等比数列的前A项和公式

4.3.2等比数列的前A项和公式

第1课时等比数列的前〃项和

囱园岛嗣园图(教师独具内容)

课程标准：1.理解并掌握等比数列的前〃项和公式及其推导过程，体会错位

相减法的应用，并能熟练应用此法求和.2.能熟练应用等比数列的前〃项和公式及

其相关性质解决问题.3.能利用等比数列的前〃项和公式解决实际应用问题.4.T

解等比数列的前〃项和公式与函数的关系.

教学重点：等比数列的前〃项和公式及其相关性质.

教学难点：应用等比数列的前〃项和公式及其相关性质解决问题.

，新知1

等比数列前〃项和公式的理解

(1)在等比数列的通项公式及前〃项和公式中共有必，a”n,q,S五个量，

知道其中任意三个量，都可求出其余两个量.

⑵前〃项和公式的应用中，注意前〃项和公式要分类讨论，即qWl和q=l

时是不同的公式形式，不可忽略7=1的情况.

(3)当公比时，等比数列的前〃项和公式是S=""，它可以变

n

形为S,.=--^-•设上式可写成Slt=-Aq+A.由此可见，

1—g1—(71—(7

非常数的等比数列的前〃项和S是由关于〃的一个指数式与一个常数的和构成的,

而指数式的系数与常数项互为相反数.

'±1评价自测

1.判一判(正确的打“，错误的打"X”)

(1)求等比数列｛4｝的前n项和时可直接套用公式s=J二1一.来

1-<7

求.()

(2)等比数列｛4｝的前〃项和为S,知S,a”a可以求公比g.()

V

(3)1-2+4-8+16-…+(-2广三^IX~~1--.()

L—2

⑷若等比数列｛2｝共100项，且公比qW±l,则该数列的偶数项之和5=

1一。

2.做一做(请把正确的答案写在横线上)

⑴等比数列一；，J,一J,…的前7项和为

(2)等比数列｛4｝的各项都是正数，若团=81,a5=16,则它的前5项和是

(3)等比数列｛2｝的公比q=2,首项&=8,则W=.

核心素养.

---------------------------------------------------------------------HEXINSUYANGXINGCHENG------------------------------------------------------------------------

题型一等比数列前〃项和的基本计算

例1在等比数列｛4｝中，

(1)若S=189,(7=2,a,=96,求a1和〃；

5

(2)右&+4=10,&+36=[,求a和W；

39

(3)若。3=/,S=],求a和公比.

[跟踪训练1](1)在等比数列仿“｝中，$+&=2$,则公比(7=

(2)在等比数列｛a〃｝中，(=：，W=苧，则a〃=；

(3)设等比数列｛a,,｝的前〃项和为2,a=l,W=4S，则&=.

题型二错位相减法的运用

22月

例2已知数歹ij｛4｝的首项a=§,a“+i=@+；,〃=1,2,….

(1)证明：数列是等比数列；

⑵求数列14的前〃项和s.

[an

13579/7—I

[跟踪训练2]试求5,彳，；，7T,fl的前〃项和.

248162

题型三等比数列前〃项和性质的应用

例3(1)一个项数为偶数的等比数列，所有项之和是偶数项之和的4倍，前

三项之积为64,求此数列的通项公式；

(2)在等比数列｛a｝中，若前10项的和5,0=10,前20项的和丛=30,求前

30项的和S。.

［变式探究］本例⑵中条件不变，能否求的+。22+…+纵的值呢？

［跟踪训练3］(1)一个等比数列的首项为1,项数是偶数，其奇数项的和为

85,偶数项的和为170,求此数列的公比和项数；

(2)在等比数列｛a4中，公比g=2,前99项的和5)9=56,求a3+a,-,+ak)H—

+弧的值.

题型四等比数列前〃项和的实际应用问题

例4借贷10000元，以月利率为现，每月以复利计息借贷，王老师从借贷

后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？

(1.016^1,061,1.015^1,051)

［跟踪训练4］某校为扩大教学规模，从今年起扩大招生，现有学生人数为

b,以后学生人数的年增长率为4.9%。.该校今年年初有旧实验设备a套，其中需

要换掉的旧设备占了一半.学校决定每年以当年年初设备数量的10%的增长率增

加新设备，同时每年淘汰x套旧设备.

