江苏省决胜新高考2023届高三年级下册5月大联考数学试题（含答案与解析）

决胜新高考——2023届高三年级大联考

数学

本试卷共6页，22小题，满分150分.考试时间120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.将条形码横贴

在答题卡“条形码粘贴处”.

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相

应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按

以上要求作答无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1,若复数(2T)z=3+4i,则Z+Z=()

2

A.3B.4C.-

5

2.已知集合A=B=,则AB=()

A.^O<x<VTo|B.C.1

D.x|0<x<—

3.把分别标有1号、2号、3号、4号的4个不同的小球放入分别标有1号、2号、3号的3个盒子中，没

有空盒子且任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中，则不同的放球方法种数为()

A.8B.12C.16D.20

4.已知等差数列｛4｝的前〃项和为S,,且S,=4S2，4"=2。“+1.设2=%,则

1111

--------1----------1----------FH----------=()

b\b?b2b3b3b44瓦。

91899

A—B.—C.—D.—

37371938

5.苏格兰数学家纳皮尔(J.Napier,1550-1617)发明的对数及对数表(如下表)，为当时的天文学家处理

“大数”的计算大大缩短了时间.即就是任何一个正实数N可以表示成N=axlO"(1<«<10,»eZ),贝U

lgN=〃+lga(OKlgavl),这样我们可以知道N的位数.己知正整数AT】是35位数，则知的值为

()

N23451112131415

lgN0.300480.600701.041.081.111.15118

A.3B.12C.13D.14

6.已知圆O：d+),2=〃2+〃与双曲线C：二一的右支交于点A,B,若

ab~

7

cosZAOB=——,则C的离心率为()

25

A.2B.y[5C.石D.不

aB

7.若tancrtan尸,贝iJcosa+cos/?=()

A.0B.gC.1v

10e

8.已知a=eR/，b^\n-,c=0.1°」，则()

A.h<c<aB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.某企业为普及法制教育，对本单位1500名员工开展了一次法律知识竞赛答题活动.现从中随机抽取100

人的得分进行统计分析，整理得到如图所示的频率分布直方图，则根据该直方图，下列结论正确的是

A.估计该企业16%的员工得分在区间［80,90)内B.该企业员工竞赛得分不小于90的人数估计为195

人

C.估计该企业员工的平均竞赛得分约为74.5D.该企业员工竞赛得分的第75百分位数约为83

10.已知函数/（x）=sins-百cos5（0>0）的最小正周期为兀，则（）

A.佃=&

B.直线》=一己是/（X）图象的一条对称轴

IJTJTA

c./（x）在（片,万）上单调递增

D.将“X）的图象上所有的点向右平移g个单位长度，可得到y=2sin2x的图象

6

11.定义在R上的函数/（4）满足〃l+x）+〃l-x）=6,/（2+x）=〃2-x）+2x,贝!!（）

A..f（l+x）的图象关于（0,3）对称B.4是〃x）的一个周期

21

C."1）=3D.£/（/）=273

/=1

12.已知抛物线C：y2=4x焦点为/，准线为/,经过点尸的直线与抛物线。相交A,8两点，A,

B在/上的射影分别为A，用，/与x轴相交于点M,则下列说法正确的是（）

A.\FLBXFB.AMBM>0

C.若AF=2FB，则|A@=3D.若AQ=QM,,/=2畋|,则

IAFI-IBF|=4

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

22

13.已知椭圆C：3+5=1的上顶点为A,两个焦点为耳，尼•过6且垂直于AK的直线与。交于

两点，则VADE的周长为..

14.若曲线y=xlnx有两条过（e,a）的切线，则“的范围是.

15.在平面直角坐标系中，两点片（％,y）,鸟（工2，必）间的“曼哈顿距离“定义为

忸刚=|x「xj+|x,则平面内与两定点耳（—1,0）和玛（1,0）的“曼哈顿距离”之和等于4的点的轨迹

围成的面积为.

7T

16.已知菱形48。的边长为1,44。。=一，将人"心沿4c翻折，当三棱锥。—A6c表面积最大时，

3

其内切球表面积为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在-A8c中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,己知（/?一J^c）sin8+csinC=asinA.

