5项可知，每一项都满意2n＋1.答案：B2．数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是()A．－2 B．－1C．0 D．1解析：等差数列前n项和Sn的形式为Sn＝an2＋bn，所以λ＝－1.答案：B3．在单调递减的等比数列{an}中，若a3＝1，a2＋a4＝eq\f(5,2)，则a1等于()A．2 B．4C．eq\r(2) D．2eq\r(2)解析：由已知得a1q2＝1，a1q＋a1q3＝eq\f(5,2)，所以eq\f(q＋q3,q2)＝eq\f(5,2)，q2－eq\f(5,2)q＋1＝0，所以q＝eq\f(1,2)或q＝2，因为{an}单调递减，所以q＝eq\f(1,2)，所以a1＝4.答案：B4．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2，则a2等于()A．4 B．2C．1 D．－2解析：因为S1＝2a1－2＝a1，所以a1＝2，又S2＝2a2－2＝a1＋a2，所以a2＝4.答案：A5．数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6＝()A．3×44 B．3×44＋1C．44 D．44＋1解析：由an＋1＝3Sn⇒Sn＋1－Sn＝3Sn⇒Sn＋1＝4Sn，故数列{Sn}是首项为1，公比为4的等比数列，故Sn＝4n－1，所以a6＝S6－S5＝45－44＝3×44.答案：A6．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5等于()A．3∶4 B．2∶3C．1∶2 D．1∶3解析：设S5＝2k，S10＝k，则S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，即S15－S10＝eq\f(1,2)k，所以S15＝eq\f(3,2)k，故S15∶S5＝3∶4.答案：A7．在数列{an}中，若aeq\o\al(2,n)－aeq\o\al(2,n－1)＝p(n≥2，n∈N*，p为常数)，则称{an}为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的推断正确的是()A．若{an}是等差数列，则{aeq\o\al(2,n)}是等方差数列B．{(－1)n}是等方差数列C．若{an}是等方差数列，则{akn}(k∈N*，k为常数)也是等方差数列D．若{an}既是等方差数列又是等差数列，则该数列为常数列解析：对于A项，取an＝n，则aeq\o\al(4,n＋1)－aeq\o\al(4,n)＝(n＋1)4－n4＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（n＋1）2－n2))·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（n＋1）2＋n2))＝(2n＋1)(2n2＋2n＋1)不是常数，则{aeq\o\al(2,n)}不是等方差数列，A项中的结论错误；对于B项，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（－1）n＋1))eq\s\up12(2)－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（－1）n))eq\s\up12(2)＝1－1＝0为常数，则eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(（－1）n))是等方差数列，B项中的结论正确；对于C项，若{an}是等方差数列，则存在常数p∈R，使得aeq\o\al(2,n＋1)－aeq\o\al(2,n)＝p，则数列{aeq\o\al(2,n)}为等差数列，所以aeq\o\al(2,k（n＋1）)－aeq\o\al(2,kn)＝kp，则数列{akn}(k∈N*，k为常数)也是等方差数列，C项中的结论正确；对于D项，若数列{an}为等差数列，设其公差为d，则存在m∈R，使得an＝dn＋m，则aeq\o\al(2,n＋1)－aeq\o\al(2,n)＝(an＋1－an)(an＋1＋an)＝d(2dn＋2m＋d)＝2d2n＋(2m＋d)d，由于数列{an}也为等方差数列，所以，存在实数P，使得aeq\o\al(2,n＋1)－aeq\o\al(2,n)＝p，则2d2n＋(2m＋d)d＝p对随意的n∈N*恒成立，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2d2＝0，,（2m＋d）d＝p，))得p＝d＝0，此时，数列{an}为常数列，D项正确．答案：BCD8．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于()A．6 B．7C．8 D．9解析：设等差数列{an}的公差为d，因为a4＋a6＝－6，所以a5＝－3，所以d＝eq\f(a5－a1,5－1)＝2，所以a6＝－1<0，a7＝1>0，故当等差数列{an}的前n项和Sn取得最小值时，n等于6.答案：A9．设等差数列{an}的前n项和是Sn，已知S12>0，S13<0，正确的选项有()A．a1>0，d<0 B．S5与S6均为Sn的最大值C．a6＋a7>0 D．a7<0解析：因为S12＝eq\f(12（a1＋a12）,2)＝eq\f(12（a6＋a7）,2)>0，所以a6＋a7>0，故C项正确．