(1)如果10年后该校学生的人均占有设备的比率正好比目前翻一番，那么每

年应淘汰的旧设备是多少套？

(2)依照(1)的更换速度，共需多少年能更换所有需要更换的旧设备？下列数

据供计算时参考：

1.1餐2.361.00499«=1.04

1.ll0^2.601.00492.05

1.lll^2.851.0049"^1.06

题型五等比数列综合问题

例5设数列｛a〃｝的前〃项和为S,已知S=4,a+i=2S,+l，〃GN”.

⑴求通项公式a1,；

⑵求数列｛Ia-n-21｝的前〃项和.

［跟踪训练5］等差数列｛2｝的各项均为正数，囱=3,前〃项和为S,｛仇｝

为等比数列，仇=1,且也5=64,&S=960.

⑴求a.与b„；

(2)求和:…+白

随堂水平.达标

SUITANGSHUIPINGDABIAO-

4

1.已知数列面｝满足3&+i+a,=0,4=一鼻，贝I」｛晶｝的前10项和等于()

A.-6X(1-3-10)B.(1-3-'°)

C.3X(1-3-10)D.3X(1+3-10)

2.若数列｛2｝的前〃项和为S=3"+a(a为常数)，则数列｛若()

A.是等比数列

B.仅当。=一1时，是等比数列

C.不是等比数列

D.仅当a=0时，是等比数列

3.(多选)已知数列｛4｝为等差数列，a,=l,且色，&,a是一个等比数列中

的相邻三项，记A=a.qa〃(qW0,1),则伉｝的前〃项和可以是()

A.n

B.nq

q十Inqn+1-nqn-qi.

C.

1—q

口q+Inqn+2_—_nq/?+1_―_q/;+1

,Lq2

4.数列｛4｝满足a=l,aa„+i=2"T,其前A项和为S,则。5=,总

5.张先生2019年年底购买了一辆1.6L排量的小轿车，为积极响应政府发

展森林碳汇(指森林植物吸收大气中的二氧化碳并将其固定在植被或土壤中)的号

召，买车的同时出资1万元向中国绿色碳汇基金会购买了2亩荒山用于植树造

林.科学研究表明：轿车每行驶3000公里就要排放1吨二氧化碳，林木每生长1

立方米，平均可吸收1.8吨二氧化碳.

(1)张先生估计第一年(即2020年)会用车1.2万公里，以后逐年会增加1000

公里，则该轿车使用10年共排放二氧化碳多少吨？

(2)若种植的林木第一年(即2020年)生长了1立方米，以后每年以10%的生

长速度递增，问林木至少生长多少年，吸收的二氧化碳的量超过轿车10年排出的

二氧化碳的量(参考数据：1.1"^3.7975,1.115^4.1772,1,116^4.5950)?

课后课时,

KEHOUKESHIJINGLIAN

A级：“四基”巩固训练

一、选择题

1.已知等比数列的公比为2,且前5项和为1,那么前10项和等于()

A.31B.33

C.35D.37

2.若数列｛&,｝是等比数列，已知对任意当+a/+…+&,=2"—1,则

---F成=()

A.(2"-1)2B.；(2"-1)2

C.4"-1D.；(4"—1)

O

3.在等比数列｛4｝中，a,=2,前〃项和为S,若数列｛a+1｝也是等比数列,

则S等于()

A.2n+1-2B.3〃

C.2/7D.3"-1

4.(多选)在公比q为整数的等比数列｛4｝中，S是数列｛a,｝的前〃项和，若

&&=32,a2+a3=12,则下列说法正确的是()

A.7=2

B.数列｛$+2｝是等比数列

C.S=510

D.数列｛logz4｝是公差为2的等差数列

5.(多选)已知数列｛4｝的前〃项和为S，S„=2a-2,若存在两项&,a0,使

得a0=64,则()

A.数列｛&,｝为等差数列

B.数列｛2｝为等比数列

4”—1

C./…+或=~~~

D.7十〃为定值

二、填空题

119

6.已知正项等比数列｛a｝中,包=1,其前〃项和为K---=-.