（1）求角A的大小；

7T

（2）若3AO=AC，NDBC=3,C=6,求,ABC的面积.

18.设数列｛。,,｝的前“项和为S”，且满足Sn=2%+3.

（1）求数列｛凡｝的通项公式；

（2）证明：数列｛a,,｝中的任意不同的三项均不能构成等差数列.

19.在四棱锥。一ABC。中，平面平面A8C£>,AB//CD,AB=2，AD=ZX?=CB=1,

（1）设平面BIB与平面PCQ的交线为/,求证：///平面A8CD；

（2）点E在棱尸8上，直线AE与平面48co所成角为5,求点E到平面PCD的距离.

6

20.为了进一步深入开展打造“书香校园”活动，让读书成为每位师生的习惯，努力培育师生人文素养，让

阅读成为学校、家庭、社会的一种良好风气，现对我校60名师生阅读喜好进行调查，其中教师与学生的

人数之比为1:2,教师中喜欢读文学类的人数占学生中喜欢文学类的占9,得到下面的列联表：

NA

教师学生合计

文学类

理工类

合计

（1）请将列联表补充完整，判断数据能否有90%的把握认为教师与学生的阅读喜好存在差异.

（2）若从学校随机抽取11人，用样本的频率估计概率，预测11人中喜欢阅读理工类的人数最有可能是多

少？

n(ad-be?

附：K2其中力=a+〃+c+d.

(a+0)(c+d)(a+c)(b+d)

参考数据:

P(K2>k)0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

21.设抛物线C：J/=2尤的焦点为F,P是抛物线外一点，直线雨，尸8与抛物线C切于4,B两点，过

点尸的直线交抛物线C于。，E两点，直线A8与。E交于点Q.

⑴若48过焦点F,且|何|砥|=4,求直线AB的倾斜角；

PQ|+〔PQ|的佰

(2)求两卡网的值.

•X+4]

22.已知函数/(x)=----,g(x)--ax3—x2+3x.

er3

(1)求曲线y=/(x)—g(x)在尤=0处的切线方程；

⑵若r(x)+g'(x)?0,求〃的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1,若复数(2T)z=3+4i,则z+z=()

24

A.3B.4C.-D.

5

【答案】D

【解析】

【分析】根据复数的除法运算求解z,再求其共期复数得出结果.

3+4i(3+4i)(2+i)211

【详解】由QT)Z=3+4I得z=o==

-211.-4

z=—一--1,所rrr以Iz+z=1.

故选：D.

2.已知集合4=(H电工<^1,S={x|5x<16},则AB=()

|x|0<

A.|x|0<x<>/l()jB.|x|x<Vl()|C.D.

【答案】A

【解析】

【分析】先化简集合A，B,再利用集合的交集运算求解.

［详解］解：因为集合4=1'坨*<3}=卜|()<x<B={x|5x<16)=|x|x<y|,

所以AB={x|0<x<V10},

故选:A

3.把分别标有1号、2号、3号、4号的4个不同的小球放入分别标有1号、2号、3号的3个盒子中，没

有空盒子且任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中，则不同的放球方法种数为()

A.8B.12C.16D.20

【答案】B

【解析】

【分析】由分类加法计数原理和分步乘法计数原理进行计算即可.

【详解】4个小球放入3个盒子，没有空盒子，则有两个小球放入同一个盒子，因此分为两类：

第一类：4号小球单独放入一个盒子，分2步：

第1步，从1号、2号、3号3个小球中，选出2个小球，放入与未被选中小球标号相同的盒子中，有C；

种方法；

第2步，将未被选中的小球和4号小球，分别放入另外2个盒子中，有A；种方法.

4号小球单独放入一个盒子，有C；A；=3x2=6种方法.

例如：第1步，选出2号、3号小球放入1号盒；第2步，1号小球放入2号盒，4号小球放入3号盒.

第二类：4号小球与另一小球共同放入一个盒子，分2步：

第1步，从1号、2号、3号3个小球中，选出1个小球，有C；种方法；

第2步，将4号小球与第1步选出的小球放入与选出小球标号不同的盒子中，有C；种方法；

第3步，剩余的2个小球，其中1个，与剩余的两个空盒其中的1个标号相同，只有1方法放置.

