2021高考数学一轮复习课后限时集训42空间几何体的结构及其表面积体积理

PAGE课后限时集训42空间几何体的结构及其表面积、体积建议用时：45分钟一、选择题1．下列说法中正确的是()A．斜三棱柱的侧面展开图一定是平行四边形B．水平放置的正方形的直观图有可能是梯形C．一个直四棱柱的主视图和左视图都是矩形，则该直四棱柱就是长方体D．用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分形成的几何体就是圆台[答案]D2．一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为()A.eq\f(16,3)π B.eq\f(32,3)πC．16π D．24πB[设球的半径为R，则S＝4πR2＝16π，解得R＝2，则球的体积V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32,3)π.]3．《九章算术》是我国古代数学名著，在《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．若某“阳马”的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该“阳马”的表面积为()

A．1＋eq\r(2) B．1＋2eq\r(2)C．2＋eq\r(2) D．2＋2eq\r(2)C[由三视图可得该“阳马”的底面是边长为1的正方形，高为1，则表面积为1＋2×eq\f(1,2)×1×1＋2×eq\f(1,2)×eq\r(2)×1＝2＋eq\r(2)，故选C.]4．用长为8，宽为4的矩形做侧面围成一个圆柱，则圆柱的轴截面的面积为()A.32 B.eq\f(32,π)C.eq\f(16,π) D.eq\f(8,π)B[若8为底面周长，则圆柱的高为4，此时圆柱的底面直径为eq\f(8,π)，其轴截面的面积为eq\f(32,π)；若4为底面周长，则圆柱的高为8，此时圆柱的底面直径为eq\f(4,π)，其轴截面的面积为eq\f(32,π).]5．(2019·哈尔滨模拟)将半径为3，圆心角为eq\f(2π,3)的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的表面积为()A．π B．2πC．3π D．4πB[半径为3，圆心角为eq\f(2π,3)的扇形弧长为2π，故其围成的圆锥母线长为3，底面圆周长为2π，得其底面半径为1，如图，MB＝1，AB＝3,∴AM＝2eq\r(2)，由相似可得eq\f(ON,MB)＝eq\f(AO,AB)，得ON＝eq\f(\r(2),2)，∴S球＝4π×eq\f(1,2)＝2π.故选B.]二、填空题6.有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为________．2＋eq\f(\r(2),2)[如图1，在直观图中，过点A作AE⊥BC，垂足为E.图1图2在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，∴BE＝eq\f(\r(2),2).而四边形AECD为矩形，AD＝1，∴EC＝AD＝1，∴BC＝BE＋EC＝eq\f(\r(2),2)＋1.由此可还原原图形如图2.在原图形中，A′D′＝1，A′B′＝2，B′C′＝eq\f(\r(2),2)＋1，且A′D′∥B′C′，A′B′⊥B′C′，∴这块菜地的面积S＝eq\f(1,2)(A′D′＋B′C′)·A′B′＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋1＋\f(\r(2),2)))×2＝2＋eq\f(\r(2),2).]7．(2019·全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD­A1B1C1D1挖去四棱锥O­EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm，3D打印所用原料密度为0.9g/cm3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.118．8[由题易得长方体ABCD­A1B1C1D1的体积为6×6×4＝144(cm3四边形EFGH为平行四边形，如图所示，连接GE，HF，易知四边形EFGH的面积为矩形BCC1B1面积的一半，即eq\f(1,2)×6×4＝12(cm2)，所以V四棱锥O­EFGH＝eq\f(1,3)×3×12＝12(cm3)，所以该模型的体积为144－12＝132(cm3)，所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g)．]8．(2019·中原六校联考二模)已知三棱柱ABC­A1B1C1的所有顶点都在球O的球面上，该三棱柱的五个面所在的平面截球面所得的圆大小相同，若球O的表面积为20π，则三棱柱的体积为______6eq\r(3)[因为三棱柱ABC­A1B1C1的五个面所在的平面截球面所得的圆的大小相同，所以该三棱柱的底面是等边三角形，设三棱柱底面边长为a，高为h，截面圆的半径为r，球半径为R,∵球O的面积为20π，4πR2＝20π，解得R＝eq\r(5)，底面和侧面截得的圆的大小相同，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h,2)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(3))))2,∴a＝eq\r(3)h，①又∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(3))))2＝R2，②由①②得a＝2eq\r(3)，h＝2，三棱柱的体积为V＝eq\f(\r(3),4)×(2eq\r(3))2×2＝6eq\r(3).故选A.]三、解答题9．若圆锥的表面积是15π，侧面展开图的圆心角是60°，求圆锥的体积．[解]设圆锥的底面半径为r，母线为l，则2πr＝eq\f(1,3)πl，得l＝6r.