百校大联考2021届高三第六次大联考文科数学试题（含答案解析）

百校大联考2021届高三第六次大联考文科数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.若集合P={x|xNl},Q={x|y=ln(4_x2)},则Pp|Q=()

A.[1,2)B.(1,2]C.(1,2)D.(-2,1)

2.已知i是虚数单位，若z（l—i）="2,则|z|=()

A,(「Vio

B.VioD.也

22

2

3.命题“howR,一+ln/＜。”的否定是

22

A.VXG7?,—+lnx>0B.YXGR,—+Inx>0

XX

22

—FIn20R,—+lnx>0

C.3x()eR,D.3x()e(}

%

4.在等比数列｛q｝中，已知4%41=8,那么％"8=（）

A.4B.6C.12D.16

5.下列在区间（0,+8）上为减函数的是（）

A.y=-5771¥B.y=x2-2x+3C.y=/〃（x+l）D.）,=2020q

6.若他,〃，/为空间三条不同的直线，名广〃为空间三个不同的平面，则下列为真命题的

是（）

A.右则机〃〃B.若m1/3,m//a,则二_1_夕

C.若a_L/,〃_Ly,则。///D.若==

7.已知在△人及？中，角A、B、。的对边分别为。、b、c,若。、Z?是方程/一3工+2=0

的两个实数根，且△AbC的面积为正，则角C的大小是（）

2

A.45"B.50C.60或120°D.45°或135°

8.若双曲线《-*.=1的离心率等于典，

则该双曲线的渐近线方程为()

a2b23

A.y=±3xB.y=±-x

2

c.y=±9D.y=±2x

A

9.已知向量a=(3/00),若/i〃=(342〃)，(A,/ze/?),则一=()

A.50B.3D.

3

10.若执行如图所示的程序框图，且输入x的值为0,则输出x的值为()

是

/输出'/

A.9B.8C.7D.6

x-y+2>0

11.若实数MV满足不等式组卜+》-4«。,则4x+8y的最大值为()

x-3y+3<0,

A.28B.23

C.4D.1

12.己知F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点，斜率为-2且经过焦点F的直线/交该抛物

线于两点，若=则该抛物线的方程是()

A.y1=xB.y2=2x

C.y2=4xD.y2=6x

二、填空题

13.已知是定义在R上的奇函数，当x>0时，/(力=1+优3>0,且awl),若

>贝!!°=.

14.函数y=的图象在点(1,〃?)处切线的方程为.

15.已知半径为R的球放在房屋的墙角处，球与围成墙角的三个两两互相垂直的面都相

切，若球心到墙角顶点的距离是百,则球的体积是.

16.已知点A(-2,0),3(2,0),若圆(x-a)2+(y-3)2=4上存在点P,使得ZAPB=90”，

试卷第2页，总4页

则实数a的取值范围是

三、解答题

17.已知数列｛4｝的前“项和

（1）求数列｛《,｝的通项公式

（2）若数列他｝满足。,,+1做3〃=例也，求数列也｝的前〃项和.

18.某中学选取20名优秀学生参加数学知识竞赛，将他们的成绩（单位：分）分成范

围为［40,50）、［50,60）、［60,70）、［70,80）、［80,90）、［90,100］,共6组，得到频率分

布直方图如图所示.

（1）若将成绩大于或等于80分视为高分，试求参加竞赛学生成绩的高分率：

（2）若从参加竞赛的学生中随机抽取2人，抽到的学生成绩在范围［40,70）记0分，在

范围［70,100］记1分，用表X示被抽取得2名学生的总记分，求X的分布列和数学期望.

19.已知在四棱锥中，灯）_1.平面488,4。_1。。,48〃。。,。。=248,。为

PC的中点.

（1）求证;B。〃平面RW；

（2）若PD=3,BC=后,BC1BD,试在线段尸C上确定一点S,使得三棱锥S-BCD的

2

体积为§

22

20.已知以椭圆C:二+六=1(a>b>0)的顶点为顶点的四边形面积是，且其离心

率为:，

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设直线/经过椭圆C的右焦点尸，且交椭圆C于A8两点，证明：

3\A^=4\AF\x\BF\.

21.已知函数f(x)=2x-21nx+a,g(x)=-ax-2,aeR.

(1)讨论函数〃x)的单调性；

(2)若〃x)+g(x)>0对任意的成立，求实数”的取值范围.

[x=t

22.知在平面直角坐标系xOy中，直线/的参数方程是“(1是参数)，以原点。圆

[y=1+4

点;以X轴的非负半轴为极轴，且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程

为夕=6«»(夕-看)，

(1)求直线/的普通方程与曲线C的直角坐标方程；

(2)M(x»)设为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围.

