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综合习题8（A）组1.设级数与中一个收敛，一个发散.(1)证明：发散；证明：假设收敛。不妨设收敛，发散。则收敛，与发散矛盾，因此发散。(2)举例说明，若与发散，则可能收敛，也可能发散.例：，与都发散，但收敛则发散。2.判定下列级数的敛散性：(1)解：由比较审敛法得发散。(2)解：，通项极限非零，级数发散。(3)解：，由比较审敛法得收敛。(4)解：，又收敛，由比较审敛法得收敛(5)解：，由比较审敛法得收敛。(6)解：，由比较审敛法得级数绝对收敛。3.求级数的和函数及收敛域，并求级数的和．解：，收敛域为所以。4.求级数的和函数及其收敛域，并求级数的和．解：，则收敛域为设则，代入后因此。5.将展开成的幂级数，并求此级数的收敛区间．解：则，当时，收敛，则此级数的收敛域为。6.求幂级数的收敛区间及和函数．解：收敛域为R7.设．(1)求的值；解：则(2)证明：对任何，收敛．证明：则对任意，，又收敛由比较审敛法得收敛。8.（1）设幂级数在处收敛，则该级数在处是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛。解：由题意知收敛，则由阿贝尔定理知幂级数的收敛半径,因此在x=4处绝对收敛。（2）设幂级数在处收敛，在处发散，试确定该幂级数的收敛域。解：由题意知收敛，发散，由阿贝尔定理知收敛半径为1，则收敛域为。（3）设幂级数在处收敛，则幂级数在处的敛散性如何？解：由题意知收敛，但无法判断的敛散性。（B）组1.判定下列级数的敛散性：(1)解:，收敛，则由比较审敛法得收敛。(2)解：，因发散，由比较审敛法得发散。又因为因此绝对收敛。由莱布尼兹判定定理易得收敛，综上可得原级数条件收敛。(3)解：则因此收敛。(4)解：，由比较判别法得收敛。(5)解：，因为发散，由比较判别法得发散。(6)解：设则，当时，结合（5）题和莱布尼兹定理得条件收敛。2.将展开成的幂级数，并求的和.解：则3.设，利用幂级数展开式求．解：则由得。4.设正项级数与收敛，证明与都收敛．证明：当，则，由与收敛得与收敛，进一步有收敛。由比较定理得收敛，，同上证得收敛。5.应用的幂级数展开,证明．证明：则则。6.求幂级数的和函数．解：设,其中我们利用了.因此7.将下列函数展开成的幂级数：(1)解：，，(2)解：因此8.(1)验证满足方程。验证：则。(2)利用(1)的结果求的和。解：，解得，则得通解为易得为的一个特解，则为方程的通解。联立，解得，即。9．设，且存在.试证明级数绝对收敛.解：因为，则。存在，则在0处连续且可导，有，由比较审敛法得绝对收敛。10.证明：交错级数绝对收敛的充要条件是级数和都收敛。证明：（必要性）若绝对收敛，则正项级数收敛。由正项收敛级数部分和数列有界得和的部分和均有界，因此和都收敛。（充分性）正项级数和都收敛，则收敛，即绝对收敛。11.设，且收敛，为常数，证明级数绝对收敛。证明：由收敛，得收敛，联立

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