2024-2025学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用测评习题含解析新人教A版必修第二册

第六章测评(时间:120分钟满分:150分)一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知向量a=(2,1),b=(x,-2),若a∥b,则a+b=()A.(-2,-1) B.(2,1)C.(3,-1) D.(-3,1)解析∵a∥b,∴2×(-2)-x=0,∴x=-4.∴a+b=(2,1)+(-4,-2)=(-2,-1).答案A2.在△ABC中,若A=60°,BC=4,AC=4,则角B的大小为()A.30° B.45°C.135° D.45°或135°解析由正弦定理,得,则sinB=.因为BC>AC,所以A>B,而A=60°,所以B=45°.答案B3.(2024全国Ⅱ高考)已知向量a,b满意|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=()A.4 B.3 C.2 D.0解析a·(2a-b)=2a2-a·b=2-(-1)=3.答案B4.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b)2-c2=4,C=120°,则△ABC的面积为()A. B. C. D.2解析将c2=a2+b2-2abcosC与(a+b)2-c2=4联立,解得ab=4,故S△ABC=absinC=.答案C5.已知a·b=-12,|a|=4,a与b的夹角为135°,则|b|=()A.12 B.3 C.6 D.3解析-12=|a||b|cos135°,且|a|=4,故|b|=6.答案C6.(2024全国Ⅰ高考)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则=()A. B.C. D.解析如图,=-=-)=)=.答案A7.(2024山东潍坊模拟)如图所示,半圆的直径AB=4,O为圆心,C是半圆上不同于A,B的随意一点,若P为半径OC上的动点,则()·的最小值是()A.2 B.0C.-1 D.-2解析由平行四边形法则得=2,故()·=2,||=2-||,且反向,设||=t(0≤t≤2),则()·=2=-2t(2-t)=2(t2-2t)=2[(t-1)2-1].∵0≤t≤2,∴当t=1时,()·取得最小值,为-2,故选D.答案D8.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知sin(B+A)+sin(B-A)=3sin2A,且c=,C=,则△ABC的面积是()A. B.C. D.解析∵sin(B+A)=sinBcosA+cosBsinA,sin(B-A)=sinBcosA-cosBsinA,sin2A=2sinAcosA,sin(B+A)+sin(B-A)=3sin2A,∴2sinBcosA=6sinAcosA.当cosA=0时,A=,B=.又c=,所以b=.由三角形的面积公式,得S=bc=;当cosA≠0时,由2sinBcosA=6sinAcosA,得sinB=3sinA.依据正弦定理,可知b=3a,再由余弦定理,得cosC==cos,解得a=1,b=3,所以此时△ABC的面积为S=absinC=.综上可得△ABC的面积为,故选D.答案D二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9.(2024江西南昌模拟)已知向量a=(1,-2),|b|=4|a|,a∥b,则b可能是()A.(4,-8) B.(8,4)C.(-4,-8) D.(-4,8)解析当b=-4a时,b=(-4,8);当b=4a时,b=(4,-8).答案AD10.(2024山东济南高一期末)对于随意的平面对量a,b,c,下列说法错误的是()A.若a∥b且b∥c,则a∥cB.(a+b)·c=a·c+b·cC.若a·b=a·c,且a≠0,则b=cD.(a·b)·c=a·(b·c)解析对于A,b=0,命题不成立;对于B,明显成立;对于C,若a和b,c都垂直,明显b,c至少在模的方面没有特定关系,所以命题不成立;对于D,如图,若a=,b=,c=,则(a·b)·c与a·(b·c)分别是与c,a共线的向量,明显(a·b)·c=a·(b·c)不成立.答案ACD11.(2024福建厦门外国语学校高一月考)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列四个说法中正确的是()A.若,则△ABC肯定是等边三角形B.若acosA=bcosB,则△ABC肯定是等腰三角形C.若bcosC+ccosB=b,则△ABC肯定是等腰三角形D.若a2+b2-c2>0,则△ABC肯定是锐角三角形解析由,利用正弦定理可得,即tanA=tanB=tanC,即A=B=C,所以△ABC是等边三角形,A正确;由正弦定理可得sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B,所以2A=2B或2A+2B=π,△ABC是等腰三角形或直角三角形,B不正确;由正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinB,即sin(B+C)=sinB,即sinA=sinB,则A=B,△ABC是等腰三角形,C正确;由余弦定理可得cosC=>0,C为锐角,A,B不肯定是锐角,D不正确.答案AC12.(2024山东烟台高一期末)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,则下列结论正确的是()A.sinA∶sinB∶sinC=4∶5∶6B.△ABC是钝角三角形C.△ABC的最大内角是最小内角的2倍D.若c=6,则△ABC外接圆半径为解析因为(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,所以可设(x>0),解得a=4x,b=5x,c=6x,所以sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=4∶5∶6,所以A正确;由上可知,c边最大,所以三角形中角C最大,又cosC=>0,所以角C为锐角,所以B错误;由上可知a边最小,所以三角形中角A最小,又cosA=,所以cos2A=2cos2A-1=,所以cos2A=cosC,由三角形中角C最大且角C为锐角可得,2A∈(0,π),C∈,所以2A=C,所以C正确;由正弦定理得2R=,又sinC=,所以2R=,解得R=,所以D正确.答案ACD三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2024全国Ⅲ高考)已知a,b为单位向量,且a·b=0,若c=2a-b,则cos<a,c>=.解析∵a,b为单位向量,∴|a|=|b|=1.又a·b=0,c=2a-b,∴|c|2=4|a|2+5|b|2-4a·b=9,∴|c|=3.又a·c=2|a|2-a·b=2,∴cos<a,c>=.答案14.已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=4,c=2,B=60°,则b=,C=.

