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第四节重积分的应用工科数学分析北京理工大学第二学期重积分的应用问题的提出曲面的面积平面薄片的质心（形心）平面薄片的转动惯量引力小结一、问题的提出把定积分的元素法推广到二重积分的应用中.若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性(即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量U相应地分成许多部分量，且U等于部分量之和)，并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域时，相应地部分量可近似地表示为的形式，其中在内．这个称为所求量U的元素，记为，所求量的积分表达式为二、曲面的面积卫星１．设曲面的方程为：如图，?曲面S的面积元素曲面面积公式为：周口店猿人洞“鱼鳞”保护棚３．设曲面的方程为：曲面面积公式为：２．设曲面的方程为：曲面面积公式为：同理可得分析：Viviani曲线含在圆柱面内的部分球体解面积xyzoa2a解解方程组得两曲面的交线为圆周在平面上的投影域为三、平面薄片的质心当薄片是均匀的，质心称为形心.由元素法由元素法旋轮线（一拱）旋轮线（Cycloid）也叫摆线。一个半径为a

的圆在x轴上滚动时，圆上一个点的轨迹就是旋轮线。brachistochrone解旋轮线（一拱）四、平面薄片的转动惯量转动惯量是刚体绕轴转动时惯性(回转物体保持其匀速圆周运动或静止的特性)的量度。一质量为m的质点，到直线或点的距离为d,则I=m

d

2

为质点对直线或点的转动惯量.

质点系对于原点的转动惯量薄片对于

轴的转动惯量薄片对于

轴的转动惯量薄片对于原点的转动惯量

对于

轴的转动惯量

对于

轴的转动惯量对于

轴的转动惯量对于原点的转动惯量解解五、引力物体对质点的引力为引力常数平面薄片对质点的引力为引力常数薄片对

轴上单位质点的引力解由积分区域的对称性知所求引力为几何应用：曲面的面积物理应用：质心、转动惯量、对质点的引力（注意审题，熟悉相关物理知识）六、小结作业P139-141

1(1),(2),(4);

2;3;

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