湖南省2024年数学中考第一轮复习微专题17相似三角形之五大模型课件

微专题17相似三角形之五大模型湖南2024年数学中考第一轮复习模型1

A字型(公共顶角)特点两个三角形有一个公共角∠BAC且DE∥BC,或DE与BC不平行,∠ABC=∠AED示例思路结论△ADE∽△ABC或△AED∽△ABC.如果没有明确说明对应关系,就应分以上两种情况讨论

A

4∶5

3.(2023·长沙开福三模)如图,△ABC中,P为AB上的点,请你添加一个条件:_________________________________________________________,使△ACP和△ABC相似.

∠ACP=∠B(或∠APC=∠ACB或AC2=AP·AB,答案不唯一)

4.如图,四边形ABCD为菱形,点E在AC的延长线上,∠ACD=∠ABE.(1)求证:△ABC∽△AEB;(2)当AB=6,AC=4时,求AE的长.

模型2

8字型(对顶角相等)特点有一组相等的对顶角示例思路结论△AOB∽△DOC或△AOB∽△COD.如果没有明确说明对应关系,就应分以上两种情况讨论【针对训练】5.(2023·重庆中考B卷)如图,已知△ABC∽△EDC,AC∶EC=2∶3,若AB的长度为6,则DE的长度为

()A.4 B.9

C.12

D.13.5B

7.如图是边长为1个单位长度的小正方形组成的网格,格点A,B的连线与格点C,D的连线交于点E,则(1)AB与CD是否垂直?________(填“是”或“否”);

(2)AE=______.

是

模型3

旋转型(手拉手模型)特点A字型的两个三角形是初始状态,一个三角形绕着公共的顶点开始旋转,形成的图形示例思路结论△ADE∽△ABC或△ADB∽△AEC

A9.如图1,在矩形ABCD中,AB=8,AD=6,E,F分别为AB,AD的中点,连接EF.如图2,将△AEF绕点A逆时针旋转θ(0°<θ<90°),使EF⊥AD,连接BE并延长交DF于点H.则∠BHD的度数为________,DH的长为_______.

90°

10.【特例感知】(1)如图1,△AOB和△COD是等腰直角三角形,∠AOB=∠COD=90°,点C在OA上,点D在BO的延长线上,连接AD,BC,线段AD与BC的数量关系是

.

【类比迁移】(2)如图2,将图1中的△COD绕着点O顺时针旋转α(0°<α<90°),那么第(1)问的结论是否仍然成立?如果成立,证明你的结论;如果不成立,说明理由.

模型4

一线三等角型(K型)特点在一条线段上有三个相等的角示例思路结论通过三角形内外角关系、内角和相等、平角可得另外一组对应角相等,从而得到△ABC∽△CDE

1

13.阅读理解,自主探究:“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况,即三个等角角度为90°,于是有三组边相互垂直.所以称为“一线三垂直”模型.当模型中有一组对应边长相等时,则模型中必定存在全等三角形.(1)问题解决:如图1,在等腰直角△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,过点C作直线DE,AD⊥DE于D,BE⊥DE于E,则CD与BE的数量关系是

.

(2)问题探究:如图2,在等腰直角△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,过点C作直线CE,AD⊥CE于D,BE⊥CE于E,AD=2.5cm,DE=1.6cm,求BE的长.(3)拓展延伸:如图3,在平面直角坐标系中,A(-1.5,0),C(1.5,3.5),△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,AC=BC,求B点坐标.

(3)过B作EF∥y轴,过A作AD∥y轴,过C作DE∥x轴,EF,DE交于点E,ED,AD交于点D,如图,∵AD∥y轴,DE∥x轴,EF∥y轴,∴AD⊥CE,BE⊥CE,∵∠ACB=90°,∴∠D=∠E=90°,∠ACD+∠CAD=90°,∠ACD+∠BCE=90°,∴∠CAD=∠BCE,

模型5

对角互补型特点有一对互补的对角示例思路结论过一个直角顶点向两边作垂线,得到△PGE∽△PHF【针对训练】14.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,在Rt△MPN中,∠MPN=90°,点P在AC上,PM交AB于点E,PN交BC于点F,当PE=2PF时,AP=_______.

3

【解析】(1)在矩形ABCD中