23.已知函数〃尤)=|2x+l|-|2x—2].

(1)求不等式/(“<0的解集；

(2)若对任意的xeR成立，求实数”的取值范围.

试卷第4页，总4页

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参考答案

1.A

【分析】

先求出集合。，再根据交集定义即可求出.

【详解】

;P={x|xNl},Q={x|y=ln(4-x2)}={R-2Vx<2},

PcQ={x|lMx<2}.

故选：A.

2.C

【分析】

由复数除法求得z,再由模的定义计算.

【详解】

z(l-0=/—2

i-2(z-2)(l+0z-1-2-2；31.

z=----=-------------=-------------=--------1

1-z(l-z)(l+O222

故选：C.

3.B

【分析】

利用特称命题的否定可得出结论.

【详解】

2o

命题“玉—+lnx°WO”为特称命题，该命题的否定为“VxeR,-+lnx>0)5.

X。x

故选：B.

4.A

【分析】

利用等比数列的通项公式化简已知条件，变形后即可求出数列第五项的值，然后根据等比数列

的性质可知,所求的式子等于数列第五项的平方，把第五项的值代入即可求出值.

【详解】

答案第1页，总15页

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由4阳”"=4,a"?'=（“M"）==8=23,

所以%=2,

则a2a8="；=22=4.

故选A.

【点睛】

本题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值,掌握等比数列的性质，是一道中档题.

5.D

【分析】

根据三角函数，指对函数，二次函数的单调性判断选项.

【详解】

A.由y=sinx图象和性质可知y=-sinx在（0,+功不是单调递减函数，故A不正确；

B.y=x2-2x+3=（x-l）2+2,函数在（0,1）是减函数，在（1，+8）是增函数，故B不正确；

C.），=ln（x+1）的定义域是（T,+w）,函数在定义域内是增函数，故C不正确；

D.尸2。2。山（屈旷=（焉（因为。＜焉＜1,所以尸（焉［是单调递减

函数，故D正确.

故选：D

6.B

【分析】

根据空间直线、平面间的位置关系判断.

【详解】

时，北〃的位置关系是相交，平行或者异面，A错；

mlla,则a内存在直线“，使得a//〃?（过机的平面与a交线为。），又初_1_/，因此。，夕，

从而C乃正确；

若a，%/?，八则a,/可能相交，可能平行，C错；

若ac/?=m,夕c，=〃，则人〃可能相交也可能平行，D错.

故选：B.

7.D

答案第2页，总15页

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【分析】

由韦达定理可求得他的值，利用三角形的面积公式可求得sinC的值，结合角C的取值范围

可求得结果.

【详解】

由于“、8是方程x2-3x+2=0的两个实数根，由韦达定理可得必=2,

据题意，得人sinC=sinC=#，

Q0°<C<180%解得C=45。或C=135。.

故选：D.

8.C

【分析】

先由离心率求出卷直接写出渐近线方程.

【详解】

据题意，得三婆'回

所以9)=",

所以所求双曲线渐近线的方程为y=士;x

故选：C.

【点睛】

求双曲线的渐近线的方法：

,>9-52

(1)直接令标准方程5-4=1中的1变成0,得到二-乌=0,利用平方差公式得到渐近线

ab-a2Zr

方程：y=±—；

a

(2)根据题意求出内方或。与b的比值，即可写出渐近线方程.

9.C

【分析】

根据向量数乘的定义求解.

【详解】

答案第3页，总15页

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据题意，得苏=(341002)=(342〃)，

所以2/z=10(M,

所以“Il

〃50

故选：C.

10.B

【分析】

根据框图，模拟程序运行即可求解.

【详解】

4

输入x=0,不满足x>7,进入下一步x=2x0+4=4,x=——1=1；

2

不满足x〉7,进入下一步x=2xl+4=6,x=g-l=2；

Q

不满足x>7,进入下一步％=2x2+4=8,x=—-1=3；

不满足x>7,进入下一步x=2x3+4=10,%=y-l=4；

••••

1Q

当x=7时，不满足x>7,进入下一步x=2x7+4=18,x=--1=8；

2

满足x>7,输出x的值为8,

故选：B.

【点睛】

关键点点睛：该题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，关键点是要明确利用

循环结构表示算法，一定要先确定是用当型循环结构还是直到型循环结构，注意输入框、处

理框、判断框的功能，不可混用.

11.A

【分析】

1Z1Z

有约束条件得可行域区间，令z=4x+8y,得y=_：x+2,问题转化为y=与所得

2828

可行域上有交点时截距最大，即可求目标代数式的最大值.