则S尸.

7.已知数列｛4｝的前A项和S满足log2(S+2)=〃+l,则数列｛a｝的通项公

式a„—.

8.已知等比数列｛a,,｝的前〃项和S=3"+r,则a~r=,数列

n〃+4的最大项是第4项,贝Uk=

三、解答题

9.等比数列｛为｝的前〃项和为S，已知S，S，£成等差数列.

⑴求｛2｝的公比q；

⑵右cZj—a=3,求S”.

10.已知数列｛4｝，伉｝满足2s=(a“+2)b,„其中S,是数列｛4｝的前n项和.

21

(1)若数列｛a｝是首项为可，公比为一金的等比数列，求数列｛4｝的通项公式;

OO

(2)若4=77,包=3,求数列｛a』的通项公式.

B级：“四能”提升训练

1.已知数列｛&,｝的前n项和为S，且满足S0=2a“一2(〃GN*).

(1)求数列｛a｝的通项公式；

(2)若对任意的〃WN*,不等式(八一〃)a+i+a.W15恒成立，求实数人的最

大值.

2.某市2019年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动

型汽车牌照2万张，为了节能减排，从2019年开始，每年电动型汽车牌照按50%

增长，而燃油型汽车牌照每年比上一年减少0.5万张，同时规定一旦某年发放的

牌照超过15万张，以后每年发放的电动型汽车牌照的数量维持不变.记2019年

为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列｛a,J,每年发放电动型汽车牌

照数构成数列｛4｝.

(1)完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式;

51=1082=9.5备=国=

加=2Z>2=3&=

(2)累计各年发放的汽车牌照数，到哪一年开始不低于200万？(注：回

-17.7)

4.3.2等比数列的前〃项和公式

第1课时等比数列的前〃项和

国画国•昌国(教师独具内容)

课程标准：1.理解并掌握等比数列的前〃项和公式及其推导过程，体会错位

相减法的应用，并能熟练应用此法求和.2.能熟练应用等比数列的前A项和公式及

其相关性质解决问题.3.能利用等比数列的前〃项和公式解决实际应用问题.4.了

解等比数列的前〃项和公式与函数的关系.

教学重点：等比数列的前〃项和公式及其相关性质.

教学难点：应用等比数列的前〃项和公式及其相关性质解决问题.

'新知I拓展

等比数列前〃项和公式的理解

(1)在等比数列的通项公式及前〃项和公式中共有4,a“n,q,S五个量，

知道其中任意三个量，都可求出其余两个量.

(2)前〃项和公式的应用中，注意前〃项和公式要分类讨论，即qWl和q=l

时是不同的公式形式，不可忽略q=l的情况.

(3)当公比qWl时，等比数列的前〃项和公式是，=曳4^—,它可以变

形为5=—产-•d+d=，设4=4,上式可写成S^-Aq+A.由此可见，

非常数的等比数列的前〃项和S,是由关于〃的一个指数式与一个常数的和构成的，

而指数式的系数与常数项互为相反数.

±1评价自测I

1.判一判(正确的打“，错误的打“X”)

(1)求等比数列｛4｝的前n项和时可直接套用公式s=边一，二9一来

l—g

求.()

(2)等比数列｛a.｝的前〃项和为知S,a”为可以求公比q.()

V

(3)1—2+4—8+16—…+(—2)i=^IX~~1-―.()

L-L

(4)若等比数列｛为｝共100项，且公比gW±l,则该数列的偶数项之和S=

名「150.()

1-9

答案⑴X(2)V(3)X(4)X

2.做一做(请把正确的答案写在横线上)

(1)等比数列J,…的前7项和为

24816------

(2)等比数列｛a』的各项都是正数，若团=81,a5=16,则它的前5项和是

(3)等比数列｛a｝的公比q=2,首项a=8,则W=.