；・4号小球与另一小球共同放入一个盒子，有C；C；x1=3x2=6种方法.

例如：第1步，选出1号球；第2步，将1号、4号小球放入2号盒；第3步，2号小球放入3号盒，3号小

球放入1号盒.

...没有空盒子且任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中，则不同的放球方法种数为6+6=12种.

故选：B.

4.已知等差数列{%}的前”项和为S“，且S»=4S2，4"=2。“+1.设瓦=。4，则

1111

--------1----------FhH=()

力我b2b3b3b4--------bgb1。

189

B.——D.

3738

【答案】A

【解析】

【分析】根据等差数列的通项公式和前〃项和公式,依据题意列方程组，解方程组解出4和d,写出通项

公式，最后应用应用裂项相消法求和即可.

【详解】设等差数列｛%｝的首项为4,公差为d.

由S4=4s2,+1,得

4a,+6d=84+4dfa=1

J解得，

q+(2〃-1”=2q+2(〃-l)d+1[d=2

因此凡=2n-l,HeN*.

hn=旬=2q,-1=2(2"-1)-1=4〃-3,

1_]_\_(_J_______1_

b〃b〃+i(4〃—3)(4〃+l)414〃—34n+l

9

所以----1------1------F---H-----

结2b2b3b3b4bgbw37

故选:A.

5.苏格兰数学家纳皮尔(J.Napier,1550-1617)发明的对数及对数表(如下表)，为当时的天文学家处理

“大数”的计算大大缩短了时间.即就是任何一个正实数N可以表示成N=axlO"(1<a<10,neZ),则

lg/V=/?+lga(0<lg«<l),这样我们可以知道N的位数.已知正整数加31是35位数，则M的值为

()

N23451112131415

IgN0.300.480.600.701.041.081.111.151.18

A.3B.12C.13D.14

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定条件，列出不等式，再取常用对数即可判断作答.

3435

【详解】依题意，1。34WA/3I<1035,两边取常用对数得34W311gM<35,于是即

1.09<lgA/<1.13,

所以M=13.

故选：c

6.已知圆。：f+）2=〃2与双曲线0：二一六=1（。＞0,。＞0）的右支交于点A,B,若

7

cosZAOB=——，则C的离心率为（）

A.2B.逐C.垂＞D.不

【答案】B

【解析】

X2+y2=/+/

【分析】由y2,解得点48的纵坐标，再由点A,B关于X轴对称，得到|A8|,然后在

KU

-A06中，利用余弦定理求解.

f+y2=々2+

，22

【详解】解：由IfV2，解得y=士匚二

------------=1C

U2b2

因为点A,B关于x轴对称,

在中,

24(2Y

由余弦定理得|OA『+|O8「-|4砰7,

cos/A08=

2|O4|.|OB|2c225

22

日n2(c-aX7印1114

即1_______L=__L,即1一一r=-,

c225e-5

解得e?=5，所以6=1^或6=—石(舍去)，

故选：B

aB

7.—贝iJcosa+cos/?=()

D.B

A.0B.y

2

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意和正弦的倍角公式，化简得到4siM4sin22=cosacos£,再由余弦的倍角公式，得

22

到4$而45五2=(1-25狂4)(1一25抽22),令工=5泊24,〉=5皿22,求得X+y=],结合

2222222

cos«+cos^=l-2sin2-^+l-2sin2，，即可求解.

aB

【详解】解：由tana・tan/?Tan5，tanG=1，

-re..Q.a.BaP

可得sinasinpsinysiny=cosacospocosycosy,

又由正弦的倍角公式，可得4sin?—cos—sin2—cos—=cosacos/?cos—cos—,

222222

即4sin?微sin2§=cosacos尸=(1—2sin2gq_2sin2争，

4"%=sin2—,y=sin2—,则4Ay=(l_2x)(l—2y)=]_2x_2y+4d，解得x+y=1，

222

所以cosa+cos/?=1-2sin23+1-2sin2，=2-2(x+y)=1.