【详解】

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故选：A

12.B

【分析】

根据抛物线定义可知弦长为与+4+P,联立方程由韦达定理可求x”+X',即可求解.

【详解】

设直线/：y=-2x+〃

y=-2x+p

联立方程

y2=2px

得4f-6px+p2=0

设”（x"，加），）痂，％），则%+Xw=-华=率

又即|=|,

所以山+勺/+勺学=|

所以P=1

所以所求抛物线的方程是V=2x.

故选：B

答案第5页，总15页

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【分析】

根据奇函数的性质计算即可.

【详解】

因为f（X）是定义在R上的奇函数，当x>0时，f（x）=l+优（4>0,且arl）,

得f（T）=_〃l）=_（l+a）=_5，

解得”=

故答案为：；

14.3e2x-y-2e2=0

【分析】

求出导函数，然后求出％=1时的导数值，函数值，由点斜式写出直线方程并化简.

【详解】

•・•y=xe2\

/=（2x+l）e2'

，当x=1时，y'-3e2.

2

又当x=l时，y=ef

函数y=的图象在点（LM处切线的方程为>-/=3/口―1）,

即3e2x-y-2e2=0.

15.题

3

【分析】

构造正方体，由内切球的直径是棱长为2R的正方体的棱长求解.

【详解】

构造正方体，如图所示：

答案第6页，总15页

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由题意，得内切球的直径是该正方体的棱长，所以正方体的棱长为2R,

所以J(2R『+(2R)2+(2R)2=2下),

所以R2=1,

所以内切球球的体积

33

47r

故答案为：Y

16.[-x/7,V7]

【分析】

先把圆(x-4+(y-3)2=4上存在点P,使得ZAPB=90°,转化为圆V+V=4与圆

(x-a)?+(y-3)z=4相交，利用R-rWdWR+r,解不等式即可.

【详解】

因为直径所对的圆周角为90。，而NAPB=90",

所以以AB为直径的圆/+/=4与圆。_4+(k3)2=4存在公共点，

故两圆相交或相切，

所以04,片+3244

解得-疗4a4近.

故答案为：[近，夜]

【点睛】

圆Ci和圆C2的半径分别为R和广，圆心距为d,圆与圆的位置关系由5种：

(1)相离o”>R+r；(2)相外切=d=R+r；(3)相交目R-r|<"<R+r；(4)相内切

答案第7页，总15页

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od=|R-r|；(5)相内含od<|R-r|；

17.(1)a„=2n-2.(2)1+(8"一」X9"

64

【分析】

⑴利用4=5“-Ei求通项公式：

(2)先根据<2“+1。83〃=/。83"求出"="*9"」，再用错位相减法求和.

【详解】

!?;(1)-：Sn=i？-n

,当”=1时，S[=V-1,即q=0;

当2时，S,-=5-1)2

=(n2-n)-[(»-l)2-(n-l)].

an=2”-2(〃22)

验证知，当〃=1时，也成立.

综上，册=2〃-2.

(2)据⑴求解知,a„=2n-2.

又%+log3〃=logs",

2/7-24-log3〃=log3"

:也=nx9fl

数列圾｝的前〃项和7；=lx90+2x9i+3x9L.+〃x9"T,①

.'.97；,=lx91+2x92+3x93+...+nx9",②

①-②得：

7；,-97；,=1X9°+1X9'+1X92+...+1X9,,-|-/IX9,'

1x0-9")

一〃x9"，

1-9

l+(8/?-l)x9n

64

答案第8页，总15页

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【点睛】

数列求和常用方法：

（1）公式法；（2）倒序相加法；（3）裂项相消法；（4）错位相减法.

18.（1）0.3；（2）分布列见解析，E（X）=?（分）.

【分析】

（1）根据频率分布直方图可计算得出参加竞赛学生成绩的高分率；

（2）由题意可知，随机变量X的可能取值有0、1、2,计算出随机变量X在不同取值下的

概率，可得出随机变量X的分布列，进而可求得E（X）的值.

【详解】

（1）据题设知，所求参加竞赛学生成绩的高分率P=（0.025+（）.005）X10=0.3；

（2）参加竞赛的学生成绩在范围［40,70）的有20*［（0.010+0.015+.015）><10］=8（人），在

范围［70,100］的有12人,

随机变量X的可能取值是0、1、2.

P（X=0）=咎琮，P（X=1）=善嗡，P（X=2）=嬖=||.

^20“,。20V5。“‘

所以，随机变量X的分布列为

X012

144833

P

959595

所以，E（X）=0X£+1X£+2X||=|（分）.