43

答案⑴房(2)211(3)248

核心素养.形成

HEXINSUYANGXINGCHENG

题型一等比数列前〃项和的基本计算

例1在等比数列｛4｝中，

⑴若s=189,(7=2,a,=96,求a和〃；

5

(2)右&+刘3=10,&+求&和

39

(3)若&=5,S=5，求国和公比.

［解］⑴由$=囱厂.,4=ad以及已知条件，得

1—7

a\—2a3i—2X96

189=『^n=----.一

1Z-1

96=a,-2"~',

••3]=3.

r-96

又2"T=w=32,：.n=e>.

o

(2)设公比为g,由通项公式及已知条件得

&+Q\Q=10,

3.「5

aq+aq—-

{{{9

f-311+q?=10,①

即13125_

[a®1+g=-.②

Vai^O,l+(7V0,二②・①得，/=：,即q=〈,

oZ

••3]~~8.

a=a/=8义集)=1,

,aI8X[Y)]31

W=1-q=一—=万

1-2

3

(3)当q=l时，S=3句，33=3)=-

乙

.39.3

••・3义5=5夕=5，AB\='^9Q-1.

乙乙乙

”.5i1-q93

当qWl时，S=-----7^------=5，4=句>9?=9,

JLq乙乙

3

291

+<?+，）=5,，Q=-5，<7=1（舍去）,

Q2/

・・3]=6.

a-6

<，3

1或a=亍

综上所述,--

q-2

q=l.

厂得牌展廨-.......................

等比数列思想方法的应用

(1)方程思想：等比数列中的“知三求二”问题就是方程思想的重要体现.

(2)分类讨论思想：由等比数列前〃项和公式、4与S的关系等知识可知，解

答数列问题时常常要用到分类讨论思想.

特别注意：等比数列前〃项和的计算，优先讨论公比g=l的情况.

[跟踪训练1](1)在等比数列｛4｝中，S+W=2W，则公比g=；

(2)在等比数列｛&,｝中，W=合，则a〃=;

乙乙

(3)设等比数列｛a,,｝的前〃项和为S“，a,=l,$=4S，则a=.

答案

解析(1)由题意知EJ的公比qWl,

.L（।aL或2alL</

1,一一十一■—二l-q

：.2q=q-\-q,：.2q=q+1,

。’=-g或Q=1（舍去）,

(2)由题意知仿』的公比qWl,

3

a-47

-①

7--2

-=623知V

2-L663

当q

-q

②+①，得1+/=9,

••0=2,

代入①得囱=;,

.,.a„=1x2,,-,=2n-2.

⑶由a=l,W=4£,当Q=1时，不符合W=4S；当gW1时，

1613

S]1-qd\1-Q.qQ,.q

*/----------=4•----------,.•.l+q=4,得q=3,故国=^q=lX3=

1—q1-Q

题型二错位相减法的运用

22月

例2已知数列EJ的首项句=可，&+产],〃=1,2,….

3a〃十1

(1)证明：数列|上一是等比数列；

〔为

⑵求数列目的前〃项和$.

an\

也

十1

a,H为A

4111

,++_

22-2-,

+44

­■-7--1=瑞-1)

「211

Xa,=-,/.---1=7，

3al2i

...数歹":一I]是以J为首项，。为公比的等比数歹U.

3，nJ/乙

/、」一1111

(2)由(1)知1=-•布=不，

Qn222

rr11.nn,

即1=不+1，：.-=-z,+n.

@n2d,n2

设北=T+,+1H—I■段,①

卜力

则［北=)+4+•••②

乙乙乙

.1n

••Tn22"一］2'"

又1+2+3+…+

乙

数歹U4的前〃项和6=22+〃，n”+1n+n+4〃+2

2"222”•

如果数列｛4｝是等差数列，也,｝是等比数列，求数列｛a,6｝的前〃项和时，可

采用错位相减法.

在写出“S,”与“qS”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一

步准确写出“S—qS”的表达式.

13579/7—1

［跟踪训练2］试求而的前〃项和.

、江厂1,3.5,,2〃一1.

