2024年九年级数学下册 第30章 二次函数30.2二次函数的图像与性质 1二次函数y=ax2的图像和性质教案（新版）冀教版

2024年九年级数学下册第30章二次函数30.2二次函数的图像与性质1二次函数y=ax2的图像和性质教案（新版）冀教版授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间课程基本信息1.课程名称：二次函数的图像与性质

2.教学年级和班级：九年级数学班

3.授课时间：2024年5月15日

4.教学时数：1课时（45分钟）

冀教版九年级数学下册第30章，主要内容是学习二次函数y=ax^2的图像和性质。以下是根据课本内容设计的示范课程：

一、导入新课

1.复习一次函数和反比例函数的图像和性质，为学习二次函数打下基础。

2.提问：同学们，你们知道二次函数的图像和性质吗？二次函数在我们生活中的应用有哪些？

二、自主探究

1.让学生自主学习课本第30章第2节的内容，了解二次函数y=ax^2的图像和性质。

2.学生分组讨论，总结二次函数的图像和性质，并准备进行课堂分享。

三、课堂分享

1.每组学生分享自己的学习成果，其他组同学进行评价和补充。

2.教师点评学生的分享，总结二次函数的图像和性质。

四、巩固练习

1.课本练习题：让学生独立完成课本给出的练习题，检测对二次函数图像和性质的理解。

2.教师讲解答案，解析解题思路，帮助学生巩固知识。

五、课堂小结

1.让学生回顾本节课所学内容，总结二次函数的图像和性质。

2.教师强调二次函数在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣。

六、课后作业

1.让学生根据课堂所学，完成课后作业：绘制二次函数y=ax^2的图像，并分析其性质。

2.教师批改作业，及时了解学生的学习情况，为下一步教学做好准备。核心素养目标本节课旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算的核心素养。通过学习二次函数的图像与性质，使学生能够：

1.数学抽象：从具体实例中抽象出二次函数的图像和性质，理解二次函数的一般形式及其特点。

2.逻辑推理：能够运用逻辑推理分析二次函数的图像和性质，理解二次函数图像的变换规律。

3.数学建模：能够运用二次函数解决实际问题，建立二次函数模型，从而提高问题解决能力。

4.数学运算：能够熟练运用二次函数的性质进行运算，解决相关的数学问题。学习者分析1.学生已经掌握了相关知识：学生在之前的的学习中，已经掌握了二次函数的一般形式、顶点式以及开口方向等基本知识。此外，学生还了解了一次函数和反比例函数的图像和性质，这为学习二次函数的图像和性质打下了基础。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：九年级学生对数学学科有着较高的兴趣，尤其是那些对函数知识感兴趣的学生。在学习能力方面，学生具备一定的逻辑思维能力和抽象思维能力，能够理解和掌握二次函数的图像和性质。在学习风格上，大部分学生喜欢通过自主学习、合作讨论的方式来获取知识，对直观、生动的课堂教学更感兴趣。

3.学生可能遇到的困难和挑战：在学习二次函数的图像和性质时，学生可能难以理解二次函数图像的变换规律，以及如何运用二次函数解决实际问题。此外，部分学生可能对数学抽象和逻辑推理能力要求较高的内容感到困难，需要教师给予更多的指导和帮助。教学资源1.软硬件资源：多媒体投影仪、计算机、白板、黑板、粉笔、教学课件等。

2.课程平台：学校教学管理系统、数学教学资源库等。

3.信息化资源：互联网、数学教育网站、数学教学视频、数学软件等。

4.教学手段：讲解法、问答法、案例分析法、小组讨论法、实践活动法等。教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

-发布预习任务：通过在线平台或班级微信群，发布预习资料（如PPT、视频、文档等），明确预习目标和要求。

-设计预习问题：围绕“二次函数的图像与性质”课题，设计一系列具有启发性和探究性的问题，引导学生自主思考。

-监控预习进度：利用平台功能或学生反馈，监控学生的预习进度，确保预习效果。

学生活动：

-自主阅读预习资料：按照预习要求，自主阅读预习资料，理解二次函数的基本概念和性质。

-思考预习问题：针对预习问题，进行独立思考，记录自己的理解和疑问。

-提交预习成果：将预习成果（如笔记、思维导图、问题等）提交至平台或老师处。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：引导学生自主思考，培养自主学习能力。