又因为S13＝eq\f(13（a1＋a13）,2)＝eq\f(132a7,2)＝13a7<0所以a7<0，a6>0，所以等差数列前6项为正数，从第7项起先为负数，则a1>0，d<0，S6为Sn的最大值．答案：ACD10．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2(an－a)(其中a为常数)，则下列说法正确的是()A．数列{an}肯定是等比数列B．数列{an}可能是等差数列C．数列{Sn}可能是等比数列D．数列{Sn}可能是等差数列解析：Sn＝2(an－a)，Sn－1＝2(an－1－a)，n∈N，n≥2，两式相减：an＝2an－2an－1，an＝2an－1，n≥2.若a＝0，令n＝1，a1＝2(a1－0)，a1＝0，则an＝0，此时是等差数列，不是等比数列．若a≠0，令n＝1，a1＝2(a1－a)，a1＝2a，则an＝2an－1，n≥2，此时不是等差数列．所以数列{an}不肯定是等比数列，可能是等差数列，所以A项错B项正确．又Sn＝2(an－a)＝2(Sn－Sn－1－a)，n≥2，n∈N*，得Sn＝2Sn－1＋2a，要使{Sn}为等比数列，必有若a＝0，此时令n＝1，a1＝2(a1－0)，a1＝0，则an＝0，Sn＝0，此时{Sn}是一个全部项为0的常数列，所以{Sn}不行能为等比数列，所以C项错误，D项正确.答案：BD11．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S6>S7>S5，有下列四个命题：①d<0；②S11>0；③S12<0；④S8>S5.其中正确命题的序号是()A．②③ B．①④C．①③ D．①②解析：由S6>S7>S5，得a7＝S7－S6<0，a6＝S6－S5>0，a6＋a7＝S7－S5>0，则d＝a7－a6<0，故①正确；S11＝eq\f(11（a1＋a11）,2)＝11a6>0，S12＝eq\f(12（a1＋a12）,2)＝eq\f(12（a6＋a7）,2)>0，故②正确，③错误；因为a6>0，a7<0，所以S8－S5＝eq\f(8（a1＋a8）,2)－eq\f(5（a1＋a5）,2)＝eq\f(8（2a1＋7d）,2)－eq\f(5（2a1＋4d）,2)＝eq\f(6（a1＋6d）,2)＝3a7<0，所以S8<S5，故④错误．答案：D1，则称ak是数列{an}的“谷值”，k是数列{an}的“谷值点”．在数列{an}中，若an＝|n＋eq\f(9,n)－8|，下面哪些数不能作为数列{an}的“谷值点”()A．3 B．2C．7 D．5解析：an＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(n＋\f(9,n)－8))，故a1＝2，a2＝eq\f(3,2)，a3＝2，a4＝eq\f(7,4)，a5＝eq\f(6,5)，a6＝eq\f(1,2)，a7＝eq\f(2,7)，a8＝eq\f(9,8).故a2<a3，3不是“谷值点”；a1>a2，a3>a2，故2是“谷值点”；a6>a7，a8>a7，故7是“谷值点”；a6<a5，5不是“谷值点”．答案：AD二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．等差数列{an}中，a3＋a7＋2a15＝40，则S19＝________．解析：由a3＋a7＋2a15＝40，得2a5＋2a15＝40，从而得a1＋a19＝20，所以S19＝eq\f(19（a1＋a19）,2)＝190.答案：19014．等比数列{an}中，a2＝9，a5＝243，则{an}的前4项和是________．解析：因为a2＝9，a5＝243，a5＝a2·q3，所以q3＝eq\f(243,9)＝27.所以公比q＝3，从而a1＝3.所以S4＝eq\f(a1（1－q4）,1－q)＝eq\f(3（1－34）,1－3)＝120.答案：12015．假如数列{an}的前n项和Sn＝2an－1，则此数列的通项公式an＝______________．解析：当n＝1时，S1＝2a1－1，所以a1＝2a1－1，所以a1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－1－(2an－1)；所以an＝2an－1，经检验n＝1也符合．所以{an}是等比数列．所以an＝2n－1，n∈N*.答案：2n－1(n∈N*)16．设数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，有下列三个命题：①若{an}既是等差数列又是等比数列，则an＝an＋1；②若Sn＝an(a为非零常数)，则{an}是等比数列；③若Sn＝1－(－1)n，则{an}是等比数列．其中真命题的序号是________．＝eq\f(a1,1－q)－eq\f(a1,1－q)·qn知②不正确，③正确．答案：①③三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)为了治理“沙尘暴”，西部某地区政府经过多年努力，到2024年底，将当地沙漠绿化了40%，从2024年起先，每年将出现这种现象：原有沙漠面积的12%被绿化，即改造为绿洲(被绿化的部分叫绿洲)，同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠，问至少经过几年的绿化，才能使该地区的绿洲面积超过50%(可参考数据lg2＝0.3，最终结果精确到整数)?