斛设---1-9„>①

乙乙乙乙

,3,5,12/7-1人

25,=1---F2„-1.②

2/7-12A+3

^7—=3——7^.

题型三等比数列前〃项和性质的应用

例3(1)一个项数为偶数的等比数列，所有项之和是偶数项之和的4倍，前

三项之积为64,求此数列的通项公式；

(2)在等比数列｛必｝中，若前10项的和5,0=10,前20项的和S0=30,求前

30项的和品.

［解］(1)设此数列EJ的公比为q,由题意，知S奇+S偶=4S儡，3s

S偶1

偶，Aq=-=-

又2a3=64,即cZi(o,\Q)(aq")=a：q'=64,

「1・

••3\Q=4.又q=q,・・国=12,

o

.".a„=ai7-'=12X

⑵解法一：设数列｛4｝的首项为&,公比为q,显然q#l,则

c\10

a1—q

=10,

1-q

a〕L<7

=30.

、1—q

两式相除得l+/°=3,

［_30］_10

...SM=—.---=—~--(1+7°+茶)=ioX(1+2+4)=70.

l-q—Q

解法二：YS。，So-S。，s。一$。仍成等比数列，

又So=lO,£)=30,

Qr\__1八2

・••品-30=——-——,即品=70.

［变式探究］本例⑵中条件不变，能否求加+&+…+&。的值呢？

解由题可知的+a22H-----Fa3o=So—So，由例题可知So=7O,&)=30,所以

包1+42+…+@30=70—30=40.

•:…爵隰国O-——...............................!

等比数列前〃项和性质的应用

等比数列前〃项和的性质是在等比数列的通项公式、前〃项和公式及等比数

列的性质的基础上推得的，因而利用有关性质可以简化计算，但通项公式、前n

项和公式仍是解答等比数列问题最基本的方法.

［跟踪训练3］(1)一个等比数列的首项为1,项数是偶数，其奇数项的和为

85,偶数项的和为170,求此数列的公比和项数；

(2)在等比数列｛2｝中，公比q=2,前99项的和5)9=56,求a+a+aH-

+弧的值.

解(1)设此等比数列为｛a｝，其公比为＜7,项数为2〃(〃eN*).

若q=l,则5奇=5佃，与已知矛盾，故

1一右

--1=85,①

l-q

q1—qn

~T^-=17°-②

②♦①，得7=2.

1—4〃

把q=2代入①，得=7=85,

1—4

，4"=256=4",A77=4.

二公比q=2,项数为8.

(2)解法一：jq—=56,

1—。

.a3+Se+ag+,•,+a99=a3(1++,••+7**)

21-d3321T

二和•—0二二小•—诉厂

q句1—4

1+q+q；1—q_

4

=HTHX56=32-

解法二：设61=4+&+司7+~+必7・

b2=a2~\------b&8，

&=a+为+必+・・・+29，

贝|J63=质，金0=&且。+。2+A=56,

b\(1+^+7)—56,

.，56,,2

••b\=]+2+4=8,bi=b\q=32,

即必+公+&+…+包9=32.

题型四等比数列前〃项和的实际应用问题

例4借贷10000元，以月利率为1%,每月以复利计息借贷，王老师从借贷

后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？

(l.or^l.061,1,015^1.051)

［解］解法一：设每个月还贷a元，第1个月后欠款为切元，以后第〃个月

还贷a元后，还剩下欠款包元(1,则

色=10000,

4=!_.014a,

刈=1.or%—(1+1.01)a,

盘)=1.01念一43—01“a—(1+1.01+,,,+1.01")a.

由题意，可知a=0,

1.016do—(1+1.01+,,,+1.01°)5—0,

2

l.OfXIO6

a=[N一因为1.016pL061,

1.ui—1

1.061X1Q2

所以a—^1739.

1.061-1

故每月应支付1739元.

解法二：一方面，借款10000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它

的本利和为5；=104(l+0.01)6=104Xl.016(TG).