解析在△ABC中,因为a=4,c=2,B=60°,由余弦定理,得b2=a2+c2-2accosB=42+22-2×4×2cos60°=12,所以b=2,又由正弦定理,得sinC=,又由c<b,所以C<B,所以C=30°.答案230°15.如图,为了测量A,C两点间的距离,选取同一平面上B,D两点,测出四边形ABCD各边的长度(单位:km):AB=5km,BC=8km,CD=3km,DA=5km,如图所示,且A,B,C,D四点共圆,则AC的长为km.

解析因为A,B,C,D四点共圆,所以B+D=π.由余弦定理,得AC2=52+32-2×5×3cosD=34-30cosD,AC2=52+82-2×5×8cosB=89-80cosB.由于B+D=π,即cosB=-cosD,因此-,解得AC=7.答案716.在四边形ABCD中,=(1,1),,则四边形ABCD的面积为.

解析由=(1,1),可知四边形ABCD为平行四边形,且||=||=,因为,所以可知平行四边形ABCD的对角线BD平分∠ABC,四边形ABCD为菱形,其边长为,且对角线BD长等于边长的倍,即BD=,设对角线BD与AC交于点E,则CE2=()2-,即CE=,所以三角形BCD的面积为,所以四边形ABCD的面积为2×.答案四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知a=(1,2),b=(-3,1).(1)求a-2b;(2)设a,b的夹角为θ,求cosθ的值;(3)若向量a+kb与a-kb相互垂直,求k的值.解(1)a-2b=(1,2)-2(-3,1)=(1+6,2-2)=(7,0).(2)cosθ==-.(3)因为向量a+kb与a-kb相互垂直,所以(a+kb)·(a-kb)=0,即a2-k2b2=0,因为a2=5,b2=10,所以5-10k2=0,解得k=±.18.(12分)设向量a,b满意|a|=|b|=1,且|3a-2b|=.(1)求a与b的夹角;(2)求|2a+3b|.解(1)设a与b的夹角为θ.由已知得(3a-2b)2=7,即9|a|2-12a·b+4|b|2=7,因此9+4-12cosθ=7,于是cosθ=,故θ=,即a与b的夹角为.(2)|2a+3b|===.19.(12分)△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,asinAsinB+bcos2A=a.(1)求;(2)若c2=b2+a2,求B.解(1)由正弦定理得,sin2AsinB+sinBcos2A=sinA,即sinB(sin2A+cos2A)=sinA.故sinB=sinA,所以.(2)由余弦定理和c2=b2+a2,得cosB=.由(1)知b2=2a2,故c2=(2+)a2.可得cos2B=,又cosB>0,故cosB=,所以B=45°.20.(12分)(2024山东高三模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若asinB=bcosA.(1)求角A;(2)若△ABC的面积为2,a=5,求△ABC的周长.解(1)由题意,在△ABC中,因为asinB=bcosA,所以由正弦定理,可得sinAsinB=sinBcosA,又因为B∈(0,π),可得sinB≠0,所以sinA=cosA,即tanA=.因为A∈(0,π),所以A=.(2)由(1)可知A=,且a=5,又由△ABC的面积2bcsinA=bc,解得bc=8,由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,可得25=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=(b+c)2-24,整理得(b+c)2=49,解得b+c=7,所以△ABC的周长a+b+c=5+7=12.21.(12分)(2024江苏扬州中学高三检测)已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(1,2),n=cos2A,cos2,且m·n=1.(1)求角A的大小;(2)若b+c=2a=2,求sin的值.解(1)由题意得,m·n=cos2A+2cos2,由二倍角的余弦公式可得,cos2A=2cos2A-1,2cos2=cosA+1,又因为m·n=1,所以2cos2A+cosA=1,解得cosA=或cosA=-1,∵0<A<π,∴A=.(2)在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,即()2=b2+c2-2bc·=b2+c2-bc,①又因为b+c=2,把b=2-c代入①整理得,c2-2c+3=0,解得c=,b=,所以△ABC为等边三角形,B=,∴sinB-=sin=sincos-cossin.22.(12分)要将一件重要物品从某港口O用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇动身时,轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处,并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶,经过t小时与轮船相遇.(1)若希望相遇时小艇的航行距离最短,则小艇航行速度的大小应为多少?(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时,试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能在最短时间内与轮船相遇,并说明理由.解(1)(方法一)设相遇时小艇航行的距离为s,则s==,故当t=时,smin=10海里,v==30,即小艇以30海里/时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最短.(方法二)若相遇时小艇的航行距离最短,又轮船沿正东方向匀速行驶,则小艇航行方向为正北方向.设小艇与轮船在C处相遇,如图①所示.在Rt△OAC中,OC=20cos30