【点睛】

思路点睛：求解随机变量分布列的基本步骤如下：

（1）明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何种概率分布；

（2）求出每一个随机变量取值的概率；

（3）列成表格，对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由

排列、组合数公式求随机变量在不同取值下的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变

量在不同取值下的概率.

答案第9页，总15页

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19.（1）证明见解析；（2）点S在线段PC上靠近点P的三等分点处.

【分析】

（1）设PO的中点G,连接AG,QG,证明四边形ABQG是平行四边形.利用直线与平面

平行的判定定理证明8。//平面加）；

（2）由体积求出底面上的高，从而就可以确定S点的位置.

【详解】

证明：（1）取尸。的中点为G,分别连接AG,QG

所以GQ//DC,且GQ=gf）C

又因为AB//£>C,DC=2AB,

所以GQ//AaGQ=AB,

所以四边形ABQG是平行四边形，

所以8Q〃AG

又8Q平面PAD,AGu平面PAD,

所以BQ〃平面R4。.

⑵

答案第10页，总15页

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因为在四边形ABCD中，AB//DC,AD±DC,DC=2AB,

所以点8在线段的垂直平分线上.

又因为BC=V2,BC1BD,

所以8O=BC=0,

所以ABCD的面积S=」x&x夜=1.

2

设点S到平面ABC。的距离为力，

12

所以-xlx/?=—

33

所以〃=2,

又平面A88,

所以点s在线段PC上靠近点尸的三等分点处.

22

20.(1)三+二=1；(2)证明见解析.

43

【分析】

x=\

(1)利用已知条件求出a,b,即可得出结果;(2)当直线/的斜率不存在时,解方程/2

—+—=1

[43

求出点AB的坐标，代入求解即可证明；当直线/的斜率存在时，设其方程为y=k(x-D,联

立直线与椭圆的方程，利用韦达定理，弦长公式以及两点之间的距离公式即可证明.

【详解】

解：(1)因为以椭圆C的顶点为顶点的四边形面积是4g,

所以4x」a/>=4百；

2

答案第11页，总15页

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即ah=2y/3,

又因为宁=(3

所以〃2=4,〃=3,

22

所以所求椭圆C的标准方程为Lr+匕v=1.

43

x=\

(2)若直线/的斜率不存在,可得〈一A：?+/

-------1-------——1

43

x=\X=1

得3或，3,

y=-y=-

22

不妨设41,|),小_3

于是31AM=4|AF|x|BF|=3x

即31ABi=4|AF|x|B尸|；

若直线/的斜率存在，设其方程为y=Mx-i).

2

---1--=1

据43,

y=k(x-1)

得(3+奴2卜2-8人+(4/-12)=0,

设A(X1,yJ,8(W，%),

8&24/_12

贝IJX[+羽=-----7,XX,=-------------

'-3+4/123+4公

所以31A.=3xJl+/xJ®=—»

22

4\AF\x\BF\=4xJ(x-l)2+yjxJ(x2-l)+y2

=xx(l+k2)+,-1冈太2-1|

2

=4X^1+A:)X|XIX2_(玉+々)+1|

4--128公

4x(l+%2)x+1

3+4/-3+4/

答案第12页，总15页

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36(1+公)

-3+4〃

综上，3\AB\=4\AF\x\BF\.

【点睛】

思路点睛：

求解椭圆中的弦长问题时，一般需要联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，以及弦长公式,

即可求出结果；有时也可由直线与椭圆方程联立求出交点坐标，根据两点间距离公式求出弦

长.

21.(1)答案见解析；(2)[2—41n2,"o).

【分析】

(1)利用导函数研究函数/(x)的单调性即可；

(2)由题意知：“>2+2在恒成立，构造6(x)=2+弊，应用导数研究其在

1-x<2)1-x

xe(0，£|上的单调性，确定边界值，仅需在xe[O,；]上aN/z(x)皿即可求〃的范围.

【详解】

(1)f(x)=2x-2]nx+a,有f'(x)=2—*==上且定义域为(0,e)，

XX

当xw(O,l)时,r(x)<0J(x)单调递减;当xe(l,”)时，r(x)>0J(x)单调递增.

(2)据题意，2x-21nx+a—av-2>0对任意的成立，整理得：a>2+-a

I2)\-x

亘成立，

2

21n(1-2+2Inx

设3)=2+匚则g)"

(1一町

令帆(x)=2一2+21nx|xw(0,g)),则〃?'(1)22—2+2x

---F-=------

X2xx2

当时，加(X)〈0,6(工)在(0,；)上单调递减，即〃z(x)>〃(；]=2-21n2>(),

.•.当时，〃(x)>0,则〃(力在(0,；)上单调递增，即Mx)<