-信息技术手段：利用在线平台、微信群等，实现预习资源的共享和监控。

作用与目的：

-帮助学生提前了解本节课的主题，为课堂学习做好准备。

-培养学生的自主学习能力和独立思考能力。

2.课中强化技能

教师活动：

-导入新课：通过故事、案例或视频等方式，引出二次函数的图像与性质，激发学生的学习兴趣。

-讲解知识点：详细讲解二次函数的图像和性质，结合实例帮助学生理解。

-组织课堂活动：设计小组讨论、角色扮演、实验等活动，让学生在实践中掌握二次函数的图像变换规律。

-解答疑问：针对学生在学习中产生的疑问，进行及时解答和指导。

学生活动：

-听讲并思考：认真听讲，积极思考老师提出的问题。

-参与课堂活动：积极参与小组讨论、角色扮演、实验等活动，体验二次函数知识的应用。

-提问与讨论：针对不懂的问题或新的想法，勇敢提问并参与讨论。

教学方法/手段/资源：

-讲授法：通过详细讲解，帮助学生理解二次函数的图像和性质。

-实践活动法：设计实践活动，让学生在实践中掌握二次函数的图像变换规律。

-合作学习法：通过小组讨论等活动，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

作用与目的：

-帮助学生深入理解二次函数的图像和性质，掌握图像变换规律。

-通过实践活动，培养学生的动手能力和解决问题的能力。

-通过合作学习，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

3.课后拓展应用

教师活动：

-布置作业：根据本节课的内容，布置适量的课后作业，巩固学习效果。

-提供拓展资源：提供与二次函数相关的拓展资源（如书籍、网站、视频等），供学生进一步学习。

-反馈作业情况：及时批改作业，给予学生反馈和指导。

学生活动：

-完成作业：认真完成老师布置的课后作业，巩固学习效果。

-拓展学习：利用老师提供的拓展资源，进行进一步的学习和思考。

-反思总结：对自己的学习过程和成果进行反思和总结，提出改进建议。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：引导学生自主完成作业和拓展学习。

-反思总结法：引导学生对自己的学习过程和成果进行反思和总结。

作用与目的：

-巩固学生在课堂上学到的二次函数知识点和技能。

-通过拓展学习，拓宽学生的知识视野和思维方式。

-通过反思总结，帮助学生发现自己的不足并提出改进建议，促进自我提升。知识点梳理本节课的主要知识点是二次函数的图像与性质，具体包括以下几个方面：

1.二次函数的一般形式：y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，a不等于0。

2.二次函数的图像：二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线。开口方向由a的正负决定，a大于0时开口向上，a小于0时开口向下。抛物线的顶点坐标为（-b/2a，c-b^2/4a），对称轴为x=-b/2a。

3.二次函数的性质：

-顶点：二次函数的图像有一个顶点，顶点的坐标为（-b/2a，c-b^2/4a）。

-对称性：二次函数的图像关于对称轴对称，即x=-b/2a为图像的对称轴。

-增减性：当a大于0时，二次函数在顶点左侧递减，在顶点右侧递增；当a小于0时，二次函数在顶点左侧递增，在顶点右侧递减。

-零点：二次函数与x轴的交点为零点，即y=0时的x值。

4.二次函数的图像变换：

-横向平移：二次函数的图像沿x轴平移h个单位，相当于在函数中替换x为x+h。

-纵向平移：二次函数的图像沿y轴平移k个单位，相当于在函数中替换y为y+k。

-横向拉伸或压缩：二次函数的图像沿x轴拉伸或压缩m倍，相当于在函数中替换x为mx。

-纵向拉伸或压缩：二次函数的图像沿y轴拉伸或压缩n倍，相当于在函数中替换y为ny。

5.实际问题中的应用：二次函数在实际生活中有广泛的应用，如抛物线运动、最优化问题等。通过建立二次函数模型，可以解决实际问题。教学评价与反馈1.课堂表现：学生在课堂上的表现总体积极，能够主动参与讨论和实践活动。大部分学生能够跟上教学节奏，理解二次函数的图像与性质。少数学生对一些概念理解不够深入，需要在课后加强复习。

2.小组讨论成果展示：学生在小组讨论中积极参与，能够提出自己的观点和疑问。讨论成果展示时，学生能够清晰地表达自己的思路和理解，并进行有效的交流和互动。

3.随堂测试：随堂测试结果显示，大部分学生能够正确回答与二次函数图像与性质相关的问题。但是，仍有部分学生在处理一些复杂题目时，存在一定的困难，需要进一步的练习和指导。

4.作业完成情况：作业提交情况良好，大部分学生能够按时完成作业。作业质量较高，学生对二次函数的理解较深入。但是，少数学生的作业中仍存在一些错误，需要加强练习和巩固。

5.教师评价与反馈：针对学生在课堂上的表现和作业情况，教师进行了及时的反馈和指导。对于表现优秀的学生，给予了表扬和鼓励，以增强其学习信心。对于存在困难的学生，提供了额外的辅导和帮助，指导其进行有效的学习方法和策略。同时，教师也鼓励学生积极参与课堂活动，提出自己的疑问和想法，以提高学习的积极性和效果。重点题型整理1.题型一：二次函数的一般形式和图像

