高中文科数学公式及知识点总结大全

中学文科数学公式与学问点速记

一、函数、导数

1、函数的单调性

(1)设否、x26[。，珏占ex?则

f(x,)-f(x2)<0。/(尤)在切上是增函数；

/(X1)-f(x2)〉0o/(x)在[a向上是减函数.

(2)设函数y=f(x)在某个区间内可导,若r(x)>0,则AX)为增函数；若

则/(x)为减函数.

2、函数的奇偶性

对于定义域内随意的X,都有”-X)=/(X),则/(X)是偶函数；

对于定义域内随意的X,都有/(T)=-/⑺，则/(X)是奇函数。

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。

3、函数y=f(x)在点/处的导数的几何意义

函数y=/(x)在点/处的导数是曲线y=/(x)在PGJ(x()))处的切线的斜率广(王))，相应

的切线方程是y-%=/'(%)(X70).

*二次函数：(1)顶点坐标为(一2,但也)；(2)焦点的坐标为(-2,4""+1)

2a4a2a4a

4、几种常见函数的导数

①C'=0;②(x")'=〃x"T;③(sinx)'--cosx;④(cosx)'=-sinx;

⑤(a")'=优Ina；@(e')=ex；⑦(bg“x)'=―!—；⑧(lnx)'=，

xlnax

5、导数的运算法则

(1)(»±V)=U±V.(2)(uv)=liv+uv.(3)(3="1(vr0).

VV

6、会用导数求单调区间、极值、最值

7、求函数y=/(x)的极值的方法是：解方程r(x)=0.当/(%)=0时：

(1)假如在一旁边的左侧尸(力>0,右侧广(力<0,则/(X。)是极大值；

(2)假如在将旁边的左侧((力<0,右侧/”(力>0,则/(%)是微小值.

指数函数、对数函数

分数指数累

竺/—

(1)a"=\lamQa>Qm,neN",且〃>1).

_巴]]

(2)an=—=—=(a>b,m,nwN*,且〃>1).

anJ"

根式的性质

(1)当“为奇数时，砺』;

当〃为偶数时，讶=|a|=f'"N°.

有理指数幕的运算性质

(1)aras-ar+s(a>O,r,sGQ).

(2)(")'=a”(a>0,r,seQ).

(3)(ab)r=arbr(a>Q,b>0,reQ).

注：若a>0,p是一个无理数，则a。表示一个确定的实数.上述有理指数累的

运算性质，对于无理数指数累都适用.

.指数式与对数式的互化式：log“N=6od=N(a>0,aHl,N>0).

.对数的换底公式：腌)=皿也3〉0,且户1,加>0,且加Hl,N>0).

log,”a

对数恒等式：小-JN(a>0,且”1,N>0).

推论log"=3og"/?(a>0,且arl,N〉0).

m

常见的函数图象

二、三角函数、三角变换、解三角形、平面对量

8、同角三角函数的基本关系式

.，八2八14八_sin。

sin-e+cos~J=l,tang=------.

cos。

9、正弦、余弦的诱导公式(奇变偶不变，符号看象限)

攵乃士a的正弦、余弦，等于a的同名函数，前面加上把a看成锐角时该函数的符号;

0+工土a的正弦、余弦，等于。的余名函数，前面加上把a看成锐角时该函数的符

2

号。

(l)sin(2Z/r+a)=sina,cos(2A7r+a)=cosa,tan(2k/r+a)=tana(&GZ).

(2)sin(乃+a)=—sina,cos(»+a)=-cosa,tan(»+a)=tana.

(3)sin(-a)=一sina,cos(-6z)=cosa9tan(-a)=-tana・

(4)sin(乃一a)=sina,cos(»-a)=-cosa,tan(»-2)=-tano・

口诀：函数名称不变，符号看象限.

兀71

(5)sinlf-«=cosa，cosasina.(6)sin工=cosa,cos—+a=-sina・

~~2)2

口诀：正弦与余弦互换，符号看象限.

10、和角与差角公式

sin(a±4)=sinacos0±cosasin[3；

cos(a±p)=cosacos/?.sinasin[3；

/,八、tana±tan/?

tan(a±J3)=---------------.

1♦tanatan0

11、二倍角公式

sin2a=sinacosa・

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-\-1-2sin2a.

c2tana

tan2a=------------.

l-tan-a

八21八21+cos2a

2cos~a-1+COS2(J,COSa=------------

公式变形：2

2csm.2a=.1-cos2r«,si•n2a=-l---c--o--s--2--a-;

2

12、函数y=sin（（yx+⑺的图象变换

①的图象上全部点向左（右）平移M个单位长度，得到函数丁=5皿（*+。）的图象；再将

函数y=sin（x+e）的图象上全部点的横坐标伸长（缩短）到原来的5倍（纵坐标不变）,

得到函数丁=5皿（g+0的图象；再将函数旷=疝（3+9）的图象上全部点的纵坐标伸长

（缩短）到原来的A倍（横坐标不变），得到函数尸Asin®x+0的图象.