故选：C.

10e

8.已知a=e如,=In—,c=0.10J.则()

A.b<c<aB.c<b<aC.c<a<hD.a<c<b

【答案】B

【解析】

【分析】由8=ln华=ln号1+1=—ln(l+0.1)+l,构造函数〃力=b+111(1+%)-l(x>0),

g(x)=ex-l-x(x>0),利用导数分析单调性，可得函数“X)=e-*+In(1+x)—1在(0,+。)上单调

递增，进而得到/(。/)>/(())=0,可得a>b；构造函数〃(x)=lnx—x+l(x>l),利用导数分析单调

性，可得lnx<x-l(x>l),进而得到。=—lnl.l+l>0.9,由

O.910=(0.92)5=0.815>0.85=0.32768>0.1,进而得到b>c,进而求解.

【详解】由〃=ln殿=ln—!—+l=-ln(l+0.1)+l.

111+0.1''

设/(x)=e~x4-ln(l+x)-l(x>0),

则/'(X)=_e-*+4J,

1+xe1+x

设g(x)=e*-l-x(x>。)，

则g'(x)=e*T>0,

所以函数8(月=占一1一%在(0,+。)上单调递增，

所以g(x)>g(O)=O,即e'-l-x>0，

即e'>1+x>0，即一7<----，

e1+x

所以尸(力=-!+左〉0,

则函数/(x)=e-*+In(1+x)-1在(0,+8)上单调递增，

所以/(0.1)>/(0)=0,即e{i+ln(l+0.1)—1>0,

即e山」>一出(1+0.1)+1,即“>〃；

设〃(x)=lnx—x+l(x>l),

1]—x

则u(x\=-1=——<0，

XX

所以函数〃(x)=lnx—x+l在(1,+8)上单调递减，

则”(x)v"(1)=。，BpInx—x+1<0,

即即InLlvLl—1=0.1,

所以b=—lnl.l+l>0.9,

又09°=(0.92¥=0.815>0.85=0.32768>0.1,

所以0.9>。1°」，即6>c,

所以c<8<a.

故选：B.

【点睛】方法点睛：比较大小问题，常常根据：

(1)结合函数性质进行比较；

(2)利用特殊值进行估计，再进行间接比较；

(3)根据结构特征构造函数，利用导数分析单调性，进而判断大小..

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.某企业为普及法制教育，对本单位1500名员工开展了一次法律知识竞赛答题活动.现从中随机抽取100

人的得分进行统计分析，整理得到如图所示的频率分布直方图，则根据该直方图，下列结论正确的是

()

A.估计该企业16%的员工得分在区间［80,90)内B.该企业员工竞赛得分不小于90的人数估计为195

人

C.估计该企业员工的平均竞赛得分约为74.5D.该企业员工竞赛得分的第75百分位数约为83

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1求出x,即可判断A,再求出得分在区间［90,100］

内的频率，即可判断B,根据平均数公式判断C,根据百分位数公式判断D.

【详解】由频率分布直方图可得(0.01+0.013+x+0.028+0.032)xl0=l,解得>0.017,

对于A：由频率分布直方图可知得分在区间［80,90)内频率为0.17,

即估计该企业17%的员工得分在区间［80,90)内，故A错误；

对于B：得分在区间［90,100］内的频率为0.013x10=0.13,

故该企业员工竞赛得分不小于90的人数估计为0.13x1500=195人，故B正确；

对于C：估计该企业员工的平均竞赛得分约为

(0.01x55+0.028x65+0.032x75+0.017x85+0.013x95)x10=74.5,故C正确；

对于D：因为(0.01+0.028+0.032+0.017)x10=0.87>0.75,

故第75百分位数位于［80,90)之间，设为x,

则(0.01+0.028+0.032)x10+(x—80)x0.017=0.75，解得x《82.94,

故企业员工竞赛得分的第75百分位数约为83,故D正确；

故选：BCD

10.已知函数/(x)=sintox-Gcosox(0>O)的最小正周期为兀，则()

B.直线％=是〃力图象的一条对称轴

7171

c.7(x)在上单调递增

6,2

D.将/(X)的图象上所有的点向右平移5个单位长度，可得到y=2sin2x的图象

6

【答案】AB

【解析】

【分析】根据辅助角公式和函数的最小正周期可得/(x)=2sin(2x-g],然后利用丁=4411(5+8)的

性质可得.