另一方面，设每个月还贷a元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为

$=a(l+0.01)5+a(l+0.01)1+…+a=——¥甘\一口=a(l.016一

1)X102(TC).

i.oPxio2

由$=$,/H

得a=i.or-1-

以下解法同解法一，得a-1739.故每月应支付1739元.

一禹圈国陶........................

解数列应用题的注意点

在数列的实际应用中，把数学问题背景中的数列知识挖掘出来(投入资金数列

和收入资金数列)，然后用数列的知识进行加工和整理是常见的解题方法，应注意

合理安排，解题中要明确数学问题的实际意义，以便进行合理取舍.

［跟踪训练4］某校为扩大教学规模,从今年起扩大招生，现有学生人数为b,

以后学生人数的年增长率为4.9%0.该校今年年初有旧实验设备a套，其中需要换

掉的旧设备占了一半.学校决定每年以当年年初设备数量的10%的增长率增加新

设备，同时每年淘汰x套旧设备.

(1)如果10年后该校学生的人均占有设备的比率正好比目前翻一番，那么每

年应淘汰的旧设备是多少套？

(2)依照(1)的更换速度，共需多少年能更换所有需要更换的旧设备？下列数

据供计算时参考：

1—.361.00499^1.04

1.l10^2.60L0049『L05

1.1—2.851.0049"^l.06

解(1)设今年学生人数为6,则10年后学生人数为8(1+4.9%。)058.

由题设可知，1年后的设备为aX(l+10%)—x=l.la—x,

2年后的设备为(Lla—x)X(1+10%)—x=l.『a—1.lx—x=l.Ya—x(l+

1.1)，…，

10年后的设备为aX1.1'"—x(l+1.1+1.1"+…+1.I9)：=»2.6a一

IX1-1.I10八

xX---:—:~:----72.6a—16x.

1—1.1

.4口2.6a-16xa5/口a

由题设，得一厂忘7—=2•］，解得才=前.

1.05bb32

所以每年应淘汰的旧设备为亮套.

D乙

1o

(2)全部更换旧设备共需产+已=16(年).

乙D乙

所以共需16年能更换所有需要更换的旧设备.

题型五等比数列综合问题

例5设数列｛a』的前〃项和为S，已知$=4,a.+i=2S〃+l,“GN*.

(1)求通项公式a.；

(2)求数列｛|a-n-2|｝的前A项和.

aj+a2=4,f3|—1>

［解］(D由题意，得,则一，

、3.22Q\I1,13.23,

又当〃22时，由a〃+|—a〃=(2S+1)—(2ST+1)=2a〃，Wa„+1=3a„,所以数

列｛4｝的通项公式为a=3"T,A£N*.

(2)设"=|3'1—〃一2|,neW,b、=2,b=1.

当〃23时，由于3"”〉〃+2,故8“=3"'—2,〃23.

设数列｛力｝的前〃项和为&则71=2,石=3.

Q1—Q"-2n+7/?—2_3”一5〃+11

当心3时，北=3十一^2=2

经验证，当〃=2时也符合上式.

[2,z?=l,

所以北=J3"—rf—5n+11

启2,〃eN*.

厂-博胭隔睛.........................

在解决等差、等比数列综合问题时，重点要读懂题意，而正确利用等差、等

比数列的定义，通项公式及前〃项和公式是解决问题的关键，若已知S,利用品

=S-ST522）变为当再求解.

［跟踪训练5］等差数列｛4｝的各项均为正数，@=3,前〃项和为S,｛4｝

为等比数列,仇=1,且等W=64,&S=960.

⑴求a”与b『,

（2）求和：---

解（1）设｛&,｝的公差为d,也,｝的公比为q,则d为正数，a“=3+（〃-l）d,

b„=q-'.

bS=6+dg=64,

依题意有

bS=9+3"以=960,

d=2,

解得或I（舍去）,

g=840

故4=3+2(〃-1)=2〃+1,b=8n~'.

