河北省石家庄市辛集市第二中学2024-2025学年高一数学下学期期中试题

PAGE4-河北省石家庄市辛集市其次中学2024-2025学年高一数学下学期期中试题一、选择题（每小题5分，共12小题60分）1.已知向量a⃗=(3,x),b⃗=(-2,2),若向量a⃗⊥b⃗,则实数x的值为()A.1 B.2C.3 D.-3【答案】C【解析】向量a⃗=(3,x),b⃗=(-2,2),因为向量a⃗⊥b⃗,所以a⃗∙b⃗=-6+2x=0,x=3.2.已知角α的终边与单位圆相交于点P(-(√3)/2,1/2),则sinα等于()A.-(√3)/2 B.-1/2C.1/2 D.(√3)/2【答案】C【解析】由题意知|OP|=1(O为原点),∵角α的终边与单位圆相交于点P(-(√3)/2,1/2),∴sinα=1/2,故选C.3.右图是某班50位学生期中考试数学成果的频率分布直方图，其中成果分组区间是:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]，则图中x的值等于（）A.0.12 B.0.18C.0.012 D.0.018【答案】D【解析】由频率分布直方图的性质可知，各个小长方形的面积之和等于1，即0.06+0.06+0.1+0.54+x×10+0.06=1，解得x=0.018.4.若tanα,tanβ是方程〖x〗^2-2x-4=0的两根,则tan(α+β)=()A.2/5 B.-2/3C.-2/5 D.2/3【答案】A【解析】∵tanα,tanβ是方程〖x〗^2-2x-4=0的两根,则tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)=2/(1-(-4))=2/5.5.如图所示的两个变量具有相关关系的是（）A.①② B.①③C.②④ D.②③【答案】D【解析】视察散点图，假如全部样本散点基本在某一函数曲线旁边，则可认为两变量之间具有相关性。②③能反映两个变量的改变规律，它们之间是相关关系.6.已知向量a⃗=(3,4),b⃗=(sinα,cosα),且a⃗//b⃗,则tan(π+α)=()A.-4/3 B.-3/4C.4/3 D.3/4【答案】D【解析】向量a⃗=(3,4),b⃗=(sinα,cosα),且a⃗//b⃗,则3cosα=4sinα,即tanα=3/4,则tan(π+α)=tanα=3/4.7.已知点M(-2,6),N(1,2),则与向量(MN)⃗同方向的单位向量为()A.(3/5,-4/5) B.(-3/5,4/5)C.(4/5,-3/5) D.(-4/5,3/5)【答案】A【解析】由题意可得(MN)⃗=(3,-4),选项B与(MN)⃗方向相反,选项C,D均不与共线,故选A.8.若θ是ΔABC的一个内角,且sinθcosθ=-1/8,则sinθ-cosθ的值为()A.-(√3)/2 B.(√3)/2C.-(√5)/2 D.(√5)/2【答案】D【解析】θ是ΔABC的一个内角,sinθ>0,sinθcosθ=-1/8,故cosθ<0,sinθ-cosθ>0,又〖(sinθ-cosθ)〗^2=〖sin〗^2θ+〖cos〗^2θ-2sinθcosθ=1-2×(-1/8)=5/4,所以sinθ-cosθ=(√5)/2.9.袋中有3个白球和2个黑球,从中随意摸出2个球,则至少摸出1个黑球的概率为()A.7/10 B.3/7C.1/10 D.3/10【答案】A【解析】因为袋中有3个白球和2个黑球,所以随意摸出2个球的全部状况有:白1黑1,白1黑2,白2黑1,白2黑2,白3黑1,白3黑2,白1白2,白1白3,白2白3,黑1黑2;共10种;至少摸出1个黑球的基本领件包含:白1黑1,白1黑2,白2黑1,白2黑2,白3黑1,白3黑2,黑1黑2;共7种,所以所求概率为7/10.故选A.10.某校中学生共有900人,其中高一年级300人,高二年级200人,高三年级400人,先采纳分层抽取容量为45人的样本,那么高一、高二、高三年级抽取的人数分别为()A.15,5,25 B.15,15,15C.10,5,30 D.15,10,20【答案】D【解析】依据题意得,用分层抽样在各层中的抽样比为45/900=1/20,则在高一年级抽取的人数是300×1/20=15人,高二年级抽取的人数是200×1/20=10人,高三年级抽取的人数是400×1/20=20人.11.下列说法正确的是()A.若a⃗∙b⃗=b⃗∙c⃗,则a⃗=c⃗B.若a⃗//b⃗,b⃗//c⃗,则a⃗//c⃗C.与向量a⃗共线的单位向量为±(a⃗)/(|a⃗|)D.若a⃗//b⃗,则存在唯一实数λ使得a⃗=λb⃗【答案】C【解析】若a⃗∙b⃗=b⃗∙c⃗,a⃗、c⃗可以方向不同,A错误;若a⃗//b⃗,b⃗//c⃗,则a⃗//c⃗,当b⃗=0⃗时不成立,B错误;若a⃗//b⃗,则存在唯一实数λ使得a⃗=λb⃗(b⃗≠0⃗),D错误,故选C.12.