题目：已知二次函数y=-2x^2+5x-3，求：

（1）函数的顶点坐标；

（2）函数的图像开口方向；

（3）函数与x轴的交点。

答案：

（1）顶点坐标为（1,-12），因为顶点式为y=a(x-h)^2+k，其中a=-2，h=1，k=-12；

（2）函数的图像开口向下，因为a=-2<0；

（3）函数与x轴的交点为x=1和x=-3/2，因为y=0时，解得x=1和x=-3/2。

2.题型二：二次函数的性质

题目：已知二次函数y=2x^2-4x+3，求：

（1）函数的顶点坐标；

（2）函数的图像开口方向；

（3）函数在x=2时的值；

（4）函数与x轴的交点。

答案：

（1）顶点坐标为（1,1），因为顶点式为y=a(x-h)^2+k，其中a=2，h=1，k=1；

（2）函数的图像开口向上，因为a=2>0；

（3）函数在x=2时的值为12，因为将x=2代入函数中得y=2(2)^2-4(2)+3=12；

（4）函数与x轴的交点为x=-1和x=3，因为y=0时，解得x=-1和x=3。

3.题型三：二次函数的图像变换

题目：已知二次函数y=x^2，将图像沿x轴平移3个单位，沿y轴向上平移2个单位，求变换后的函数表达式。

答案：变换后的函数表达式为y=(x+3)^2+2，因为平移后的函数形式为y=a(x-h)^2+k，其中a=1，h=-3，k=2。

4.题型四：实际问题中的二次函数应用

题目：一个物体从静止开始沿直线运动，其速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s）的关系可以表示为v=-2t^2+4t。求：

（1）物体在t=1秒时的速度；

（2）物体在t=2秒时的速度；

（3）物体在t=3秒时的速度。

答案：

（1）物体在t=1秒时的速度为4m/s，因为将t=1代入函数中得v=-2(1)^2+4(1)=4；

（2）物体在t=2秒时的速度为0m/s，因为将t=2代入函数中得v=-2(2)^2+4(2)=0；

（3）物体在t=3秒时的速度为-4m/s，因为将t=3代入函数中得v=-2(3)^2+4(3)=-4。

5.题型五：二次函数的综合应用

题目：一个长方形的长为2米，宽为x米，其面积S（单位：平方米）可以表示为S=2x。求：

（1）长方形的面积S与宽x的关系；

（2）当长方形的长和宽相等时，面积是多少？

（3）当长方形的宽为1米时，面积是多少？

（4）求长方形的面积S的最大值。

答案：

（1）长方形的面积S与宽x的关系为S=2x；

（2）当长方形的长和宽相等时，面积为4平方米，因为x=2时，S=2x=4；

（3）当长方形的宽为1米时，面积为2平方米，因为x=1时，S=2x=2；

（4）长方形的面积S的最大值为4平方米，因为当x=2时，S=2x=4。教学反思在本节课的教学过程中，我深刻反思了自己的教学方法和学生的学习情况，以下是我的一些思考：

首先，我在课前安排了自主学习任务，让学生通过阅读预习资料和思考问题来提前了解二次函数的图像与性质。这有助于提高学生的自主学习能力，也为课堂学习打下了基础。但是，我也发现部分学生在自主学习过程中遇到了一些困难，比如对二次函数的图像变换规律理解不透彻。因此，在未来的教学中，我需要更加关注学生的自主学习情况，并提供更多的指导和帮助。

其次，我在课堂中通过讲解、讨论和实践等方式，帮助学生理解和掌握二次函数的图像与性质。我发现这种方式能够激发学生的学习兴趣，促进他们的积极参与。但是，我也注意到在讨论和实践过程中，部分学生仍然存在一些疑问和困惑。因此，我需要更加关注学生的学习反馈，及时解答他们的疑问，并提供更加深入的讲解和指导。

再次，我在课后布置了相关的作业和拓展学习任务，以帮助学生巩固和拓展二次函数的知识。我发现这种方式能够帮助学生加深对知识的理解，并拓宽他们的知识视野。但是，我也发现部分学生在完成作业和拓展学习任务时存在一定的困难，比如在解决实际问题中的应用上。因此，我需要更加关注学生的作业和拓展学习情况，及时提供反馈和指导，帮助他们解决实际问题。

最后，我深刻认识到在教学过程中，关注学生的学习反馈和提供及时的指导是非常重要的。只有通过与学生的互动和反馈，才能更好地了解他们的学习情况，并提供更加有效的教学方法和指导。因此，在未来的教学中，我将继续关注学生的学习反馈，及时调整教学方法和策略，以提高教学效果。板书设计1.重点知识点：

①二次函数的一般形式：y=ax^2+bx+c；

②二次函数的图像：开口向上/向下，顶点坐标（-b/2a,c-b^2/4a）；

③二次函数的性质：顶点、对称性、增减性、零点；

④二