(2)S=3+5T-----1(2/?+1)=〃(〃+2),

1,1,,11,1,1,,1

rrr以u—+—+•••-4--=------+--------+--------4-•••+--------------

勿以SSS1X32X43X5nn+2

111111

----+---++-

3+-2435

Z7

+5

3/7

什

4北2

随堂水平.达标

SUITANGSHUIPINGDABIAO

4

1.已知数列｛a』满足3azi+i+a“=0,a2=—不，则｛aj的前10项和等于（）

A.—6X(1—37°)B.1X(1—3T°)

C.3X(1—3T°)D.3X(I+3R)

答案C

解析,.,34+|+a=0,.*.a.+i=—<a“，｛a〃｝为等比数列，<?=一；，又a?=

oJ

14

-10

&•°=一铲尸-g=4,=3(l-3).故选C.

2.若数列｛a｝的前〃项和为S=3"+a（a为常数），则数列｛a｝（）

A.是等比数列

B.仅当a=—1时，是等比数列

C.不是等比数列

D.仅当a=0时，是等比数列

答案B

Sn=\,f3+an—1

解析a“=”[2X3"T心2当a=-1时，&=2

S—Sn-\心2

适合通项a,=2X3i,故数列仿』是等比数歹!].当aW—l时，｛aj不是等比数歹U.故

选B.

3.（多选）已知数列｛4｝为等差数列，a=l,且色，&,a是一个等比数列中

的相邻三项,记b„=anqan（q^0,1）,则伉｝的前〃项和可以是（)

A.n

B.nq

q十Inq〃+1-nqn-qn

C.

1-q

I〃+2n+1/)+1

nq+nq.nq-q

U..2

1—q

答案BD

解析设等差数列｛4｝的公差为d,又4=1,且a2,国，戊是一个等比数列

中的相邻三项，所以4=也绿，即出+34=3+4.(&+7中，化简，得d(d—

1)=0,所以d=0或1,故a=1或&=〃，所以Z?〃=q或4=A•q",设伉｝的前〃

项和为S，

(1)当时，S,=nq-,

(2)当b„—n•<?"时,

S»=1•q+2•q+3•qH---\-n,q,①

qS„=l,q+2•</+3,<?'4-,,•+/?,qn+',②

①一②，得(1—g)S=q+/+/H---\-q—n•(f+l=~——n•q+',所

/2+1I〃+2z?+1w+1

以.；一：二n•qq+nq-nq-q

,故选BD.

l-qLq-

4.数列｛4｝满足a=l,&衣什1=2"，其前〃项和为S,则a=，必

答案42n+,-2

解析由递推关系可得ana^=2'-\an+ian+2=2",两式相除可得.=2.则氏

=a,-22=4,由&a+=2"7可得名=1,则奇数项、偶数项分别为首项为1,公比

77

为2的等比数列，则^„=2X-I~X~吉1—一2=2"+'—2.

1-N

5.张先生2019年年底购买了一辆1.6L排量的小轿车，为积极响应政府发

展森林碳汇(指森林植物吸收大气中的二氧化碳并将其固定在植被或土壤中)的号

召，买车的同时出资1万元向中国绿色碳汇基金会购买了2亩荒山用于植树造

林.科学研究表明：轿车每行驶3000公里就要排放1吨二氧化碳，林木每生长1

立方米，平均可吸收L8吨二氧化碳.

(1)张先生估计第一年(即2020年)会用车1.2万公里，以后逐年会增加1000

公里，则该轿车使用10年共排放二氧化碳多少吨？

(2)若种植的林木第一年(即2020年)生长了1立方米，以后每年以10%的生

长速度递增，问林木至少生长多少年，吸收的二氧化碳的量超过轿车10年排出的

二氧化碳的量(参考数据：1.114^3.7975,1.115^4.1772,1.116^4.5950)?

解(1)设第〃年小轿车排出的二氧化碳的吨数为

1200013000131400014口处甘年〜川皿生

即nn旬=annn=4,,=〈八•八，…，业然其构成首项为

DUUUDUUUODUUU♦O

31=4,公差为</=必一的等差数列，

0

▼一,10X91

所以5o=lOX4+——X-=55,

乙O

即该轿车使用10年共排放二氧化碳55吨.