71

【详解】/(x)=sineyx-V3cos69x=2sincox——

3

,2兀

因/(x)取小正周期为兀，69〉0,故—=兀，得6y=2,

(0

故/(x)=2sin12尤-gj,

选项A：

/Q=2sin^2xy-y^=2sin^=V3,故A正确；

选项B：

/(x)=2sin|2x—四］的对称轴为2x—至=2+E,kwZ,

\3)32

5兀lot

B|Jx=一十一ZeZ,

122

TT

当左=-1时，了二一一,故B正确；

12

选项C：

ji111t

令---b2lai<2x---<—+2foi,ksZ,

232

,071,,,5兀..

得-----FkitKxW---Fkit,kwZ,

1212

兀5兀

故f(x)的单调递减区间为一6+&兀,二+&兀,keZ,

1212

兀5兀

当攵=()时，/(X)的单调递减区间为-7T，一，故C错误;

选项D：

71兀c.J2c

将/(x)的图象上所有的点向右平移，个单位长度，可得到y=2sin2卜=2sin12x—~I,

3

故D错误

故选：AB

11.定义在R上的函数)(x)满足“1+力+/。一力=6,1(2+力=/(2—％)+2无，则()

A.〃l+x)的图象关于(0,3)对称B.4是“X)的一个周期

21

C./⑴=3D.£/(/)=273

/=1

【答案】ACD

【解析】

【分析】对于A,令f=l+x可得〃。+/(27)=6,即可得到“X)对称性，对于B,令g(x)=/(x)-x,

即可得到4为g(x)的一个周期，从而得到了(x+4)=/(x)+4,对于C,令龙=0,对于D,结合前面的结

论，求出函数值即可.

【详解】因为〃l+x)+/(l_x)=6,即〃l+x)+/[2_(l+x)]=6,

令f=l+x,则/⑺+/(2T)=6,所以关于(1,3)对称，

则+x)的图象关于(0,3)对称，故A正确；

因为/(2+x)=/(2-x)+2x,则/(2+x)-(2+x)=/(2-x)-(2-x),

令g(x)=〃x)—x,则g(2+x)=g(2—x),则g(x)的图象于x=2对称,

因为/(l+x)+/(l-x)=6,所以/(l+x)-(l+x)+/(l-x)-(l-x)=8,

即g(1+x)+g(1—x)=8,则g(x)的图象关于(1,4)对称.

所以g(x)+g(2—x)=8,又g(2+x)=g(2-x),所以g(x)+g(2+x)=8,

所以g(2+x)+g(4+x)=8,所以g(x+4)=g(x),

所以4为g(x)的一个周期，即/(x+4)-(x+4)=f(x)-x,

则y(x+4)=/(x)+4,故B不正确；

对于C：因为〃l+x)+〃l—x)=6,令x=0可得"1)=3,故C正确；

对于D：因为〃l+x)+“lr)=6,则〃2)+/(0)=6,/(3)+/(-1)=6,〃4)+/(—2)=6,

又〃4)=/(0)+4,/(3)=/(-1)+4./(2)=/(-2)+4,

所以/(3)=5,〃4)+/(2)=10,

〃5)=〃1)+4=7,/(7)=/(3)+4=9,

/⑻+/(6)=/(4)+〃2)+8=18,

/(9)=/(5)+4=11,/(11)=/(7)+4=13,/(12)+/(10)=/(8)+/(6)+8=26,

〃13)=〃9)+4=15,/(15)=/(11)+4=17,/(16)+/(14)=/(12)+/(10)+8=34,

川7)=/(13)+4=19,〃19)=/(15)+4=21,/(20)+/(18)=〃16)+/(14)+8=42,

21

〃21)=/。7)+4=23,所以»(i)=273,故D正确；

i=l

故选：ACD

【点睛】关键点点睛：令g(x)=/(x)-x是解题的关键，通过研究g(x)的对称性，周期性得到/*)的性质.