(sin5〖7〗^∘-sin2〖7〗^∘cos3〖0〗^∘)/(cos2〖7〗^∘)=()A.1/2 B.(√3)/2C.-1/2 D.-(√3)/2【答案】A【解析】(sin5〖7〗^∘-sin2〖7〗^∘cos3〖0〗^∘)/(cos2〖7〗^∘)=(sin2〖7〗^∘cos3〖0〗^∘+sin3〖0〗^∘cos2〖7〗^∘-sin2〖7〗^∘cos3〖0〗^∘)/(cos2〖7〗^∘)=sin3〖0〗^∘=1/2故选:A.二、填空题（每小题5分，共4小题20分）13.已知tanα=2,则(sinα-2cosα)/(3sinα+5cosα)=__________.【答案】0【解析】将所求式子分子分母同时除以cosα得(tanα-2)/(3tanα+5)=(2-2)/(3×2+5)=0.14.在ΔABC中，|(AB)⃗|=|(BC)⃗|=|(CA)⃗|=1，则|(AB)⃗-(AC)⃗|的值为__________．【答案】1【解析】(AB)⃗-(AC)⃗=(CB)⃗，而|(BC)⃗|=1=|(CB)⃗|．15.已知且(a⃗∙b⃗=√3)，则(sin(α-β))的值为__________.【答案】(-(√3)/2)【解析】由题意知：(a⃗∙b⃗=2cosα∙sinβ-2sinα∙cosβ=-2sin(α-β)=√3,)故而(sin(α-β)=-(√3)/2.)16.已知向量a⃗,b⃗满意|a⃗|=√3,|b⃗|=1,a⃗与b⃗夹角为〖45〗^0,则a⃗∙b⃗=__________.【答案】(√6)/2【解析】∵|a⃗|=√3,|b⃗|=1,a⃗与b⃗夹角为〖45〗^0,∴a⃗∙b⃗=|a⃗||b⃗|cos〖45〗^0=√3×1×(√2)/2=(√6)/2.三、解答题（第17题12分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题10分，共6小题70分）17.已知向量a⃗,b⃗的夹角为〖60〗^0,且|a⃗|=4,|b⃗|=2,(1)求a⃗∙b⃗;(2)求|a⃗+b⃗|.【答案】(1)4(2)2√7【解析】(1)向量a⃗,b⃗的夹角为〖60〗^0,且|a⃗|=4,|b⃗|=2,可得a⃗∙b⃗=4×2×cos=8×1/2=4;(2)|a⃗+b⃗|=√(〖(a⃗+b⃗)〗^2)=√(〖a⃗〗^2+2a⃗∙b⃗+〖b⃗〗^2)=√(16+2×4+4)=√28=2√7.18.一个口袋内装有1个白球和编号分别为1,2,3的3个黑球,它们的大小、质地相同,从中随意摸出2个球.“摸出的2个球都是黑球”记为事务A,(1)共有多少个基本领件?每个基本领件是否等可能出现?该试验是古典概型吗?(2)事务A包含几个基本领件?(3)求事务A的概率.【答案】见解析【解析】(1)随意摸出2个球,共有(白,黑1),(白,黑2),(白,黑3),(黑1,黑2),(黑1,黑3),(黑2,黑3)6个基本领件,每个基本领件是等可能出现的,这个试验是古典概型.(2)事务A包含(黑1,黑2),(黑1,黑3),(黑2,黑3)3个基本领件.(3)由(1)(2)可知,事务A的概率为3/6=1/2.19.函数y=ksinx+b的最大值是2，最小值为-4，求k，b的值．【答案】（1）k=±3；（2）b=-1.【解析】当k>0时，{├■(k+b=2@-k+b=-4)┤┤⇒{├■(k=3@b=-1)┤┤；当k<0时，{├■(-k+b=2@k+b=-4)┤┤⇒{├■(k=-3@b=-1)┤┤；当k=0时，无解.综上所述k=±3，b=-1.20.已知函数f(x)=1/2sinx+(√3)/2cosx,x∈R.(Ⅰ)求f(π/6)的值;(Ⅱ)求函数f(x)的最大值,并求出取到最大值时x的集合.【答案】(Ⅰ)1;(Ⅱ)f〖(x)〗_max=1,{x|x=2kπ+π/6,k∈Z}.【解析】(Ⅰ)f(π/6)=1/2sinπ/6+(√3)/2cosπ/6=1/4+3/4=1.(Ⅱ)因为,所以函数f(x)的最大值为1,当x+π/3=2kπ+π/2,即x=2kπ+π/6(k∈Z)时,f(x)取到最大值,所以,取到最大值时x的集合为{x|x=2kπ+π/6,k∈Z}.21.求值：(1)；(2)；【答案】（1）（2）【解析】（1）可知写成：（2）可写成：22.青少年的“心理健康”问题引起越来越多的社会关注，某校对高一共600名学生进行了一次“心理健康”学问测试，并从中抽取了部分学生的成果(得分取正整数，满分100分）作为样本，绘制了下面尚未完成的频率分布表和频率分布直方图，如图：(1)填写频率分布表中的空格，并补全频率分布直方图.(2)试估计该校高一全体学生的成果在内的有多少人？(3)请你估算该校高一全体学生成果的平均分.【答案】略.【解析】（1)由题图可知样本容量为2/0.04=50，所以成果在[70,80)内的频率为10/50=