(2)记第〃年林木吸收二氧化碳的吨数为4(〃WN*),

则。=1X1.8,Z^=1X(1+10%)X1.8,Z>)=1X(l+10%)2X1.8,…，

其构成首项为4=1.8,公比为^=1.1的等比数列，

记其前〃项和为T,„

由题意，有1=,\/—=18X(1.1"—1)>55,

1—1.1

解得〃215.

所以林木至少生长15年，其吸收的二氧化碳的量超过轿车10年排出的二氧

化碳的量.

课后课时,精练

KEHOUKESHIJINGLIAN

A级：“四基”巩固训练

一、选择题

1.已知等比数列的公比为2,且前5项和为1,那么前10项和等于()

A.31B.33

C.35D.37

答案B

解析因为+a2+a3+a,+a5=1,所以a6+a7+a8+ag+a,0=q(a,+a2+ab

+&+a5)=(/=25=32.所以S0=1+32=33.

2.若数列｛若是等比数列,已知对任意—N*,a+…+a=2〃-1,则

aj+a：+a；-|---\~an=()

A.(2"-1)2B.1(2n-l)2

C.4"-1D.1(4Z,-1)

答案D

解析由S,=2n-l得a,=5,=1,&=£-S=2Z—2=2....公比为q=2,可知

1—4"1

数列｛阖是等比数列，首项为1,公比为成=4..•.aj+a；+a；+…+4=:下=?4"

1—43

—1).

3.在等比数列｛4｝中，&=2,前〃项和为S，若数列0+1｝也是等比数列，

则S等于()

A.2,,+1-2B.3A

C.2nD.3"-1

答案C

解析因数列｛a｝为等比数列，则4=2/，因数列｛4+1｝也是等比数列，

则(a.+i+1)~=(a〃+1)(a〃+2+1)，得a"i+2a”+i=a“a〃+2+a“+a〃+2，a.+a〃+2=2a〃+”

从而4(1+4/—2q)=0,得q=l,即a“=2,所以S,=2〃.故选C.

4.(多选)在公比q为整数的等比数列｛a“｝中，S是数列｛&｝的前〃项和，若

aa=32,昆+&=12,则下列说法正确的是()

A.q=2

B.数列6+2｝是等比数列

C.&=510

D.数列｛logz4｝是公差为2的等差数列

答案ABC

解析因为数列｛4｝为等比数列，又&&=32,所以a2a3=32,又色+。3=12,

一包=8,

%2=4,或卜=%(4=4,

又公比4为整数，则｛a=8,

所以＜a=8,即a=2",

1［。=2,

4=2

OX/1—onM+22-2

S=-=-=2"】一2,由上可得0=2,故A正确；5+2=2田,

1-zS+2

=2,则数列｛$+2｝是等比数列，故B正确；&=29-2=510,故C正确；logza,,

+Llog2azi=5+1)一片1，即数列｛log24｝是公差为1的等差数列，故D错误.故

选ABC.

5.(多选)已知数列｛&｝的前〃项和为S，S=2a-2,若存在两项劣，a”使

得aa〃=64,则()

A.数列｛品｝为等差数列

B.数列｛8,｝为等比数列

C.a；+a；+…+或=~~-

O

D.必+〃为定值

答案BD

解析由题意，当〃=1时，S=2a—2,解得ai=2,当〃22时，5L-i=2a„

=

-I—2,所以S—Sn~i=a“=2a”—2—(2sn-i—2)2an—2a”-”所以=2,数歹U｛a〃｝

^n—I

是首项a=2,公比q=2的等比数列，a=2",故A错误，B正确；数列｛或是首

1

项4=4,公比s=4的等比数歹(］,所以ai+a；+…+4=里］1二匚=,*1台—

4"+1—4

=——，故C错误；&&=2"2"=2""=64=26,所以加+〃=6为定值，故D正确.故

选BD.

二、填空题

112

6.已知正项等比数列｛4｝中，a=1,其前〃项和为S(〃£N*),且一一一=一,

Q\@22

则$=.

答案15

1I2

解析正项等比数列EJ中，4=1,且一一一=一,

句9.23