12.已知抛物线C：y2=4x的焦点为产，准线为/,经过点尸的直线与抛物线。相交A,8两点，A,

B在/上的射影分别为A，用，/与x轴相交于点”，则下列说法正确的是()

A.A.FVB.FB.AMBM>Q

C.若AF=2FB，则[A耳=3D,若AQ=QM,,〃|=2忸0,贝!]

\AF\-\BF|=4

【答案】ACD

【解析】

【分析】设A(子,yj,次亨,内)，联立直线和抛物线方程得到韦达定理，得至MA/X凝,F=T，即得选

________万

项A正确；AM4m2>0.所以选项B错误；求出〃?='二即得选项C正确；由题得

4

乙46加=5，求出%2=4石一8,即得选项D正确.

22

【详解】解：设4(』-,y),8(2-,%)，则A(-LX),g(-1,%)，

当直线AB斜率显然不能为零，设其方程为彳=阳+1,联立抛物线方程得/一4冲-4=0,所以

A=16/M2+16>0

<+>2=4m

”=-4

所以以FX&^F=/^^=一1,所以4b_14尸，所以选项A正确；

所以AA7•=1+-T+%-+%.江+X%=4，〃2N0,所以选项B错误;

如图，设|A/q=2a,|B/|=a,过点B作BNLAA,则|AN|=a,||8N|=20a,

由题得直线AB的斜率为-=过包，，用=变,・•.y+为=血，

ma4

9

（X+乃）2-2X），2+2=+2=—

所以|=』-+里+2=2-

444-44

所以|AF|=£x|AB|=3,所以选项C正确;

71

由题得=一,

2

斫DIkAB'k/M=7,---x——=-1,：%=—，y4+16y2-16=0

所以M+%丝+i%22

4

所以必2=46一8.

16_2

所以|4用一跳|=堂.五=菖2=3=16-(49一8)2=4.

2

4444y24(4君-8)

所以选项D正确.

故选：ACD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

22

13.已知椭圆C：'V+'V=1的上顶点为A,两个焦点为《，•过大且垂直于A6的直线与C交于RE

两点，则VADE的周长为..

【答案】8

【解析】

【分析】根据已知条件及等边三角形的性质，再利用等腰三角形的三线合一定理及椭圆的定义，结合三角形

的周长公式即可求解.

22

【详解】由1-=1>得〃2=4，b,=3,c2=ci2—b1=4—3=1>

43

解得4=2,b=M,c=1,

因为椭圆C的上顶点为A,两个焦点为片，F?,所以|A6|=|Ag|=a=2,忻勾=2c、=2,

所以|A周=|A周=|耳闾，即/为等边三角形,

因为过6且垂直于AF2的直线与。交于。,E两点，

所以|阳=|。段,|A£|=|Eg|,

由椭圆的定义可知，|。可+|。4|=2a=2x2=4,lEEl+lEFJkZauZxZnd,

所以VADE的周长为|阴+|他+。目=|。周+但闾+|。耳|+|母|=4«=4X2=8.

故答案为：8

14.若曲线y=xlnx有两条过(e,a)的切线，则。的范围是.

【答案】(―8,e)

【解析】

【分析】由题可将曲线y=xlnx有两条过(e,o)的切线转化为函数/(x)=(lnx+l)e-x图象与直线

旷=。有两个交点.后利用导数研究“力单调性，画出“可大致图象，即可得答案.

【详解】设切线切点为(事,为)，因("In")=由"+1,则切线方程为：

[yo=xolnxo

y=(inxQ+1)(x-7)+x0In/=(inx0+1]x-x().

因过(e,a),则a=(inx0+1)e-x0,由题函数/(x)=(inx+1)e-x图象

与直线丁=。有两个交点(x)=--1=3二,

XX

得/(X)在(0,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减.

又/(He=〃e)=e，x—0,/(x)r-oo，x—+<x>,/(x)f一―

据此可得/(x)大致图象如下厕由图可得，当ae(F,e)时，曲线y=xlnx有两条过(e,a)的切线.

