高中数学竞赛初赛试题_第1页
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2018年高中数学竞赛初赛

一、填空题(每题7分，共10题，共70分)

1.函数y=|cosx|-cos2x(xGR)的值域

2.已知(a+bi)2=3+4i,其中a,bGR,i是虚数单位，则a2+b2=

3.圆心在抛物线x2=2y上，并旦和该抛物线的准线及y轴都相切的圆的方程

4,设函数f(x)=H'-x,则不等式f(1-x,)+f(5x-7)〈。的解集为

"Zx"-2----------------

5.已知等差数列｛aJ的前12项的和为60,则p|+|aJ+pJ+...+p|J的最小值

6,已知正四面体内切球的半径是1,则该四面体的体积为

7.在4ABC中，AB=5,AC=4,且乂/AC.,设P为平面ABC上一点，贝！|+00)的最

小值为

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8.设g(n)=£'(%，")，其中nGN*,(k,n)表示k与n的最大公约数，则g(100)的值

k=l

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9.将1,2,3,4,5,6,7,8,9,这九个数随机填入3X3的方格表中，每个小方格填一个数，且所填各

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部相同，则使每行，每列所填数之和都是奇数的概率是

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（第9题图）

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10.在1,2,3,4,...1000中，能写出a2-b2+l(a,bGN)的形式，且不能被3整除的数有个

二、解答题(每题20分，共4题，共80分)

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11.如图，在平面直角坐标系xoy中，已知圆。的方程为x2+y2=4,过P(0,1)点的直线1与

(1).求实教t,d的值；

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(2).若正整数满足m<p<r,a-2m=a-2tP=a2tr=0,求数组(m,p,r)和相应的通项公式

mpr-

ano

13.

14.如图，在圆内接四边形ABCD中，对角线AC与BD交于P,AABD与4ABC的内心分别

为I和I,直线“分别与AC,BD交于M,N,求证：PM=PN.

1212

AB

（第13题图）

15.从1,2,3,4....2050这2050个数中任取2018个组成集合A,把A中的每个染上红色或

蓝色.求证：总存在一种染色方法使得每600个红数及600个蓝数满足下列两个条件：

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