②数y=sinx的图象上全部点的横坐标伸长（缩短）到原来的‘倍（纵坐标不变）,

CD

得到函数

y=sinox的图象；再将函数3；=$皿8的图象上全部点向左（右）平移四个单位长度,

CO

得到函数y=sin®x+°）的图象；再将函数y=sin®x+⑴的图象上全部点的纵坐标伸长

（缩短）到原来的A倍（横坐标不变），得到函数丁=人如（皿+夕）的图象.

13.正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：

y=sinxy=cosxy=tanx

1页

k卜

yyUJMl

图象4Yr\

1)i01nn

卜卜wezj

定义域RR

值域I』[T,l]R

当x=2k/r+^(ZwZ)当X=2时仅62）时，

时，Xnax=1；当Xnax=l；当X=2k兀+兀既无最大值也无最小

最值

x==2^--(丘Z)时,j=-l.值

2min

(左eZ)时，ymin=-l•

2"2"7T

周期性

奇偶性奇函数偶函数奇函数

-.TV_.7T

在2k兀,2%7H—

在[2k7T-7t.2k7t\[kGZ）上

GZ)上是增函娄工;

在（而一*"+9

是增函数；在

单调性在

[24万，2%乃+乃]

（左eZ）上是增函数.

»7T八.37T

2k/rH—,2k兀H----

22_（kwZ）上是减函数.

（AeZ）上是减函数.

对称中心

对称中心对称中心

（攵小（））（2£Z）

（改万+、,0）（忆GZ）作，。卜问

对称性

对称轴

对称轴x=k7V（kGZ）无对称轴

x==攵%+/(%£Z)

14、协助角公式

y=asinx+hcosx-y/a2+b2sin(x+(p)其中tane=2

15.正弦定理：，-=±=，=2R(R为AA5c外接圆的半径).

sinAsinBsinC

oa=27?sinA,b=27?sinB,c=2/?sinC<^>a:b:c=sinA:sinB:sinC

16.余弦定理

a2=b2+c2-2Z?ccosA;b2=c2-2cacosB\c1=cr+Z72-2tzZ?cosC.

17.面积定理

(1)S=gc/z(.(/%、%、仅分别表不a、b、c边上的IWJ).

(2)S=—absmC=—bcs\nA=-casinB.

222

18、三角形内角和定理

在ZiABC中,有A+3+C=IOC=4—(A+3)

O—=--^-!-^«2C=2^-2(A+B).

222

19、a与右的数量积(或内积)

a-b=]a\-\b\cos0

20、平面对量的坐标运算

(1)设Aa，%),B(x2,y2),则AB=OB-OA=(x2-xi,y2-yi).

(2)设。=(%,%)，b-(x2,y2),贝!+必必.

⑶设a=(x,y),则卜卜yjx2+y2

21、两向量的夹角公式

设。=(%,必)，3=(々，%)，且1#。，则

cos0=-：：=/,王可)丁2,(d=(再，x),"二⑷，刈))•

22、向量的平行与垂直

设”二(当,,)，〃=区,%)，且bxO

allbb=Aa=/为一=。・

a±h{a6)oa-b=0<=>xIx2+y1y2=0.

*平面对量的坐标运算

(1)设a=(x”yj,b=(工2，%)，则&+〃=(%+/,%+%)-

⑵设a=(x”M),6=(々,必)，则。一方=(王一工2，必-%)•

(3)设A(X1,y),B(x2,y2),则AB=OB-OA=(x2-xl,y2-yi).

(4)设a=(x,y),AeR,则-a=(4x,Ay).

⑸设a=(%，M),b=(x2,y2),则&,b=x}x2+yly2.

三、数列

23、数列的通项公式与前n项的和的关系

n(数列{〃“}的前n项的和为s“=4+4++《,).

[s„-5„_,,n>2

24、等差数列的通项公式

an=a]+(〃-l)d=+q-d(neN);

25、等差数列其前n项和公式为

s,,=^^=^+"d=1〃2+（q_；d）”.

26、等比数列的通项公式

a=aqn~]=--qH（neN"）;

n}q

27、等比数列前n项的和公式为

navq=\[叫应=1

四、不等式

28、~~-0必需满意一正（x,y都是正数）、二定（孙是定值或者y是定值）、

三相等（x=y时等号成立）才可以运用该不等式）

（1）若积孙是定值p,贝！J当x=y时和x+y有最小值1万；

（2）若和x+y是定值s,则当x=y时积xy有最大值

4

五、解析几何

29、直线的五种方程

（1）点斜式y-y,=k（x-xt）（直线/过点4（%,yJ,且斜率为我）.

（2）斜截式y=^+O（b为直线/在y轴上的截距）.

（3）两点式-工（必/力）（q（x”x）、2（々,%）（彳尸王））.

%一乂%一为

（4）截距式2+2=1（久匕分别为直线的横、纵截距，以。工0）

ab

（5）一般式A¥+8,y+C=0（其中A、B不同时为0）.

30、两条直线的平行和垂直

若4:y=k{x+4,/2:y=k2x+h2

①《6K=k2,b产b2:

②/,J_/2<=>k}k2——1.