故答案为：(一83)

15.在平面直角坐标系中，两点6(x，yJ,2(赴，%)间的“曼哈顿距离”定义为

||^||=|x,-x2|+|yI-y2|,则平面内与两定点耳(—1,0)和6(1,0)的“曼哈顿距离”之和等于4的点的轨迹

围成的面积为.

【答案】6

【解析】

【分析】根据“曼哈顿距离”的定义，把“曼哈顿距离”表示出来直接去绝对值符号画图象即可求解；

【详解】设〃(x,y),因为与两定点耳(一1,0)和6(1,0)的“曼哈顿距离”之和等于4,所以

|x-l|+|x+l|+2|y|=4,

①当xw±l且y/o时，

一九一y=2,x<-l,y<0

-x+y=2,

1-y=2,

l+y=2,-lvx(l,y)0

x-y=2,x>l,y<0

x+y=2,x>l,y>0

②当x=l时，y=±l；当x=—l时，y=±-i；当y=。时，x=±2；

作出图象如图所示,

(2+4)xl

所以M点轨迹是一个六边形，六边形面积是两个相等梯形面积和，S=2x^——」=6.

2

故答案为：6.

TT

16.已知菱形A8CD的边长为1,乙4。。=一，将AADC沿AC翻折，当三棱锥O—ABC表面积最大时,

3

其内切球表面积为.

【答案】(14-88)兀

【解析】

【分析】求内切球的表面积，只需根据等体积法求出内切球的半径即可求解.

因为菱形的四条边相等，对角线互相垂直

三棱锥。一A3c中，面ADC与面ABC的面积是确定的，所以要使三棱锥表面积最大，则需要面。与

面DAB最大即可，而且SDCB=SDAB；

=|sinZDCBDCBC,当NOCB=5时，SDOM取得最大值•

过点。向平面ABC作垂线，设AC的中点为E垂足为

因为DB=垃，EB=ED=—,所以由余弦定理知cosNBEO=­J,

23

所以sinNOEO'=迪，易得。。'=巫

33

因为SABDuBDC'2'SABC=SADC

设内切球的半径为「，则根据等体积法，有:

1V3、

lxlxJx2+—一x--xrx2,=6,

32J(34J12

即2+叵=也，解之得「=---0---

36124+2V3

所以其内切球的表面积为5=4兀/=4兀14-8百)兀

故答案为:14-8@兀

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在一ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(/?-Gc)sinB+csinC=asinA.

(1)求角A的大小;

JT

(2)若3AD=AC，ZDBC=,c=6,求..ABC的面积.

【答案】⑴-

6

⑵973

【解析】

【分析】(1)由正弦定理得到从一回。+。2=片，由余弦定理得到cosA=#，结合Ae(O,7i),求出答

案;

71

(2)设ADx得C£>=2x,设NABO=，得到N4CB=^—6,表达出80=2尤sin(三一夕｝由正

3

弦定理得到sin(29+/J=l,求出671

ZACB=~,ZABC=—,故BC=AB=6,由三角形面

663

积公式求出答案.

【小问1详解】

在心ABC中，由正弦定理,

得一J=—2—=-^=2R,其中，2R为-ABC的外接圆直径,

sinAsinBsinC

所以sinA=-^-,sinB-,sinC-,

2R2R2R

代入(〃-6c)sinB+csinC=asinA,

得b2—也be+c2=a1,

由正弦定理，得COSAJ+L.=昱，

因为在中，AG(O,71),

所以A==兀.

6

【小问2详解】

设=x,由3A£>=AC，得CD=2x.

7Tjr

设&则NAC6=——e,o<0<-.

33

在Rt二£)5C中，BD=C£>sin-0^=2xsin三一夕

在△AB£>中，由正弦定理，

sg2xsinf-

得---------=----------,即—包——2

sinZABDsinABADsin。.兀

sin—

6

整理得，sinsin~，即——sincos——sin20=—

4224

变形得到把sin26+'cos26=1，即sin26+^=1，

22I6J

TTTTTT7r

因为0＜。＜巳，所以2夕+上=乙，解得。=勺.

jrZjr

所以NACB=：,NABC=一，所以BC=/W=6,

所以_ABC的面积S