解：设该地区总面积为1，2024年底绿化面积为a1＝eq\f(2,5)，经过n年后绿洲面积为an＋1，设2024年底沙漠面积为b1，经过n年后沙漠面积为bn＋1，则a1＋b1＝1，an＋bn＝1.依题意，an＋1由两部分组成：一部分是原有绿洲an减去被侵蚀的部分8%·an的剩余面积92%·an，另一部分是新绿化的12%·bn，所以an＋1＝92%·an＋12%(1－an)＝eq\f(4,5)an＋eq\f(3,25)，即an＋1－eq\f(3,5)＝eq\f(4,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(an－\f(3,5)))，a1－eq\f(3,5)＝eq\f(2,5)－eq\f(3,5)＝－eq\f(1,5)，所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an－\f(3,5)))是以－eq\f(1,5)为首项，eq\f(4,5)为公比的等比数列，所以an－eq\f(3,5)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq\s\up12(n－1)，所以an＝eq\f(3,5)－eq\f(1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq\s\up12(n－1)，则an＋1＝eq\f(3,5)－eq\f(1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq\s\up12(n)，因为an＋1>50%，所以eq\f(3,5)－eq\f(1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq\s\up12(n)>eq\f(1,2)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq\s\up12(n)<eq\f(1,2)，n>logeq\s\do9(\f(4,5))eq\f(1,2)＝eq\f(lg2,1－3lg2)＝3.则当n≥4时，不等式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq\s\up12(n)<eq\f(1,2)恒成立．所以至少须要4年才能使绿洲面积超过50%.18．(本小题满分12分)已知等差数列{an}的公差d≠0，它的前n项和为Sn，若S5＝70，且a2，a7，a22成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))的前n项和为Tn，求证：eq\f(1,6)≤Tn＜eq\f(3,8).(1)解：因为数列{an}是等差数列，所以an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d.依题意，有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S5＝70，,aeq\o\al(2,7)＝a2a22.))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5a1＋10d＝70，,（a1＋6d）2＝（a1＋d）（a1＋21d）.))解得a1＝6，d＝4.所以数列{an}的通项公式为an＝4n＋2(n∈N*)．(2)证明：由(1)可得Sn＝2n2＋4n.所以eq\f(1,Sn)＝eq\f(1,2n2＋4n)＝eq\f(1,2n（n＋2）)＝eq\f(1,4)(eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋2))．所以Tn＝eq\f(1,S1)＋eq\f(1,S2)＋eq\f(1,S3)＋…＋eq\f(1,Sn－1)＋eq\f(1,Sn)＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＋eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,4)))＋eq\f(1,4)(eq\f(1,3)－eq\f(1,5))＋…＋eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n－1)－\f(1,n＋1)))＋eq\f(1,4)(eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋2))＝eq\f(1,4)(1＋eq\f(1,2)－eq\f(1,n＋1)－eq\f(1,n＋2))＝eq\f(3,8)－eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n＋1)＋\f(1,n＋2))).因为Tn－eq\f(3,8)＝－eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n＋1)＋\f(1,n＋2)))＜0，所以Tn＜eq\f(3,8).因为Tn＋1－Tn＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n＋1)－\f(1,n＋3)))＞0，所以数列{Tn}是递增数列，所以Tn≥T1＝eq\f(1,6).所以eq\f(1,6)≤Tn＜eq\f(3,8).19．(本小题满分12分)设数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1－2，数列{bn}满意bn＝eq\f(1,（n＋1）log2an).