又S锥＝πr2＋πr·6r＝7πr2＝15π，得r＝eq\r(\f(15,7))，圆锥的高h＝eq\r(l2－r2)＝eq\r(36r2－r2)＝eq\r(35)·r＝eq\r(35)·eq\r(\f(15,7))＝5eq\r(3)，V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π×eq\f(15,7)×5eq\r(3)＝eq\f(25\r(3),7)π.10.如图所示，正四棱台的高是17cm，两底面边长分别为4cm和16cm，求棱台的侧棱长和斜高．[解]设棱台两底面的中心分别为O′和O，B′C′，BC的中点分别为E′，E，连接O′B′，O′E′，O′O，OE，OB，EE′，则四边形O′E′EO，OBB′O′均为直角梯形．在正方形ABCD中，BC＝16cm，则OB＝8eq\r(2)cm，在正方形A′B′C′D′中，B′C′＝4cm，则O′B′＝2eq\r(2)cm，O′E在直角梯形O′OBB′中，BB′＝eq\r(OO′2＋OB－O′B′2)＝19(cm)；在直角梯形O′OEE′中，EE′＝eq\r(OO′2＋OE－O′E′2)＝5eq\r(13)(cm)．所以这个棱台的侧棱长为19cm，斜高为5eq\1．用一个平面去截正方体，则截面图形有下述四个结论：①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形其中所有正确结论的编号是()A．①②③ B.①②④C．②③④ D.①②③④B[用一个平面去截正方体，则截面的情况为：①截面为三角形时，可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角形、直角三角形；②截面为四边形时，可以是梯形(等腰梯形)、平行四边形、菱形、矩形、正方形，但不可能是直角梯形；③截面为五边形时，不可能是正五边形；④截面为六边形时，可以是正六边形．]2．已知三棱锥S­ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为()A.eq\f(\r(2),6) B.eq\f(\r(3),6)C.eq\f(\r(2),3) D.eq\f(\r(2),2)A[由于三棱锥S­ABC与三棱锥O­ABC底面都是△ABC，O是SC的中点，因此三棱锥S­ABC的高是三棱锥O­ABC高的2倍，所以三棱锥S­ABC的体积也是三棱锥O­ABC体积的2倍．在三棱锥O­ABC中，其棱长都是1，如图所示，S△ABC＝eq\f(\r(3),4)×AB2＝eq\f(\r(3),4)，高OD＝eq\r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))2)＝eq\f(\r(6),3)，∴VS­ABC＝2VO­ABC＝2×eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×eq\f(\r(6),3)＝eq\f(\r(2),6).]3．(2019·全国卷Ⅱ)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有____________个面，其棱长为____________．图1图226eq\r(2)－1[依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后6个面都在正方体的表面上，且该半正多面体的表面由18个正方形，8个正三角形组成，因此题中的半正多面体共有26个面．注意到该半正多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形，设题中的半正多面体的棱长为x，则eq\f(\r(2),2)x＋x＋eq\f(\r(2),2)x＝1，解得x＝eq\r(2)－1，故题中的半正多面体的棱长为eq\r(2)－1.]4.如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD＝3，FC＝4，AE＝5.求此几何体的体积．[解]法一：(分割法)如图，取CM＝AN＝BD，连接DM，MN，DN，用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥．则V几何体＝V三棱柱＋V四棱锥．由题知三棱柱ABC­NDM的体积为V1＝eq\f(1,2)×8×6×3＝72.四棱锥D­MNEF的体积为V2＝eq\f(1,3)×S梯形MNEF×DN＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×(1＋2)×6×8＝24，则几何体的体积为V＝V1＋V2＝72＋24＝96.法二：(补形法)用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AA′＝BB′＝CC′＝8，所以V几何体＝eq\f(1,2)V三棱柱＝eq\f(1,2)×S△ABC×AA′＝eq\f(1,2)×24×8＝96.1.如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，BB1＝3，∠ABC＝90°，点D为侧棱BB1上的动点，当AD＋DC1最小时，三棱锥D­ABC1的体积为________．eq\f(1,3)[将直三棱柱ABC­A1B1C1的两侧面展开成矩形ACC1A1，如图，连接AC1，交BB1于D，此时AD＋DC1最小．∵AB＝1，BC＝2，BB1＝3，∠ABC＝90°，点D为侧棱BB1上的动点，∴当AD＋DC1最小时，BD＝1，此时三棱锥D­ABC1的体积为VD­ABC1＝VC1­ABD＝eq\f(1,3)·S△ABD·B1C1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)AB·BD·B1C1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×2＝eq\f(1,3).]2．(2019·吉林长春三模)我国古代数学名著《九章算术·商功》中阐述：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．”若称为“阳马”的某几何体的三视图如图所示，图中网格纸上小正方形的边长为1，对该几何体有如下描述：①四个侧面都是直角三角形；②最长的侧棱长为2eq\r(6)；③四个侧面中有三个侧面是全等的直角三角形；④外接球的表面积为24π.其中正确的描述为