31、平面两点间的距离公式

“人8=7（^一%）2+（%一%）2（4%，,），伙工2，%））・

32、点到直线的距离

d=\Ax+Iiy,+C\（点PG,%）,直线/：Ar+By+C=O）.

“2+B?

33、圆的三种方程

（1）圆的标准方程（x-a）2+（y-b）2=r2.

(2)圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F^O(£>2+E2-4F>0).

/x=Q+rcos6

(3)圆的参数方程

[y=/7+rsin。

*点与圆的位置关系：点POo，%)与圆(工-。)2+(y-b)2=//的位置关系有三种

若3=协-/了+(/?-%)2,贝！Jd>ro点P在圆外；d=〃o点P在圆上；点P在

圆内.

34、直线与圆的位置关系

直线Ax+8y+C=0与圆(x-o)2+(y-b)2=r~的位置关系有三种：

d>ro相离oA<0；

d=r=相切<=>A=0；

dvro相交oA〉0.弦长=2,2-/

其中/…+c].

A/A2+B2

35、椭圆、双曲线、抛物线的图形、定义、标准方程、几何性质

椭圆：5+/=1(“>%>0),a2-c2=b2,离心率e=/=FJ〈l,参数方程是

[x=acos0

[y=bsin0

?2

双曲线：5-==1(a>0,b>0),c2-/=〃，离心率”£>],渐近线方程是"士砥.

abaa

2

抛物线：y=2Px,焦点g,o),准线》=—抛物线上的点到焦点距离等于它到

准线的距离.

36、双曲线的方程与渐近线方程的关系

2222

(1)若双曲线方程为0-2=1=渐近线方程：，一与=0Oy=±-.

ab'ab2a

72

(2)若渐近线方程为丫=±，0J2=0=>双曲线可设为与-「=履

aaba2b2

(3)若双曲线与£-E=1有公共渐近线，可设为±一[=入(九>0,焦点在X轴

ab~a~b

上，X<0,焦点在y轴上).

37、抛物线V=2px的焦半径公式

抛物线V=2px(p>0)焦半径|PF|=%+令(抛物线上的点到焦点距离等于它到准线

的距离。)

38、过抛物线焦点的弦长卜可=$+]+戈2+5=*+々+2.

六、立体几何

39.证明直线与直线的平行的思索途(1)转化为相交垂直；

径(2)转化为线面垂直；

(1)转化为判定共面二直线无交(3)转化为线与另一线的射影垂

点；直；

(2)转化为二直线同与第三条直(4)转化为线与形成射影的斜线

线平行；垂直.

(3)转化为线面平行；43.证明直线与平面垂直的思索途径

(4)转化为线面垂直；(1)转化为该直线与平面内任始

(5)转化为面面平行.终线垂直；

40.证明直线与平面的平行的思索途(2)转化为该直线与平面内相交

径二直线垂直；

(1)转化为直线与平面无公共点;(3)转化为该直线与平面的一条

(2)转化为线线平行；垂线平行；

(3)转化为面面平行.(4)转化为该直线垂直于另一个

41.证明平面与平面平行的思索途径平行平面。

(1)转化为判定二平面无公共44.证明平面与平面的垂直的思索途

占・

八、、，径

(2)转化为线面平行；(1)转化为推断二面角是直二面

(3)转化为线面垂直.角；

42.证明直线与直线的垂直的思索途(2)转化为线面垂直；

径

45、柱体、椎体、球体的侧面积、表面积、体积计算公式

圆柱侧面积=2加7,表面积=2加+2勿*2

圆椎侧面积=加7,表面积=+

V柱体(S是柱体的底面积、〃是柱体的高).

唳体(S是锥体的底面积、是锥体的高).

球的半径是R，则其体积V=其表面积s=4万六.

222

46、若点A(X],y,Z]),点B(/,必，Z2)，贝(J乙,8=IAB1=《AB-AB=-x,)+(y2-y,)+(z2-z,)

47、点到平面距离的计算(定义法、等体积法)

48、直棱柱、正棱柱、长方体、正方体的性质：侧棱平行且相等，与底面垂直。

正棱锥的性质：侧棱相等，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心。

七、概率统计

49、平均数、方差、标准差的计算

平均数:X=…+…％方差:$2-X)2+(12-I)?T------(%-%)2]

nnn

标准差：s=—[(X]-X)2+(龙2-X)2+1••(%,,-X)2]

Vn

50、回来直线方程（了解即可）

__

ZU一可（X一歹）Zx，》一〃xy

人=2^---------

y=a+bxj其中<元)2%,2_位2.经过（元,歹）点。

/=1/=1

a=y-bx

n{ac-hd)2

51、独立性检验K2（了解即可）

(a+b)(c+d)(〃+c)(b+d)

52、古典概型的计算（必需要用列举法、列表法、树状图的方法把全部基本领

件表示出来，不重复、不遗漏）

八、复数

53、复数的除法运算

〃++bi)(c-di)_(ac+bd)+(he-ad)i

c+di(c+di)(c-di)c2+d2

54>复数z=o+bi的模|z|=|a+、i|=Jo?+模.

55、复数的相等：a+hi=c+