(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)易知a1＝S1＝2，因为Sn＝2n＋1－2，所以Sn－1＝2n－2(n≥2)，所以an＝Sn－Sn－1＝2n(n≥2)，n＝1时，a1＝S1＝2符合an＝2n，所以数列{an}的通项公式为an＝2n(n∈N*)．(2)由(1)可得bn＝eq\f(1,（n＋1）logeq\o\al(2n,2))＝eq\f(1,（n＋1）n)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，所以Tn＝1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)＝eq\f(n,n＋1).20．(本小题满分12分)某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学，该商场向他供应了三种付酬方案：第一种，每天支付38元；其次种，第一天付4元，其次天付8元，第三天付12元，以此类推；第三种，第一天付0.4元，以后每天比前一天翻一番(即增加一倍)．你会选择哪种方式领取酬劳呢？解：设此学生能工作n天，每天领的工资为an元，全部的工资为Sn元，则第一种方案：an(1)＝38，Sn(1)＝38n；其次种方案：an(2)＝4n，Sn(2)＝4(1＋2＋…＋n)＝2n2＋2n；1)．令Sn(1)≥Sn(2)，即38n≥2n2＋2n，解得n≤18，n∈N*，即小于或等于18天时，第一种方案酬劳比其次种方案高(18天时一样高)．令Sn(1)≥Sn(3)，即38n≥0.4(2n－1)．利用计算器求得小于或等于9天时第一种方案酬劳比第三种方案高．所以当n<10时，选择第一种方案．当n≥10时，Sn(1)≤Sn(3)，Sn(2)≤Sn(3)．所以等于或大于10天时，选择第三种方案．21．(本小题满分12分)数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n(n＋1)(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满意：an＝eq\f(b1,3＋1)＋eq\f(b2,32＋1)＋eq\f(b3,33＋1)＋…＋eq\f(bn,3n＋1)，求数列{bn}的通项公式；(3)令cn＝eq\f(anbn,4)(n∈N*)，求数列{cn}的前n项和Tn.解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n(n＋1)－(n－1)n＝2n，因为a1＝2满意该式，所以数列{an}的通项公式为an＝2n(n∈N*)．(2)an＝eq\f(b1,3＋1)＋eq\f(b2,32＋1)＋…＋eq\f(bn,3n＋1)，①an＋1＝eq\f(b1,3＋1)＋eq\f(b2,32＋1)＋…＋eq\f(bn,3n＋1)＋eq\f(bn＋1,3n＋1＋1)，②②－①得，eq\f(bn＋1,3n＋1＋1)＝an＋1－an＝2，得bn＋1＝2(3n＋1＋1)，所以bn＝2(3n＋1)．当n＝1时，b1＝8，符合上式．所以bn＝2(3n＋1)(n∈N*)．(3)cn＝eq\f(anbn,4)＝n(3n＋1)＝n·3n＋n，所以Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝(1×3＋2×32＋3×33＋…＋n×3n)＋(1＋2＋…＋n)，令Hn＝1×3＋2×32＋3×33＋…＋n×3n，①则3Hn＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋n×3n＋1，②①－②得，－2Hn＝3＋32＋33＋…＋3n－n×3n＋1＝eq\f(3（3n－1）,3－1)－n×3n＋1，所以Hn＝eq\f(（2n－1）×3n＋1＋3,4).所以数列{cn}的前n项和Tn＝eq\f(（2n－1）×3n＋1,4)＋eq\f(n（n＋1）,2)＋eq\f(3,4).22．(本小题满分12分)等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}满意：b1＝5a1＝5，a5＝b2＝9，当n≥3时，Sn＋1>bn，且Sn，Sn＋1－bn，Sn－2成等比数列，n∈N*.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式．(2)求证：数列{bn}中的项都在数列{an}中．(3)将数列{an}、eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,bnbn＋1)))的项根据“当n为奇数时，an放在前面；当n为偶数时，eq\f(1,bnbn＋1)放在前面”进行“交叉排列”，得到一个新的数列：a1，eq\f(1,b1b2)，eq\f(1,b2b3)，a2，a3，eq\f(1,b3b4)，…这个新数列的前n和为Tn，试求Tn的表达式．解：(1){an}为等差数列，设公差为d，b1＝5a1＝5，a5＝b2＝9，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,a5＝a1＋4d＝9，))解得d＝2，所以由等差数列通项公式可得an＝1＋2(n－1)＝2n－1；等差数列{an}的前n项和为Sn，所以Sn＝eq\f(n（1＋2n－1）,2)＝n2，当n≥3时，